函数 图像的平移变换与伸缩变换

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。

②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。

③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数的基本变换函数是数学中的基本概念之一，它描述了独立变量与因变量之间的关系。

在数学中，我们经常会进行函数的变换，以便研究其性质和特点。

本文将介绍函数的基本变换，包括平移、伸缩、翻转和复合等。

一、平移变换平移变换是将函数沿着坐标轴的方向上移动一定的单位长度。

对于一元函数f(x)，平移变换可表示为f(x-a)，其中a为平移的长度。

平移变换后的函数与原函数形状相同，但是在坐标系上向左或向右移动了a个单位长度。

二、伸缩变换伸缩变换是将函数在坐标轴的方向上进行拉伸或压缩。

对于一元函数f(x)，伸缩变换可表示为af(x)或f(ax)，其中a为伸缩的比例因子。

当a大于1时，函数在坐标系上沿x轴方向上拉伸；当0＜a＜1时，函数在坐标系上沿x轴方向上压缩。

三、翻转变换翻转变换是将函数在坐标轴的方向上进行反转。

对于一元函数f(x)，翻转变换可表示为-f(x)或f(-x)。

当函数翻转后，其图像将沿y轴对称或x轴对称。

四、复合变换复合变换是对函数进行多次变换的组合操作。

例如，可以先进行平移变换，然后再进行伸缩变换，并且还可以进行翻转变换。

通过复合变换，可以将函数的图像在坐标系上进行任意的平移、伸缩和翻转，从而得到具有不同特点的函数。

总结：函数的基本变换是函数研究中常用的操作。

通过平移、伸缩、翻转和复合等变换，我们可以改变函数的位置、形状和特性，进而深入理解函数的性质。

在实际应用中，函数的变换也常常用于图像处理、信号处理和数据分析等领域。

以上是关于函数的基本变换的介绍，希望对您有所帮助。

函数的变换是数学中的重要概念，对于深入理解和应用函数具有重要意义。

通过变换操作，我们可以更好地把握函数的特性和变化规律，为数学研究和实际应用提供有力支持。

函数的平移伸缩与翻转变换函数的平移、伸缩与翻转变换是数学中常见的概念，可以用来描述函数图像在坐标平面上的变化。

在数学和物理等领域中，函数的变换是解决问题和求解方程的重要工具。

本文将介绍函数的平移、伸缩与翻转变换的定义、原理和常见应用。

一、平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。

平移变换可以使函数图像向左、向右、向上或向下平移。

1. 向左平移：函数图像沿x轴的负方向移动。

设原函数为f(x)，向左平移a个单位后的新函数为f(x + a)。

2. 向右平移：函数图像沿x轴的正方向移动。

设原函数为f(x)，向右平移a个单位后的新函数为f(x - a)。

3. 向上平移：函数图像沿y轴的正方向移动。

设原函数为f(x)，向上平移b个单位后的新函数为f(x) + b。

4. 向下平移：函数图像沿y轴的负方向移动。

设原函数为f(x)，向下平移b个单位后的新函数为f(x) - b。

二、伸缩变换函数的伸缩变换是指对函数图像进行扩大或收缩的操作。

伸缩变换可以使函数图像在x轴和y轴方向上发生变化。

1. 水平伸缩：函数图像在x轴方向上进行横向拉伸或压缩。

设原函数为f(x)，横向拉伸k倍后的新函数为f(kx)。

2. 纵向伸缩：函数图像在y轴方向上进行纵向拉伸或压缩。

设原函数为f(x)，纵向拉伸k倍后的新函数为k * f(x)。

3. 水平压缩：函数图像在x轴方向上进行横向压缩。

设原函数为f(x)，横向压缩k倍后的新函数为f(x/k)。

4. 纵向压缩：函数图像在y轴方向上进行纵向压缩。

设原函数为f(x)，纵向压缩k倍后的新函数为f(x) / k。

三、翻转变换函数的翻转变换是指通过轴对称来改变函数图像的位置。

翻转变换可以使函数图像关于x轴或y轴对称。

1. 关于x轴对称：函数图像沿x轴翻转。

设原函数为f(x)，关于x 轴对称后的新函数为-f(x)。

2. 关于y轴对称：函数图像沿y轴翻转。

设原函数为f(x)，关于y 轴对称后的新函数为f(-x)。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。

