高数A(1)复习题

大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、 设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝ ．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是 ． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为 ．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ， （2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限： （1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→； （2）30sin tan lim xx x x -→； （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π； （4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→； （6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是 （ ） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （ ）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是 （ ） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是 （ ）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（ ）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（ ）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （ ） （A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （ ） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是 ；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ， 所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解 由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解 因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2） 由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解 （1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =， 须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证 （1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续， 且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ， 所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导． （2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21． （3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=． （6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-， 令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ， 在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=， 则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路： 该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，那么在点x=a处的切线斜率是多少？A. f(a)B. f'(a)C. f'(a)+1D. f(a)+f'(a)答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个选项是连续函数？A. 函数y=x^2在x=0处B. 函数y=1/x在x=0处C. 函数y=|x|在x=0处D. 函数y=x^3在x=1处答案：D4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+1的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C3. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)4. 如果函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为______。

答案：0三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1或x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+3) dx。

答案：首先求原函数F(x)=x^2+3x，然后计算F(2)-F(0)=4+6-0=10。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。

答案：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。

可以通过构造f(x)在[a,b]上的上界和下界，然后利用连续性证明存在最大值和最小值。

可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。

解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。

注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。

如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。

常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。

历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。

A1练习题（1）一、 选择题1、数列有界是数列收敛的（ ）．A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件2、设函数21sin ,()0,x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，则()f x 在点0x =处 （ ）． A 、可导且(0)0f '= B 、可导且(0)1f '= C 、不连续 D 、连续但不可导3、函数x y xe -=的单调减少区间是 （ ）．A 、(,)-∞+∞B 、()1,+∞C 、(,1)-∞D 、(0,)+∞4、设函数()f x 连续，且()()f x dx F x C =+⎰ ，则下列各式正确的是（ ）．A 、22()()f x dx F x C =+⎰B 、(21)(21)f x dx F xC +=++⎰C 、222()()f x dx F x C =+⎰D 、(sin )(sin )f x dx F x C =+⎰5、反常积分1k dx x+∞⎰（k 为常数）收敛，则k 满足（ ）． Ａ、1k < B 、1k ≤ C 、1k > D 、1k ≥ 二、填空题1、函数()arcsin 12f x x =-的定义域为 . 2、设()2f a '=，则极限0(2)()lim =h f a h f a h→-- . 3、曲线331y x x =-+的拐点是 ．4、设()sin f x dx x C =+⎰，则2()xf x dx =⎰ ．5、设12()cos x F x t dt =⎰，则()=F x ' ． 三、计算题 1、求极限2351limsin 52x x x x →∞++. 2、求极限x arc x x cot )11ln(lim ++∞→ . 3、求极限011lim()1x x x e →--． 4、设1ln )(2+=x x f ，求)1(f ''．5、设)tan(y x y +=，求dy ．6、设231x t t y t ⎧=-⎨=-⎩，求dy dx .7、求积分dx e e x x ⎰-+1. 8、求积分2sin 2x xdx ⎰. 9、求积分⎰-121221dx x x . 10、21221sin ()1x x x dx x -++⎰. 四、综合题1、 做一个容积为0V 的无盖的圆柱形容器，问底面半径r 和高h 各取多少时，才能使得容器的表面积为最小？2、 求曲线x x e y e y -==,和直线1=x 所围成的平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.3、证明方程5510x x -+= 在区间(0,1)内有且仅有一个实根．A1练习题（2）一、填空题1、已知(sin )cos 21f x x =+，则(cos )f x = .2、函数()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的 条件.3、21lim sin x x x →∞= . 4、平面上过点(0,2)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2x 的切线方程方程是 .5、函数3232y x x =--在区间[0,3]上的最小值是 .二、选择题1、设函数)(x f 可导，则0()(2)lim h f x f x h h→--=（ ）. (A) )(x f ' (B) )(x f '- (C) )(2x f ' (D) -)(2x f '2、设3()xe f x x a⎧=⎨-⎩ 00x x <≥是连续函数，则a =是（ ）.(A) 3 (B) 3- (C) 2 (D) -23、定积分22ππ-=⎰ （ ）. A 、0 B 、1 C 、2 D 、π4、不定积分=⎰（ ）. A 、3221(1)3x -- B 、3221(1)3x - C 、3222(1)3x -- D 、2232(1)3x - 5、极限2020lim sin t x x e dx x -→⎰（ ）.A 、1B 、1-C 、0D 、∞三、计算题1、求极限220(1)lim sin x x x e x→-. 2、求极限2cot 0lim(1sin )x x x →-. 3、设()xf x x = ，求dx . 4、求积分21(ln 1)x dx x+⎰. 5、求积分tan xarc xdx ⎰ . 6、. 7、求定积分a -⎰. 8、求反常积分10⎰. 9、求由曲线2y x =、直线0y =和1x =所围图形的面积及它绕x 旋转所得到旋转体的体积. 四、证明题1、 设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，且0()1f x ≤≤，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()f ξξ=.2、设函数()f x 在[],a a -上连续，证明0()[()()]aaa f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.。

