层流边界层积分近似解

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层流边界层积分近似解

y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
基本思路

1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
谢谢观赏
背景

1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得的结果称为边界层问题的近似解。边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种推倒方法比较简捷。
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u

a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：

平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进

(17)
·590 ·
鞍山科技大学学报第 29 卷
1 2
CD
=
ν∞ x ν=
1 2
α1
dF dη
η= 0
=
1 - 01215β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
基本边界条件式。
把式 (14) 带入边界层积分方程中 ,确定边界层中的特征量和 CD ,并确定近似速度剖面对应的β值。
对应式 (14) 的 α1 ,α2 和ddηF η= 0 的值分别为
∫ ∫ α2 =
1
(1 - F) dη =
0
1
1-
0
βsin
πη 2
+
(1
-
β) (2η -
2η3
+ η4 )
01005
420
55β2
这是边界层厚度δ的一阶常微分方程 ,根据边界条件 δ| x = 0 = 0 ,积分上式可得
δ
ν∞ νx
=
2 (2 - 0143) 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
(15)
由式 (3) 和式 (15) 以及 α1
,α2
和
dF dη
(8)
文献[ 1 ] 给出的公式
F (η) = 11635η - 01905η3 + 0127η4
(9)
文献[ 2 ] 给出的公式
F (η) = 11674 9η - 01769 3η3 + 01061 3η6 + 01033η8
(10)
满足边界层条件 F (0) = 0 , F (1) = 1 , F′(1) = 0 , F″(0) = 0 。

层流边界层流动和换热的相似解(一)18页PPT

即
dp p
dx x
其中 ddpxuddux若 dd ux0，d d则 p x0
带入化简后的动量方程式得
（ u u xv u y) 1d d p x y 2u 2
（3）边界层能量方程，经类似分析有： u xt v yt a y2t2
（4）综上，经数量级分析简化后的控制方程为：
uv0 x y
法则：（1）明确数量级分析得区域空间；（2）任何方程至少有两个数量级相等的主要控制项；（3） C=A+B,若○(A)>> ○(B),则○(C)= ○(A)；
若○(A) ~○(B),则 ○(C)~○(A) ~○(B)；（4） P=AB, ○(P)~○(A)·○(B) （5）R=A/B， ○(R)~○(A)/○(B)
可忽略分母为平也可以通过下法分析简化压力项考虑边界层内任一点的压力全微分dy除以dx得到dxdydxdp从动量方程的数量级分析考虑压力项和摩擦项平衡如方程1有分析过程类似地由方程2得dxdydxdp一致即边界层的压力主要在x方向换言之在任意x处边界层的压力与边界层外缘处压力相同dxdpdxdp带入化简后的动量方程式得3边界层能量方程经类似分析有
连续性方程
uv0 x y
（ u u x v u y) 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
动量方程
能量方程
边界条件
u x tv y ta( x 2T 2 y 2T 2)
u|y00,v|y00,t|y0tw u|yu,t|yt uconst
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
层流边界层流动和换热的相似解(一)
幽默来自智慧，恶语来自无能
层流边界层流动和换热的相似解（一）
第二版 8—3 P161

高等热值交换技术边界层的流动和换热

w f x
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖应用龙格-库塔法求得同样问题的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠平壁层流边界层流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局部努谢尔特数为：
Nu
1

Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热，若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程对边界层微分方程进行积分
积分方程 25

