2016上海大同杯数学竞赛及答案

上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。

从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。

//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。

上海市第三十届初中物理竞赛(大同中学杯)初赛试卷(兼区县物理竞赛试卷)2016年3月13日上午9：00~10：30说明：1、本试卷共分两部分，第一部分为单项选择题，每题3分，共30题，计90分：第二部分为多项选择题，每题5分，全对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分，共12题，计60分。

全卷满分150分。

2、考试时间为90分钟。

3、考生使用答题纸(卡)，把每题的正确选项填在答题纸(卡)相应位置。

允许使用计算器，考试完毕后，请将试卷、答题纸(卡)一并交给监考人员。

4、常数g=10N/kg。

sin37°=0.6；cos37°=0.8第一部分：单项选择题1．下列用电器中，利用电流热效应工作的是( )(A)电视机(B)电热毯(C)电风扇(D)电脑【答案】B2．目前，很多汽车的驾驶室里都有一个叫做GPS(全球卫星定位系统)接收器的装置。

GPS 接收器通过接收卫星发射的导航信号，实现对车辆的精确定位并导航。

卫星向GPS接收器传送信息依靠的是( )(A)无线电波(B)红外线(C)紫外线(D)激光【答案】A3．在如图所示的四种现象中，可用光的反射定律解释的是( )(A)林中光影(B)日食(C)雨后彩虹(D)水中倒影【答案】D4．甲、乙两个物体相互接触后不发生热传递，这是因为它们具有相同的( )(A)密度(B)温度(C)体积(D)热量【答案】B5．如图所示，水平桌面上叠放着甲、乙两个物体，在拉力F的作用下，乙、甲以相同的速度沿桌面向右做匀速直线运动，在不考虑空气阻力的情况下，乙物体受到的作用力的个数有( )(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个【答案】5【分析】匀速运动甲乙之间不存在摩擦，只有甲对乙的压力。

6．如图所示，两板间夹一木块A ，向左右两板施加压力F 时，木块A 静止，若将压力都增大到2F ，则木块A 所受的摩擦力( ) (A)是原来的2倍 (B)是原来的4倍 (C)与原来相同 (D)无法判断 【答案】C【分析】竖直方向，物体受重力和静摩擦力，始终而力平衡。

