高一3月第三周周练数学试题及答案

南京市秦淮中学2018-2019高一周周练3数学试卷（卷面分值160分，考试时间120分钟)考试范围：集合+函数的概念和图象+函数的单调性 一、选择题1、下列四个关系式中，正确的是 （ ）A {}a ∈φB {}a a ∉C {}b a a ,∈D {}{}b a a ,∈ 2、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)AB =，则（ ）A 3,2a b ==B 2,3a b ==C 3,2a b =-=-D 2,3a b =-=-3、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 （ ）A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤4、已知集合A={y | y=x 2-4x+3,x ∈R},B={y | y= －x 2－2x+2,x ∈R} 则A ∩B 等于 （ ） A Φ B R C {-1,3} D [-1,3] 二、填空题（ 5×6） 5.函数12y x=-的定义域是 .6.若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．7.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =8．函数y ＝2|x |＋1的值域是________．9.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________.10.函数2()21f x kx kx =++在区间[3,2]-上的最大值为4，则实数k 的值为__________。

11.已知函数)(x f 在区间(0，＋∞)上是增函数，则)1(2+-a a f 与)43(f 的大小关系是________． 12.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．13.已知函数y =f (x )是()1,1-上的单调减函数，且)2()1(a f a f +，则实数a 的取值范围_________ 14.已知函数f (x )=是(-∞，+∞)上的单调减函数，那么实数a 的取值范围是 .三、解答题15.已知集合{}01|2=-=x x A ，B=}{220x x ax b -+=，若B ≠∅，且A B A ⋃=求实数a ，b 的值。

一、单选题1．求值（ ）()tan 1140-=A B C ．D ．【答案】D【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.【详解】()tan 1140tan1140tan 108060tan 60()︒=-︒=-︒+︒=-︒=-故选：D.2．已知非零向量，则“”是“”的（ ）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OC c BA a b ====- AB OC ⊥a b - c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b =0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r∴是的必要条件，a b =综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为a b ，2a b =b a b ⊥ （–）a b A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ．a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2y x =A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位6π6π12π12π【答案】D【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论． sin()y A x ωϕ=+【详解】解：，sin(2sin 2()612y x x ππ=-=-故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，sin 2y x =12πsin(2)6y x π=-故选：D ．5．中，点M 为边AC 上的点，且，若，则的值是（ ）ABC A 2AM MC =BM BA BC λμ=+ λμ-A ． B ．1C ．D ．1-1313-【答案】D【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，2AM MC =23AM AC = 所以，()22123333BM BA AM BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+ 且，则，所以.BM BA BC λμ=+ 12,33λμ==13λμ-=-故选:D6．已知，，，，则的值为3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin αβ+（ ） A ． B ．C ．D ．1665-56656365-3365【答案】B【分析】根据题意可知，，，再结合题意可得,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，，又，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.5cos 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+【详解】因为，所以， 3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,042ππα⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以；3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭4sin 45πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭因为，所以，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,442πππβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以， 512sin sin sin 44413πππβπββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，cos 4135πβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭又()44ππβααβ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭+所以()sin sin 44παβπβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣=⎦+cos cos sin s 4444in ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝=⎝⎭. 123545613513565⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭故选：B.7．在中，，则AB= ABC ∆cos 2C =A ．BCD ．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为 223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以 A.22232cos 125215(325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8．如图，在平面四边形ABCD 中， ,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21163225163【答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，ABD △BCD △AE BE ⋅设，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

高一数学阶段检测考试试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,10,16,32C ．1,2,3,4,5D ．7,17,27,37,47 2、运行5,8,,,A B X A A B B X A =====+ 程序后输出A 、B 的结果是 A ．5,8 B ．8,5 C ．8,13 D ．5,133、执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的P 是A ．120B ．720C ．1440D ．50404、对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是 A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心5、在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02,,99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品抽取6个，三级品中抽取10个，则A ．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个个体被抽到的概率都是15B ．①②采用两种抽样，这100个零件中每个个体被抽到的概率都是15，③并非如此 C ．①③采用两种抽样，这100个零件中每个个体被抽到的概率都是15，②并非如此D ．采取不同的，这100个零件中每个个体抽到的概率不同6、某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10，则该射手在一次射击中不够8环的概率为A ．0.90B ．0.30C ．0.60D ．0.407、 连续投掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为 A ．536 B ．566 C ．111 D ．5118、已知地铁累成每10分钟（含在车站停车时间）一班，在车站停1分钟，则乘客叨叨站台立即乘上车的概率是 A ．18 B ．19 C ．111 D ．1109、如图所示，边长为2的正方形中有封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一颗豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为 A ．43 B ．83 C ．23D ．无法计算 10、有五组变量：①汽车的重量和汽车每小号一升汽油所行驶的距离； ②平均日常学习时间和平均学习成绩； ③某人每天的吸烟量和身体健康状况；④圆的半径和面积；⑤汽车的重量和每千米的耗油量. A ．②③④ B ．②④ C ．②⑤ D ．④⑤11、圆221:2220C x y x y +++-=与圆222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12、设圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(8,1)，则两圆心的距离12C C =A ．4B ．．8 D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、某校对全校男女学生1600名进行健康调查，选用分层抽法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人. 14、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率是15、在相同的条件下对自行车运动员甲乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度如下：试判断参加某项重大比赛更合适？ 16、给出如下四对事件：①甲乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙没有射中目标”； ②从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ③某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球” 其中属于互斥事件的是 （把你认为正确的命题序号都填上.）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分） （1）画出计算222213599++++的程序框图，要求框图必须含有循环结构.（2）已知角α的终边经过点(1,3)P - ，求sin ,cos ,tan ααα.18、（本小题满分12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动. （1）求所选2人恰有一名男生的概率； （2）求所选2人中至少有一名女生的概率.19、（本小题满分12分）某制造商生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm ）将数据进行分组，得到如下频率分布表（1）补充完成频率分布表，（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图； （2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm ，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm 的概率；（3）统计方法中，同一小组数据常用该组区间的中点值（例如区间(39.99,40.01)的中点值是40.00 作为代表，据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数））.20、（本小题满分12分）有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1,2,3,4. （1）若这个不放回取球两次，求第一次渠道球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球编号为b ，求直线10ax by ++=与圆22116x y +=有公共点的概率.21、（本小题满分12分）某车间为了工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做出了四次试验，得到的数据如下：（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）试预测加工10个零件需要多少时？参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑.22、（本小题满分12分） 已知圆C 的方程为224x y +=.（1）求过点(1,2)P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点，且与圆C 相交于A 、B两点，若AB =，求直线l 的方程； （3）圆C 上有一动点000(,),(0,)M x y N y ，若Q 为MN 的中点，求点Q 的轨迹方程.。