当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。

通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。

函数的平移与伸缩变换函数的平移与伸缩变换是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。

在本文中，我将详细介绍函数的平移与伸缩变换的概念、特点和应用。

1. 函数的平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴进行平移的操作。

平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移变换是指将函数的图像在横坐标方向上移动一定的距离。

如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平平移变换后的函数可以表示为y=f(x-a)，其中a为平移的距离，当a>0时，图像向右平移；当a<0时，图像向左平移。

垂直平移变换是指将函数的图像在纵坐标方向上移动一定的距离。

如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直平移变换后的函数可以表示为y=f(x)+b，其中b为平移的距离，当b>0时，图像向上平移；当b<0时，图像向下平移。

函数的平移变换有许多重要的特点。

首先，平移变换只改变了函数图像在坐标轴上的位置，而没有改变函数的形状。

其次，平移变换不改变函数的定义域和值域。

再次，平移变换后的函数与原函数具有相同的奇偶性。

最后，平移变换是可逆的，即可以通过反向平移将函数恢复到原来的位置。

2. 函数的伸缩变换函数的伸缩变换是指根据比例因子来改变函数图像的形状和大小的操作。

伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种情况。

水平伸缩变换是指将函数的图像在横坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。

如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行水平伸缩变换后的函数可以表示为y=f(kx)，其中k为伸缩的比例因子。

当k>1时，图像水平拉伸；当0<k<1时，图像水平压缩。

垂直伸缩变换是指将函数的图像在纵坐标方向上进行拉伸或压缩的操作。

如果函数的基础形状是y=f(x)，那么进行垂直伸缩变换后的函数可以表示为y=af(x)，其中a为伸缩的比例因子。

当a>1时，图像垂直拉伸；当0<a<1时，图像垂直压缩。

函数图像的平移与伸缩是函数图形变换中的两个重要概念，对于理解函数的性质和应用函数的图像具有重要意义。

下面，我们将详细讨论这两个概念，以及它们在各个方面的应用和影响。

一、函数图像的平移函数图像的平移可以分为水平平移（或称为横向平移）和垂直平移（或称为纵向平移）。

这两种平移方式在函数图像上产生的变化是直观的，并且遵循一定的数学规则。

1. 水平平移：当我们将函数图像沿x轴方向进行平移时，我们称之为水平平移。

具体来说，如果将函数f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位（a>0），那么新的函数将是f(x+a)；如果向右平移a个单位，新的函数将是f(x-a)。

这种平移对函数的影响是，其对应的x值在图像上发生了变化，但y值保持不变。

例如，考虑函数y=x^2。

如果我们将这个函数的图像沿x轴向左平移3个单位，那么新的函数将是y=(x+3)^2。

这意味着在新的函数中，每一个y值对应的x值都比原来的x值大3。

2. 垂直平移：与水平平移相似，当我们将函数图像沿y轴方向进行平移时，我们称之为垂直平移。

如果将函数f(x)的图像沿y轴向上平移b个单位（b>0），那么新的函数将是f(x)+b；如果向下平移b个单位，新的函数将是f(x)-b。

这种平移对函数的影响是，其对应的y值在图像上发生了变化，但x值保持不变。

再以函数y=x^2为例，如果我们将这个函数的图像沿y轴向上平移5个单位，那么新的函数将是y=x^2+5。

这意味着在新的函数中，每一个x值对应的y值都比原来的y值大5。

二、函数图像的伸缩函数图像的伸缩可以分为水平伸缩（或称为横向伸缩）和垂直伸缩（或称为纵向伸缩）。

这两种伸缩方式同样对函数图像产生直接的影响，而且也有明确的数学表达形式。

1. 水平伸缩：当我们对函数图像进行水平方向上的伸缩时，我们称之为水平伸缩。

具体来说，如果将函数f(x)的图像在水平方向上压缩k倍（k>0，且k≠1），新的函数将是f(kx)；如果拉伸k倍，新的函数将是f(x/k)。

函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b&gt;0)。

2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k&gt;0，且 k &ne;1)。

3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。

(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b&ne;0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b&ne;0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。