高等数学II-A 复习题集第一章 函数与极限一 、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。

在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。

0是惟一的作为无穷小的数。

2。

在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。

若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。

研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。

即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。

40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。

高数a大一期末考试题简单及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，如果对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L。

以下哪个选项不是极限的定义？A. 函数f(x)在某点a处的极限B. 函数f(x)在某点a的左极限C. 函数f(x)在某点a的右极限D. 函数f(x)在某点a处的连续性答案：D2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4答案：B5. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫1/x dx = ln|x| + CD. ∫e^x dx = e^x + C答案：C6. 以下哪个选项是正确的定积分？A. ∫[0,1] x dx = 1/2B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3C. ∫[0,1] x^3 dx = 1/4D. ∫[0,1] x^4 dx = 1/5答案：B7. 以下哪个选项是正确的微分方程的通解？A. y' = 2y => y = Ce^(2x)B. y' = 3y => y = Ce^(3x)C. y' = 4y => y = Ce^(4x)D. y' = 5y => y = Ce^(5x)答案：A8. 以下哪个选项是正确的二阶导数？A. y = x^3, y'' = 6xB. y = x^2, y'' = 2C. y = x^4, y'' = 12x^2D. y = x^5, y'' = 20x^3答案：B9. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. ∫0/0 型不定式，分子分母同时乘以分母的导数B. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时乘以分子的导数C. ∫0/0 型不定式，分子分母同时除以分子的导数D. ∫∞/∞ 型不定式，分子分母同时除以分母的导数答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是________。

高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一. 填空题(每小题3分，共33分)(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;22111();28x x o x =+-+ (5)1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π(9) 1(ln 21);2+ (10) 1;e e- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分)1. 解. 3311001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ (2分) ()3()1()tan sin lim 1(),()1sin x x x x x xx x x ϕϕϕϕ→-⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦(4分)因为 ()1()lim 1(),x x x e ϕϕ→+= ( 5分)3300()tan sin 1limlim,(1sin )2x x x x x x x x ϕ→→-==+ ( 7分)所以原式.= ( 8分) 解法二. 原式＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 30(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=→3)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x ( 3分) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x (4分)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x (5分) e = ( 8分) 解法三. 解. 原式⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1limexp 3(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3( 5分) e = ( 8分)2. 解：3222243sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x xx x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分) 21111ln tan sec 2242224tan 24x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭( 6分)12cos x=( 7分) 31.cos dy dx x= ( 8分) 3. 解. 方程两边同时对x 求导，得222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--⋅-=-⋅- ( 4分)2sin ()y x y '=- ( 5分)2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---( 7分)32sin()cos ().x y x y =-- ( 8分)4．解法一.12dx =-⎰( 2分)212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)解法二.dx =⎰( 2分)令11sin ,,2222x u u ππ-=-<<( 3分) 则31sin 22dx u du ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ( 5分) 31cos 22u u C =-+ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)5．解. 2(1)0,()t f f t e -'== ( 1分)()112301()()3t f t dt f t d t =⎰⎰ ( 2分) 131301()()33t f t t f t dt '=-⎰ ( 4分)213013t t e dt -=-⎰ ( 5分) ()212016t t d e -=⎰( 6分) 121.6e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭( 8分)6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin .y C x C x =+ ( 3分)211cos cos 222x x =+ ( 4分) 非齐次方程12y y ''+=的特解11.2y *= ( 5分)设非齐次方程1cos 22y y x ''+=的特解为2cos 2sin 2,y A x B x *=+ ( 6分) 代入计算得1,0,6A B =-= 于是得21cos 2.6y x *=- ( 7分) 原方程的通解为1211cos sin cos 2.26y C x C x x =++- ( 8分) 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22,y ax a =- ( 2分)这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程222(2)10x a x a +-+-=的两个根，从而得21212211,2(2),x x a x x a x x ⋅=-+=--= (4分)上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 2122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰( 6分)3224(243)3a a =-+ (8分)122()8[2(1)1](1).S a a a '=-+- ( 9分)令()0S a '=得唯一驻点1,a = (10分)当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面积最小。

