大地测量学第六章高斯投影及其计算

两种方法的解算结果一样，但第一种方法的 解算工作量非常大。通常采用第二种方法， 将控制网直接规划到高斯投影面上。 下面以三角网为例，介绍高斯投影计算的基 本程序：
为了在平面上进行三角网的平差与计算，必 须在椭球面上以大地线构成的三角网，换 算成高斯投影平面上以直线边构成的三角 网 ，具体推算内容如下: • 1 将起算点的大地坐标（B1，L1）换算为 高斯投影平面上其投影点的平面直角坐标 （x1，y1），称为高斯投影坐标计算。
综上所述，高斯投影坐标计算、平面子午线 收敛角计算、方向改正计算、距离改正计 算，统称为高斯投影计算。
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谢谢大家！！！
高斯投影计算内容
• 1、由椭球面上各点大地坐标（B，L）求解 各点高斯平面坐标（x，y）：先在椭球面 上解算球面三角形，推算各边大地方位角， 解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯 平面坐标。 • 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至 高斯投影平面，然后解算平面三角形，推 算各边坐标方位角，在平面上进行平差计 算，求解各点的平面直角坐标。
• 2、将起算边的大地方位角A12改换为平面 坐标方位角T12； T12=A12-γ+δ12 式中， γ为坐标北方向相对于真北方向的夹角称为子 午线收敛角。 δ12为投影曲线的弦线相对于投影曲线构成的 夹角投为方向改正。

• 3、将起算边的大地线长度S12归算为高斯平面上 的直线长度D12： D12=S12+△S △S是由大地线长度改化为高斯平面上直线长度时 加入的改正数，称为距离改正。 • 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长 分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面 上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平 差计算，推求各控制点的平面直角坐标。

高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。

高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。

由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。

高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。

二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。

2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。

3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。

⾼斯投影正反算公式⾼斯投影坐标正反算⼀、基本思想：⾼斯投影正算公式就是由⼤地坐标（L ，B ）求解⾼斯平⾯坐标（x ，y ），⽽⾼斯投影反算公式则是由⾼斯平⾯坐标（x ，y ）求解⼤地坐标（L ，B ）。

⼆、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第⼀偏⼼率：e a= 椭球第⼆偏⼼率：e b'=⾼斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''?''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''?''=ηηρηρρ其中：⾓度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央⼦午线经度； N 为⼦午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为⼦午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ??=--++-+02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ?=++++=+++=++=+ =??02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；⾼斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央⼦午线经度。

确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)