高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用

高中数学新教材中集合思想的应用《高中数学新教材中集合思想的应用》一、随着《普通高中数学课程标准》的实施，集合思想成为高中数学必须掌握的重要内容之一，在高中数学中扮演着重要的角色。

本文将探讨集合思想在高中数学中的应用，从中总结出其具体的应用方法及思想。

二、集合与化简在高中数学知识体系中，很多化简问题都可以通过集合思想进行解决。

集合中的元素可被归类于不同的子集中，每个子集都是一种可能，而化简问题就可以看作是查询符合所有可能的共同部分。

例如下列式子：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$该式子可用集合表示为：$(a+b)\\cup(a-b)=\\{a^2,b^2\\}$其中，$\\cup$表示并集。

其原因在于，左边式子表示的是所有可能的情况，而右边集合是符合式子要求的所有元素的集合，即共同部分。

通过这种化简方式，可以减少计算量以及避免错误。

三、逻辑与函数集合可以用于表达逻辑及计算机科学中的函数。

这里我们以“开平方”函数为例说明集合思想在函数中的应用。

对于正实数$a$，开平方的函数可表示为$f(x)=\\sqrt{x}$，满足$f(a^2)=a$。

这可以用集合表示为：$A=\\{x|x>0\\}$，$B=\\{y|y>0\\land y=a\\}$那么，函数$f(x)$就可以表示为集合$A$到集合$B$的映射，是一种特定输入与输出的映射关系。

利用这个关系，我们就可以实现计算机中的开方运算。

四、数列与极限集合思想也可以应用于数列的定义与极限的求解中。

例如，一个有限数列可以表示为一个有限元素集合，而一个无限数列可以表示为一个无限元素集合。

利用极限的定义，我们可以将数列的极限表示为该数列的所有元素组成的集合中的一个特定元素。

例如，极限$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n}=0$，可以表示为：$A=\\{\\frac{1}{n}|n>0\\}$，$B=\\{0\\}$$B$是$A$的唯一极限，也就是说，当$n$趋近于无穷大时，数列$\\{\\frac{1}{n}\\}$会无限地接近于$0$。

第01讲 集合思想的综合应用知识与方法在高中数学中，集合思想贯穿于数学教学的各部分，集合思想通常从如下3个方面来呈现： 1．类分思想(并集思想)对于比较复杂的问题，可将问题所涉及的对象的全体(通常用集合P 表示)划分为若干两两不相交的部分，通常用()12i P i n ＝，，，表示，且()i j P P i j ⋂∅≠＝，12n P P P P ⋃⋃⋃＝，然后分别求解或论证，从而解决原问题．这就是所谓的类分思想(或逻辑划分思想)，又称为并集(无公共元素)思想，数学解题中常用的分类讨论、穷举法等都是属于这种思想的具体体现．类分思想(并集思想)处理问题的关键是对事物按恰当的标准不重不漏地划分为若干类别，逐个进行研究，当分类解决完这个问题后，还必须把它们整合到一起，从而使问题完整获解． 2．求同思想(交集思想)求同思想是指从问题所涉及的双方或多方事物之间探求共同点(共性)，使问题在某个确定范围内得以解决的一种数学思想，从集合的表示来看，设{A x x ＝∣具有性质}1P ，{B x x ＝∣具有性质}2P ，则{A B x x ⋂＝∣具有性质1P 和}2P ，探求同时具有性质1P 和2P 的对象，即求集合A B ⋂，所以求同思想也称交集思想． 3．互补思想(补集思想)已知集合A 是某个与之相关的全集U 的子集，若直接求A 比较困难或麻烦，可考虑先求A 的补集U C A ，再求()UvA A ＝，这种在顺向思维受阻后改用逆向思维的思想，我们称之为正难则反就是数学中的互补界相或补集思想．典型例题【例1】已知集合()(){}(){22321023120}A x x m x m m B x x n x n -∈∈R R ＝∣＋＋＋＝，，＝∣＋＋＋＝，．(1)若A B A ⋂＝，求m n ，的值． (2)若A B A ⋃＝，求m n ，的值．【例2】设(){}(){}221042250A x y y x B x y x x y ---＝，∣＝，＝，∣＋＋＝，(){}C x y y kx b ＝，∣＝＋，问是否存在k b ∈N ，，使得()?A B C ⋃⋂∅＝若存在，求出k b 、的值．若不存在，请说明理由．． 【例3】已知集合{}{}242600A x x mx m B x x -＝∣＋＋＝，＝∣＜．若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【例4】(1)若集合()()3cos 03sin x M x y y θθπθ⎧⎧⎫⎨⎨⎬⎩⎭⎩＝，＝，∣＜＜＝，集合(){}N x y y x b ＝，∣＝＋，，且M N ⋂∅＝，则b 的取值范围为________． (2) 设集合()222(2)2m A x y x y m x y ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭R ＝，∣＋，，， (){}221B x y m x y m x y ∈R ＝，∣＋＋，，，若A B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是________．(3)已知(){}(){}222()1M x y y x N x y x y a -＝，∣，＝，∣＋，求M N N ⋂＝成立时a 需满足的充要条件．强化训练1．(1)已知集合{{}131A B m A B A ⋃＝，＝，，＝，则m ＝( )． A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3(2)设常数a ∈R ，集合()(){}{}101A x x x a A x x a ---＝∣，＝∣，若A B ⋃R ＝，则a 的取值范围为( )． A ．()2∞-，B ．(]2∞-，C ．()2∞，＋D ．[)2∞，＋2．设集合{}*12n P n n ∈N ＝，，，，，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： (1)n A P ⊆；(2)若x A ∈，则2x A ∉；(3)若nP x A ∈，则2n P x C A ∉．(1)求()4f 的值．(2)求()f n 的解析式(用n 表示)．3．已知集合(){26230A k k x kx k -＝∣＋＋＝有两个正数根}，集合{}1B x x a -＝∣(1)若A B ⋂∅＝，求实数a 的取值范围． (2)若B A ，求实数a 的取值范围．4．已知集合()312y A x y a x -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭＝，∣＝＋，集合()(){21(30}B x y a x a y --＝，∣＋＝．若A B ⋂∅＝，求实数a 的值．5．设平面点集()()(){}2210(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫⎛⎫----⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭＝，∣，＝，∣＋，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为( )．A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π6．设m 为实数，若()(){}2225030250x y x y x x y x y mx y ⎧-⎧⎫⎪⎪⎪-⊆⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭⎩＋，∣，∣＋＋，则m 的取值范围是________． 7．已知集合()(){}2222151100322A y y a a y a a B y y x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＝∣＋＋＋＋＞，＝∣＝＋，．若A B ⋂∅＝，求实数a 的取值范围．8．若关于x 的不等式()23280m x mx ---＞的解集是一个开区间，且区间的长度L 满足[]12L ∈，，求实数m 的取值范围(注：开区间()a b ，的长度L b a -＝)．。

