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第三章 恒定电场和电流

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第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程

第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。

3.0第三章 恒定电流的电场和磁场

3.0第三章 恒定电流的电场和磁场

dq d S J dS dt dt V dV
定理 度 散
SJ dS V t dV
积 式 形 分
J dV 0 V t
对任 意的 体 积V 均成 立， 需
电流连续性方程
微 分 形 式
J 0 t
第三章 恒定电流的电场和磁场 在恒定电流场中，电荷分布与时间无关，即 则有恒定电流场方程：
当导体两端的电压为 U，流过的电流为 I 时，则在单位时间内电场力对 电荷所作的功（功率）是
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为Δl、截面为ΔS 的体积元，该体 积元内消耗的功率为
P U I E l I EJ l S EJ V
焦耳定律的微分形式：导体内任一点的热功率密度（ΔV→0 ），
I J er 2rL
内、外导体间的电压为
E
1

J
b
I 2 rL
er
U

a
Edr
I 2 L
ln
b a
第三章 恒定电流的电场和磁场 例 3-1 设同轴线的内导体半径为 a, 外导体的内半径为 b，内、 外导 体间填充电导率为σ 的导电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。
r z
a
b
电流密度矢量是恒定磁场的源变量
电流密度 J: 单位时间内垂直穿过单位面积的 电荷量，反映电流分布的不均匀性，其方向 为正电荷的运动方向。则
J lim I dI n n S 0 S dS
dS
dS
dS
E dS E
电流密度的单位是安培/米2 (A/m2)。
J E E

v
I

工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理

工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理

fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。

恒定电场

恒定电场

S
R1 r

R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来 表示，需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。
解：根据
tan1 tan 2

1 2

5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时，可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知，载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。

6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见，只要 190，tan1∞，
12
则 tan 20，20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直，
第三章恒定电场
20

电路第三章 恒定电场

电路第三章 恒定电场

1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻

U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2

恒定电流的电场

恒定电流的电场


如果导体的横截面不均匀，上式应写成积分式

式中的σ称为电导率，它由导体的材料决定。


从欧姆定律，可导出载流导体内任一点 上电流密度与电场强度的关系。 如图所示，在电导率为σ的导体内沿电流 线取一极微小的直圆柱体，它的长度是 Δ l ，截面积是Δ s，则圆柱体两端面 之间的电阻 。通过截面Δ s的电 流Δ I＝J Δ s ，圆柱体两端面之间的电 压是Δ U =E Δ l，根据式有



这就是电流连续性方程的积分形式。由高斯散度定理，上式中的 面积分可化为体积分 闭合曲面s是任意选的，因此，它所限定的体积v也是任意的。

这是电流连续性方程的微分形式
恒定电流的电流强度是恒定的，电荷的分布也是恒定 的。任一闭合面内都不能有电荷的增减，即
这就是恒定电流的连续性方程的积分形式。 它的物理含义是，单位时间内流入任一闭合面的电荷 等于流出该面的电荷。电流线是连续的闭合曲线。由 上式，应用高斯散度定理可得恒定电流的连续性方程的 微分形式。这说明恒定的电流场是无源场（管形场）

电流的强弱用电流强度来描述。 它的定义是，单位时间内通过导体任一横截面 的电荷量。 如果在时间Δ t内流过导体任一横 截面的电量是Δ q，便取下式作为时变电流强 度的定义。 恒定电流的电流强度的定义是


式中的q是在时间t内流过导体任一横截面的电 荷。I是个常量。电流强度一般简称为电流。
二、电流密度

J表示传导电流密度，如果所取的面积元的法线方向n0与电流方 向不垂直而成任意角度θ，则通过该面积元的电流是

通过导体中任意截面s的电流强度I与电流密度矢量J的关系是


电流密度矢量J在导体中各点有不同的方向和数值，从而构成一个 矢量场，称为电流场。这种场的矢量线称为电流线。电流线上每 点的切线方向就是该点的电流密度矢量J的方向。 从电流强度I与电流密度矢量J的关系看出，穿过任意截面s的电流 等于电流密度矢量J穿过该截面的通量．如图所示。

