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函数图像的变换(周期,平移,对称)

函数的变换（平移，对称，翻折，周期）

【自主梳理】

1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向平移单位而得到．

() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向平移单位而得到．

() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为，

不变而得到．

4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为，

不变而得到．【自我检测】

1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点． 2．函数2x

y =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为． 3．将函数lg()y x =-的图象可得函数lg(1)y x =-+的图象．

4．函数x

y x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的2

倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数

解析式为． 6．为了得到函数3

x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向平移个单位长度．二、课堂活动：【例1】填空题：

（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为

．

（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的

位置，那么直线l 的斜率是

．

（3）要得到函数sin(2)3

y x π

=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象

．（4）若函数

()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6

π平移后，它的一条对称轴是4

x π

，则θ

的一个可能的值是．

【例2】作出下列函数的图象．（1）1

2x y -= （2）21

x y x +=

【例3】（1）函数()

24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？

（2）函数21cos cos 12y x x x =

+?+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【自主梳理】

1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于

对称；

（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．

3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线对称． 4．对0a >且1a ≠，函数x

y a =和函数log a y x =的图象关于直线

对称．

5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．

6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．

3．函数y e =-的图象与函数的图象关于坐标原点对称．

4．将函数1()2

x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对

称，则C '的解析式为．

5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关于对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为．二、课堂活动：

（1

（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为

．

①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有

(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．

（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是

．

【例2】作出下列函数的图象：（1）12

log ()y x =-；（2）12x

y ??

=- ???；

（3）2log y x =；（4）21y x =-．

【例3】（1）将函数12

log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于

原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式；（2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．

①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；

②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．

一.周期函数的定义：

设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。二.常见结论 (约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；

(2)()()f x a f x +=－，或()()f x a f x +=－a 或)0)(()

)(≠=

+x f x f a x f ，或1

()()

f x a f x +=-

(()0

f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；例题：

例1：设()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x

f x +=－且(3)f =5，则(21)f =－______________，(2005)f =______________

例2：设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足1

(2)()

f x f x +=

，当0≤x ≤1，()f x =2x ，则(7.5)f =______________

例3：设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)(2)f x f x -=+，(1)f =2，则

(2)(7)f f +=______________

(3))0)(()

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.

(5) ①若f(a + x)=f(a －x) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若f(a + x)=f(a －x) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数。（6）①若f(a + x)=－f(a －x) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；

②若f(a + x)=－f(a －x) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；三.练习 1.求函数值

例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值

例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值

2. 求函数解析式

例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当

[]

2,0x ∈-时，f(x)=－2x+1，则当

[]

4,6x ∈时求f(x)的解析式

3.判断函数的奇偶性

例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=1

()

f x -

，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.

4. 确定方程根的个数

例5：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？

课后作业(一）

1．把函数2

(2)2y x =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为．_____________

2．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，则函数(3)2y f x =-+的图象经过的定点为．_____________ 3．函数1

1y x =-+的图象是．_____________

4．为了得到函数sin 26y x π?

=- ??

的图象，

可将函数sin 26π?

=+ ??

y x 的图象．

_____________ 5．要得到函数122

y -=的图象，只需将函数1()4

y =的图象．_____________

6．若函数(2)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象有对称轴．_____________

7．将2log (31)y x =-的图象向右平移1

一个单位，得到图象1C ，再将1C 上所有点的横坐标变为原来的3（纵坐标不变）得到图象2C ，再把2C 向上平移a 个单位得函数2log (25)y x =-的图象，则a =_____________．

8．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)4

2sin(2π

+=x y 的图象上所有的点

的．

_____________

9．已知函数()f x 的图象可由函数2

4()2x m g x x

+=()0m ≠的图象向右平移两个单位长度得到．

（1）写出函数()f x 的解析式；

（2）当x M ∈时，函数()f x 的最大值为2

2m +，最小值为2

m -，试确定集合M ．

10．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???

=+>>< ??

的图象(部分) 如图所示．

(1) 求函数()f x 的解析式；

(2) 若函数1()1sin 2

g x x =+的图象按向量(, )h k =m ( || )2

h π

<平移后得到函

数()y f x =的图象,求向量m ．

课后作业（二）

1．函数3

(1)1y x =++的对称中心是_____________．

2．如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则

()f x =_____________．

3．设()3

x a

f x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a =_____________．

4．已知函数()sin2cos2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12

x π

，则

a =．_____________

5．已知函数2

()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()x

f b 与()x

f c 的大小关系为_____________． 6．函数32

x y x +=-

+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为_____________．

7．若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点_____________．

9．设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+．（1）求()f x 的最小正周期；

（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4

[0,]3

x ∈时()y g x =的最大值．

10．设曲线C 的方程是3

y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ．（1）写出曲线1C 的方程；

（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22

t s A 对称；

（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：3

t s t =-．

(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.

函数图象的对称变换

课题：函数图像的对称变换（2课时）学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。教学目标：（1）通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。（2）通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。（3）能数形结合解决想过题目。教学过程：欣赏图片，感受对称一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于对称． 2、奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称． 3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则 ()y f x =的图像关于直线对称．

（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点对称． 4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线对称． 5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变． 6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．二、学生先独立完成，再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为． 5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关于对称． 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为．二、典例教学【例1】填空题：（1 （2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有

函数图像平移公式

函数图像平移公式设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有： 1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=- 2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+ 3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=- 4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+ 这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减” 说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。例一、抛物线3422---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式。解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422 ---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y 即371622---=x x y 例二、将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。解：所求抛物线可以看成是将抛物线322 +-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y 例三、求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y

函数图像的平移变换与伸缩变换

函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

函数图象变换的四种方式一，平移变换。（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。（简记：左加右减，这里的a>0。）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。

三角函数图象的平移和伸缩

3 得 y =A sin( x + )的图象? 向 ?上平 ( ? 移 k k ? 个 )或单向? 位下长 ? (k 度 ?) → 得 y = A sin(x + )+k 的图象． y = sin x 纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2 y = sin(x + ) y = sin(2 x + ) 横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1) y =sin x 的图象 ??? ??????→ y = 3sin(2x + 三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x + ) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩向左( >0)或向右( 0) y = sin x 的图象 ??平 ? 移 ? 个单 ? 位长 ? 度 ?→ 得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短 (>1) 到原来的1(纵坐标不变) 得 y = sin(x +)的图象纵坐标伸长(A 1)或缩短(0

横坐标伸长(0 1)或缩短(1) ????????→ 到原来的 1 (纵坐标不变) 向左( 0)或向右( 0) 得 y = A sin(x ) 的图象 ???平移 ?个 ? 单位 ??→ 得 y = A sin x ( x + )的图象??平 ?移 k ?个单 ?位长 ?度 ?→得 y = A sin( x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变 y = 3sin(2x + ) 纵坐标伸长为原 3 来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin 2x + π +1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin 2x +π 的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin 2x + π 的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2 x + π 的 2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象．得 y = A sin x 的图象 y = sin2 x y = sin(2x + )