2021年高一上学期第三次周练 数学试题 含答案1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－ 1∉A2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}3．下列关系中，正确的个数为________．①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∉N *；④|－3|∈Q .4．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值．B 组1．下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对2．用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( )A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}3．已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5}，则必有( )A ．－1∈AB ．0∈A C.3∈A D ．1∈A4．定义集合运算：A*B ＝{z|z ＝xy ， x ∈A ，y ∈B}．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．65．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是________．6．已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.答案：A组：1、C2、B3、24、因为集合A与集合B相等，所以x2－x＝2.∴x＝2或x＝－1.当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾．当x＝－1时，符合题意．∴x＝－1.B组：1、C2、B3、D4、D5、{1，－1}6、68、因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4.(2)当a ＝0时，A ＝{－43}；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0. 22630 5866 塦 e40406 9DD6 鷖-}2o237727 935F 鍟32984 80D8 胘23608 5C38 尸D=。

test(Word VBA 常用语句)(-04-27 08:04:46)转载▼标签：分类：学习经验与体会it转帖：从n多地方google出来的。

'定制模块行为'(1)强制对模块内所有变量进行声明Option Explicit'标记模块为私有，仅对同一工程中其它模块有用，在宏对话框中不显示Option Private Module'字符串不区分大小写Option Compare Text'指定数组的第一个下标为1Option Base 1'(2)忽略错误继续执行VBA代码,避免出现错误消息On Error Resume Next'(3)当错误发生时跳转到过程中的某个位置On Error GoTo ErrorHandler'(4)恢复正常的错误提示On Error GoTo 0'(5)在程序执行过程中使出现的警告框不显示Application.DisplayAlerts = False'(6)关闭屏幕刷新Application.ScreenUpdating = False'打开屏幕刷新Application.ScreenUpdating = True'(7)禁用Ctrl+Break中止宏运行的功能Application.Enable.CancelKey = xlDisabled''工作簿'(8)创建一个新的工作簿Workbooks.Add()'(9)激活名为book1的工作簿Workbooks("book1.xls").Activate'(10)保存工作簿ThisWorkbook.Save'(11)关闭当前工作簿ThisWorkbook.Close'(12)获取活动工作薄中工作表数ActiveWorkbook.Sheets.Count'(13)返回活动工作薄的名称'(14)返回当前工作簿名称'返回当前工作簿路径和名称ThisWorkbook.FullName'(15)禁止调整活动工作簿的大小ActiveWindow.EnableResize = False'(16)将工作簿以平铺方式排列Application.Window.Arrange xlArrangeStyleTiled'(17)将当前工作簿最大化ActiveWorkbook.WindowState = xlMaximized''工作表'(18)当前工作表中已使用的行数edRange.Rows.Count'(19)获取工作表的行数(注：考虑向前兼容性)Rows.Count'(20)将Sheet1命名为SumSheets(Sheet1).Name = "Sum"'(21)添加一个新工作表在第一工作表前ThisWorkbook.Sheets.Add Before:=Worksheets(1)'(22)将当前工作表移至工作表的最后ActiveSheet.Move After:=ActiveWorkbook. _Sheets(ActiveWorkbook.Sheets.Count)'(23)同时选择工作表1和工作表2Worksheets(Array("sheet1", "sheet2")).Select'(24)删除工作表1Sheets("sheet1").Delete'或Sheets(1).Delete'(25)获取工作表i的名称ActiveWorkbook.Sheets(i).Name'(26)切换工作表中的网格线显示，这种方法也可以用在其它方面进行相互切换，即相当于开关按钮ActiveWindow.DisplayGridlines = Not ActiveWindow.DisplayGridlines'(27)切换工作表中的行列边框显示ActiveWindow.DisplayHeadings = Not ActiveWindow.DisplayHeadings'(28)删除当前工作表中所有的条件格式edRange.FormatConditions.Delete'(29)取消当前工作表所有超链接Cells.Hyperlinks.Delete'(30)将页面设置更改为横向ActiveSheet.PageSetup.Orientation = xlLandscape'或ActiveSheet.PageSetup.Orientation = 2'(31)在页面设置的表尾中输入文件路径ActiveSheet.PageSetup.RightFooter = ActiveWorkbook.FullName '将用户名放置在活动工作表的页脚ActiveSheet.PageSetup.LeftFooter = erName''单元格/单元格区域'(32)选择当前活动单元格所包含的范围，上下左右无空行ActiveCell.CurrentRegion.Select'或Range(ActiveCell.End(xlUp), ActiveCell.End(xlDown)).Select '(33)选定当前工作表的所有单元格Cells.Select'(34)清除活动工作表上单元格A1中的内容Range("A1").ClearContents'清除选定区域内容Selection.ClearContents'彻底清除A1至D4单元格区域的内容，包括格式Range("A1:D4").Clear'(35)清除工作表中所有单元格的内容Cells.Clear'(36)活动单元格下移一行，同理，可下移一列ActiveCell.Offset(1, 0).Select'(37)偏移一列Range("A1").Offset(ColumnOffset:=1)'或Range("A1").Offset(,1)'向上偏移一行Range("A1").Offset(Rowoffset:=-1)'或Range("A1").Offset (-1)'(38)复制单元格A1，粘贴到单元格B1中Range("A1").Copy Range("B1")'将单元格区域复制到单元格F1开始的区域中Range("A1:D8").Copy Range("F1")'剪切单元格区域A1至D8，复制到单元格F1开始的区域中Range("A1:D8").Cut Range("F1")'复制包含A1的单元格区域到工作表2中以A1起始的单元格区域中Range("A1").CurrentRegion.Copy Sheets("Sheet2").Range("A1")'注：CurrentRegion属性等价于定位命令，由一个矩形单元格块组成，周围是一个或多个空行或列'(39)将值XX输入到所选单元格区域中ActiveWindow.RangeSelection.Value = XX'(40)活动窗口中选择的单元格数ActiveWindow.RangeSelection.Count'(41)当前选中区域的单元格数Selection.Count'(42)返回单元格中超级链接的地址并赋值GetAddress = Replace(Hyperlinkcell.Hyperlinks(1).Address, "mailto:", "") '(43)检查单元格A1的文本颜色并返回颜色索引TextColor = Range("A1").Font.ColorIndex'获取单元格A1背景色Range("A1").Interior.ColorIndex'(44)返回当前工作表的单元格数Cells.Count'(45)激活当前活动单元格下方3行，向右4列的单元格Selection.Range("E4").Select'(46)引单元格C5Cells.Item(5,"C")'引单元格C5Cells.Item(5,3)'(47)指定单元格F5Range("A1").Offset(RowOffset:=4,ColumnOffset:=5)'或Range("A1").Offset(4, 5)'(48)创建B3：D13区域Range("B3").Resize(RowSize:=11,ColumnSize:=3)Rnage("B3").Resize(11,3)'(49)将Data区域扩充2列Range("Data").Resize(,2)'(50)将Data1和Data2区域连接Union(Range("Data1"),Range("Data2"))'(51)返回Data1和Data2区域的交叉区域Intersect(Range("Data1"),Range("Data2"))'(52)单元格区域Data中的单元格数Range("Data").Count'单元格区域Data中的列数Range("Data").Columns.Count'单元格区域Data中的行数Range("Data").Rows.Count'(53)当前选中的单元格区域中的列数Selection.Columns.Count'当前选中的单元格区域中的行数Selection.Rows.Count'(54)选中的单元格区域所包含的区域数Selection.Areas.Count'(55)获取单元格区域中使用的第一行的行号edRange.Row'(56)获取单元格区域Rng左上角单元格所在列编号Rng.Column'(57)在活动工作表中返回所有符合条件格式设置的区域ActiveSheet.Cells.SpecialCells (xlCellTypeAllFormatConditions)'(58)关闭由于执行自动筛选命令产生的第3个字段的下拉列表Range("A1").AutoFilter Field:=3, VisibleDropDown:=False''名称'(59)命名A1：C3区域为computerRange("A1：C3").Name = "computer"'命名局部变量，即Sheet1上区域D1：E6为book'或Range("D1：E6").Name = "Sheet1!book"'将区域computer重命名为robot'或Names("computer").Name = "robot"'(60)删除名称Names("book").Delete'(61)动态命名列Names.Add Name:="ContentList", _RefersTo:="=OFFSET(Sheet1!A2,0,0,COUNTA(Sheet2!$A:$A))" '(62)命名字符串CompanyCarNames.Add Name:="Company", RefersTo:="CompanyCar"'(63)将数字123456命名为Total。