第三章 恒定电流的电场和磁场1-4

1
+ + + + E2t + +
2
+ +
Jc1
U
E2n E 2 E2t Jc1
E2 E2n
图 输电线电场示意图
两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有
E E 1 1 n 2 2 n
J2
2, 2 P 1, 1
同时，还有

E E 2 2 n 1 1 n
U 1 b R 0 ln I 2 a
（2）解法二：静电比拟法
在同轴电缆分析中，已求得电场强度为
S
E
U0 b ln a
eρ
a b

a o A
b
,
P B Jc
U0
故泄漏电流密度 图 同轴电缆中的泄漏电流 U0 Jc E e a b b ρ ln a 同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为
1 1 1 b R ln G C 2 a
镜像法的比拟：
＝
＋
2 1 2 2 ) ( I I, I I 1 2 1 2
恒定电场模拟静电场实验
因为电流场中的电流、电位分布容易测定，所以可 以利用相应的电流场模型来实测待求的静电场问题。
1, 1
U0 d1 d2
2, 2
图 非理想介质的平板电 容器中的恒定电流场
例：试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上 的面电荷分布。 解：
2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2

第三章恒定电场


2) 横定电场产生的原理
电解溶液中存在着一种局外电场，将正电荷从 负极板推向正极板。
两极板间还存在库仑电场，是有两极板上的电 荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电场将从负 极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持平衡 。
图3-1a 蓄电池内的电场
本讲稿第三页，共四十三页
导电媒质中的恒定电场
解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
J1
I0
2R
R1 R R2
E1
I0
21R
R1 R R2
J2
I0
2R
R2 R R3
E2
I0
22R
R2 R R3
+τ
U0
R3EdRI0 2lnR R121lnR R23
R1
2
12
I0
2
212U0
lnR2 R1
1
lnR3 R2
趋於表面分布，可用电流线密度表示。
本讲稿第六页，共四十三页
3.2.3 欧姆定律的微分形式
取一电流管 IJS
电流管压降 UEl
电阻定义
R l U
S I
J E
J与E之关系
J(Eq E0)
恒定电流场与恒定电场相互依存。电流密度与电场E方向一致。 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即 U=RI
本讲稿第七页，共四十三页
表明 1 导体表面是一条电流线。
E 2n 0
E 1n
J 1n 1
0
D2n D1n 2E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡
下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。

电磁场与电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第3章答案)


Z Y
5.2
(3, 2. 5, 4. 5)
I = ∫∫ JV ⋅ dS
(S )
则穿过面积 x = 3 ， 2 ≤ y ≤ 3 ， 3.8 ≤ z ≤ 5.2 ，沿 ex 方 向的总电流为
3.3 5.2
3.8 2
3
Ix =
∫
2 3.8
2 2 2 ∫ (10 y ze x − 2 x ye y + 2 x ze z ) ⋅ e x dydz
o
题 3-12 图
解 （1）由题知，介质中的电阻率非均匀，因而电导率非均匀。利用关系
ρV = ∇ ⋅ D
有
⎡ ρ R − ρ R2 ⎞ ⎤ ⎛ ⎛ J ⎞ ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ (ε 0E ) = ∇ ⋅ ⎜ ε 0 V ⎟ = ∇ ⋅ ⎢ε 0 J 0 ⎜ ρ R1 + 1 z ⎟ ez ⎥ d ⎝ σ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ =
解 根据电荷体密度ρV 与电通密度矢量 D 之间的关系，有
ρV = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ ⎡ ⎣ε ( x, y,z ) E ⎤ ⎦ = ε∇ ⋅ E + E ⋅∇ε
由于电流恒定，则有
∇ ⋅ JV = ∇ ⋅ ⎡ ⎣σ ( x, y,x ) E ⎤ ⎦ = σ∇ ⋅ E + E ⋅∇σ = 0
求解可得
⎡ 1 ρ R1 − ρ R2 2 ⎤ 1 = J 0 ⎢ ρ R1 z + z ⎥ = J0d ⎡ ⎣3ρ R1 − ρ R2 ⎤ ⎦ 2 d ⎣ ⎦0 2
（3）假设介质板的面积为 A，可得介质板中的功率损耗为
d ρ R − ρ R2 ⎛ JV ⋅ JV dV = J 02 ∫ ⎜ ρ R1 + 1 σ d 0⎝