重要知识点（一）集合含义问题1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。

4.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

5.元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．6.集合的表示常见的方法有列举法与描述法：注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。

如：英才中学的所有团员组成一个集合。

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

如：常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N或(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)（4）有理数集(5)实数集R7.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（二）集合的基本关系1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3.某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠∅,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|by a x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .。

高中数学集合难题
摘要：
1.集合难题的背景和定义
2.集合难题的解决方法和策略
3.集合难题的实际应用和意义
正文：
1.集合难题的背景和定义
高中数学中的集合难题，通常指的是涉及集合概念和集合运算的复杂数学问题。

集合是数学中的一个基本概念，它包含了一些确定的元素。

集合难题往往涉及到集合的交集、并集、补集等运算，以及集合的表示和证明等问题。

2.集合难题的解决方法和策略
解决集合难题，首先要理解集合的基本概念和运算规则，然后根据题目的具体情况，采取不同的解决方法和策略。

常见的解决方法包括：- 利用集合的基本运算法则，如交集、并集、补集等运算；
- 利用集合的表示方法，如描述法、列举法等；
- 利用集合的性质，如互异性、无序性、确定性等；
- 利用集合的证明方法，如直接证明、间接证明、反证法等。

3.集合难题的实际应用和意义
集合难题在实际生活中有着广泛的应用，如在计算机科学中的集合数据结构，物理学中的量子力学中的集合概念等。

同时，解决集合难题也是提高学生数学思维能力和解决实际问题能力的有效手段。

总的来说，集合难题是高中数学中的一个重要内容，它不仅涉及到集合的
基本概念和运算规则，也需要学生掌握一定的解决方法和策略。

集合问题难点突破
探究高考中4种类型的集合创新问题
数学思维的创新是思维品质的最高层次，在近几年高考中，相继 出现了一些以考查考生探究能力和创新能力为目的的“创新题” ，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发 现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提炼数学思想 方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体，本文精选一些以 集合为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索题型规律，供同 学们参考．
一、创新集合新定义
创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识 加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来 解决新定义的集合创新问题．新定义型信息题是试题改革的一个 亮点，它能有效地考查考生独立获取信息、加工信息及继续学习 的能力．
例1 ( 年福建卷)对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线 段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的 图形如图所示(阴影区域及其边界)：
四、创新集合新交汇 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决
新定义的集合创新问题．新定义型信息题是试题改革的一个亮点，它能有效地考查考生独立获取信息、加工信息及继续学习的能力．
解探创决究创 高新新考集中集合4种新类合运型算的新问集题合交常创分新汇为问三题问步：题(1)对往新定往义进是行信综息提合取，集确定合化归与的方其向；他知识的交汇，特别是 与函数、复数、向量、不等式等内容，以集合为背景，通过知识 通过非空集合S中元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，通过不等式的相关知识，分别确定相应命题的正确性，通过具
其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．
【解析】 利用平面上的凸集的新定义知：连接Ω中任意两点的线 段必定包含于Ω，那么对于①中多边形最上面的两个角上相应的两 点的连线就不包含于Ω，而对于④中分别在两个圆中各取一点的连 线就不包含于Ω，对于②和③满足平面上的凸集的新定义，故填② ③.

专题01集合、常用逻辑用语【2019年咼考考纲解读】从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题•有时在大题的条件或结论中出现所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了.要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算•要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化•要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力•体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.【重点、难点剖析】一、集合的概念及运算1 •集合的运算性质及重要结论(1) A U A= A, A U ? = A, A U B= B U A.(2) A n A= A, A n ? = ?, A n B= B n A.⑶ A n(?U A) = ?, A U( ?U A) = U.⑷ A n B= A? A? B, A U B= A? B? A.2•集合运算中的常用方法(1) 数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.(2) 图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.⑶Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.【方法技巧】解答集合问题的策略：(1) 集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键.解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2) 求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3) 含参数的问题，要有分类讨论的意识•注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性.二、充分与必要条件的判断充分、必要条件与充要条件的含义若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A, B,那么有以下结论:【方法技巧】命题真假的判定方法：(1) 一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；(2) 四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3) p V q、p A q、「p命题的真假根据p, q的真假与逻辑联结词的含义判定；(4) 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x = x o,使得p(x o)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”).要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x = X0，使p(x o)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题.三、命题真假的判定与命题的否定1•四种命题的关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.2. 复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“ p V q ”有真则真，其余为假；“p A q ”有假则假，其余为真；“綈P ”与“ P ”真假相反.3.全称量词与存在量词(1) 全称命题p ： ? x € M P (x )，它的否定綈 p ： ? x o € M 綈P (x o ). (2) 特称命题p ： ? X o € M p (x o )，它的否定綈 p ： ? x € M 綈p (x ). 【方法技巧】充分条件必要条件的判定方法：(1) 定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p ? q ”及“q ? p ”的真假；下结论，根据推式及定义 下结论； (2) 等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断； (3) 集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围. 【题型示例】题型一、集合的含义与表示、集合的运算A.刘 B. |{1・ C. 画 D.【答案】A【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得应卫②]，故选A.【变式探究】(2018 •全国卷H )已知集合 A = {(x , y)|x 2+ y 2< 3, x € Z , y €Z }，则A 中元素的个数为A. 9 B . 8 C . 5 D. 4【解析】由题意可知 A = {( —1,0) , (0,0) , (1,0) , (0，- 1) , (0,1) , ( — 1,— 1) , ( —1,1) , (1 ,- 1) , (1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选 A.【答案】A【变式探究】解决集合问题的 3个注意点 (1) 集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质.(2) 空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论.(3) “端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要 代入检验，否则可能产生增解或漏解现象.【变式探究】(2018年全国III 卷)已知集合 料=*冰-1兰0}],尸{0丄2}],则|APiB = A •回 B.画 C.回 D. 【答案】C例1、(2018年全国I 卷)已知集合 *{0. 2}|, 2. -1. 0, 1, 2}贝 m"lB =【解析】由集合A得巨7],所以= 故答案选C.【变式探究】（2018年全国卷H）已知集合，—:二"二，则.A. B. C. D.【答案】C【解析】■•，. ：•.「、.；I-. : ，“ yr - 丁心、，故选Co【变式探究】（2018年全国III卷）已知集合^ =例十I三闻，B = {0丄"1，则A•回B. H C.回D.【答案】C【解析】由集合A得巨7],所以R「iB = e纠，故答案选C.【变式探究】（2018年浙江卷）已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5} , A={1 , 3}，贝UA. "B. {1 , 3}C. {2 , 4 , 5}D. {1 , 2 , 3 , 4 , 5}【答案】C【解析】因为全集」.,所以根据补集的定义得'.?■■ = <■>■:,故选C.【变式探究】（2018年北京卷）已知集合A={（|| |<2）}, B={-2,0,1,2},则|ACW =A. {0,1}B. { -1,0,1}C. { -2,0,1,2}D. { -1,0,1,2}【答案】A【解析】2} = {x|-, ZAnB={0」]| ,故选A o【变式探究】（2018年天津卷）设集合A = , 3= {_1Q23 , C = {x€R|—1兰注2},则人UBWO【解析】由并集的定义可得：4UB = {-1Q12乳4}],结合交集的定义可知：|（AUB）门<2 = {_1』」}本题选择C选项。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.●案例探究［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( ) A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4 二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y ) |41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1. 歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4. 答案：D 二、3.a =0或a ≥89 4.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b ya x -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩ B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩ B ∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3. 故B ={－3，－1，3，3}.。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ．3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论． 【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习 1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有( )A． 9个 B． 8个 C． 7个 D． 6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例 5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习 1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ．3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；(4)∁U (A ∩B )＝∁U A ∪∁U B ，∁U (A ∪B )＝∁U A ∩∁U B ，A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ；(5)A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B . 三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系 例1. 已知{0,1}M =,则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A 【解析】{0,1}M =，M N ∴∈练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可．【解析】由A 中y=log 2（x+1），得到x+1＞0，即x ＞-1，∴A=（-1，+由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．（二）集合中元素重复陷阱例 2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，此时（y ，z ，w ）=（3，4，1）∈S ，（x ，y ，w ）=（2，3，1）∈S ， 故A 、C 、D 错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B ，求20152016a b ＋. 【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M ∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【解析】图中的阴影部分是： M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M ∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义． 练习1.设集合，，若，求实数a 的取值范围；若，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习 1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