高一数学三月检测卷（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知一个扇形的圆心角为30︒，所对的弧长为3π，则该扇形的面积为（）A.2540π B.13C.6π D.3π【答案】D 【解析】【分析】根据公式lr α=求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式12S lr =即可求出答案.【详解】由lrα=得326l r ππα===，所以该扇形的面积为1122233S lr ππ==⨯⨯=.故选：D .2.已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-= ，且a b ⊥，则2sin 22cos θθ+的值为（）A.1B.85C.65D.3【答案】C 【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出sin ,cos θθ的关系，求得tan θ，再把求值式转化为关于sin ,cos θθ的二次齐次式求值．【详解】因为a b ⊥，所以sin 2cos 0a b θθ⋅=-= ，所以tan 2θ=，2222222sin cos 2cos 2tan 22226sin 22cos sin cos tan 1215θθθθθθθθθ++⨯++====+++．故选：C ．3.ABC 中，1cos 4A =，2AB =，4BC =，则BC 边上的高为（）A.3B.4C.2D.5【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理求出4b =，然后利用等面积法即可求出BC 边上的高.【详解】在ABC 中，设AB c =，BC a =，AC b =，则2c =，4a =，1cos 4A = ，且222cos 2b c a A bc +-=，21416422b b +-∴=⨯，2120b b ∴--=，()()430b b ∴-+=，4b ∴=，1cos 4A = ,sin 4BAC ∴∠==,设BC 边上的高为h ，在ABC 中利用等面积法，则11sin 22ABC S BC h AB AC BAC =⨯=⨯∠△,11424224h ∴⨯⨯=⨯⨯⨯,2h ∴=.故选:C4.已知α为锐角且4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.10B.10C.10-D.10-【答案】C 【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】α为锐角，故ππ2π663α<+<，而4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又πππππsin sin sin cos 1264266αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦12510=-⨯=-.故选：C.5.在ABC 中，9023A AC AB ∠=︒==，，，设点P ，Q 满足,(1),AP AB AQ AC λλλ==-∈R.若6BQ CP ⋅=-，则λ=（）A.14B.23C.25D.56【答案】C 【解析】【分析】设,AB b AC c == ，根据平面向量的线性运算，得到(1)BQ b c λ=-+- ，CP c b λ=-+ ，再结合6BQ CP ⋅=-，化简整理即可求解.【详解】设,AB b AC c ==，则||3,||2b c ==，0b c ⋅=，(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，CP CA AP c b λ=+=-+，由6BQ CP ⋅=- ，得22[(1)]()(1)||||4(1)96b c c b c b λλλλλλ-+-⋅-+=--=--=- ，即2=5λ.故选：C .6.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB 的长度，再去求sin ABC ∠的值，进而可求得△ABC 的面积.【详解】由2222cos120BD AD AB AD AB =+-⋅ ，可得222733AB AB =++，解之得5AB =或8AB =-（舍）则22257313cos 25714ABD +-∠==⨯⨯，又()0,πABD ∠∈，则sin ABD ∠=则π113sin sin 31421427ABC ABD ⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则△ABC的面积为157sin 2ABC ⨯⨯∠=故选：C7.设函数()2sin()1(0,02f x x πωϕωϕ=+-> 的最小正周期为4π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（）A.50,312ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B.0,,432πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C.50,612ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.0,,632πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据周期求出12ω=，结合ϕ的范围及[0,5]x π∈，得到55322ππϕπ+ ，把52πϕ+看做一个整体，研究1sin 2y x =-在[0,3]π的零点，结合()f x 的零点个数，最终列出关于ϕ的不等式组，求得ϕ的取值范围【详解】因为24T ππω==，所以12ω=.由()0f x =，得11sin()22x ϕ+=.当[0,5]x π∈时，15,22x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎣⎦，又02πϕ ，则55322ππϕπ+ .因为1sin 2y x =-在[0,3]π上的零点为6π，56π，136π，176π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，所以0,613517626πϕπππϕ⎧⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩ 或,62175,62ππϕππϕ⎧<⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 解得0,,632πππϕ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：D.8.已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6【答案】A 【解析】【分析】延长CO ，BO ，AO 分别交边AB ，AC ，BC 于点P ，M ，N ，利用同底的两个三角形面积比推得123tan :tan :tan ::BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=即可求解作答.【详解】O 是ABC 的垂心，延长CO ，BO ，AO 分别交边AB ，AC ，BC 于点P ，M ，N ，如图，则,,CP AB BM AC AN BC ⊥⊥⊥，,BOP BAC AOP ABC ∠=∠∠=∠，因此，12tan tan tan tan S BP OP BOP BAC S AP OP AOP ABC ∠∠===∠∠，同理13tan tan S BAC S ACB∠=∠，于是得123tan :tan :tan ::BAC ABC ACB S S S ∠∠∠=，又230OA OB OC ++= ，即1233OC OA OB =--，由“奔驰定理”有1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，则1233S S OC OA OB S S =-⋅-⋅ ，而OA 与OB 不共线，有1313S S =，2323S S =，即123::1:2:3S S S =，所以tan :tan :tan 1:2:3BAC ABC ACB ∠∠∠=.故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分）9.下列结论中正确的是（）A.2π1203︒=B.若角α是第三象限角，则cos 0α<C.若角α的终边过点()()43,40,sin 5P k k k α≠=D.442cos sin 2cos 1ααα-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用角度值与弧度制的互化可判断A ；利用三角函数的象限符号可判断B ；利用三角函数的定义可判断C ；利用同角三角函数的基本关系可判断D.【详解】对于A ，π2π1201201803︒=⨯=，故A 正确；对于B ，由三角函数的象限符号可知，若α是第三象限角，则cos 0α<，故B 正确；对于C ，角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，则44sin 55k k α===±，故C 错误；对于D ，()()442222cos sin cos sin cos sin αααααα-=+-()22222cos sin =cos 1cos 2cos 1ααααα=---=-，故D 正确.故选：ABD.10.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ABC ，，，的面积为S ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A.50502A B a === ，，B.243a b c ===，，C.242a b S ===，，D.5042B b S === ，，【答案】CD 【解析】【分析】对A ，根据ABC 为等腰三角形判断即可对B ，由ABC 三边确定判断即可对C ，根据面积公式判断即可对D ，根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可【详解】对A ，易得ABC 为等腰三角形，故80C =o ，2a b ==，故ABC 仅一个解；对B ，因为ABC 三边均确定，且满足任意两边大于第三边，故ABC 有唯一解；对C ，由面积公式in 12s S ab C =可得1sin 2C =，故30150C ︒= 或，故ABC 有两解；对D ，由1sin 2S ac B =可得4sin 50ac =o ，故4sin 50ac =o ()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+，故()()28161cos50sin 50a c =+-+o o，即a c +=，结合4sin 50ac =o ，有()()28cos50116sin 50a c --=+o o ，故a c -=.故选：CD11.（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,P Q R S T 为顶点的多边形为正五边形且12PT AT -=，下列关系中正确的是（）A.12BP TS RS+-= B.12CQ TP TS+=C.12ES AP DR -=D.12AT BQ CR -+=【答案】AC 【解析】【分析】结合平面向量的线性运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且12PT AT -=．在A 中，12BP TS TE TS SE RS +-==-=u uu r uu r uu r u ruu r uu r，故A 正确；在B 中，12CQ TP PA TP TA ST +=+=+=uu u r uu ruu r uu ruu ruur ，故B 错误；在C 中，1122ES AP RC QC Q D B R -=-==-uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu ur ，故C 正确；在D 中，51,2AT BQ SD RD CR RS RD SD -++===-uu u r uu r uu u ruu r uu r uu ur uu u r uu r ，若12AT BQ CR -+= ，则0SD =uu r r ，不合题意，故D 错误．故选：AC12.已知向量,,a b c满足22,3,3,280a b a b c b c ==⋅=-⋅+= ，则下列说法正确的是（）A.1c b -= B.若()c c b ⊥- ，则||c =C.R t ∀∈，有3||2b ta +> 恒成立D.若(1)c a b λλ=+-，则||1a c -= 【答案】ABC 【解析】【分析】将2||280c b c -⋅+= 化为2221c b c b -⋅+= 可判断A ；将2||280c b c -⋅+=化为()2280c c b c ⋅--+= 可判断B ；将b ta + 平方，根据二次函数的最值可判断C ；计算a c -= D.【详解】解：对于A,因为2||280c b c -⋅+=，所以2221c b c b -⋅+= ，即21c b -= ，故||1c b -=，故A 正确；对于B ，2||280c b c -⋅+=可化为()2280c c b c ⋅--+= ，即()2280c c b c ⋅--+= .