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2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试1、计算56145614--+的值是【 】（A ）1 （B ）5 （C ）25 （D ）52、若x y x y x y y x 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是【 】 （A ）92 （B ）94 （C ）5 （D ）63、设a ，b 是不相等的任意正数，又x ＝b 2＋1a ， y ＝a 2＋1b ，则x ，y 这两个数一定【 】（A ）都不大于2 （B ）都不小于2 （C ）至少有1个大于2 （D ）至少有1个小于24、正整数n 小于100，并满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）12个 （D ）16个5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【 】 （A ）4 （B ）6 （C ）82 （D ）10326、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD ＝60°，则R 等于【 】（A ）10 （B ）221 （C ）122 （D ）147、 a ，b 是正数，并且抛物线y ＝x 2＋ax ＋2b 和y ＝x 2＋2bx ＋a 都与x 轴有公共点，则a 2＋b 2的最小值是________。
8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元9、实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝________10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，P A ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝________H G A B C D E F 第二试一、 设p 是实数，二次函数y ＝x 2－2px －p 的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)， B (x 2，0)（1）求证：2px 1＋x 22＋3p ＞0；（2）若A ，B 间的距离不超过│2p －3│，求p 的最大值。
2000年中考数学上海市试题一、填空题（本题16小题，每小题2分）1、计算：＝________。
2、当时，＝________。
3、中国的国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法可表示为________平方千米。
4、点A（－3，4）和点B（3，4）关于________轴对称。
5、不等式组的解集是________。
6、分解因式：＝________。
7、如果直线在轴上的截距为－2，那么这条直线一定不经过第________象限。
8、已知函数，那么＝________。
9、将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是________。
10、在正方形ABCD中，∠ABD的余弦值等于________。
11、如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于________度。
12、如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是________cm。
13、正十五边形的中心角等于________度。
14、在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm。
如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B’处，那么点B’与点B的原来位置相距________cm。
15、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________（只需填写一个数）。
16、已知圆和圆外切，半径分别为1cm和3cm，那么半径为5cm且与圆、圆都相切的圆一共可以作出________个。
二、选择题（本题共4小题，每小题2分，满分8分）17、的一个有理化因式是（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
18、如果用换元法解方程，并设，那么原方程可化为（）。
（A）；（B）；（C）；（D）。
19、在函数、、的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）。
（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。
20、在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O。
2000年上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（每小题7分，共70分）1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG=2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。
4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH=5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134x y xy ++=的整数解（x ，y ）=9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BMBA==，则y的最大值为10、设x、y y二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。
12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
2000年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D ＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。
试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。
2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。
试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。
2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。
2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。
答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。
试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。
2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。
试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月2日上午8:30----9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、计算的值是（）。
（A）1；（B）；（C）；（D）5。
2、若，则的值是（）。
（A）；（B）；（C）5；（D）6。
3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（）。
（A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。
4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（）。
（A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）。
（A）4；（B）6；（C）；（D）。
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB 和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（）。
（A）10；（B）；（C）；（D）14。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。
A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。
3、实数满足和，则________。
4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为和，则________。
=============== =============== ===============第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分）设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。
上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。