一、选择题：（每题2分，共24分）1．以下说法不正确的是（ C ）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 2．若极限A )(lim 0=→x f x 存在，下列说法正确的是（ D ）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D. A )(lim )(lim )(lim 0===→→→-+x f x f x f x x x 3． n m nxmxx ,(sin sin lim0→为正整数）等于（A ）A ．n m B ．mnC ．n m n m --)1(D ．m n m n --)1(4．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（ B ） A ．0,2==b a B ．0,1==b a C ．0,6==b a D ．1,1==b a 5．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( A )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在6．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在7．当∞→x 时,函数x x)11(+的极限是( A )A ．eB ．e -C ．1D ．1-8．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( B ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．39．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( C ) A ．不连续 B ．连续且可导 C ．不可导 D ．极限不存在10．函数2x y e x z y-+=的间断点是( D )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点 11．设2)1(42-+=xx y ,则曲线( C ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线 12．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( D ) A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin 2+ 13．若e cos x y x =，则'(0)y =( B )A ．0B ．1C ．1-D ．2 14．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（B ） A ．0 B ．6- C ．1 D ．3 15．若==',y x y x 则( D )A ．1-⋅x x xB ．x x x lnC ．不可导D ．)ln 1(x x x + 16．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( D )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 17．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( C ) A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值 B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使 C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使 D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使 18．数()e x f x x =-的单调区间是( C ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增19. 数3422)(x x x f -=的极值为（A ）． A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f -20．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( D )A ．1+-=x yB ．1--=x yC ．1+=x yD ．1-=x y 21．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的 方程是( A )A ．12++-=x x yB ．12-+-=x x yC ．12++=x x yD ．12-+=x x y22．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( D ) A ．极大值点 B ．极小值点 C ．极值点 D ．驻点 23．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( B )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 24．下列结论正确的有( C )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导 25．由方程y x e xy +=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( B ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x26．=+=x y y xe y ',1则( A )A ．y y xe e -1B ．1-y y xe eC ．yyxee -+11 D ．y e x )1(+ 27．设,2sin x e y =则=dy （ B ） A ．x d e x 2sin B ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin28．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( B )A ．与x ∆等价的无穷小量B ．与x ∆同阶的无穷小量C ．比x ∆低阶的无穷小量D ．比x ∆高阶的无穷小量 29．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( C )A ．221)1(x x d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --30．下面等式正确的有( A )A ．)(sin sin x x x x e d e dx e e =B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x = 31．设)(sin x f y =,则=dy ( C )A ．dx x f )(sin 'B ．x x f cos )(sin 'C ．xdx x f cos )(sin 'D ．xdx x f cos )(sin '- 32．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( B )A ．0)('=x fB ．)()(F'x f x =C ．0)(F'=xD ．0)(=x f 33．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有(D ) A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )(' B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F'D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F34．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（C ）． A ．2ln 12x x x C ++++ B ．2ln 12x x x C --++C ．2ln 12x x x C -+++D ．2ln 122x xx C -+++35．不定积分22d 1x x-⎰-等于（B ）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +36．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（ C ）．A ．1e x C x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e x C x--+37．函数x e x f 2)(=的原函数是( A )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 23138．⎰xdx 2sin 等于( B )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 2139．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（C ） A ．x sin B ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 40． 设 x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（ B ）A ．c x e x +--)1(B ．c x e x ++--)1(C ．c x e x +--)1(D ． c x e x ++-)1( 41．设,)(x e x f -= 则⎰=dx x x f )(ln ' ( B ) A ．c x+-1B ．c x +1C ．c x +-lnD ．c x +ln42．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（A ）A ．)(x fB ．c x f +)(C ．)('x fD ．c x f +)(' 43． 以下各题计算结果正确的是( C ) A ．⎰=+x x dx arctan 12 B ．c xdx x +=⎰21C ．⎰+-=c x xdx cos sinD ．⎰+=c x xdx 2sec tan 44． 在积分曲线族⎰dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( B )A ．12+xB ．1)(525+xC ．x 2D ．1)(255+x45．⎰dx x31=( B ) A ．c x +--43 B ．c x +-221 C ． c x +-221 D ．c x +-221 46．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( B )A ．c x x ++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2 C ．c x x +-)ln 2141(2 D ．c x x +-)ln 4121(247．⎰=xdx x cos sin ( A )A ．c x +-2cos 41B ．c x +2cos 41C ．c x +-2sin 21D ．c x +2cos 2148．积分=+⎰dx x ]'11[2( B ) A ．211x+ B ．c x ++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 49．下列等式计算正确的是( A )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4(C ．c x dx x +=⎰32D ．c dx x x +=⎰22二、填空题(每小题2分，共20分)。