若()c c b ⊥- ，则28c = ，即||c =B 正确；对于C ，222222469b ta b t a t b t t a =+⋅+=+++ 2327274444t ⎛⎫=++≥⎪⎝⎭，故322b ta ≥+> ，故C 正确；对于D ，若(1)c a b λλ=+-，则a c -=1λ=-=-，该式子的值随着λ的变化而变化，故D 错误.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =_________________【答案】4【解析】【详解】在△ABC 中，利用余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，14()()47()444c b c b c b c c++-+--==，化简得：8c －7b ＋4＝0，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解14.已知平面向量,a b 满足4a b ⋅=- ，且2b = ，则a b - 在b 上投影向量为b λ ，则λ=__________．【答案】2-【解析】【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算.【详解】a b - 在b 上投影向量为()24b a b b b a b b b b b λ⋅-⋅-⋅=⋅= ，即244==244b a b λ⋅---=- ，故2λ=-.故答案为:2-.15.已知1sin cos 4x y +=，则2sin sin x y -的最大值为____________【答案】9##0.562516【解析】【分析】由已知求得[]1sin cos 1,14x y =-∈-，可得3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用同角三角函数基本关系可得221sin sin cos 12x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数性质即可求解.【详解】1sin cos 4x y +=Q ，[]sin 1,1x ∈-[]1sin cos 1,14x y ∴=-∈-，35cos ,44y ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，即3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2222131sin sin cos 1cos cos cos cos 1442x y y y y y y ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭Q 又3cos ,14y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用二次函数的性质知，当3cos 4y =-时，()22max319sin sin 14216x y⎛⎫-=---=⎪⎝⎭故答案为：91616.10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A ，B 两地同时观测到一颗卫星S ，仰角分别为∠SAM 和∠SBM （MA ，MB 表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R ， AB 的长度为3R π，∠SAM ＝30°，∠SBM ＝45°，则卫星S 到地面的高度为______．【答案】5312R ⎫+-⎪⎪⎭【解析】【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.【详解】如图，圆心为O 点，设AOB α∠=，由已知 AB 的长度为3R R πα=，即3AOB πα∠==，∵OA OB R ==∴AOB 是等边三角形，AB R=又MA OA ⊥，MB OB ⊥，o 30SAM∠=，o 45SBM ∠=，则o o o 3090120SAO ∠=+=，o o o4590135SBO ∠=+=在SAB △中，有AB R =，o o o 1206060SAB ∠=-=，o o o 1204575SBA ∠=-=，o o o o 180607545ASB ∠=--=，()o o o 62sin sin 75sin 45304SBA +∠==+=由正弦定理可得，sin sin AB SA ASB SBA =∠∠26224=+，∴312SA R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭在SAO 中，有12SA R +=，OA R =，o 120SAO ∠=，由余弦定理可得，2222cos OS AS AO AS AO SAO=+-⋅⋅∠2221522R R R ⎫⎛⎫⎛=+-⋅⋅-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭则，OS所以，则卫星S 到地面的高度为1R ⎫⎪⎪⎭故答案为：1R ⎫-⎪⎪⎭.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，（1）求()f x 的最小正周期；（2）若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值．【答案】（1）π（2）最小值为1-，最大值为2【解析】【分析】（1）化简()f x 的解析式，进而求得()f x 的最小正周期；（2）根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【小问1详解】()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.【小问2详解】由（1）得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π02x ≤≤，得ππ5π2666x -≤-≤，所以1ππsin 21,12sin 22266x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当ππ2,066x x -=-=时，()f x 取得最小值1-；当πππ2,623x x -==时，()f x 取得最大值为2.所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，最大值为2.18.已知||1a =r ，14a b ⋅= ，1()()2a b a b +⋅-= ．（1）求||b 的值；（2）求向量a b - 与a b +夹角的余弦值．【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）根据题中条件，变化22()()a b a b a b +⋅-=- ，即可求解；（2）求出||a b + 及||a b - ，设a b + 与a b - 的夹角为θ，利用公式()()cos a b a b a b a bθ+⋅-=+- 即可.【小问1详解】由题知，221()(),2a b a b a b +⋅-=-= 因为||1a =r ，所以211||,2b -=所以.2b = 【小问2详解】由题||1a =r ，14a b ⋅= ，则22211||212242a b a a b b +=+⋅+=+⨯+= ，22211||212142a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以1a b a b +=-= ，令a b + 与a b - 的夹角为θ，则1()()2cos 4a b a b a b a bθ+⋅-===+- ，即向量a b - 与a b +夹角的余弦值是4．19.在①2cos cos b c C a A-=，②4cos()2cos 23B C A ++=-，sin()b A C =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，___________.（1）求角A ；（2）若a =，b c +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3A π=（2）2【解析】【分析】（1）从三个条件中任选一个，然后利用诱导公式､二倍角公式､正弦定理等知识转化求解即可.（2）根据第（1）问所求，利用余弦定理建立三边关系，求出bc 的值，最后代入三角形面积公式求解即可.【小问1详解】（1）方案一：选条件①.根据正弦定理及2cos cos b c C a A -=得2sin sin cos sin cos B C C A A-=，整理得2sin cos cos sin sin cos B A C A C A =+，即2sin cos sin()B A A C =+，易知A C B π+=-，所以2sin cos sin B A B =，又sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又(0,)A π∈，（注意角的范围）故3A π=.方案二：选条件②.在ABC 中，B C A +=π-，所以cos()cos B C A +=-，结合二倍角公式，可得()24cos 22cos 13A A -+-=-，所以24cos 4cos 10A A -+=，得1cos 2A =.又(0,)A π∈，所以3A π=.方案三：选条件③.在ABC 中，A C B π+=-，所以sin()sin A C B +=，sin b B=，sinsin B B=，得tan A =.又(0,)A π∈，所以3A π=.【小问2详解】根据余弦定理可得，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A ，又a =，b c +=，3A π=，所以221222=--⨯bc bc ，得6bc =，所以1133sin 6sin 2232ABC S bc A π=⋅=⨯⨯= .20.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()20a c BC BA c CA CB +⋅⋅+⋅⋅= .（1）求角B 的大小；（2）若b =，求22a c +的取值范围.【答案】（1）2π3B =（2）22812a c ≤+<【解析】【分析】（1）结合向量运算、正弦定理求得cos B ，由此求得B .（2）利用正弦定理将22a c +表示为三角函数的形式，结合三角函数值域的求法求得22a c +的取值范围、【小问1详解】在ABC 中，πA B C ++=，∵()20a c BC BA c CA CB +⋅⋅+⋅⋅= ，∴()2cos cos 0a c a c B c a b C +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，即()2cos cos 0a c B b C +⋅+⋅=，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ⋅+⋅+⋅=，∴()2sin cos sin 0A B B C ⋅++=，∴2sin cos sin 0A B A ⋅+=，又sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，∴2π3B =.【小问2详解】由正弦定理得：4sin sin sin 32a b c A B C ====，∴4sin a A =，4sin c C =，∴()()()22222216sin sin 82sin 2sin 81cos21cos2a c A C A C A C +=⋅+=⋅+=⋅-+-1168cos28cos 2168cos28cos2sin2322A A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=---=---+ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭π164cos2168sin 26A A A ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，∵2π3B =，∴π03A <<，即2023A π<<，∴ππ5π2666A <+<，1πsin(2126A <+≤，∴[)π168sin 28,126A ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，即22812a c ≤+<.21.已知两个不共线的向量,a b 满足(()R ,cos ,sin ,a b θθθ==∈ .（1）若2a b - 与7a b - 垂直，求||a b + 的值；（2）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，若存在两个不同的θ，使得||||a ma += 成立，求正数m 的取值范围.【答案】（1（2）1323,22⎣⎦【解析】【分析】（1）根据(2)(7)0a b a b -⋅-= 求出1a b ⋅= ，再展开2||a b +求解.(2)根据||||a ma = ，平方后化简，整理成2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，数形结合求解.【小问1详解】由条件知||2,||1a b == ，又2a b - 与7a b - 垂直，所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+= ，所以.1a b ⋅= .所以22224217a b a a b b +=+⋅+=++= ，故a b += .【小问2详解】由||||a ma += ，得22||||a ma +=，即2222||3||||a b b m a +⋅+= ，所以2434b m +⋅+= ，即27)4m θθ++=，所以2π476m θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦，得ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知264743m ≤-<.