-2 -5数学思想方法在集合中的应用集合中蕴含着丰富的数学思想方法，在解有关集合问题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决．下面将集合中常见的数学思想方法举例说明，以供参考．一、数形结合的思想方法数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，通过“数”与形的相互转化，达到化难为易，化繁为简的目的．集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法．例１ 设集合Ｍ＝｛x ∣25x -<<｝，Ｎ＝｛x ∣221,t x t t R -<<+∈｝，若ＭＮ＝Ｎ，某某数t 的取值X 围．解：由ＭＮ＝Ｎ得Ｎ⊆Ｍ，故当Ｎ＝φ，212t t +≤-时，t 1,3M N N ≤=成立； 当N φ≠时，由图中数轴所示，可得22121522t t t t -<+⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，解之得123t <≤． 综上所述可知所某某数t 的取值X 围为｛t ∣t ≤２｝．评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观．例２ 已知集合A 、B 、C 为非空集合，M=A ∩C ，N=B ∩C, P=M ∪N ，则 （ ）Ａ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ， Ｂ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｐ，Ｃ．一定有Ｃ∩Ｐ＝Ｃ∪Ｐ， Ｄ．一定有Ｃ∩Ｐ＝φ，解：如图３，Ｍ＝Ａ∩Ｃ，Ｎ＝Ｂ∩Ｃ，Ｐ＝Ｍ∪Ｎ，则必有Ｍ∪Ｎ⊆Ｃ，即Ｐ⊆Ｃ ， ∴ Ｃ∩Ｐ＝Ｐ， 选Ｂ． 评注：对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合，研究其关系或运算时，常可考虑用韦恩图求解．二、分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的思想方法，也是一种基本的解题策略．就是化整为零，各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．例３设集合Ａ＝｛y ∣224,y x x x R =-+∈｝，Ｂ＝｛y ∣224,y ax x a x R =-+∈｝， 若A B ⊆，某某数a 的取值X 围．解：由2224(1)33y x x x =-+=-+≥，得Ａ＝｛y ∣3y ≥｝．在集合Ｂ中，224,y ax x a x R =-+∈．（1）当a ＝０时，y ＝－２x ，则Ｂ＝Ｒ，满足A B ⊆；（2）当a ≠０时，211()4y a x a a a=-+-． ①若a ＜０，则Ｂ＝｛y ∣14,0y a a a ≤-<｝，这与A B ⊆矛盾． ②若a ＞０，则Ｂ＝｛y ∣14,0y a a a ≥->｝，为使A B ⊆，只要143a a-≤即可， 解得01a <≤． 综上所述，实数a 的取值X 围是｛a ∣01a ≤≤｝．评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法．但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏．三、方程思想方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想．就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系来反映，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决．例４ 已知全集Ｕ＝｛１，２，４，６，８｝，集合Ａ＝｛８，ｍ，ｎ，ｐ｝，Ｂ＝｛１，ｍｎ，ｍｐ，ｎｐ｝，且Ａ＝Ｂ，求U C Ａ．解：∵ Ａ＝Ｂ∴⎩⎨⎧⨯⨯⨯=+++=+++np mp mn mnp mp np mn p n m 1818 ．由②得mnp ＝８ .又ｍ、ｎ、ｐ∈Ｕ ，且ｍ、ｎ、ｐ互异，故ｍ、ｎ、ｐ中不能有６，只能分别为１、２、４（顺序不定），显然１、２、４也是①的解．∴Ａ＝ ｛１，２，４，８｝ 即U C Ａ＝｛６｝．评注：本题利用两个集合（有限集）的性质解集合相等的问题，其实质就是用方程的思想和方法，即从A=B 中找出两个独立的等量关系，要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况．四、划归与转化思想① ②在处理数学问题时，通过某种变换或划归把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使得原问题得到解决．例５ 已知U =｛（x ，y ）∣,x R y R ∈∈｝，Ａ＝｛（x ，y ）∣1x y +=｝， Ｂ＝｛（x ，y ）∣11y x =-｝，求()U C B A解：集合U =｛（x ，y ）∣,x R y R ∈∈｝是平面上所有点的集合；集合Ａ是直线1x y +=上的点的集合；集合Ｂ是直线1x y +=上的点的集合，但要除去点（１，０）；而U C B 表示点（１，０）以及平面上除了直线1x y +=上的所有点以外的所有点，所以()U C B A 对应的元素为（１，０），即()U C B A ＝｛（１，０）｝．评注：数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性．。