函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。

伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。

2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。

3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。

4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。

二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。

2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。

3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。

4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。

函数图像平移与伸缩变换的统一解法_于发智函数图像的平移和伸缩变换是数学中常见的操作，在图像处理、函数的图像分析等领域都有广泛的应用。

在学习过程中，我们通常会分别研究平移变换和伸缩变换，并使用不同的方法求解。

然而，通过一种统一的解法，可以更加简洁地处理这两种变换。

首先，我们先来回顾一下平移变换和伸缩变换的定义和性质：1.平移变换：对于函数图像y=f(x)，平移变换的一般形式可以表示为y=f(x-h)+k，其中(h,k)表示平移的横向和纵向偏移量。

当h为正值时，图像向右移动；当h为负值时，图像向左移动；当k为正值时，图像向上移动；当k为负值时，图像向下移动。

2. 伸缩变换：对于函数图像y=f(x)，伸缩变换的一般形式可以表示为y=a*f(bx)+c，其中a表示纵向的拉伸或压缩因子，b表示横向的拉伸或压缩因子，c表示纵向的平移量。

当a大于1时，图像纵向被拉伸；当我们现在来介绍一种统一的解法，这种解法可以同时处理平移变换和伸缩变换。

假设我们有一个函数图像y=f(x)，我们要对其进行平移和伸缩变换。

首先，我们将平移和伸缩变换合并为y=a*f(b(x-h))+k+c的形式，其中(a,b)表示伸缩变换的参数，(h,k,c)表示平移变换的参数。

那么，如何确定参数(a,b,h,k,c)的值呢？我们可以利用已知条件，将原函数图像上的一些点的坐标代入变换后的函数中，然后求解这些方程，得到参数的值。

具体步骤如下：1.选择原函数图像上的一些点，记为P(x1,y1)、Q(x2,y2)、R(x3,y3)等。

2.代入变换后的函数y=a*f(b(x-h))+k+c中，得到方程组：a*f(b(x1-h))+k+c=y1a*f(b(x2-h))+k+c=y2a*f(b(x3-h))+k+c=y3...3.通过求解方程组，可以得到参数(a,b,h,k,c)的值。

通过这种统一的解法，我们可以同时处理平移变换和伸缩变换，并且不需要分别对两种变换进行求解，大大简化了问题的求解过程。

函数的伸缩平移变换的规律函数的伸缩平移变换是数学中研究的一个重要问题，它描述了函数图像在坐标系中的变换规律。

通过对函数进行伸缩和平移操作，可以改变函数的形状、位置和大小，从而得到新的函数图像。

本文将详细介绍函数的伸缩平移变换的规律及其应用。

一、函数的伸缩变换规律1. 水平方向的伸缩变换当函数的自变量(x)乘以一个正数(a)时，函数的图像会在水平方向上发生伸缩变换。

当a>1时，函数的图像会被压缩；当0<a<1时，函数的图像会被拉伸。

伸缩的倍数为|a|，伸缩的中心为y轴。

例如，对于函数y=f(x)，当x变为ax时，函数的图像会在水平方向上发生变化，新函数为y=f(ax)。

如果a>1，则图像会被压缩；如果0<a<1，则图像会被拉伸。

2. 垂直方向的伸缩变换当函数的因变量(y)乘以一个正数(b)时，函数的图像会在垂直方向上发生伸缩变换。

当b>1时，函数的图像会被拉伸；当0<b<1时，函数的图像会被压缩。

伸缩的倍数为|b|，伸缩的中心为x轴。

例如，对于函数y=f(x)，当y变为by时，函数的图像会在垂直方向上发生变化，新函数为y=bf(x)。

如果b>1，则图像会被拉伸；如果0<b<1，则图像会被压缩。

二、函数的平移变换规律1. 水平方向的平移变换当函数的自变量(x)加上一个常数(c)时，函数的图像会在水平方向上发生平移变换。

当c>0时，函数的图像会向左平移；当c<0时，函数的图像会向右平移。

例如，对于函数y=f(x)，当x变为x+c时，函数的图像会在水平方向上发生变化，新函数为y=f(x+c)。

如果c>0，则图像会向左平移；如果c<0，则图像会向右平移。

2. 垂直方向的平移变换当函数的因变量(y)加上一个常数(d)时，函数的图像会在垂直方向上发生平移变换。

当d>0时，函数的图像会向上平移；当d<0时，函数的图像会向下平移。

函数图像伸缩变换规律
1.水平伸缩：y=f（ωx）（ω>0）的图象，可由y＝f（x）的图象上每点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω＞1）到原来的倍（纵坐标不变）得到。