即21374344m +≤<，又0m >，所以132322m +≤<.即实数m 的取值范围为1323,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.22.如图，,A B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点.记OC OA OBλμ=+ （,λμ均为实数).（1）若O 到弦AB 的距离是12，（i ）当点C 恰好运动到劣弧 AB 的中点时，求AC CB ⋅ 的值；（ii ）求λμ+的取值范围；（2）若532OA OB -≤ ，记向量2OA OB + 和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值.【答案】（1）（i ）12；（ii ）0,60︒︒⎡⎤⎣⎦（2）3940【解析】【分析】（1）根据题意，又直线与圆的位置关系，得120AOB ∠=o ，（i ）可由圆的几何性质得120,1ACB AC CB ∠=== ，从而按照数量积的定义求得结果；（ii ）以,OA OB 为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；（2）以,OA OB为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可.【小问1详解】解：由O 到弦AB 的距离是12，可得30ABO BAO ∠∠== ，故120AOB ∠=o （i ）由圆的几何性质得120,1ACB AC CB ∠===，故1cos ,11cos602AC CB AC CB AC CB ⋅=⨯⨯=⨯⨯= （ii ）记劣弧 AB 的中点为D ，且12OA OB ⋅=- 212OC OA OA OB OA λμλμ∴⋅=+⋅=- ①212OC OB OA OB OB λμλμ⋅=⋅=-∴++ ②①+②得()()12OC OA OB λμ⋅+=+ 进一步得：2()22cos ,[1,2]OC OA OB OC OD OC OD λμ+=⋅+=⋅=∈ ，其中,0,60OC OD ︒︒⎡⎤〈〉∈⎣⎦故λμ+的取值范围为：[1,2]【小问2详解】解：记AOB α∠=，由532OA OB -≤ 两边平方，得225962OA OB OA OB ⋅+-≤5106cos 2α∴≤-，又1cos 1α-<<，∴5cos ,18α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴()()233cos OA OB OA OB α+⋅+=+故2OA OB OA OB +=+= 又2OA OB + 和向量OA OB + 的夹角为θ，()()222cos 2OA OB OA OB OA OB OA OB θ⎡⎤+⋅+⎢⎥∴=⎢⎥++⎣⎦ ()()()()291cos (33cos )54cos 22cos 254cos ααααα++==+++91184cos 5α⎛⎫=- ⎪+⎝⎭记()911845f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，显然()f x 关于5cos ,18x α⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭单调递增，。

一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，若，则图中相等的向量是（ ）AB DC =A ．与B ．与C ．与D ．与AD CBOB OD AO OC AC BD 【答案】C【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.【详解】由，可得四边形ABCD 为平行四边形. AB DC =选项A ：与互为相反向量，判断错误；AD CB选项B ：与互为相反向量，判断错误；OB OD选项C ：与满足向量相等的定义，判断正确；AO OC选项D ：与方向不同不满足向量相等的定义，判断错误. AC BD故选：C2．下列关于向量的命题正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则||||a b = a b =||||a b = //a bC ．若，，则D ．若，，则a b = b c =a c = //ab //b c//a c 【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； a b =选项B ，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；∴选项C ，显然可得出，该选项正确；,a b b c ==a c = ∴选项D ，得不出，比如不共线，且，该选项错误. //,//ab bc //a c ,a c 0b = ∴故选：C .3．已知向量，，则（ ）()1,2a =-()3,1b = ()a ab ⋅-= A ．2 B ．4 C ．6 D ．-6【答案】C【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出a b -答案.【详解】，.()=4,1a b --()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= 故选：C.4．在中，已知，，，则角的大小为（ ） ABC A =2b 3c =1sin 3B =C A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】C【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案. 【详解】由正弦定理，可得，则，由，则， sin sin b cB C =311sin sin 232c C B b ==⨯=>c b C B >由，则或. ()0,C π∈6C π=56π故选：C.5．在△中，为边上的中线，为的中点，则ABC AD BC E AD EB =A ．B ．3144AB AC -1344AB AC -C ．D ．3144+AB AC1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后1122BE BA BD =+应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到BC BA AC =+，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.3144BE BA AC =+3144EB AB AC =- 【详解】根据向量的运算法则，可得，()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+所以，故选A.3144EB AB AC =-【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．平面向量与的夹角为，，，则（ ） a b60︒1a = 2b = 2a b -= A B ．2C ．4D ．12【答案】B【分析】根据向量模的公式直接计算结果.【详解】2a = ，，，21a = 24b = cos 601⋅==a b a b. 22a ∴= 故选：B【点睛】本题考查向量数量积，向量的模，重点考查计算，属于基础题型,.7．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为()3,a m n =-()2,1b =-r 0m >0n >a b 412m n +（ ） A ．B ．C ．D ．94346159【答案】B【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过a b 23n m +=412m n +18532n m m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭基本不等式即可得出结果.【详解】因为与共线，，， a b()3,a m n =-()2,1b =-r 所以，即，()32m n --=23n m +=则， ()411411812553232323n m n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当、时等号成立， 12n =2m =故的最小值为， 412m n+3故选：B.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，若，222b c a bc +=+2sin sin sin B C A =则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断222b c a bc +=+π3A =2sin sin sinBC A =b c =△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，，则222b c a bc +=+2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，则0πA <<π3A =由，可得，代入 2sin sin sinBC A =2a bc =222b c a bc +=+则有，则，则 222b c bc bc bc +=+=()20b c -=b c =又，则△ABC 的形状是等边三角形 π3A =故选：C二、多选题9．下列能使成立的是（ ） //a bA ．B ．C ．与方向相反D ．或a b = a b = a b0a =0b = 【答案】ACD【解析】根据向量共线的定义判断可得； 【详解】解：对于A ，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B ，若，则a b =a b //a b r r a b =r r与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C ，方向相同或相反的向量都是平行a b //a b r r向量，因此若与方向相反，则有；对于D ，零向量与任意向量平行，所以若或a b //a b r r0a = 0b = ，则. //a b r r故选：ACD 【点睛】本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题. 10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．B ． 2130,2(0),2e e →→⎛⎫⎪⎝⎭＝,＝()()12120,0e e →→-＝，＝,C ． D ．()()121,326e e →→--＝，＝,()()123,5,5,3e e →→＝＝【答案】AD【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的向量.【详解】对于A ，，可以作为基底； 300202⨯-⨯≠12,e e →→对于B,，共线，不能作为基底；120e e →→=⋅12,e e →→对于C,，共线，不能作为基底；1212e e →→=-⋅12,e e →→对于D ，，可以作为基底. 33550⨯-⨯≠12,e e →→故选:AD.11．已知点，，，，则下列结论正确的为（ ） ()0,0O ()1,3A ()3,1B (),OP OA OB R λμλμ=+∈A ．当时， 2λμ=OP AB ⊥ B ．当时，点P 在直线AB 上1λμ+=C ．当时，λμ=OP AP OB =+D ．当时，在1λμ-=OP AB【答案】BD【分析】对A ，计算出即可判断；对于B ，由条件得可判断；对于C ，用反证法OP AB ⋅ BP BA λ=证明；对于D ，根据投影向量的模计算即可.【详解】由已知， (2,2),(1,3),(3,1),(2,2)AB OA OB BA =-===-对于A ，由，得，所以， 2λμ=2(0)λμμ=≠2(5,7)OP OA OB μμμμ=+= 所以，不正确，故A 不正确； (5,7)(2,2)101440OP AB μμμμμ⋅⋅-===--≠ OP AB ⊥对于B ，当时，由，1λμ+=OP OA OB λμ=+得,从而可知点三点共线，因此点()(1)OP OA OB OP OB OA BP BA OB λλλλ⇒-==+--⇒=,,A B P P 在直线AB 上，故B 正确；对于C ，若成立，则有，这显然不成立，故C 不正OP AP OB =+ OP OP OA OB OA OB =-+⇒=确；对于D ，当时，，1λμ-=()(43,411))(OP OA OB OA OB OB λλλλλ=+-==+---则在方向上的投影向量的模为D 正OP AB ||O P 确. 故选：BD12．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的ABC A ,,A B C ,,a b c是（ ）A ．，有唯一解 5,7,8a b c ===B ．，无解 18,20,60b c B ===°C ．，有两解 8,45a b B ===︒D ．，有唯一解 30,25,150a b A ===︒【答案】AD【分析】根据三边确定可判断A 选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B ，C ，D 选项. 