2000年上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（每小题7分，共70分）2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定、两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．3 若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有个数码9。
4 在△ABC中，若AB=5，BC=6，CA=7，H为垂心，则AH=5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是6、若关于的方程|1-x|=mx有解，则实数m的取值范围7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有个．二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分）11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。
12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论．13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。
2000年上海市初中数学竞赛试卷详解一、填空题（每小题7分，共70分）2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定、两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．3 若n的十进制表示为99…9（共20位9），则n3的十进制表示中含有个数码9。
2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月2日上午8:30----9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1 ）。
（A ）1；（B C ）D ）5。
2、若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y -+-+的值是（ ）。
（A ）92；（B ）94；（C ）5；（D ）6。
3、设a,b 是不相等的任意正数，又2211,b a x y a b++==，则x,y 这两个数一定（ ）。
（A ）都不大于2；（B ）都不小于2；（C ）至少有1个大于2；（D ）至少有1个小于2。
4、正整数n 小于100，并满足等式236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）。
（A ）2个；（B ）3个；（C ）12个；（D ）16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。
（A ）4；（B ）6；（C ）；（D 。
6、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD＝60°，则R 等于（ ）。
（A ）10；（B ）2；（C ）D ）14。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、是正数，并且抛物线y=x 2+ax+2b 和y=x 2+2bx+a 都与x 轴有公共点，则a 2+b 2的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，l 千克C 水果。
A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元。
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 .................. 错误!未定义书签。
2002年全国初中数学竞赛上海市初赛试题.................... 错误!未定义书签。
2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ....................... 错误!未定义书签。
2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................. 错误!未定义书签。
2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题.................... 错误!未定义书签。
2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题.................... 错误!未定义书签。
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题一、填空题(每题7分，共70分．)1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线按序与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．假设BE ＝5，EF ＝2，那么FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只明白a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和3，假设n 的十进位制表示为99……9(20个9)，那么n 3的十进位制表示中含有数码9的个数是 ．4．在△ ABC 中，假设AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，那么AH 的长为 ．5．假设直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，那么m 的取值范围是 ．6．假设关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，那么实数阴的取值范围是7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 43xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝9.如图，正△ABC 中，点M 、N 别离在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM相交于点O ．假设S △ABC ＝7，S △OBC =2那么BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。
2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 (1)2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题 (4)2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 (8)2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 (11)2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 (13)2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16)2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题一、填空题(每小题7分，共70分．)1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ．2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3的十进位制表示中含有数码9的个数是 ．4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ．5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ．6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个．8.方程43xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。
则y 的最大值为二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．三、(16分)(1)在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列．若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论．(2)如果把上题中的“4×4方格纸”改成“n×n的方格纸(n≥5)”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格?证明你的结论四、(18分)如图，ABCD是一个边长为l的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛参考答案a-11b+10c+d=0，11b=a+10c+d．(1)又依题意9a+b=a+b+c+d，8a=c+d．代入(1)得11b=9(a+c)．(2)且由c+d≤1 8，知a=l或2．于是，由式(2)得b=9，a=2，c=9．进而由8a=c+d，得d=7．故所求的四位数是2 997．三、(1)至少要涂7个小方格．若涂色格数≤4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂色，故画去2行至少能画去4格涂色小方格，剩下涂色格数不超过2，再画去2列必能将它们画去．按图(1)涂色7格，则画去2行至多画去4格涂色的小方格，且剩下的涂色小方格位于不同的3列，再画去2列不能将它们全部画去．(2)至少要涂5个小方格．