2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、 填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02
=++m x x ②，其中
0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。 2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，
则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号
都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，
h ，使得()()2
2
h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，
2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，
7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1
分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
5
4
，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd
是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。
二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边
DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。
O
M S
L
D
C
B
A
10. 对于正整数n ，记n n ⨯⨯⨯= 21!。求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得
!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。
解
11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足202242
2
=++y xy x ；
（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?201142
2
=++y xy x 证明你的结论。
12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个
()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1
+<≤i i a i
a i p n p ，
记()k a
k a a p p p n p +++= 21
21
例如，()895210026=+=p 。
（1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；
（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。 解