【详解】解：选项A ，，已知三边三角形确定，有唯一解，A 正确；5,7,8a b c ===选项B ，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得sin sin b c B C=sin sin 1c B C b ==<，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B 错误；C B >C选项C ，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角sin sin a b A B=sin 1sin 12a B A b ===<a b <可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C 错误； A B <A 选项D ，由正弦定理得：，，由于，则是sin sin a bA B =sin 25sin1505sin 13012b A B a ︒===<150A =︒B 锐角，有唯一解，D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知，点P 在直线上，且，则点P 的坐标是_____．()()2,5,10,3A B --AB 13PA PB =-【答案】(1,3)【分析】由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条,,A B P 13PA PB =-P 件建立方程求出点P 的坐标 【详解】解：设(),P x y ，点P 在直线上()()2,5,10,3A B -- AB ，(,)PA x y ∴=--- 25(,)PB x y =---103，则有PA PB =- 1312(10)315(3)3x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩解得 13x y =⎧⎨=⎩()1,3P ∴【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P 的坐标.14．设，是不共线的两个非零向量，若，，，且点a b 12OA ka b =+ 45OB a b =+ 10OC ka b =-+ A ，，在同一直线上，则__________． B C k =【答案】.23-【分析】根据向量共线得方程，解得k 的值.【详解】由题得 ()()47,45,AB OB OA k a b CB OB OC k a b =-=--=-=+-因为点，，在同一直线上，所以 A B C 472,.453k k k --=∴=-+-故答案为23-【点睛】本题考查向量共线，考查基本求解能力15．已知向量，．若向量与垂直，则________．(1,2)a =- (,1)b m =r a b +a m =【答案】7【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的a b +()0a b a +⋅= 坐标运算得到方程，即可求得实数的值．m 【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以(1,2)a =- (,1)b m =r ()1,3a b m +=- a b +a ，解得，()()1230a b a m +⋅=--+⨯=7m =故答案为：7．16．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且，，ABC A sin A B =6C π=ac ______．=a【分析】先由正弦定理及已知条件得出a ，b，c 之间的关系，再由余弦定理求出即可． 【详解】∵，根据正弦定理得，sin A B =a∴，又∴， b =acc=π6C =再根据余弦定理得∴，解得222cos 2b a c C ab +-===a =四、解答题17．已知向量，，，且，． (1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥(1)求向量、；b c(2)若，，求向量，的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】(1)， (3,6)b = (2,1)c =-(2) 34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；x y （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． m n θmn 【详解】（1）解：因为，，，且，，(1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥所以，， 230x -⨯=220a c y ⋅=+=所以，，6x =1y =-所以，；(3,6)b = (2,1)c =-（2）解：设向量，的夹角的大小为．mn θ由题意可得，，，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--(3,1)n a c =+= 所以cos ||||m n m n θ⋅= 因为，所以． 0θπ≤≤34πθ=18．在中，、、所对的边分别为、、，，． ABC A A B C a b c π3B =57a b =(1)求的值； sin A (2)若，求．7b =c【答案】(2) 8c =【分析】（1）由正弦定理可得，又因为，代入即可求出．sin sin a B A b=π3B =sin A （2）首先得到，再由余弦定理，可得边． a 2222cos b c a ca B =+-c 【详解】（1）因为，， π3B =57ab =所以由正弦定理得sin 5sin 7a B A b ===（2）因为，，所以．7b =57a b =5a =由余弦定理得， 2222cos b c a ca B =+-222755c c =+-解得或（舍）．8c =3c =-19．已知、是非零向量， ， 且、．a b()a ab ⊥- a = 4b = (1)求与的夹角；a bθ(2)求． 32a b - 【答案】(1)6π(2)【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可()0a a b ⋅-= a b ⋅cos a b a bθ⋅=⋅得；（2）根据32a b -=【详解】（1）解：因为，所以，即，即，()a ab ⊥- ()0a a b ⋅-= 20a a b -⋅=212a b a ⋅== 所以，所以；cosa b a b θ⋅⋅===[]0,θπ∈6πθ=（2）解：32a b-=====20．如图，在中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，，，． ABC A 23AE AD =AB a =AC b =(1)用，分别表示向量，；a b AE BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()13A a b E += 12=-+BF a b (2)证明见解析【分析】（1）由，得到，()()1122AD AB AC a b =+=+()2133AE AD a b ==+ 由，得到． 1122== AF AC b 12BF AF AB a b =-=-+（2）由（1）知，，得到即可．12=-+ BF a b 21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 23BE BF = 【详解】（1）∵，()()1122AD AB AC a b =+=+∴，∵， ()2133AE AD a b ==+1122== AF AC b ∴．12BF AF AB a b =-=-+ （2）由（1）知，12=-+BF a b ，21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∴．∴与共线．23BE BF = BEBF 又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．21．在中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos sin a B b A =(1)求B ；(2)若，求b 的值. a =3c =【答案】(1)；4B π=(2). b =【分析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；cos sin a B b A =B（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.b 【详解】（1）在中，由正弦定理得，ABC A sin cos sin sin A B B A =因为，所以，所以，0A π<<sin 0A ≠tan 1B =又因为，所以.0B π<<4B π=（2）在中，由余弦定理得，ABC A 2222cos b a c ac B =+-代入数据解得， 229235b =+-=所以b 22．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． ABCD 4AB =3AD =P CD Q BC 2BQ =（1）求；AP AQ ⋅ （2）若（，），求的值. AC AP AQ λμ=+ λμ∈R λμ【答案】（1）14；（2）. 23λμ=【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利AB AD x y A 用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，AB AD x y 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A 则，，，，.()0,0A ()2,3P ()4,0B ()4,3C ()4,2Q（1）∵，，()2,3AP = ()4,2AQ = ∴.243214AP AQ ⋅=⨯+⨯= （2）∵，，，()4,3AC = ()2,3AP = ()4,2AQ = 由，得，AC AP AQ λμ=+ ()()4,324,32λμλμ=++∴解得 244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴. 23λμ=【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。

高一 数 学 试 题（时间：1，满分：150分）一.选择题:(本大题共12小题,共60分,每小题5分)1．.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，（ｋ∈Ｚ）D.α＋β＝ｋ·360°，(ｋ∈Z)2．如果cos α与tan α异号，那么α所在象限是( )A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.第四象限 3.点P (1，－2)在角θ的终边上，则sin(180°－α)的值是( ) A.55 B.552 C.55- D.552-4.已知sin(α+π)＝ －21，则)7cos(1πα+-的值是 ( )A.332 B. －2 C.－332 D.±332 5. 已知：α+β=－π，下列等式中正确的是 ( )A ．cosα=－sinβB ．cosα=cosβC ．sinα=－sinβD ．sinα=sinβ 6.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.设a<0,角α的终边经过点P(－3a,4a),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.－52C.51D.18.若cos(π+α)= －23,21π<α<2π,则sin(2π－α)等于( )A.－23 B.23 C.21 D.±23 9.如果sinx+cosx=51,且0<x<π,那么cotx 的值是( ) A.－34 B.－34或－43 C.－43 D.34或－4310.已知tan 2α=，那么，的值为 ( )A. B. C. D.11.若角α满足sin αcos α<0,cos α－sin α<0,则α在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.已知①1+cos α－sin β+sin αsin β=0,②1－cos α－cos β+sin αcos β=0.则sin α( )A.3101- B.351- C.212- D.221- 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.tan300°+cot765°的值是_______.14.已知tan α=3,则sin 2α－3sin αcos α+4cos 2α的值是______.15.已知923)cos()cos(31=----θθπ，则)5sin()3cos(πθθπ+--的值等于 ．16.若θ满足cos θ> －21,则角θ的取值集合是__ __ 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 求下列各代数式的值:（1）5sin90°+2cos0°－3sin270°+10cos180° （2）111213sin cos tan 4sec653ππππ-+∙-（） 18.(本小题满分13分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,5),且cos α=42x,求sin α与tan α的值. 19.(本小题满分13分) 求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan θθθθθθ++=-- 本小题满分12分)设一扇形的周长为C(C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？ 21.(本小题满分12分) 已知sin α+cos α= －553,且|sin α|>|cos α|,求33cos sin αα-的值. 22．已知:sin[(1)]cos[(1)]3()sin()5k k k Z k πθπθπθ++∙+-=∈-，求tan cot θθ+的值。