第03章 恒定电流与恒定电场

R U I
(l )
E dl
V
(S )
J
dS

(l )
E dl
（3-20）
(S )
E dS
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
例3.1 长度为l的同轴电缆，内、外导体半径分 别为a和b，如图3-6所示，电介质的电导率为σ，计 算同轴电缆单位长度电介质的电导。 l
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
包括电荷运动量的大小和方向，需要引入电流密度 矢量的概念。 （一）体电流密度矢量Jv 如图3-1所示，在导体中电荷流动的方向上取 一微分面元ΔS，该面元的法线方向与正电荷流动 的方向平行，电荷流动的方向为n，ΔI为面元上通 过的电流，则定义体电流密度矢量为
V
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
（二）面电流密度矢量Js 在工程中，有时会遇到 电流仅分布在导体薄层中流 动，此时可认为导体薄层的 厚度趋于零，电流是在导体 表面上流动，如图3-2所示。 定义面电流密度矢量为

A
(l )
B
dI
dl
dl n
图3-2 面电流的定义
I dI J S lim n n l 0 l dl
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
而介于导体和电介质之间的材料称之为半导体。 电导率取决于环境温度和材料的纯度等因素。通 常，金属导体的电导率随温度下降而增加，在接 近绝对零度的低温时，某些导体的电导率变为无 穷大，这就是超导体。
第三章 恒定电流与恒定电场
电磁场与电磁波理论基础
表3-1 部分常用材料20℃时的电导率 材 料 导体 银 铜
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J dS 0 S
J 0
物理意义：恒定电流密度场是一个无散源场 。
推论：基尔霍夫第一方程
N
Ii 0
i 1
2、第二基本定律
根据恒定电流场 t 0 可知整个空间的电荷密度分布将不
随时间改变，即恒定电流场具有恒定的电荷密度分布。
而电场强度只决定于电荷密度的分布，故恒定电场与静电场
一样也是一个保守场。
nˆ
J1 1E1
1
1E1 cos1 2 E2 cos 2 E1 sin1 E2 sin 2 所以可推出折射关系
1
2
2
J2 2E2
tan1 1 tan 2 2
图3－16 分界面两侧电场与电流
如果媒质1为电导率很低的不良导电媒质，而媒质2为高电导
率的良好导体，即 1 2 时，根据折射关系可知
E1t E2t J1n J 2n
J2 2E2
图3－16 分界面两侧电场与电流
另一方面由于 1 2，利用欧姆定律可得
J1t 1E1t 2 E 2t J 2t
E1n
J1n
1
J 2n
2
E2n
所以分界面两侧的总电流密度矢量和总电场强度矢量都是不连续的。
2、E 和 J 的折射关系
根据边界条件得
从非静电力做功角度可以求得电源的电动势
E ＝
() () Es dl
E s表示单位电荷在在电源内受到的非静电力
①在电源的内部存在着两个电场：
E
J
一个是非静电力的等效电场，另一
I
个是电源两极上的分布电荷在电源 内部产生的库仑电场，两者的指向
电 源
Es
E
E
负 载
正好相反。
J (E Es )
1、电源 要想在导线中维持恒定电流，必须依
靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力 搬到A极板。这种提供非静电力将其它形 式的能量转为电能装置称为电源。
2、电动势 电源的非静电力把单位正电荷从电源的负极推到正极所作
的功称为该电源的电动势。
E = AS Q
电动势总是与电源的非静电力做功联系在一起，它决定于 电源本身的性质，与电源外部的电路无关。
根据高斯定律 可得
以金属为例，作以下假定
①假定运动电荷是电子，则在电场作用下加速度为
a f eE m0 m0