2016届大同中学高三数学10月考试试题 2015年10月9日班级 姓名 学号 成绩一、填空题（本大题满分56分） 本大题共有14题，将结果直接填写在答题纸相应的空格内1.集合2{(,)|,},{(,)|,}A x y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B ={}（0,0）,(1,1).2. 已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．给出下列四个命题：① M 的元素不都是P 的元素； ② M 的元素都不是P 的元素；③ M 中有P 的元素； ④ 存在M x ∈，使得P x ∉.其中真命题的序号是 ① ， ④ ．（将正确命题的序号都填上）3. 已知x y 、均是正实数，且21x y +=，则11x y+的最小值是 322+ ． 4. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有0、1、2 ， 则实数b 的取值范围为24b <<．5. 已知函数23()log log 2(,f x a x b x a b =-+为实常数），且1()42015f =,则(2015)f 的值为 0 ．6．函数y =3-|x -1|-m 的图象与x 轴有交点时，m 的取值范围是 (]0,1 .7．对于定义在R 上的函数f （x ），若实数x 0满足f （x 0）=x 0，则称x 0是函数f （xf (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是 ()1,3- ．8. 对于在区间],[b a 上有意义的两个函数)(x f 和)(x g ，如果对任意],[b a x ∈，均有|()()|1f x g x -<,那么我们称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是接近的．若2()log (1)f x kx =+与x x g 2log )(=在闭区间]2,1[上是接近的，则实数k 的一个可能值是 （0，1） 中的值 ．9.若椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是221259x y += ． 10.设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且对所有自然数n 12n n a S +=，则S n = 2n ． 11. （理） 已知函数3()f x x x =+，关于x 的不等式(2)()0f mx f x -+<在区间[1,2]上有解，则实数m 的取值范围为 1m < ．（文）已知函数()()12,2++=-=ax x x g a x x f （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图像，在y轴上的截距相等，则a 的值为 1 ．12.（理）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 262n n -+ ． （文）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 9513.(理） 集合A ={ t | t Z ∈, 且关于x 的不等式22x x t ≤--至少有一个负数解 },则集合A 中的元素之和等于 2- ．（文）已知136)(2+--=x x x x f ，且定义域为[]1,0，则函数()f x 的最小值为 -4 14. （理）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a b∈P （除数b ≠0），则称PQ 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④ ③④ ．（把你认为正确的命题的序号填填上） （文）若)0)(4sin()4sin()(≠-++=ab x b x a x f ππ是偶函数, 则有序实数对),(b a 可以是_ ()()()()1,1,1,1,3,30a b ---+=等等满足即可．(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，在答题纸上将代表正确答案的小方格涂黑2215.,x y R x y x y ∈>>若，则“”是“”的 ( D )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()11x f x x+=-，记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2015f x = ( C ) A ．1x - B ．x C ．11x x -+ D ．11x x+- 17. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(0)1f =，则(2016)f 的值为 ( B )A ．0B ．1C ．2015D ．201618. 不等式222xy ax y ≤+ 对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的范围是 ( C ) A. 3519a -≤≤- B.3a ≥- C.1a ≥- D.31a -≤≤-三、解答题（本大题满分74分） 本大题共有5题，须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19. （本题满分12分）已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若8()5f θ=，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 解：（1）22()1sin 2sin cos 1sin 2cos2f x x x x x x =++-=+-π214x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，当ππ22π42x k -=+，即3ππ8x k =+（k ∈Z ）时，()f x1； （2）由()1sin 2cos2f θθθ=+-及8()5f θ=得3sin 2cos25θθ-=，两边平方得 91sin 425θ-=，即16sin 425θ=． 因此，ππ16cos22cos 4sin 44225θθθ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20. （本题满分12分）关于x 的不等式 31()x Z x>∈的解集为A ，关于x 的方程220()x mx m R -+=∈ 的解集为B . （1）求集合A ；（2）若 B A B =，求实数m 的取值范围.解：（1）A ={1,2} (2) BA B = 即B ⊆A.集合A={1，2}的子集有φ、{1}、{2}、{1，2}. 当B φ=时，280m ∆=-<，解得22m 22<<-.当B ={1}或{2}时，2280,80,120,4220.m m m m ⎧⎧∆=-=∆=-=⎨⎨-+=-+=⎩⎩或，则m 无解. 当B ={1，2}时，280,12, 3.3.12 2.m m m m m m ⎧∆=->⎧<->⎪⎪+=⇒⇒=⎨⎨=⎪⎩⎪⨯=⎩ 综上所述，实数m的取值范围是m -<<m =3.21. （本题满分14分） 过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B C 、，（理）在BC 上取一点P ，使P 点满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ（文）在线段BC 取一点P ，使点B P C 、、的横坐标的倒数成等差数列（1）求点P 的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R S 、，求MRS ∆面积的最大值.解：（1）（理）令),(y x P ，因为AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ所以)(,x x x x x x C B C B -=-=λλCB C B C B C B x x x x x x x x x x x +=∴=--∴2, ① 设过A 所作的直线方程为a kx y +=，（显然k 存在）又由22(2)1y kx ax y =+⎧⎨-+=⎩得222(1)(24)30k x ak x a ++-++= 222423,11B C B C ak a x x x x k k -+∴+==++ 代入①，得2323,22a a k x y kx a ak ak++=∴=+=-- 消去k ，得所求轨迹为230x ay --=，（在圆M 内部）（文）令),(y x P ，因为点B 、P 、C 的横坐标的倒数成等差数列所以 2211B c B c B cx x x x x x x x =+⇒=+ （以下同理） （2）上述轨迹过为定点（3,02）的直线在圆M 内部分，由22230(2)1x ay x y --=⎧⎨-+=⎩得22(4)230a y ay +--=则12||y y -==1122MRS S ∴=⨯⨯== 令23t a =+，则3t ≥，而函数1()f t t t =+在3t ≥时递增，4MRS S ∴≤=max |MRS S ∴= ，此时0,3==a t . 22. （本题满分18分）函数()y f x =的定义域{|,0}D x x R x =∈≠且，对定义域D 内任意两个实数12,x x ，都有1212()()()f x f x f x x +=成立.（1）求(1)f -的值并证明()y f x =为偶函数；（2） 若(4)4f -=，记 (1)(2)(,1)n n n a f n N n =-⋅∈≥，求数列{}n a 的前2015项的和2015S ；（3）（理） 若1()0x f x ><时,，且不等式)()()(22a f xy f y x f +≤+对任意正实数,x y 恒成立，求非零实数a 的取值范围.（文）若1()0x f x ><时,，解关于x 的不等式 (3)0f x -≥.（1）赋值得(1)(1)0f f =-=，()(1)()()f x f f x f x -=-+=为偶函数（2） (4)4f -=得(2)2f =，1(2)(2)(2)n n f f f -=+；(2)2n f n =2(1)n n a n =⋅-，20152016S =-（3）设 101,1x x <<>则，10(1)()()f f x f x ==+，得()0(01)f x x ><<（理）)()()(22a f xy f y x f +≤+得0f ≤⇔1≥||a ≤,≥，从而0||a <≤.（文）(3)0f x -≥⇔0|3|1x <-≤⇔233<x 4x ≤<≤或 .23. （本题满分18分） 第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知二次函数2()f x x x =+的定义域D 恰是不等式 ()()2||f x f x x -+≤的解集,其值域为A . 函数 31()32g x x tx t =-+ 的定义域为 [0,1] ，值域为B .（1） 求f (x ) 的定义域D 和值域 A ；（2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数0(0,1)x ∈，使得函数 31()32g x x tx t =-+在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，求实数t 的取值范围并用t 表示0x .（3）（理） 是否存在实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）（文） 是否存在负实数t ，使得A ⊆ B 成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（3）（文） 若函数31()32g x x tx t =-+ 在定义域 [0,1]上单调递减，求实数t 的取值范围. 解：（1）定义域D =[－1,1] 值域 A=1[,2]4-（2）（理）在0[0,]x 上任取12,x x ，且12x x <，则12()()g x g x >，得1222123t x x x x >++，得0233t x ≥ ； 同理 由在0[,1]x 上单调递增得0233t x ≤ ；所以 00233,t x x ==.由0(0,1)x ∈得(0,1)t ∈ （3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g(x)的单调性① 当 t ≤0时，函数 g (x ) = x 3－3tx + t 2 在 x ∈[0,1]单调递增，∴B = [t 2 ,t 251-]， ∴15121,2422t t t ≤-≤-≤-且解得， ② 当 0 < t < 1 时，函数 g (x )的减区间为：],0[t ；g (x )的增区间为：[t ,1].g (x )在 x = t 达到最小值.1(0)2(1)24g g g ≥≥≤-或；且 此与0 < t < 1矛盾. ③ 当t ≥1时，函数 g (x ) 在区间 [0,1]单调递减， ∴B = [2,251t t -] ∴51214224t t t ≥-≤-≥且，即 综上所述：t 的取值范围是：),4[]21,(+∞⋃--∞. （2）（文） 即（3）（理） ① 得 12t ≤-. （3）（文） 类比 （2）（理） 得1t ≥ .。