高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形，则向量的长度等于（ ）ABCD AB AD AC ++A ．4B ．C ．3D ．2【答案】A【分析】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长2AB AD AC AC ++=AC 度，进而可求模长.【详解】在矩形可得,又因为,故ABCD 2AC = =C AB A A D +，故， 2AB AD AC AC ++==4AB AD AC ++ 故选:A2．（ ） sin 70sin 40sin 50cos110︒︒-︒︒=A ．B ．C D ．1212-【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】；sin 50sin(9040)cos 40︒=︒-︒=︒；cos110cos(18070)cos 70︒=︒-︒=-︒原式∴sin 70sin 40cos 40cos 70︒︒+︒︒=()cos 7040cos30=︒-︒=︒=故选：C3．若向量与向量的夹角为，，，则（ ）a b 604b = ()()2372a b a b +⋅-=- a = A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】B【分析】将等式展开，将夹角和模代入求解即可.【详解】解：因为()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅- ，24cos 6061672a a =--⨯=-解得（舍），或，所以.4a =- 6a = 6a =4．设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ） ()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由辅助角公式化简，结合选项代入，由奇偶性的定义即可求解.π()=2sin 6f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】因为，π()cos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以为非奇非偶函数，故A 错误；πππ2sin 336f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故B 正确；ππππ2sin 2sin 2cos 3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为奇函数，故C 错误；πππ2sin 2sin 666f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为非奇非偶函数，故D 错误；πππ2sin 666f x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选:B5．已知的结果是（ ）0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B ．CD ．αααα【答案】B【分析】由倍角公式化简即可.【详解】.0,,cos sin 0π4ααα⎛⎫∈∴>> ⎪⎝⎭=sin )ααααα==-=故选：B6．已知，则（ ）π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 2cos 26αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．23-2379-79【答案】D【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.【详解】π1πππsin 2cos 22cos 2sin(2)cos[(2)]62626αααααα⎛⎫-++=+=-+ ⎪⎝⎭.2πππ7cos(2)cos(2)12sin ()3369ααα=-=-=--=7．在中，已知，且，则是（ ）ABC ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】C【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC 【详解】由得，所以，所以，||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC ⊥ 所以为直角三角形；ABC 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC 综上，为等腰直角三角形. ABC 故选：C8．如图，中，，CD 与BE 交于F ，设，则ABC 2,3AD DB AE EC ==,,AB a AC b AF xa yb ===+ 为（ ）(),xyA ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭33,77⎛⎫ ⎪⎝⎭29,520⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程AF,λμ组，解之即可得解.【详解】，2,3AD DB AE EC ==()AF AB BF AB BE AB AE AB λλ∴=+=+=+- ，33(1)44AB AC AB AB AC λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭同理：()AF AC CF AC CD AC AD AC μμ=+=+=+-，22(1)33AC AB AC AB AC μμμ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，AF所以，解得，213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即为. 1132AF AB AC =+ (),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．向量共线的充要条件是存在实数，使得成立,a b λb a λ=B ．对任意向量，恒成立,a ba b a b -≤- C ．非零向量，满足，，则,,a b c //a b r r //b c//a c D ．在中，为边上一点，且，则 OAB C AB :2:3AC CB =3255OC OA OB =+【答案】CD【分析】根据共线向量基本定理、三角形三边关系可知AB 错误，C 正确；利用平面向量线性运算法则可知D 正确.【详解】对于A ，若，，则共线，但不存在实数，使得，A 错误；0a = 0b ≠r r ,a b λb a λ=对于B ，若不共线，则构成三角形，则，B 错误；,a b,,a b a b - a b a b -<- 对于C ，为非零向量，当时，；当时，， ,,a b c ∴//a b r r()a b R λλ=∈ //b c ()b c R μμ=∈ ，则，C 正确；()a c λμ∴= //a c对于D ，，，:2:3AC CB = 25AC AB ∴=，D 正确.()22325555OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ∴=+=+=+-=+故选：CD.10．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b 直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.11．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为，则（ ）()ππsin 0,0,22d A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭A ．B ． 4A =π30ω=C ．D ．cos ϕ=2.5b =【答案】ACD【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即,,A b ω0,0t d ==sin ϕ可.【详解】振幅A 即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴； 4A =22ππ6015ω⨯==；∵，d ＝0，∴，()max min 4 2.5 2.54 2.522d d b ++-+===0=t 04sin 2.5ϕ=+∴，∵，∴2.55sin 48ϕ=-=-ππ22ϕ-<<cos ϕ==故选:ACD.12．关于函数，下列结论正确的是（ ）()2ππ22sin 612f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．函数的最大值是()f x 2B ．函数在上单调递增()f x π5π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到 ()f x 2sin 21y x =+π6D ．若方程在区间有两个实根，则 ()0f x m -=π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦)1,3m ∈【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的()f x ()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最值可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；利用三角函数图象变换可判断C 选项；数型结合可判断D 选项.【详解】()2ππππ22sin 2cos 2161266f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.π1ππ22cos 212sin 216263x x x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦对于A ：函数的最大值是，A 选项错误；()f x 3对于B ：时，，是正弦函数的递增区间，故B 选项正确；π5π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ2,322x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭对于C ：函数的图象向右平移个单位得到函数2sin 21y x =+π6的图象，ππ2sin 212sin 2163y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即函数的图象，C 选项正确； ()f x 对于D ：当时，，令，则， ππ122x ≤≤ππ2π2633x -≤-≤π23t x =-π2π63t -≤≤由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，，2π3t=2π2sin113y =+=时，直线与函数在上的图象有两个交点，13m ≤<y m =2sin 1y t =+π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因此，实数的取值范围是，D 对. m )1,3故选：BCD.三、填空题13．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 1e 2e 124e e -12ke e + k 【答案】##14-0.25-【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.k 【详解】因为，是不共线向量，与共线，1e 2e 124e e -12ke e + 所以存在实数使得，所以， λ()12124e e ke e λ=-+ 41k λλ=⎧⎨-=⎩解得：. 1414k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：14-14．已知为锐角，，则__________． α11sin α=α=【答案】50︒【分析】利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范11sin 50=︒sin sin 50α=︒α围即可得解. 【详解】因为2sin(8060)2sin1401sin 802sin 40cos 40︒+︒︒===︒︒︒，sin 40111sin 40cos 40cos 40sin 50sin α︒====︒︒︒︒所以， sin sin 50α=︒又因为为锐角， α所以. 50α=︒故答案为：50︒15．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第个月从事旅游n 服务工作的人数可以近似用函数来表示(其中.当()f n ()π2π3000cos 400063n f n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1212)n =⋯，，，该旅游区从事旅游服务工作的人数在或以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，55005500那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有____个. 【答案】5【分析】令，解出的范围即可得出.π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭n 【详解】令，π2π3000cos 4000550063n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭则，π2π1cos 632n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭则， ππ2ππ2π2π,Z 3633n k k k -+≤+≤+∈解得，612212,Z k n k k -+≤≤-+∈，，112n ≤≤ 610n ∴≤≤是正整数，共5个.n Q 6,7,8,9,10n ∴=故答案为:5.