数学高考知识点集合运用数学是一门抽象而精密的学科，它在高考中占据着重要的地位。

作为考生，对数学知识点的理解和灵活运用是取得好成绩的关键之一。

在高考中，集合是一种常见的数学概念，掌握其相关知识点的运用技巧可以在解题过程中事半功倍。

一、集合的基本概念和表示方法集合是数学中一个重要的概念，它由若干个元素组成。

集合的表示方法常见的有三种：枚举法、描述法和图示法。

在解题中，我们可以根据题目要求选择合适的表示方法，灵活运用。

例如，某道高考题中给出了一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，要求求出A的子集个数。

为了更方便地解答这个问题，我们可以根据集合的元素个数利用集合的为空集时只有一个子集，一个元素时有两个子集，两个元素时有四个子集……的规律来快速计算。

这样，我们就可以通过数学运算的方式，灵活地应用集合的相关知识点，解题更高效。

二、集合的关系和运算集合的关系有包含关系、相等关系、互斥关系等。

集合的运算有并集、交集、差集等。

在解题中，我们可以通过灵活运用集合的关系和运算，找到问题的突破口，解题更加便捷。

例如，某道高考题中要求求两个集合的并集和交集，已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}。

我们可以通过思考两个集合的元素关系，利用集合的并集和交集的定义来解答这个问题。

具体而言，我们可以找出集合A和集合B的重复元素3和4，即交集；然后将两个集合的所有元素合并，得到并集。

通过这样的方式，我们充分运用了集合的关系和运算，解题更加高效。

三、集合的应用集合作为一种数学工具，不仅在高考中有广泛的应用，也在日常生活中有很多实际的应用。

在高考中，集合的应用多见于概率与统计、数理逻辑和数学证明等方面。

例如，在概率与统计中，集合的运算和关系可以帮助我们计算事件的概率；在数理逻辑中，集合可以用来表示和分析命题与谓词关系；在数学证明中，集合可以用来证明或推导集合论相关定理。