②假定电子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬时速度平均值为0， 碰撞间隔为τ，则定向漂移速度为
vd
0 v 2
1 a
2
1 2
eE
m0
③导体单位体积内的自由电子数为N，则 m Ne
在①②③条件下，得
J
mvd
1 2
Ne 2
m0
E
1 Ne2
J
E
2 m0
引入电导率
1 Ne2
则有
2 m0 J E
欧姆定律的微分形式
§3.2 恒定电流场的基本定律
1、第一基本定律
电荷守恒定律 应用散度定理得
s
J
dS
d
t
Jd
d
t
由此得到电荷守恒定律的微分形式 J
t
在恒定电场中 0
t
得恒定电流场第一基本定律
根据第一定律 J 0 和欧姆定律 J E ， 得
J ( E) E 0
故有
E 0
再由高斯定律
D ( E) E ຫໍສະໝຸດ 因此0D0
结论：
①当均匀媒质中存在恒定电流时，其内部体电荷密度处处等于零。
②均匀导电媒质的净电荷只能存在于媒质的表面上。
4、恒定电场中的电位
恒定电场是一个保守场，所以可以引入位函数来描述
E U
U
P0
E
dl
P
对于均匀导电媒质，可以证明Laplace方程成立
2U 0
5、恒定电场中的导体
导体内的电场不为零，导体内部的各点和表面的电位也不是 常量，这与静电场中的导体概念是不同的。
只有理想导体 才具有与静电场中导体相同的性质。
§3.3 电源和电动势
得恒定电流场第二基本定律
l
E dl
0
E 0
物理意义：恒定电场是一个保守场，无旋场 。
3、导电媒质中的高斯定律
导电媒质中的恒定电场不但要激发电流，也会引起媒质极化。 在恒定电场中高斯定律仍然成立
D ds
s
d Qin
D
其中 D E
★均匀线性导电媒质中
C1 C2
S
p JE J E
P J Ed s Jds Edl IV
§3.5 恒定电流场的边界条件
1、E 和 J 的边界条件
nˆ
J1 1E1
将恒定电流场两个基本方程应用到边界上
1
l E dl 0
得到边界条件：
s J ds 0
1
2
2
nˆ
(E1
E
2
)
0
或
nˆ (J1 J 2 ) 0 或
1 2
因此，只要良好导体一侧的电流不平行于分界面，不良绝缘材 料一侧的电流和电场就几乎与分界面垂直，因而分界面可以近似为 等电位面。
3、电位的边界条件
根据欧姆定律 J E U 和电流的边界条件 J1n J 2n
可得
1
U1 n
2
U 2 n
根据电场强度的边界条件可得
U1 U2
4、D 的边界条件
I
②在电源外部的媒质或空间中，只存
J
E
在由分布电荷所产生的库仑电场。
图3－5 恒定电流回路中的电场
开路电压： V0
()
E dl ＝ E
()
§3.4 欧姆定律和焦耳定律
1、欧姆定律 微分形式 低频电路形式 电阻的求解：
2、焦耳定律 微分形式 低频电路形式
J E
V RI
R l dR l
dl
I
Js
lim l 0
l
单位：安培 / 米
4、电流密度 J 与载流子参数的关系
I
m dsdl
dt
m v ds
其中 m为运动电荷密度
v dl dt 为电荷平均运动速度
因为
I Jds
J v
ds m
dl
所以
J mv
写成矢量形式
J mv
v 是大量运动电荷的定向平均速度
图3－2 电流中的柱状体元
5、欧姆定律的微观解释
第三章 恒定电场和电流
§3.1 电流与电流密度
1、电流：电荷有规则的宏观运动。 传导电流、运流电流
2、电流强度：单位时间内通过导线某一截面的电荷量。简称电流。
★表达式： ★单位：安培 A
Q
I lim
t0 t
★方向：电流强度不是矢量，但常常以正电荷穿过曲面的方向
作为电流的正方向，当曲面（或电路导线）的参考方向与电流
正方向一致时，电流强度取正值。
3、电流密度：
①体电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运
动方向，大小等于垂直于此方向的单位面积上所通过的电流。
I
J lim
S sn 0
n
单位：安培 / 米2
②面电流密度：一个矢量点函数，它的方向是该点处正电荷的运 动方向，大小等于垂直于此方向的单位横截线上所通过的电流。