这是因为，若涂色格数≤4，则画去2行、2列必能将它们全部画去．按图(2)涂色5格，则任意画去2行、2列必有涂色小方格没有画去．2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题第一试(本试卷共l 5题，l-5题每题65分，6～1 0题每题8分，11～15题每题10分，满分1 20分)1．已知a=1.1，b=1．10.9，c=0．91.1，则将a 、b 、c 从小到大排列，并用“<"表示是2.若，则a 的值是 ． 3．已知a 为无理数，且，则ba 的值为 ． 4．由y=||x| -1|的图像与y=2的图像围成的图形的面积是 ．5．三角形的三条边a 、b 、c 满足1≤a≤3≤b≤5≤c≤7，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ．6．方程2002111=+y x 的正整数解构成的有序数组(x ，y)共有组．7．如图，在△ABC 中，F 、G 是BC 边上的两点，使∠B、∠C 的平分线BE 、CD 分别垂直AG ，AF(E 、D 为垂足)．若△ABC 的周长为22，BC 边长为9，则DE 的长为 ．8．已知二次函数y=ax 2+bx+c(其中a 为正整数)经过点A(-1，4)与点B(2，1)，且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ．9．如图，点P 、Q 在△ABC 的AC 边上，且AP ：PQ ：QC=1：2：3，点R 在BC 边上，且BR ：RC=1：2，AR 与BP 、BQ 分别相交于D 、E ，则S PQED ：S △ABC = ．10．整数x 、y 满足5x 2+y 2+4xy+24<10x ，则x+y 的值是 ．11．设abcd是一个四位数，且满足a+b+c+d=ab=c·d(ab表示为两位数)，则具有上述性质的最大四位数是．12．已知m、n是正整数，且m≥n．由5 mn个单位正方体组成长、宽、高顺次为m、n、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组(m、n)=13．在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p·AB，BE=q·BC，CF=r·CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=2/3，p2+q2+r2=2/5，则S△DEF：S△ABC=．14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立，则这样的有序数组(a，b，c)共有组．15．如图，I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示S△ABC=．4．7 y=|| x|—l|的图像与y=2的图像，如图所示，阴影部分即是所围成的图形，它可看作一个等腰直角三角形挖去一个正方形．因此，该图形面积为7．5．8+34欲使三角形面积最大，可让a取最大值3，b取最大值5，夹角取90°．此时c=34满足5≤c≤7，周长为8+34．6．81 将已知方程变形，得2002(x+y)=xy，(x-2002)(y-2002)=20022．∵ x、y都是正整数，∴x-2002、y-2002都是整数，且都大于-2002．现这两整数之积为20022，故这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于2002．因此，x-2002与y-2002必都是20022的正约数，而已知方程的正整数解(x，y)可写成(2002+d，2002+20022/d)，这里d为20022的正约数．20022=22×72× 11 2×1 32，∴20022的正约数有34=81个，从而已知方程的正整数解(x，y)共有8 1个．7．2 由题设易证D、E分别是AF、AG的中点，且BA=BG，CA=CF．设DE=x，则FG=2x．BC=BG+CF-FG=AB+AC-2x=(22-BC)-2x．但BC=9，故x=2，即 DE=2．8．-4 抛物线y=ax2+bx+c，经过点A(-1，4)与点B(2，1) a-b+c=4，且9．5/24 如图，过P、Q分别作BC的平行线，交AR于点X、Y，由题设及相似三角形易得BE/EQ又由题设知n≥2，将n=2，3，4，5代入方程计算，只有当n=3、4时，m为正整数，对应的解是16、6．∴有序数组(m，n)=(16,3)：(6,4)．14．(2001，2002，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，2004)，(2003，2004，2001)．展开已知等式的左边，得x 2-(a+2002)x+2002a-2=(x-b)(x-c)．它对一切实数x 成立，．b 、c 即是二次方程x 2-(a+2002)x+2002a-2=0(*)的两个整数根，又a 为整数，故判别式△=(a+2002)2-4(2002 a-2)=(a-2002)2+8是完全平方．令(a-2002)2+8=n 2，这里n 为正整数，n>|a-2002|．于是有(n+a-2002)(n-a+2002)=8，解得n=3，a=2001或2003；从而方程(*)的两根为21 [(a+2002)±3]．当a=2001时，方程(*)的两根为2000，2003；当a=2003时，方程(*)的两根为2001，2004．故满足条件的有序组(a ，b ，c)共有如下4组：(2001，2000，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，21304)，(2003，2004．2001)．【另解】连IA 、IB 、IC ，则IA 、IB 、IC 分别是△ABC 三内角平分线，于是易得AE=EI= m ，BF=FI=n ．又由内角平分线性质，可令2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛一、填空题(1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分)1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是 ．2．若实数a 满足a 3<a<a 2，则不等式x+a>1－ax 解为 ．3．如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A’处，第二次过A’再折叠，使折痕DE∥BC 若AB=2，AC=3，则梯形BDEC 的面积为 ．4．已知关于正整数n 的二次式y=n 2+an(n 为实常数)．若当且仅当n=5时，y 有最小值，则实数n 的取值范围是 ．5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(－10，O)、D(O ，－10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵、横坐标都是整数的点)．6．如图，P 为△ABC 形内一点，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．过A 、B 、C 分别作PD 、PE 、PF 的平行线，交对边或对边的延长线于点X 、Y 、Z ．若31,41==BY PE AX PD ，则CZPF = 7．若△ABC 的三边两两不等，面积为315，且中线AD 、BE 的长分别为1和2，则中线CF 的长为8．计算：=+-+++-++-++-500099009999 (500010050002002250001001122)222222k k k 9．若正数x 、y 、z 满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为lO ．若关于x 的方程c x x =-+3121422恰有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围是．二、(16分)已知p为质数，使二次方程x2－2px+p2－5p－1=0的两根都是整数．求出p的所有可能值．三、(16分)已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC直角边长的最大可能值．四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?证明你的结论．四、(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连1 5条．(2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连(3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连1 1条．(4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A)只引出2条线段AB、AC，则不与A相连的4点每2点必须连线，要连6条．由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条．因此，此时至少要连6+2+1=9条．图中所给出的是连9条线的情况．综合(1)～(4)，至少要连9条线段，才能满足要求．2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题（2003年12月7日 上午9∶00~11∶00） 解答本试卷不得使用计算器.一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.）1、设曲线C 为函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为C 1，C 1关于x 轴对称的曲线为C 2，则曲线C 2是函数y ＝＿＿＿＿＿＿＿＿的图象.2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。