通过这些应用，我们可以更深入地理解和掌握集合的概念和运用。

第01讲 集合思想的综合应用一、知识与方法1.反面求解一一补集思想的应用补集思想即对原命题的否定.利用补集思想(直接求解困难或情形较多,而求它们补集较简单或补集的情形较少,则先求其补集,再求解),求有关参数的值或取值范围.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,难以从正面人手的数学问题,在解题时,则需调整思路,从问题的反面人手,探求已知和末知的关系,使之化难为易、化隐为显,将问题解决,这就是“顺繁则逆”“正难则反”的解题策略.这就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合,A A 的补集即为所求,这也是处理问题的间接化原理的体现.2.集合的综合问题（1）集合与函数、方程、不等式的综合问题；（2）集合的开放问题与实际应用问题；（3）集合的新定义问题或创新问题；（4）有集合背景的推理问题.二、典型例题例1（1）已知集合{}24260,,{0,}A x x mx m x B x x x =-++=∈=<∈R R ∣∣.若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.(2)已知3个方程22240(1)16023100x mx x m x x mx m ⎧-+=⎪--+=⎨⎪+++=⎩,中至少有一个方程有实根,求实数m 的取值范围.例2.（1）集合{}{2232(1)220,3(1)62A x x a x a a B x x a x a =-+++=-+++∣∣0}.求使A B ⊆成立的实数a 的取值范围； （2）已知{}{}2220,40A x x x B x x x p =-->=++<∣∣.问是否存在p ∈R ,使得?A B A ⋃=若存在,求出p 的取值范围；若不存在,请说明理由.例3（1）设平面点集1(,)()0,A x y y x y x ⎧⎫⎛⎫=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣{22(,)(1)(1)1B x y x y =-+-∣,{则A B ⋂所表示的平面图形的面积为( ) A.34π B.35π C.47π D.2π（2）已知{(,)6,0,0},{(,)4,0,2x y x y x y A x y x y x y Ω=+=-∣∣0},若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落人区域A 的概率为(). A.13 B.23 C.19 D.29三、易错警示例已知2135||1|},|5236x x A x x a B x x x ⎧⎫-<+⎧=〈-=⎨⎨⎬-<+⎩⎩⎭,且A B ⋂=∅,求a 的取值范围.四、难题攻略例（1）若集合3cos ,(,)(10)3sin x M x y y θθπθ⎧=⎧⎫=<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎩∣,集合{(,)}N x y y x b ==+∣,且M N ⋂≠∅,则b 的取值范围为_______；（2）设集合222(,)(2),,,{(,)22m A x y x y m x y B x y m ⎧⎫=-+∈=⎨⎬⎩⎭R ∣∣21,,}x y m x y ++∈R ,若A B ⋂≠∅,则实数m 的取值范围是_______.（3）在平面直角坐标系中,集合{}22(,)1,{(,)4,A x y x y B x y x y =+=∣∣0,340}x y -,则点集(){121211(,),,,,Q x y x x x y y y x y A ==+=+∈∣,()}22,x y B ∈所表示的区域的面积是___；（4）已知{}{}222(,),(,)()1M x y y x N x y x y a ==+-∣∣.求M N N ⋂=成立时a 需满足的充要条件.五、强化训练1.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅︒=⋅,若平面向量,a b 满足||a ||0,b a >与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b ︒和b a ︒都在集合|2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中,则()a b ︒= A.12 B.1 C.32 D.522.设{}{}22(,)|10,(,)|42250,{(,)|A x y y x B x y x x y C x y y =--==+-+===}kx b +,问是否存在k b ∈N ，,使得()A B C ⋃⋂=∅?若存在,求出,k b 的值；若不存在,请说明理由.3.设集合{()},{(())}M xf x x N x f f x x ====∣∣. （1）求证:M N ⊆；（2）若()f x 是一个在R 上单调递增的函数,是否有?M N =若是,请证明.第01讲 集合思想的综合应用一、知识与方法1.反面求解一一补集思想的应用补集思想即对原命题的否定.利用补集思想(直接求解困难或情形较多,而求它们补集较简单或补集的情形较少,则先求其补集,再求解),求有关参数的值或取值范围.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,难以从正面人手的数学问题,在解题时,则需调整思路,从问题的反面人手,探求已知和末知的关系,使之化难为易、化隐为显,将问题解决,这就是“顺繁则逆”“正难则反”的解题策略.这就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合,A A 的补集即为所求,这也是处理问题的间接化原理的体现.2.集合的综合问题（1）集合与函数、方程、不等式的综合问题；（2）集合的开放问题与实际应用问题；（3）集合的新定义问题或创新问题；（4）有集合背景的推理问题.二、典型例题例1（1）已知集合{}24260,,{0,}A x x mx m x B x x x =-++=∈=<∈R R ∣∣.若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.(2)已知3个方程22240(1)16023100x mx x m x x mx m ⎧-+=⎪--+=⎨⎪+++=⎩,中至少有一个方程有实根,求实数m 的取值范围.【分析】本例两个小题如果直接求解,情况较多,十分麻烦,第(1)问,由于A ⋂B ≠∅.则A 中方程必有实根,若为两个等根,则此根应为负根；若为两个不等实根,则又有两种情况:(1)两根均为负根,(2)一根为负,另一根非负；第(2)问,从正面理解“至少”可分3类:(1)只有一个方程有实根,有3种情况；(2)只有两个方程有实根,有3种情况；(3)3个方程都有实根,有一种情况,一一求解显得非常繁杂,总之这两小题从正面解完全可以解出来.但由于情况众多,正面解很费时而且容易出错,面对这种情况我们可以从问题的反面来思考,对于第(1)问,上述【分析】中3种情况的反面是方程24260x mx m -++=的两根12,x x 均为非负,求此情况下m 的取值范围.相对于全集(方程有实根)的补集,这就是利用补集思想解题的方法.对于第(2)问,从反面理解,3个方程都没有实根,只有一种情况.而它的反面就是至少有一个方程有实根的种种情况,这就提醒我们可以运用补集的思想方法,补集思想即对原命题的否定,即求出3个方程都没有实根时m 的取值范围,再求它相对于全集R 的补集.从中可以看出正与逆必是事物矛盾的双方,反映在数学解题中主要体现于解题的思维进程上,如通常把综合法的解题方法称为“正”,而把分析法、反证法的解题方法称为“逆”.同样一般问题的解决过程,总是先考虑从正面入手,进行思考,实施解答,这是解题的一种基本思想方法,但有时会遇到从正面入手不易解决,比如对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确,在解题时,则需调整思路,从问题的反面去思考,也就是“正难则反”,而补集法正是“正难则反”的体现,用这种方法可以收到意料不到的功效,因为这种“逆”恰好弥补了“正”的不足.也是处理问题的间接化原理的体现.【解析】(1)设全集{}{2(4)4(26)01U m m m m m =∆=--+=-∣∣或32m ⎫⎬⎭.方程24260x mx m -++=的两根12,x x 均为非负,则121240260m U x x m x x m ∈⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得32m . 32m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣关于U 的补集为{1},m m -∴∣实数m 的取值范围为{1}.m m -∣ （2）从反面看,若3个方程都没有实根,则212223160,44(1)64(9)(7)0,79,2444(310)4(5)(2)025m m m m m m m m m m m m ⎧∆=-<-<<⎧⎪⎪∆=--=-+<⇒-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪∆=-+=-+<-<<⎩⎩ 即(2,4)m ∈-时3个方程都没有实根.再求补集得3个方程至少有一个方程有实根时,(,2][4,)m ∈-∞-⋃+∞.例2.（1）集合{}{2232(1)220,3(1)62A x x a x a a B x x a x a =-+++=-+++∣∣0}. 求使A B ⊆成立的实数a 的取值范围；（2）已知{}{}2220,40A x x x B x x x p =-->=++<∣∣.问是否存在p ∈R ,使得?A B A ⋃=若存在,求出p 的取值范围；若不存在,请说明理由.【分析】 第(1)问,两个不等式解集之间的关系,B 中不等式23(1)x a x -++620a +,左端因式分解后得(2)[(31)]0x x a --+,则必须对31a +与2的大小关系进行分类讨论,再结合A B ⊆这一关系求出实数a 的取值范围.当然本小题还可以运用函数思想求解,属于妙思巧解,供赏析.第(2)问,,A B 是两个不等式的解集,A B A B ⋃=⇔A ⊆,原问题转化为两解集之间关系的讨论,可从不等式解的角度讨论B =∅或B ≠∅的情况.若设2()4f x x x p =++,显然二次函数的对称轴为2x =-,这是一个重要的细节,数形结合可简化解题过程.【解析】（1）解法一{}221A x a x a =+∣(当且仅当1a =时,{2}A =). 23(1)620(2)[(31)]0x a x a x x a -+++⇒--+(必须分类讨论2与31a +的大小关系). ①当312a +>,即13a >时,{231}B x x a =+∣. ,22A B a ⊆∴且2131,1a a a ++∴且0 3.[1,3];a a ∴∈②当312a +=,即13a =时,210,{2}39A x x B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∣, A B ∴⊆不可能成立；③当312a +<,即13a <时,{312}B x a x =+∣. ,312A B a a ⊆∴+且212,1a a +∴-且1 1. 1.a a -∴=-综上所述,所求实数a 的取值范围是{13aa ∣或1}a =-. 解法ニ由解法一得{}221A x a x a =+∣且A B ⊆.令2()3(1)2(31)f x x a x a =-+++,则()0f x =的一个根位于区间(,2]a -∞中,另一个根位于区间)21,a ⎡++∞⎣中, ()2(2)0,10f a f a ⎧⎪∴⎨+⎪⎩解得13a 或 1.a =- a ∴的取值范围是{13aa ∣或1}a =-. （2）解法-{}220{1A x x x x x =-->⇔<-∣∣或2}x >,又,A B A B A ⋃=∴⊆. （1）当B =∅时,B A ⊆.此时16404p p ∆=-⇒；（2）当B ≠∅时,16404p p ∆=->⇒<.此时由240x x p ++<解得2-2x <<-,当B A ⊆时,则21p --或22p -,解得34p < 综上可得[3,)p ∈+∞.