2.垂直伸缩：y＝Af（x）（A＞0）的图象，可由y＝f （x）的图象上每点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍（横坐标不变）得到。

什么是函数图像
在数学中，函数f的图形（或图象）指的是所有有序对（x，f（x））组成的集合。

具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。

如果函数自变量x为两个实数组成的有序对（x1，x2），则图形就是所有三重序（x1，x2，f（x1，x2））组成的集合，呈现为曲面。

图像变换规律
图像有三大变换规律，分别有平移变换和对称变换以及伸缩变换，它是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。

1.平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。

2.对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。

3.伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A倍从而得到的。

函数图像的变换有四种主要情况，它们分别是平移、缩放、翻转和旋转。

1. 平移（Translation）：平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。

平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

水平平移表示在x 轴方向上移动函数图像，垂直平移表示在y 轴方向上移动函数图像。

平移可以使函数图像的位置发生变化，但不改变其形状。

2. 缩放（Scaling）：缩放是指根据比例因子将函数图像在x 轴和y 轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放可以分为水平缩放和垂直缩放两种情况。

水平缩放会改变函数图像在x 轴上的横向长度，垂直缩放会改变函数图像在y 轴上的纵向长度。

缩放会改变函数图像的形状和大小。

3. 翻转（Reflection）：翻转是指将函数图像关于某个轴进行对称操作。

常见的翻转有关于x 轴的翻转和关于y 轴的翻转。

关于x 轴的翻转会使函数图像在x 轴上下翻转，而关于y 轴的翻转会使函数图像在y 轴左右翻转。

翻转会改变函数图像的对称性和方向。

4. 旋转（Rotation）：旋转是指将函数图像绕一个旋转中心点
进行旋转角度的变换。

旋转可以使函数图像在平面上发生旋转，改变其角度和位置。

旋转可以是顺时针旋转或逆时针旋转。

这些函数图像变换情况可以单独或组合使用，可以通过改变函数的参数或对函数表达式进行修改来实现。

它们在数学和图形学中被广泛应用，用于研究和描述函数的性质和图像的变化。

函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。

而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。

三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。

所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。

多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。

现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。

大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的图像向右(左)平移10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12)，可得到1sin 2y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。

例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y ；从这可以看出横向变换变x ，纵向变换变y 。

原题目：函数的图像与平移、翻折、伸缩变换函数的图像与平移、翻折、伸缩变换是数学中常见的概念。

通过对函数进行这些变换，我们可以改变函数图像的位置、形状和尺寸。

平移变换（___）平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。

平移变换可以向左、向右、向上或向下移动函数图像。

可以使用以下公式将函数平移：对于函数$f(x)$，水平平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$f(x-a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向左平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向右平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-a)+b$。

对于函数$y=f(x)$，向上平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+b)+a$。

对于函数$y=f(x)$，向下平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-b)+a$。

翻折变换（___）翻折变换是指将函数的图像关于坐标轴进行对称的操作。

翻折变换可以关于x轴翻折、关于y轴翻折，或者关于原点进行翻折。

可以使用以下公式进行函数翻折：对于函数$y=f(x)$，关于x轴翻折后的函数为$y=-f(x)$。

对于函数$y=f(x)$，关于y轴翻折后的函数为$y=f(-x)$。

对于函数$y=f(x)$，关于原点翻折后的函数为$y=-f(-x)$。

伸缩变换（___）伸缩变换是指改变函数图像的尺寸的操作。

伸缩变换可以沿x轴方向或y轴方向进行。

可以使用以下公式进行函数的伸缩：对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向放大$a$倍后的函数为$y=f\left(\frac{x}{a}\right)$。