四、双空题16．在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒E F 段和上，且，，则______.______.BC CD 23BE BC = 16DF DC = BC CD ⋅= ⋅=AE AF 【答案】##120.52918【分析】利用等腰梯形的几何性质求得的长，根据向量的线性运算结合数量积定义即可求得CD 的值；根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得的值. BC CD ⋅ AE AF ⋅【详解】如图，等腰梯形中，已知，，，， ABCD AB DC 2AB =1BC =60ABC ∠=︒则，则，120BCD ∠=︒221cos 601CD =-⨯⨯=则， 11||||cos(180)1122BC CD BC CD BCD ⋅=-∠=⨯⨯= 又21,,36BE BC DF DC == 延长交于P ，则,则，,AD BC 60APC ∠=︒60BC AD 〈⋅〉=所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+21()()36AB BC AD DC =+⋅+12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =⋅+⋅+⋅+⋅122121cos 6021cos 011cos 6011cos1206336︒︒︒=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ，111291331818=++-=故答案为：129;218五、解答题17．已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3(1)求；a b + (2)当为何值时，？ k ()()2a b ka b +⊥-【答案】(1)(2) 7k =-【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果. ()()20a b ka b +⋅-=【详解】（1）， 2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+= a b ∴+= （2）由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18．如图矩形ABCD ，，，AC 与EF 交于点N ．2DE EC = 2BF FC =(1)若，求的值； CN AB AD λμ=+λμ+(2)设，，试用，表示．AE a = AF b = a bAC 【答案】(1)13λμ+=-(2)3355AC a b =+【分析】（1）利用共线定理转化为，再根据平行四边形性质与，(1)CN t CE tCF =-+ 2DE EC =得出，利用待定系数即可求解； 2BF FC = (1)(1),33t t t CE AB tCF AD --=-=-13λμ+=-（2）根据，，与即可求解.AC AB AD =+ 23AE AB AD =+ 23AF AB AD =+ AC AB AD =+【详解】（1）依题意，()CN CE EN CE tEF CE t CF CE =+=+=+-(1)t CE tCF=-+ (1)33t t AB AD -=--又，所以解得．CN AB AD λμ=+ 1,3,3t t λμ-⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13λμ+=-（2）因为，，AC AB AD =+ 23AE AB AD =+23AF AB AD =+ 所以，所以．55()33AF AE AB AD AC +=+= 3355AC a b =+19．已知， sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1)求和的值tan αsin2α;(2)若，，求的大小． πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，αβ+【答案】(1)，； tan 3α=3sin 25α=(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； tan 3α=22tan sin2tan 1ααα=+（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合sin 2cos tan 2βββ=⇒=()tan αβ+范围即可.αβ+【详解】（1）， ()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２； 2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++（2）， πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭， ()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--∵，∴. ()0,παβ+∈3π4αβ+=20．已知.()()1,0,2,1a b == (1)当为何值时，与共线？k ka b - 3a b + (2)若且三点共线，求的值.23,,3AB a b BC a mb CD a b =+=+=- ,,A C D m 【答案】(1) 13-(2)．12-【分析】（1）由平行的坐标运算计算；（2）由向量共线求解．【详解】（1）由已知，，(2,1)ka b k -=-- 3(7,3)a b += 与共线，则，； ka b - 3a b + 3(2)70k -+=13k =-（2）由已知，3(3)AC AB BC a m b =+=++ (92,3)m m =++三点共线，则共线，而不共线，,,A C D ,AC CD ,a b 3(5,3)CD a b =-=-- 所以，解得．3(92)5(3)m m -+=-+12=-m 21．已知函数的部分图象如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；()f x (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函()f x π6数的图像，求的对称轴和对称中心；()y g x =()g x (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)，；， ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z(3)()2【分析】（1）根据图象求得参数，即得函数解析式，结合正弦函数性质求得该函数的单调递,,A ωϕ增区间；（2）根据三角函数的图象的变换规律可得的表达式，即可求得其对称轴和对称中心； ()y g x =（3）求出的范围，将在上恒成立转化为最值问题，即可求得参数范围. ()g x ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由图象可知，，且，解得， 2A =1152π2πππ1212T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭2ω=所以，()()2sin 2f x x ϕ=+因为，所以， 55π2sin π2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5ππ2πZ 62k k ϕ+=+∈则，因为，所以， ()π2πZ 3k k ϕ=-∈π2ϕ<π3ϕ=-所以， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得， ()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈π5πππ1212k x k -≤≤+所以函数单调递增区间为. ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知，， ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位，， ()f x π6ππ2sin 22sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则()g x ，对称轴为，，对称中心为，. ()2sin g x x =ππ2x k =+()k ∈Z ()π,0k ()k ∈Z（3）因为， ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦sin 1x ≤≤()2g x ≤≤因为在上恒成立， ()2g x m -<ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在时恒成立，()()22g x m g x -<<+()2g x ⎤∈⎦所以，222m -<+所以实数的取值范围为.m ()2+22．如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇MON 2π240,,3ON MON MON ∠∠==P A 形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平PM A OP B ,A B OP 行线，交于点.,OM ON ,D C(1)若，求； π3AOB ∠=AD (2)求四边形的面积的最大值.ABCD【答案】(1)(2)【分析】（1）记与的交点分别为，，求得,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=，进而得cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===可得结果；AD EF OE OF ==-（2）设，仿照（1）的思路，求得，，AOP x ∠=240cos ,240sin OE x AE x ==2480sin AB AE x ==，从而得的表达式，利用三角恒等变换化简，利用三角函数240cos AD x x =-=⋅S AB AD 的性质求得最大值.【详解】（1）连接，记与的交点分别为，， ,OA OB ,AB DC OP ,E F 6πAOP BOP ∠=∠=故，cos sin 120OE OA AOP AE OA AOP ∠∠====n πtan ta 33πDF AE OF ===AD EF OE OF ==-==（2）连接，记与的交点分别为，,OA OB ,AB DC OP ,E F 设， ,0,π3AOP x x ∠⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则，，cos 240cos ,sin 240sin OE OA AOP x AE OA AOP x =∠==∠=2480sin AB AE x ==， tan t π33πan DF AE OF x ===，240cos AD EF OE OF x x ==-=-所以四边形的面积 ABCD ()480sin 240cos S AB AD x x x =⋅=-)211cos sin 2cos 222x x x x x ⎫=-=+-⎪⎪⎭1sin 262πx ⎤⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎦因为，， π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以当，即时，π22π=6x +π6x =max S =。

2022年高一上学期第三次周考数学试题含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值是（）A.B、C、D、2.设函数，，集合，，则为（）A．(1，+∞)B．(0,1)C．(－1,1)D．(－∞，1)3.已知函数的定义域是(0，1)，那么的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)4.若集合,,则（）A.ABB.ABC.A=BD.A∩B=5.已知函数，若，则等于（）A．B．C．D．6.当时，函数的值恒大于，则实数的取值范围是（）A．（，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）7.已知a＞b ＞0，则的大小关系是（）A．B．C.D．8.函数（a＞0，a≠1）的图象可能是（（）A．B．C．D．9.若函数且的图象经过二、三、四象限，一定有（）A．0＜a＜1且b＜0B．a＞0且b＞0C．0＜a＜1且b＞0D．a＞1且b ＜0实用文档10.函数的图象是（）A．关于某轴成轴对称图形B．关于y轴成轴对称图形C．关于直线轴对称图形D．关于原点中心对称图形11.函数在定义域R上不是常数函数，且满足条件，对任意，都有，则是（）A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶12、若函数为定义域上的单调函数，且存在区间（其中），使得当，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数。

若函数是上的正函数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若函数（其中a＞0且a≠1）的图象经过定点P（m，n），则．14.方程的解是_____________________.15.已知是上的减函数，那么的取值范围是.16.已知函数若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知求的值.实用文档18.（本小题满分12分）求函数的值域和单调区间。