解法二 设22()4(2)4,f x x x p x p =++=++-如图1-1所示,其对称轴为 2x =-.1． 当B =∅时,B A ⊆,此时16404p p ∆=-⇒$；2． 当B ≠∅时,16404p p ∆=->⇒<.此时当B A ⊆\时,只需满足条件(1)0f -即可. 2(1)(1)4(1)30f p p ∴-=-+-+=-34p ∴<综上可得,[3,)p ∈+∞.例3（1）设平面点集1(,)()0,A x y y x y x ⎧⎫⎛⎫=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣{22(,)(1)(1)1B x y x y =-+-∣,{则A B ⋂所表示的平面图形的面积为( ) A.34π B.35π C.47π D.2π（2）已知{(,)6,0,0},{(,)4,0,2x y x y x y A x y x y x y Ω=+=-∣∣0},若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落人区域A 的概率为(). A.13 B.23 C.19 D.29【解析】（1）不等式1()0y x y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭可化为0,10y x y x -⎧⎪⎨-⎪⎩或010y x y x -⎧⎪⎨-⎪⎩集合B 表示圆22(1)(1)1x y -+-=上以及圆内部分的点所构成的集合,A B ⋂所表示的平面区域如图12-所示.曲线1y x =,圆22(1)(1)1x y -+-=均关于直线y x =对称.所以阴影部分占圆面积的一半,故选D .（2）作出两集合表示的平面区域如图13-所示,容易得出Ω所表示的平面区域为EOF 及其边界,A 表示的区域为OCD 及其边界,容易求得(4,2)D 恰为直线4,20,6x x y x y =-=+=三线的交点.则可得16618, 2BOFS=⨯⨯= 14242OCDS=⨯⨯=,∴点P 落在区域A 的概率为42189=,故选D . 三、易错警示例已知2135||1|},|5236x x A x x a B x x x ⎧⎫-<+⎧=〈-=⎨⎨⎬-<+⎩⎩⎭,且A B ⋂=∅,求a 的取值范围.错解:由已知得{1A xx a =+∣或1},{64}x a B x x -+=-<<∣, ,A B ⋂=∅∴根据区间的覆盖得143,7167a a a a a +⎧⇒⇒⎨--⎩⎩⎧⎨则a 的取值范围为{7}aa ∣.【解析】最后结果为{|7}a a 是没有错,但解题过程中犯了策略性错误.上述错解之处是解绝对值不等式|1|x a -时,必须满足0a >オ同上解,而已知条件没有0a >的条件.当0a 时,有,A A B =⋂≠∅R .故必须先对a 进行分类讨论.正确的解法如下：{||1}.A x x a =-∣①当0a 时,,x A ∈∴=R R .而2135{64}5236x x B x B x x x x ⎧-<+⎧⎫=⇒=-<<⎨⎨⎬-<+⎩⎭⎩∣∣, 此时,A B ⋂≠∅,与已知A B ⋂=∅矛盾；②当0a >时,{1A x x a =+∣或1}x a -+,若A B ⋂=∅,则14,16a a +⎧⎨--⎩3,77a a a ⎧⇒⇒⎨⎩为所求. 故a 的取值范围是{7}aa ∣. 方法提炼1.解集合综合题应注意的几个问题（1）准确把握概念,注意集合元素的三特性.（2）分清两种关系:(1)元素与集合之间的关系；(2)集合之间的关系；注意集合表示的等价性. （3）进行集合运算,注意集合语言转译的准确性.（4）重视集合的图形表示及应用,运用数形结合思想获得便捷、简明的解题途径. （5）重视空集的特殊性和重要作用—一分为二思想的应用. （6）反面求解一补集思想的运用. 2.“新定义"问题集合中的“新定义”问题,出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算,并运用它解决相关的一些问题,理解新的定义,它仍然遵循集合中元素的特性,即元素与集合间的关系,集合与集合之间的关系、集合的运算及其性质等. 3.破解“新定义”问题的方法技巧（1）紧扣新定义.【分析】新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够运用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.（2）用好集合的性质.集合的概念、性质(元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.4.解决“新定义”问题的注意点 （1）遇到新定义,应耐心读题.（2）按新定义的要求“照章办事”,逐步【分析】,验证,运算,使问题得以解决. （3）对于选择题,可以结合选项通过验证,采用排除、对比、取特值等方法来解决. 5.解集合的创新问题的步骤 第一步:信息提取,确定化归的方向. 第二步:对所取的信息进行加工,探求解方法.第三步:将涉及的知识进行转换,有效地输出,其中信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是䚣题的难点.四、难题攻略例（1）若集合3cos ,(,)(10)3sin x M x y y θθπθ⎧=⎧⎫=<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎩∣,集合{(,)}N x y y x b ==+∣,且M N ⋂≠∅,则b 的取值范围为_______；（2）设集合222(,)(2),,,{(,)22m A x y x y m x y B x y m⎧⎫=-+∈=⎨⎬⎩⎭R ∣∣21,,}x y m x y ++∈R ,若A B ⋂≠∅,则实数m 的取值范围是（3）在平面直角坐标系中,集合{}22(,)1,{(,)4,A x y x y B x y x y=+=∣∣0,340}x y -,则点集(){121211(,),,,,Q x y x x x y y y x y A ==+=+∈∣,()}22,x y B ∈所表示的区域的面积是___；（4）已知{}{}222(,),(,)()1M x y y x N x y x y a ==+-∣∣.求M N N ⋂=成立时a 需满足的充要条件破难析疑本例四个小题是两个点集之间关系的研究,解题的关键是将代数形式的解析式不等式赋予几何意义,利用几何知识来解决代数问题,这是数形结合的一个主要方面,即“代数运算难入手,图形来帮忙”,这是将问题进行有效转化且解决问题的“亮点”. 【解析】（1）若(,)x y 满足集合3cos ,(,)(0)3sin x x y y θθπθ⎧=⎧⎫<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎩∣,将该式赋予几何意义,可知点(,)x y 在半圆229(03)x y y +=<上移动.问题即转化为:直线y x b =+与半圆229(03)x y y +=<之间公共点的问题.以3为半径的圆在x 轴上方的部分如图14-所示,而集合N 则表示一条动直线,其斜率1k =,纵截距为b .由图形可知,欲使M N ⋂≠∅,即直线y x b =+与半圆229(03)x y y +=<有公共点,可得332b -<,（2）当0m 时,集合A 是以(2,0)为圆心,以||m 为半径的圆面(包括边界),集合B 是在两条平行线之间的带状区域(如图1-5)...所示22(1022mm m--+=+>,,A B⋂≠∅此时无解.mm,22 2.2m∴+21,2 2.22mm m∴+（3）由题意可得,点(,)Q x y满足2121x x xy y y-=⎧⎨-=⎩22111x y+,即()()22111x x y y-+-,表示以点()11,x y为圆心,1为半径的圆内部(含圆),由集合B可知,点()22,x y所在区域为OAB (含边界),则点()1x y表示的圆形如图17-所示,面积为18π+.（4）M N N N M⋂=⇔⊆,由22()1x y a+-得2x()22(21)1y y a y a-+-+-于是,若()22(21)10y a y a-+-+-,必有2y x.即N M⊆.而（1）成立的条件是()22max41(21)4a ay----=-,∴()2241(21)0a a-+-,即2244441a a a-+-+,54a∴五、强化训练1.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅︒=⋅,若平面向量,a b 满足||a ||0,b a >与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b ︒和b a ︒都在集合|2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中,则()a b ︒=A.12B.1C.32D.52【解析】根据题中给定的两个向量的新运算可知2||||cos ||cos ||cos ,||||||a b a b a b a b b a a b b b b θθθ⋅⋅===︒=⋅.又由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,可得cos 12θ<<. 由||||0a b >可得||01||b a <.于是||cos 01||b a θ<<.即(0.1)b a ︒∈. 又b a ︒在集合|2nn ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中,∴||cos 1||2b a θ=,即||2||cos a b θ=,①同理,||cos 22||a b θ>.将(1)代人后得22cos 2θ>.又|2n a b n ⎧⎫⋅∈∈⎨⎬⎩⎭Z .∴22cos ()2na b n θ⋅==∈Z .又122n<<.故3n =∴3||33cos |3:|22||b a b a b b θ==⋯⋅=⨯=.故选C . 2.设{}{}22(,)|10,(,)|42250,{(,)|A x y y x B x y x x y C x y y =--==+-+===}kx b +,问是否存在k b ∈N ，,使得()A B C ⋃⋂=∅?若存在,求出,k b 的值；若不存在,请说明理由.【解析】∵()A B C A C ⋃⋂=∅⋯⋂=∅且B C ⋂=∅.由21,,y x y kx b ⎧=+⎨=+⎩消去y ⋅得222(21)10k x bk x b +-+-=. ∵()2221,(21)410A C bk kb⋂=∅∴∆=---<.即24410k bk -+<.此不等式有解,其充要条件是216160b ->,即21b >.①由242250,,x x y y kx b ⎧+-+=⎨=+⎩消去y ,得24(22)(52)0x k x b +-+-=. ∵22,4(1)16(52)0B C k b ⋂=∅∴∆=---<.即228190k k b -+-<.此不等式有解,其充要条件是820b <,即 2.5b <.②b ∈N ,由①②得2b =,代人由10∆<和20∆<组成的不等式组. 224810,230,.k k k k k ⎧-+<⎨--<⎩∈N 解得1,k =故存在自然数1,2k b ==使得().A B C ⋃⋂=∅3.设集合{()},{(())}M xf x x N x f f x x ====∣∣. （1）求证:M N ⊆；（2）若()f x 是一个在R 上单调递增的函数,是否有?M N =若是,请证明. 【解析】证明:(1)若M Z =.显然M Z ⊆.成立;若M ≠∅.任取0x M ∈,即有()00f x x =,则()()()00f f x f x =x =.即0x N ∈,故M N ⊆.(2)结论是M N =,下证N M ⊆.若N =∅,显然结论成立;若N ≠∅,任取0x N ∈,即有()()0f f x x =,接下来用反证法证明()0f x 0x =.若()00f x x ≠,不妨先设()00f x x >,由于()f x 是一个在R 上单调递增的函数,故()()0f f x >()00f x x >,与()()00f f x x =与盾.同理,()00f x x <也将导致矛盾.故()00f x x =,即0x M ∈,从而有N M ⊆. 结合(1),证得M N =.。

