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6+高斯投影及其计算

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大地测量学第六章高斯投影及其计算

大地测量学第六章高斯投影及其计算
应用大地测量学
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m

1

y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面

高斯投影6度和3度分带计算公式

高斯投影6度和3度分带计算公式

高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影6度和3度分带计算公式什么是高斯投影6度和3度分带？•高斯投影是一种常用于大地测量和地图制图的投影方法。

根据地球的形状和表面特征，我们将地球划分成了若干个分带，每个分带的宽度为6度或3度。

•6度和3度分带指的是每个分带的经度跨度。

例如，6度分带就是每个分带的中央经线与相邻分带的中央经线之间跨越6度。

高斯投影6度和3度分带计算公式6度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2−N⋅tanφ24⋅(5−t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61−58t2+t4−270C2+330C4)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1−t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5−18t2+t4+14C2−58C4)3度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2+N⋅tanφ24⋅(5+t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61+90t2+45t4+46C2−252C4−90C6)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1+2t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5+28t2+24t4+6C2+8C4)示例解释假设我们需要计算某个点在高斯投影6度分带中的投影坐标。

高斯投影坐标计算

高斯投影坐标计算

B
d B dq
2

dX dq dq

c
(
cos B dV V dB
2
dB dq

sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3

N cos B ( 1
3
3


2

0
l

L

L
0

高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2

一 高斯投影坐标正算公式计算

如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式

最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2

t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f

2 f
9 f t
2
2 f
y
4

t

6高斯投影及其计算

6高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。

高斯投影及其计算资料

高斯投影及其计算资料

由图可知
tan 90 A P2P3 MdB N cos Bdq dq P1P3 rdl N cos Bdl dl
即
dl tan Adq
于是
等量纬度
m2
dx2 dy2
r2[(dq)2 dl
2 ]
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
于是有
x F1B, L 相当于 x xq,l
y
F2
B,
L
y yq,l
dx
x q
dq
x l
dl
dy
y
dq
y
dl
q l
代入
ds2 dx2 dy2
ds2
x q
2
dq 2
2
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
x q
x l
dq
dl
x l
2
dl
2
y q
2
dq
2
2
y q
y l
dq
dl
y l
2
dl
2
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
ds2
x q
2
y q
2
dq
2
2
x q
x l
y q
y l

高斯投影坐标计算

高斯投影坐标计算

x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
式中m0 , m1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y x x y 和 l q l q
分别对l 和q求偏导数并代入上式得
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y) 函数式：
l 2 ( x, y)
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x (2) x (3) 正形投影条件。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
B B f ( n2 y 2 n4 y 4 = Bf高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
B 2 2 2 x 6367452 .1328 (a0 (0.5 (a4 a6l )l )l N ) cos B sin B y (1 (a3 a5l 2 )l 2 )lN cos B
实用公式的系数
N 6399596 .652 [21565 .045 (108.996 0.603cos2 B) cos2 B] cos2 B 2 2 2 a 32144 . 5189 [ 135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos B ) cos B ] cos B 0 cos2 B) cos2 B 0.04167 a4 (0.25 0.00253 2 2 a ( 0 . 167 cos B 0 . 083 ) cos B 6 0.001123 cos2 B) cos2 B 0.1666667 a3 (0.3333333 a 0.00878 (0.1702 0.20382cos2 B) cos2 B 5

高斯投影及换带计算


测绘学院《大地测量学基础》课件
10
6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
测绘学院《大地测量学基础》课件
8
• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
测绘学院《大地测量学基础》课件
4
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？
（L。=6º×19-3º=111˚）
（3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）

高斯投影及换带计算


测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61

90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。

高斯投影及其计算


x y

FF12((BB,,ll))
f (z) f (z0)
f
(z0 )( z
x iy f (q il)
z0 )
f
(z0 ) (z 2!
z0 )2

设 z q il，z0 q ，在高斯投影分带中，经差 l 一般仅为 1.5
或
3 ，

f (q)
l2 2
d 2 f (q) dq 2

l4 24
d 4 f (q) dq 4

l 6 d 6 f (q)
720
dq6

il
df (q) l3
dq 6
d 3 f (q) l5 d 5 f (q)
dq3
120
dq5

l2 d2X l4 d4X l6 d6X
i
y q

f l

(x iy) l
x i y l l

又:
f f (q il) f q (q il) q (q il) f f (q il) i f

l (q il) l
（三）投影长度比与变形指标
投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际 长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1
变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
大地测量学基础
第一节 地图投影概念和正形投影性质
（四）地图投影的分类

