高中数学：空间几何体的结构特征及三视图与直观图练习
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高中数学：空间几何体的结构特征及三视图与直观图练习
1．如图,△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A′B′∥y′轴,O′B′＝4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为(A)
A．2 2 B. 2
C．16 2 D．1
解析：因为A′B′∥y′轴,所以△ABO中,AB⊥OB.
又因为△ABO的面积为16,所以1
2AB·OB＝16.
因为OB＝O′B′＝4,所以AB＝8,所以A′B′＝4.
因为A′C′⊥O′B′于C′,所以B′C′＝A′C′,
所以A′C′＝4·sin45°＝22,故选A.
2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图,该几何体的侧视图为(B)
解析：由直观图和正视图、俯视图可知,该几何体的侧视图应为面P AD,且EC投影在面P AD 上且为实线,点E的投影点为P A的中点,故B正确．
3．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是(B)
解析：根据正视图与俯视图可排除A,C,根据侧视图可排除D.
4．(贵州七校联考)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(B)
A．①②⑥B．①②③
C．④⑤⑥D．③④⑤
解析：正视图应该是边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①,侧视图应该是边长为5和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③.
5．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线,其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是(A)
A．a,b B．a,c
C．c,b D．b,d
解析：当正视图和侧视图完全相同时,“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方,正视图为一个圆,俯视图为一个正方形,且两条对角线为实线,故选A.
6．(东北师大附中、吉林市一中等五校联考)如图所示,在三棱锥D-ABC中,已知AC＝BC ＝CD＝2,CD⊥平面ABC,∠ACB
＝90°.若其正视图、俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(D)
A. 6 B．2
C. 3
D. 2
解析：由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一直角边为CD,其长度为2,另一直角边为底面△ABC的边AB上的中线,其长度为2,则其侧
视图的面积S＝1
2×2×2＝ 2.
7．(2014·新课标Ⅰ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(B)
A．6 2 B．6
C．4 2 D．4
解析：由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示．
其中面ABC⊥面BCD,△ABC为等腰直角三角形,AB＝BC＝4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DM⊥面ABC,在等腰△BCD中,BD＝DC＝25,BC＝DM＝4,
所以在Rt △AMD 中,AD ＝AM 2＋DM 2＝42＋22＋42＝6,又在Rt △ABC 中,AC ＝42＜6,故该多面体的各条棱中,最长棱为AD ,长度为6,故选B.
8．(江西南昌二中月考)一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( D )
A ．8
B ．4
C ．4 3
D ．4 2
解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示,显然S △PCD >S △ABC ,由三视图特征可知,P A ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A ＝AB ＝AC ＝4,DB ＝2,则易得S △P AC ＝S △ABC ＝8,,S 梯形ABDP
＝12,S △BCD ＝12×42×2＝42,故选D.
9．(惠州模拟)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点,则三棱锥
P -BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：设点P 在平面A 1ADD 1的射影为P ′,在平面C 1CDD 1的射影为P ″,如图所示． ∴三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ,
因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋12×1×2＝2.
10．(邵阳模拟)某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱中,长度最长的棱的长是( C )
A ．2 5
B ．2 6
C．27 D．4 2
解析：由三视图可知该四面体的直观图如图所示．
其中AC＝2,P A＝2,△ABC中,边AC上的高为23,所以BC＝42＋(23)2＝27,AB＝(23)2＋22＝4,而PB＝P A2＋AB2＝22＋42＝25,PC＝P A2＋AC2＝22,因此在四面体的六条棱中,长度最长的是BC,其长为27,选C.
11．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为13cm.
解析：如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.
在Rt△ABC中,AC＝12 cm,
BC＝8－3＝5 cm.
∴AB＝122＋52＝13 cm.
12．(兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为
2＋22.
解析：由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF,其中E,F分别是AD,BC的中点,连接AO,易得AO＝2,又P A＝3,于是解得PO＝1,所以PE＝2,故其正视图的周长为2＋2 2.
13．(济南模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是(D)
A．①②B．①③C．③④D．②④
解析：由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1的位置,共有6种路线(对应6种不同的展开方式),若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过BB1的中点,此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过CD的中点,此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.
14．已知以下三视图中有三个同时表示某一个棱锥,则下列不是该三棱锥的三视图的是(D)
解析：四个选项中,因为观察的位置不同,得到的三个视图也不同．可从俯视图入手,以A选项中的正方向作为标准．
则A中的方向如图所示．
B中的方向．
C中的方向．
15．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的
体积是28 3.
解析：可从俯视图入手,观察得知,可能是三棱台,再观察侧视图和正视图验证想法．可得该
多面体为棱锥S -A 1B 1C 1由平面ABC 截得的棱台,如图．AB ＝AC ＝2,A 1B 1＝A 1C 1＝4,所以SA 1＝4,
VS -A 1B 1C 1＝323,V S -ABC ＝43,所以VABC -A 1B 1C 1＝283.
16．某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy 的最大值为 64 .
解析：由三视图知三棱锥如图所示,
底面ABC 是直角三角形,AB ⊥BC ,P A ⊥平面ABC ,BC ＝27,
P A 2＋y 2＝102,(27)2＋P A 2＝x 2,
因此xy ＝x 102－[x 2－(27)2]
＝x128－x2≤x2＋(128－x2)
2＝64,当且仅当x
2＝128－x2,即x＝8时取等号,因此xy的最大
值是64.。