第01课时 集合的语言及思想应用问题【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面.集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 本课时主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用．1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.【小题热身】明确考点，自省反思1.设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是A.123I S S S ⋂⋃=∅（）ðB.123I I S S S ⊆⋂（）痧C.123(I I I S S S ⋂⋂=∅痧?D.123I IS S S ⊆⋃（）痧 2.某班50人中，穿靴子的有37人，戴帽子的有18人，既穿靴子又戴帽子的有8人，则，既不穿靴子也不戴帽子的有 人.3. 若非空集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，则能使)(B A A ⊆成立的所有a 的集合是 .4. 函数f x x x P x x M (),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ⋂=∅，则()()f P f M =∅ ②若P M ⋂≠∅，则()()f P f M ≠∅ ③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃= ④若P M R ⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠ 其中正确判断有 个.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1. 已知集合2{|4260,}A x x mx m x R =-++=∈,若A ∩R -≠∅,求实数m 的取值范围.思路透析: 设全集23{|168240}{|1}2I m m m m m m ==--≥=≤-≥ 或 .若方程(1)的两根均为非负,则有m I ∈且4m ≥0,且26m +≥0,得m ≥32. 因此, 3{|}2m m ≥关于I 的补集{|1}m m ≤-即为所求实数m 的取值范围.点评：本题应用补集思想化正为反顺利求解,其思想也可称之为化归思想.例2. 如图一所示是一个5×4×4的长方体,上面有2×1×4,2×1×5,3×1×4的穿透的洞,剩下部分的体积为 .思路透析: 法一,将长方体分为四层,分别计算各层空洞的数量为:3、12、6、3，求和得有24个空洞,剩下的体积为80-24=56.法二,如图,用文氏图虚拟空洞的特征,然后作定性分析,应用交集思想得:所去掉的空洞共有2×4+2×5+3×4=30个,其中 2×1×4与2×1×5有2个公共的空洞, 2×1×4与3×1×4有2个公共的空洞, 3×1×4与2×1×5有3个公共的空洞, 而2×1×4、 3×1×4、2×1×5有 1个公共的空洞，故计算得空洞共有24个,即剩下的体积为80-24=56.点评:这是一道图形信息型开放题,解法二应用交集思想结合文氏图虚拟图象信息的主要特征,进行定性分析或定量计算,从而得到结论,在解题中是一种很好的尝试.例3. 在1~100的自然数中有 个能被2或3整除的数.思路透析: 设集合A={在1~100中能被2整除的数}B={在1~100中能被3整除的数}，得A ∩B={在1~100中能被2且能被3整除的数}={在1~100中能被6整除的数}A ∪B={在1~100中能被2或3整除的数}∵Card(A)=50 Card(B)=33 Card(A ∩B)=16∴Card(A ∪B)=Card(A)＋Card(B)－Card(A ∩B)=67点评:设集合A 、B 含有有限个元素，用card(A)、card(B)分别表示集合A 、B 中元素的个数，根据集合的性质，不难得到以下结论：（1）Card(A ∪B)=Card(A)+Card(B )－Card(A ∩B);（2）如果全集为U ，A 、B 是U 的子集，则Card(U)=Card(A ∪B)＋Card[C u (A ∪B)]例4. 已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值. 思路透析: 由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|i b w 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1. ∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含. 因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.点评:复平面的运算常以集合的语言进行描述,此类语言可以结合几何语言进行解读. 例5. 设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.思路透析: ∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅3×1×4 2×1×5 2×1×4 1 2 8 6 1 1 5∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1 ① ∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242 ∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.点评:本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题. 解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.例6. 设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .思路透析: (1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根. 将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0解得x =1,3,3,－3.故B ={－3，－1，3，3}.点评: 本题为抽象函数的集合定义与表达方式预测题,编题中将集合中的元素以开放形式给出,考查了严密的逻辑思维推理.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 设I 是全集，集合P 、Q 满足P Q ，则下面结论中错误的是( )A.Q Q P =B.()I P Q U = ðC.I P Q =Φ ðD.()()I I I P Q P = 痧?2.在50个学生中,会讲英语的有36人,会讲日语的有20人,既不会讲英语又不会讲日语的有8人,则既会讲英语,又会讲日语的人数是( )A. 20B. 14C. 12D. 103. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( )A. 258B. 234C. 222D. 2104.奖券中有一半会中奖,( )张奖券.A.4B. 5C. 6D. 75. 集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式中正确的序号是 . ①()I A B I = ð ②()()I I A B I = 痧 ③()I A B =∅ ð ④()()I II A B B = 痧? 2. 已知集合}1|{2==x x M 与集合}1|{==ax x N ，若N ⊂≠M 则实数a 的所有可能值的个数是 .3.对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S ，则21S S ⨯的真子集的个数为 个.4.90名学生中参加数学竞赛的有63名，参加化学竞赛的有52名，两项竞赛都参加的至多有 名？至少有 名？5.已知集合(){}2,210,02A x y xx y x =-+-=≤≤且， (){}0,=+-=a y x y x B ，若B A 中有两个元素，则求实数a 的取值范围为 . 6. 已知集合{}0<=x x A ，{}22230B x x ax a A B =-++=≠∅ ,若，则实数a 的取值范围为 .7. 设1a ，2a ，3a ，4a ，5a 为自然数，A={1a ，2a ，3a ，4a ，5a }，B={21a ，22a ，23a ，24a ，25a }，且1a <2a <3a <4a <5a ，并满足A ∩B={1a ，4a }，1a ＋4a =10，A ∪B 中各元素之和为256，则集合A= .二、解答题:8. 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.9. 设A ＝{X ∣X=a 2+b 2,a 、b ∈Z }，X 1，X 2∈A ，求证：X 1×X 2∈A .10.已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }. 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.第01课时 集合的语言及思想应用问题参考答案【小题热身】1. C2. 33. [6,9]4. 2【即时测评】1. C2. B3. C4. B5. C【课后作业】一、填空题:1. ①③④2. 33. 634. 52 , 255. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡45,16. (]1,-∞-7. {1，2，3，9，12 }或{1，3，5，9，11 }.二、解答题:8. 解析：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2. 9.证明:设X 1＝a 2+b 2，X 2=c 2+d 2，a 、b 、c 、d ∈Z则X 1×X 2＝(a 2+b 2)(c 2+d 2)＝a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2＝a 2c 2+2ac·bd+b 2d 2+b 2c 2-2bc·ad+a 2d 2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a 、b 、c 、d ∈Z ，故ac+bd 、bc-ad ∈Z ，从而X 1X 2∈A. 10. 解析：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上. (2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解. ∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n >0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.。