高斯投影坐标计算

高斯投影坐标计算
本节要点提要
1、高斯投影坐标正算公式 2、高斯投影坐标反算公式 3、高斯投影坐标正算的数值公式 4、高斯投影坐标反算的迭代计算公式
地图投影的分类
• 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影
a=b
• 按投影面分类 : 圆锥面 正轴投影 切投影
a=1 or b=1
圆柱(椭圆柱) 面 横轴投影 割投影
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式
d m d m d m 1 1 0 1 m m m = 2 1 2 3 d q 2 d q 3 d q
m0=?
３) 由第二条件（中央子午线投影后长度不变）可 知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应 该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。
Байду номын сангаас
a· b=1
平面投影 斜轴投影
• 按投影的中心轴线: • 按椭球面与投影面的切割情况分:
高斯投影特性（三个）： – 中央子午线投影后为一直线，且长度不变； 其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长 度改变。 – 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其 它纬线呈凸向赤道的曲线。 – 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线 与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投 影。
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影 坐标正算公式精度为0.001m
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应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
二、高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
y2 y4 m 1 2 R 2 24R 4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
18
19
20
21
22
23
78° 84° 90° 96° 102° 108° 114° 120° 126° 132° 138° 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
2 3
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
6°带带号N和中央子午线经度 LN的关系式： LN=6N-3 3°带带号n和中央子午线经度 Ln的关系式：
4、根据长度比m与方向A无关，a=b，得E=G；
5、由E=G、F=0得主要条件。
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
三、正形投影一般公式
根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)—黎曼 (Riemann)条件，式中，f代表任意解析函数。
x iy f (q il )
以具体实例进行讲解
应用大地测量学
第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
通 用 横 轴 墨 卡 托 投 影 (Universal Transverse Mercator Projection)取其前面三个英文单词的大写字母 而称UTM投影。从几何意义上讲，UTM投影属于横轴等角割 椭圆柱投影，高斯克吕格投影为横轴等角切椭圆柱投影， 两者非常相似。满足等角条件和中央子午线投影后成为直 线，并为纵坐标轴，只是在通用横轴墨卡托投影中，中央 子午线投影长度比不再等于1，而是等于0.9996，投影后 两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同， 且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献 上也称它为＝0.9996的高斯投影。该投影由美国军事测绘 局1938年提出，1945年开始采用。已被许多国家、地区采 用作为大地测量和地形图的投影基础。
5、将q、qf变为B-Bf 由B=φ（q）在qf处展为台劳级数，由等量纬度q与B的微分公式求得 各系数，得B的计算公式和l的计算公式。
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
一、平面子午线收敛角的计算
1、由大地坐标计算平面子午线收敛角γ
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
三、距离改正计算
ds dD S 投影长度比公式： m dS dS
D
dS
y2 (1 2 )dy 2R
dD m
S
D
0
dD m
dD
dy sin T
1 S sin T
的计算公式， y2

y1
2 4 ym ym y 2 D (1 )S 2 2 2 2R 24 R 24 R
二、方向改正计算
方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线， 化为直线方向所加的改正δ。 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
上式的计算精度为0.1″。
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
三、距离改正计算
距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的 弦长D，要加距离改正△S。
圆锥面投影——圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学 投影。
圆柱面投影——圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午面上相切， 按数字投影。
正轴投影——圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。 横轴投影——圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。 斜轴投影——圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。
上式即为大地线长度S归算到高斯平面上直线距离D的计算公式， 对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 2 4 ym 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。 y
应用大地测量学
第五节 高斯投影坐标换带计算
以下情况需要进行坐标换带计算：
（1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带， 为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到 同一个投影带内。 （2）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要 用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一 带内。 （3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形， 常要求采用3°带、1.5°带或任意带投影，而国家控制点成果通常只 有6°带坐标，这时就产生了6°带与3°带（或1.5°带、任意带）之 间的相互坐标换算问题。
Ln=3n
6°带与3°带带号之间的关系为
n 2N 1
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
四、高斯投影计算内容
1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解各点高斯平面 坐标（x，y）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边 大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平 面坐标。（计算工作量大） 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
应用大地测量学
第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
p 6° 中 央 E 经 线 E1
p1
应用大地测量学
第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套 在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥 面与椭球面的一条纬线(纬度)相切，按照正形投影的一般 条件和兰勃脱投影的特殊条件，将椭球面上的纬线投影到 圆锥面上成为同心圆，子午线投影到圆锥面上成为从圆心 发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(—般为中央子 午线)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切 圆锥投影。如果圆锥面与椭球面上二条纬线(纬度分别为 及)相割，则称之为兰勃脱割圆锥投影。
证明：见教材
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
x N
N
O
O
y
S
S
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
一、高斯投影的基本概念
高斯投影的条件
（1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求； （2）中央子午线投影后是一条直线； （3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午 线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变 形愈大。
一、平面子午线收敛角的计算
2、由平面直角坐标计算平面子午线收敛角γ
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
二、方向改正计算
x
y2 - y1= y
2
ε
x
Байду номын сангаас21
C
2dδ
δ
2dδ dξ dδ A
x2 - x1= x
B dζ
B′
B y
dδ
D T
dx
A′
A
dδ
δ
12
1
y
η
应用大地测量学
第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
应用大地测量学
第三节 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）
高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
第三节 高斯投影坐标计算
一、由（B，L）计算（x，y）－－正算
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长 为计算点P点与中央子午线 的经差。
应用大地测量学
第三节 高斯投影坐标计算
二、高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
y/（km） 10 长度变 形m-1 1/810000
20 1/202000
30 1/90000
40 1/50000
50 1/32000
100 1/8000
150 1/3500
200 1/2000
250 1/1300
300 1/900
应用大地测量学
若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。
若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆：
投影平面上对应为微分椭圆：
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
（四）地图投影的分类
等角投影——投影后角度不变，保持小范围内图形相似。 等面积投影——用于某些专题地图，投影后面积不变。
平面投影——投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
三、高斯投影的分带
为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
L0 3° 9° 75° 81° 87° 93° 99° 105° 111° 117° 123° 129° 135°
N L 0° n
1 6° 1
2
13 12° 72° 25
14
15
16
17
D12=S12+△S
式中△S为距离改正。
4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和 距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网， 平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。
应用大地测量学
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离 改正计算，统称为高斯投影计算。