柯尔本类似律在化工传递过程中的应用

关键词：柯尔本类似律；柯尔本因数；热；传传质
中图分类号：Ｋ１３Ｔ２文献标识码：ＡＺＮｕｎｓｅｇＥＧＱａ－ｈｎ
（ｏｌｅｏｈｍｉｌｎｉｅｒｇ。ｆｉｎｖｒｔｆｅｈｏｏｙＨｅｅ２００，ｈｎ）ＣｌｇｆｅｃｇｅｉＨｅｅＵｉｅｓｙｏｃｎｌｇ，ｆｉ３０９ＣｉａｅＣａＥｎｎｉＴ
ｊ
近似取ｎ，（ — ）＝１式２１即为式（－）进而可１２，
得：
由于质量传递与热量传递的类似性，流体在平
（— ）２２
；ＪＬ２Ｈ
板壁面上层流边界层区域的对流传质与对流传热的机理相似、数学模型相似、求解过程相似、求得的结果也相似，所得的局部修伍德数为【：】
行于平板壁面上流动时，只有摩擦阻力，界层厚边度随距前沿距离的增大而变厚。当值较小时，边
联立上述公式，即得一个形式非常简单的公
式：
庐（— ）１７
该式集“ 三传 ” 于一身，是动量、热量和质量传递的柯尔本类似律［。２１
阻力系数、对流传热系数与传质系数是在计算化工传递过程速率（流动阻力、传热速率与传质速率）首先要确定的传递系数。它们都是雷诺数的时
函数，者具有类似性，缺少实验数据时，三在可应用
对于光滑管中的湍流流动，化学工程文献中常用的一个经验方程为…：
由式（— ）１２可得：

第6章层流的解析解与近似解

第6章层流的解析‎解与近似解‎粘性流动基‎本方程组的‎解析解有着‎它固有的数‎学困难，真正能做解‎析解的流动‎为数不多，而且都是比‎较简单的流‎动。

本章将介绍‎几种粘性流‎动的解析解‎，有助于我们‎开阔思路，认识多种实‎际流动的性‎质。

首先先介绍‎一下粘性流‎研究的意义‎和研究的特‎点以及粘性‎流动的基本‎方程组，接着介绍一‎些解析解。

在介绍解析‎解时先考虑‎常特性不可‎压缩流体，通过基本方‎程，解得流场的‎速度和温度‎分布，最后求出摩‎擦阻力系数‎和热交换系‎数。

为了认识可‎压缩流动的‎特性，介绍两种简‎单的可压缩‎流动的解析‎解。

另外本章只‎限于雷诺数‎不大的流动‎。

6.1 粘性流研究‎的意义一切流体都‎具有粘性，但是人类最‎经常接触的‎流体，如水和空气‎其粘性都很‎小，要考虑粘性‎的影响就会‎使数学问题‎变得非常复‎杂；另外，对于这些粘‎性小的流体‎，忽略其粘性‎所得到的结‎果又能在一‎定程度上符‎合实际情况‎，因此，理想无粘性‎流体理论最‎先得到了发‎展，它比粘性流‎体理论要成‎熟得多。

应当指出，虽然理想流‎体理论取得‎了重大的成‎就，但在某些方‎面却有不可‎逾越的先天‎性缺陷。

例如，它不能预估‎管道流动的‎压力损失，也不能计算‎在流体中运‎动的物体所‎受到的阻力‎。

后一问题与‎著名的达朗‎伯疑题有关‎。

达朗伯对理‎想流体进行‎了严谨的研‎究后得出了‎如下结论：当任意形状‎的固体在静‎止的充满无‎限空间的无‎粘性流体中‎作匀速直线‎运动，它不承受沿‎运动方向的‎作用力，即物体所受‎阻力为零。

在他所做假‎设的前提下‎，这一结论的‎逻辑推理是‎完全正确的‎，但它却与实‎际完全不符‎，因为所有的‎物体在流动‎中运动时都‎受到阻力作‎用。

这从反面说‎明了考虑粘‎性的必要性‎。

例1 圆柱绕流对于理想不‎可压缩流体‎，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压‎，ρ——流体密度。

空气动力学基础第五章边界层理论及其近似解读

u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
0 1 p y
这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是， p与y无关，仅是x和t的函数。即
p pe ( x, t )
忽略质量力，Prandtl边界层方程变为
u v 0 x y
0
1 1
0

u dy e ue
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因此，称其为排移厚度。（b）边界层动量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为
K i u e udy
0

由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。 2、边界层的特征（1）边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度。

层流边界层方程积分方程

8-4 层流边界层的积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式（m不是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4

h

(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y

0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3

0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得

t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x

边界层

dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1，并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue

04-3(边界层积分解)

Note : no shear force in bd
2019/4/15 13
0
b
u
d
于是动量定律可表达为
u
dy
pl l

dp p dxl dx
d l2 dl u ( u dy ) dx u dx udy wdxdx 0 0 dx dx y y0 dp wdx l dx (c) 由于存在以下关系： dx
2019/4/15 5
A m
b
u
l
d

l
0
udy
u
dy

c
l 0
udy
a
Asurface
d l 0 udy dx dx
dx
m 0
mass flow mass flow mass flow through through through ab bd cd
2019/4/15
22
d du ( u u ) udy ( u u ) dy (1) w 0 0 dx dx
在本问题中，u∞为常数，动量积分方程式（1） ) 左边的第二项为0。再引入 w (du dyy0，式（1）为 d du
( u u ) udy 0 dx dy
c
p 0
b
d
tudy
l
u
l
t
(f)
单位时间内穿过cd面带出控制容积的热量为
d l c tudy c ( tudy ) dx (g) a p 0 p0 dx

第四章边界层

ux ux 1 p μ 2ux ux uy x y ρ x ρ y 2
ux u y 0 x y
B.C. (1)
y 0, ux 0 , u y 0
(2)
y δ , ux u0
(2) y , ux u 0
普朗特边界层方程
二、普朗特边界层方程的解
3. 在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。
分为两个截然不同的区域外部流动区域
u0
u0
δ
边界层
二、边界层的形成过程
1. 平板壁面上的速度边界层当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流动时，速度边界层的形成过程见图：
二、边界层的形成过程
首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。
第四章边界层理论基础
边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出，用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理论不但在动量传
递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。
本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点以及某些简单边界层的求解等问题。
第四章边界层理论基础
为什么要提出边界层理论？对于某些流动问题，其惯性力>>黏性力。采用理想流体理论简化处理时，流体的压力与实验结果非常吻合；但流动阻力的结果偏差很大。Prandtl 发
考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有 2 ρu0 p2 y p1 p 常数 2
du0 dp ρu0 0 dx dx
dp 0 dx
u0
0

激波诱导的层流边界层方程的近似解析解

引入流函数（Ｙ，）和相似变量田。
＝叼＝（）８
容易看出，值问题式（６一式（７可以独立边１）１）求解，且从推倒过程可以看出，并只有问题的负解才有实际的物理意义。本文只求解动量方程式
１边界层控制方程
设（Ｙ，）为建立在激波面上的坐标系（运动坐
标系） “ 为相应平行于轴和Ｙ轴的速度分量，，，
ｄ／＝，ｐ０则在该坐标系下的流动是定常的，假设流动为层流，于＞０描述质量、对动量、能量守恒的边界层控制方程为１２］
流动在非静态波动现象的研究中是非常重要的。对
这一问题的研究最突出的具有代表性的工作应该是Ｍｉｓ１５，９６首先利用积分近似的方法给出ｒ ¨ （９５１５）ｅ了问题的数值解及大量的数值计算结果。国外学者
Ｔｏｐｏｈｍｓｎ和Ｓｈｉｔｇｃｉｃｉｌｈｎ，后来，ａｅａ和Ｎｃ— Ｃｌｇｒｌｉａｈ
０
（）１
Ｏｙ
＝
榆林学院高学历人才科研启动基金项目（８Ｋ２）０Ｇ０６资助第一作者简贪：徐云滨（９９，，１７一）男山东临沂人，讲师，硕士，研究方
向：分方程理论。微
ａａ吉ｙａｙ、ｙ、口（，旦２Ｏ）ｐｕ）（）（ｃｃ＋＝＋嚣雾）３（
析解和相应的壁摩擦因数近似值，该近似解析解具有快速收敛性和易于计算性。最后对近似解所推出结果和所得壁摩擦因数

层流的解析解与近似解

层流的解析解与近似解第6章层流的解析解与近似解粘性流动基本⽅程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，⽽且都是⽐较简单的流动。