2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ． 设 函 数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ， 其 中 k 是 一 个 正 整 数 ． 若 对 任 意 实 数 a ， 均 有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。

2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （ ）A.12． ． C.1． 【答】A.∵2t ==+324<+，∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有 （ ）A ．9种．B ．10种．C ．11种．D ．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ， 所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。

如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）A ．6858．B ．6860．C ．9260．D ．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+，由22(121)2016k +≤得||10k <.取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为 （ ）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得222OC AC OA +=，即2224(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝ （ ）．．． D.12． 【答】D.作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以AH AM CD CM=，又1CD =，所以 AM AH CM= ① 设AM x =，则CM x =.在Rt △ABM中，可得AB AM AH BM ⋅==.=，解得x =x =舍去）.所以2CM =，12DM ==. 6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为 （ ） A.12． B. 23． C.34． D. 1． 【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤， 所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）B C1．已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．【答】2). 作CD AB ⊥于点D，易求得CD =，32AD =.设(C m，(A n ，结合题意可知0n m >>，(D n m，所以CD n m =-，AD m n =-，故2n m -=，32m n -=，联立解得2m =，n =所以，点C的坐标为(2)2. 2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝ ．【答】126︒.因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒，于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=.因为x 是三位数，所以10001003t x t+=≥，从而可得1000299t ≤，又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列，则M ＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤； 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤； 另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝ （ ）A ．0．B ．14． C ．34-． D ．2-． 【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，02b a-<，10a b ++=，所以0b <且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以14ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同.5．题目和解答与（A ）卷第5题相同.6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM ＝_______．【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =.在Rt △ADM中，由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为 ．【答】1007.由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.………………10分下面考虑： 22324M a ab b =---的值能否为1？若1M =，即223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，223a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.因此，22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ， ∴AC AB AD AC=，∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠，ANB ADM ∠=∠，∴△ANB ∽△ADM ，∴AN AB AD AM =， ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅，又AE AC =，∴2AE AM AN =⋅.……………………15分 以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ，与直线AM 交于另一点P ，显然：⊙F 与AB 切于点E .于是，由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =，∴点N 即为点P ，∴点N 在⊙F 上，∴FN FE DE ==.……………………25分三、（本题满分25分）已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值. （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解 （1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=， 即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=，所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分 又因为1xy yz zx ++≠，所以()0xyz x y z -++=，所以xyz x y z =++，因此，1111xy yz zx++=. ……………………15分（2）因为,,x y z 为正数，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++＝9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ ＝2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-＝222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解 因为5a b c ++=，22215a b c ++=，所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=，所以5ab bc ac ++=. ……………………5分 结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---，可得4735(155)abc -=- 50=，所以1abc =-. ……………………10分 而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分 同理可得225(4)b bc c a ++=-，225(4)c ca a b ++=-，所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，在等腰△ABC中，AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ⋅的值. 解 连接AE 、ED 、CF ，由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠，所以A 、E 、B 、D 四点共圆，于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称，所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠，所以A 、B 、F 、C 四点共圆，又AB AC =，所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠， ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ，所以AB AD AF AB =，所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。

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上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。