对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=f(ax)$。

对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向放大$a$倍后的函数为$y=af(x)$。

对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=\frac{1}{a}f(x)$。

函数与方程的平移与伸缩变换问题在数学中，函数与方程的平移与伸缩变换是一个常见的问题。

通过对函数或方程进行平移与伸缩，我们可以改变其图像在坐标平面上的位置和形状。

本文将详细介绍函数与方程的平移与伸缩变换问题，并讨论其应用。

一、平移变换平移变换是指在坐标平面上将函数或方程的图像沿着x轴或y轴方向移动的变换。

平移变换可以通过在原函数或方程中添加或减去一个常数来实现。

具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移变换可以表示为y = f(x - a)，其中a为平移的距离。

同样地，进行y轴方向的平移变换可以表示为y = f(x) + b，其中b为平移的距离。

平移变换的应用非常广泛。

例如，在物理学中，我们可以通过平移变换来描述物体在空间中的位置变化。

在经济学中，平移变换可以用来描述价格的上涨或下跌等现象。

二、伸缩变换伸缩变换是指对函数或方程的图像进行放大或缩小的变换。

伸缩变换可以通过在原函数或方程中乘以或除以一个常数来实现。

具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的伸缩变换可以表示为y = k * f(x)，其中k为伸缩的比例系数。

同样地，进行y轴方向的伸缩变换可以表示为y = f(k * x)，其中k为伸缩的比例系数。

伸缩变换也具有广泛的应用。

例如，在地图绘制中，我们可以通过伸缩变换来调整地图的比例尺。

在金融领域中，伸缩变换可以用来描述股票价格的涨跌幅度。

三、平移与伸缩的组合变换除了单独应用平移变换或伸缩变换外，我们还可以将它们进行组合，以实现更复杂的变换效果。

具体而言，对于函数y = f(x)，进行x轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x - a)，其中k为伸缩的比例系数，a为平移的距离。

同样地，进行y轴方向的平移与伸缩变换可以表示为y = k * f(x) + b，其中k为伸缩的比例系数，b为平移的距离。

平移与伸缩的组合变换在数学建模、工程设计和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

函数的变换平移翻折与伸缩函数的变换平移、翻折与伸缩函数的变换是数学中很重要的概念，它可以通过平移、翻折与伸缩等操作对原函数进行改变。

在本文中，我们将重点讨论函数的平移、翻折与伸缩三种常见的变换方式，并且介绍它们的数学表示和几何意义。

一、函数的平移变换平移是指将函数沿着坐标轴进行水平或者垂直的移动，而不改变函数的形状和大小。

具体而言，设有函数y = f(x)，若对于函数中的每个点(x, y)，将其平移到(x + a, y + b)处，则得到一个新的函数y = f(x - a) + b。

这里，a是水平方向的平移量，b是垂直方向的平移量。

以函数y = x^2为例，我们来进行一次平移变换。

假设需要将该函数沿水平方向向右平移2个单位，垂直方向向上平移3个单位，那么变换后的函数为y = (x - 2)^2 + 3。

这个平移变换使得函数整体上移3个单位，同时向右平移2个单位，而函数的形状和大小仍然保持不变。

二、函数的翻折变换翻折是指通过对函数的反射操作，将函数关于某一轴翻转。

常见的翻折方式有关于x轴、y轴和原点的翻折。

对于函数y = f(x)，我们可以得到以下翻折变换：1. 关于x轴的翻折：新函数为y = -f(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(x, -y)的位置。

2. 关于y轴的翻折：新函数为y = f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, y)的位置。

3. 关于原点的翻折：新函数为y = -f(-x)，即原函数上的每个点(x, y)都被翻折到了(-x, -y)的位置。

举个例子，考虑函数y = sin(x)，如果我们对该函数进行关于x轴的翻折，那么新函数将变为y = -sin(x)，即原函数上的每个点(x, y)都被对称地映射到了(x, -y)的位置。

三、函数的伸缩变换伸缩是指通过改变函数的自变量和因变量的比例关系，调整函数在坐标轴上的形状和大小。

具体而言，对于函数y = f(x)，我们可以得到以下伸缩变换：1. 水平方向的伸缩：新函数为y = f(cx)，其中c是一个常数。

函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。

这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。

本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。

一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。

例如，考虑函数y=x^2的图像。

如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。

这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。

例如，考虑函数y=sin(x)的图像。

如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。

这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。

对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。

例如，考虑函数y=1/x的图像。

如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。