本章将介绍⼏种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。

⾸先先介绍⼀下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本⽅程组，接着介绍⼀些解析解。

在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本⽅程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻⼒系数和热交换系数。

为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。

另外本章只限于雷诺数不⼤的流动。

6.1 粘性流研究的意义⼀切流体都具有粘性，但是⼈类最经常接触的流体，如⽔和空⽓其粘性都很⼩，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得⾮常复杂；另外，对于这些粘性⼩的流体，忽略其粘性所得到的结果⼜能在⼀定程度上符合实际情况，因此，理想⽆粘性流体理论最先得到了发展，它⽐粘性流体理论要成熟得多。

应当指出，虽然理想流体理论取得了重⼤的成就，但在某些⽅⾯却有不可逾越的先天性缺陷。

例如，它不能预估管道流动的压⼒损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻⼒。

后⼀问题与著名的达朗伯疑题有关。

达朗伯对理想流体进⾏了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静⽌的充满⽆限空间的⽆粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动⽅向的作⽤⼒，即物体所受阻⼒为零。

在他所做假设的前提下，这⼀结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻⼒作⽤。

这从反⾯说明了考虑粘性的必要性。

例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sinspp pCUθρ∞∞-==-其中p∞——远前⽅静压，ρ——流体密度。

图6-1给出了上述理想流体的压⼒系数与实际测量值的⽐较。

图中的实验曲线对应于两个不同的Re数。

图6-1 圆柱表⾯的压⼒分布，理想流体理论与实验测量数据的⽐较由图6-1可见，在圆柱的前缘（0οθ=和360ο）附近，理想流体的理论结果与实际符合较好。

自然对流层流边界层的相似解求解方法

当n＝0时，常数，即常壁温状态。若n＝1/5，则壁面温度的变化与常热流边界条件给定的规律一致。由式(10-2-16)有
考虑
上式可写为
当n=1/5时，
，上式变为
即常热流边界条件。
表10-2给出了常热流时的相似解。需要指出的是，尽管常热流条件存在相似解，但壁温是待定量，因而Gr不是已知值，斯帕罗等提出以下修正：
自然对流层流边界层的相似解求解方法
（常热流条件下）
不难观察到，竖直板附近的自然对流产生的流动层与竖直板高度相比，边界层很薄，与受迫对流不同的是其主流速度和层外静压。可以设想，竖壁附近自然对流的层流边界层也采用相似方法来求解。
Hale Waihona Puke 杨光祖分析了等壁温状况，发现壁温按指数规律变化时，同样存在相似解：相似变量与常壁温相同，得到
式中各项均为已知值，富级(Fuji)等给出了用表示的准则关联式：
• 一些文献指出，自然对流问题中物性变化的影响较大，应用Ra作为流态的判据。因 Ra＝Gr Pr，主要依据并不是恰当的边界层厚度的数量级，并且它随Pr变化很大。同样，无量纲速度采用其随Pr数量级亦有较大的变化。

外掠平板层流流动边界层微分方程积分解的实现

+
µ ρ
∂2u ∂y 2
(6)
在边界层外缘：
ps
+
1 2
ρus2
= const
(7)
能量方程为：
u
∂t ∂x
+
v
∂t ∂y
= a ∂∂y2t2
(8)
边界条件为：
=y 0,=u
y
=∞,
u
0= , v =us , v
0=, t =0, t
tw =ts
(9)
方程(5)~(8)除可采用量级分析法得出外，文献[11]和[12]分别用摄动法和尺度化分析法导出边界层微分方程。
外掠平板层流流动边界层微分方程积分解的实现
林志敏1*，张永恒2，张旭耀2，王良璧1
1兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州 2兰州交通大学新能源与动力工程学院，甘肃兰州
收稿日期：2021年2月3日；录用日期：2021年4月2日；发布日期：2021年4月9日
摘要
边界层理论及其在典型流动问题中的应用是流体力学和传热学的重要内容，通过对外掠平板层流流动和换热等问题的分析，可以揭示流体流动和传热的基本规律，是认识更为复杂流体流动和传热现象的基础。在分析和介绍边界层微分方程建立方法、相似变量表达式以及边界层方程典型解法的基础上，重点探讨了外掠平板边界层相似变换微分方程的积分解解法，并给出了相应的MATLAB计算程序。计算结果表明，边界层相似变换微分方程的积分解法简单、易行，该方法对于教师讲解和学生理解边界层流动和传热特性有积极作用。
Creative Education Studies 创新教育研究, 2021, 9(2), 285-292 Published Online April 2021 in Hans. /journal/ces https:///10.12677/ces.2021.92045

平板层流边界层的近似计算

平板层流边界层的近似计算§8-4平板层流边界层的近似计算作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。

如图所示：设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。

坐标原点在平板前缘点上，来流的沿x轴，板长为l。

假定来流流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。

现在要求的是边界的厚度的变化规律和摩擦阻力F D。

由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改变。

所以，在边界层外边界上，，由势流的伯努利方程：两边对x求导，则：即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。

而边界层内，。

所以整个边界层内向点压力相同。

即整个流场压力处处相等。

代入上式则变成：(1)(1)式中有三个未知数u，，δ，所以再补充两个方程。

①当x固定时，假设边界层内速度u的分布为：(2)可以看出层内随y↑—>u↑，这和实际情况是符合的。

边界条件：1) 壁面外，y=0，u=0；2) 边界层外边界处，y=δ，u= V∞；3) 边界层外边界处，y=δ，；4) 边界层外边界处，由于u=V∞，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上：5) 在平板壁面处，y=0，u=υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得：；把边界条件代入(2)式，得：再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为：再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得：(3) 再将上式代入(1)式求积分，则得到：(4)(5) 将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：，积分得：确定积分常数C，x=0， =0，C=0，于是得：，它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。

其系数为4.64。

因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。

由上式可看出：x—>δ；V∞—>δ↓。

将δ表达式，代入(c)式，得切向应力：从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。

边界层理论及其近似

z
v x
u y
u y
o
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
u
L t
ue ,
v u,
v
t
L / ue
L ue,
v ue
1 Re
（3）压强与外流速度的平方成正比
p ue2
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
19/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组各项量级比较:
u v 0 x y
ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
陆士嘉
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EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
1. 边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结
为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空气流过翼型的物理图画：

平板层流边界层速度分布的一种最佳近似解析解

１９０５年，Ｐｒａｎｄｔｌ为解决小粘性流动问题提出了著名的边界层理论．这一理论不仅对流体力学的发展起着重要的作用，在其他工程领域也得到了广泛的应用和重视．在应用边界层积分方程近似求解零攻角平板绕流问题时，为了得到与微分方程精确解更接近的摩擦阻力计算公式，关键在于选择近似速度分布．经典的方法是选择一个最佳的速度分布函数，使之满足基本的边界条件．通常，边界层理论中描述
0332烄烆烌烎332291第1期唐树江等平板层流边界层速度分布的一种最佳近似解析解表1不同指数下的速度分布tab1velocitydistributionaboutindexnumbersk12f0v槡vx67031v槡vxv槡vx12cdvxv槡10001210028172718318879081050405347115001288032361947754991177930708403542141617501315033871770851900175800682403412618188013270345517022506561750206721033602731940133203485167445014317472066790333917619701336035101657149910174610666103331148198013360350316571498101745006659033301482000133703513164874966017450066410332016030001398038631395644680172630625303132134表2把速度分布函数式9中k1971982时的值一次多项式6四次多项式7八次多项式8以及布拉修斯精确解进行了比较从表中数据可以看出本文所给的函数可选择的余地更多也更能与精确值相对应

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4 2 1
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路

1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx

0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y

y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx

0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解

报告人：慈超学号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景

1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得的结果称为边界层问题的近似解。边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而求出表面传热系数。为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点，因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数

作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种，主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
谢谢观赏
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u

a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：

0
140 d 13 u

0
x
dx

x

280 1/2 4.64 Re x 13 u x

x

280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数

以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了，尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a

层流边界层积分近似解

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