高一数学集合重难点知识点数学是一门综合性学科，其中集合是数学的基础概念之一。

在高一的数学学习中，集合是一个重要且较为复杂的概念，需要学生掌握和理解。

本文将分析高一数学集合中的重难点知识点，帮助学生更好地掌握这一部分内容。

一、集合的定义和基本运算集合是指具有某种特定性质的对象的总体。

集合的定义是数学的基础，需要学生清楚地理解。

集合之间的关系可以通过集合的基本运算进行描述，而基本运算包括并、交、差、补等。

对于学生来说，理解并掌握这些基本运算是必不可少的。

二、集合的表示方法集合可以用不同的表示方法来了解和描述，常见的包括列举法、描述法和图示法。

列举法是最常见的表示方法，通过列举集合中的元素来表示集合。

描述法则通过给出满足某一条件的元素来表示集合。

图示法是利用点和线来表示集合及其关系。

学生需要通过练习来熟练掌握不同的集合表示方法。

三、集合的运算定律集合的运算满足一些定律，学生需要掌握和理解这些定律。

例如，交换律、结合律和分配律等。

这些定律可以帮助学生更好地进行集合的运算，简化计算过程，提高效率。

四、集合的关系与运算集合的关系包括相等关系、包含关系和互斥关系等。

相等关系是指两个集合的元素完全相同。

包含关系是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

互斥关系是指两个集合没有共同的元素。

掌握集合的关系对于理解和应用集合的运算非常重要。

五、集合的应用集合在数学中的应用非常广泛。

例如，在概率论中，集合用来描述事件的样本空间；在数理统计中，集合用来描述样本的全体；在代数中，集合用来表示向量空间等。

学生需要通过练习来熟悉和应用集合在不同数学领域中的应用。

六、集合的问题解决方法在解决集合问题时，学生需要注意反证法、包含排除法和集合图解法等解题方法。

反证法是指通过假设命题的反面，然后通过推出矛盾来证明该命题成立。

包含排除法是通过判断集合的包含关系和排除关系来解决问题。

集合图解法则通过使用图示法帮助学生理清集合之间的关系，从而解决问题。

高考一轮复习热点难点精讲精析：1.1集合一、集合的基本概念1、相关链接（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。

（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。

（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。

注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。

如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。

②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.③常见集合的意义2、例题解析例1．(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______.【解题指导】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.解析：(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q 中有8个元素，故选B.(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a 2+5a=-3，∴a=-1或.=-3a 2当a=-1时，a-2=2a 2+5a=-3,不合题意; 当.=-3a 2时，A={-72，-3，12},符合题意, 故.=-3a 2答案：.=-3a 2例2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值 为 ( )A.0B.1C.2D.4答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}B ．M = {(x ，y )|x + y = 1}，N = {y |x +y = 1}C ．M = {4，5}，N = {5，4}D ．M = {1，2}，N = {(1，2)}答案：C解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。

集合是高中数学的入门知识，是现代数学的基本语言，在以后的其他知识中经常出现，例如函数中的定义域、值域等，集合知识在每年的高考中必考，且以选择题较多，重点考察基础应用，属于高考试题中“送分”的题目.集合题目虽然简单，但集合涉及的概念多，并且有很强的逻辑性，有容易失分的情况.例如在初学时可能会对一些细节性的知识理解不到位，或者解题时对一些细节问题的忽视而造成错误.为了避免这些失误，我们对集合问题中常犯的错误进行剖析，帮助大家突破这些易错点，做到在集合的习题中不失分.一、元素与集合、集合与集合之间的关系：在学习了“集合与集合的关系”后，可能会与之前所学的“元素与集合的关系”混淆，错误常出现在符合的运用上.通常我们使用的符号有：集合与集合的关系，“包含类符号”：,,,,,元素与集合的关系，“属于类符号”：，例：以符号“∈”与“⊆”的应用举例：1.元素与集合的关系：，11,2,32.集合与集合的关系：0， 11,2,33.错解举例：判断{}πR ，两者的关系.二、描述法表示集合时，对元素的形式、属性的理解： 用描述法表示的集合x x p 中，x 表示元素的形式，x p 表示元素所具有的性质. 例1：集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = ．常见错解：解方程组0,,2x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得1,,1x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴.分析：产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合AB ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数. 因此AB ，是点集，而不是数集．{}(11)A B =-，∴.例2：已知集合{}{}22|2,R ,|616,R A y y x x x B y y x x x ==-∈==++∈，求A B .常见错解：令222616x x x x -=++，得2x =-，所以8y =，则{}8AB =.分析：本题中(){}|,R A y y f x x ==∈，表示函数()f x 的值域，因此求A B 实际上是求两个函数值域的交集. 正解： 由{}(){}{}22|2,R |11,R |1A y y x x x y y x x y y ==-∈==--∈=≥-， {}(){}{}22|616,R |37,R |7B y y x x x y y x x y y ==++∈==++∈=≥， {}7.A B y y ∴=≥例3： 设集合A ＝{y ∣y ＝x 2＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．常见错解：显然Ａ＝{y ∣y ≥1}，{x ∣y ≥2}．所以A ∩B =B ．分析：错因在于对集合中的代表元素不理解.集合A 中的代表元素是y ，是表示函数的值域；但集合B 中的元素为x ，是表示函数的定义域.正解：A ＝{y ∣y ≥1}，B ＝{ x ∣x ≥0}，所以故A ∩B =A .三、忽略集合中元素的互异性，未检验：例：已知集合{}{}222,3,42,0,7,422A a a B a a a =++=+-- ， ，且{}37A B =，，求a 的值．常见错解：∵{}37A B =，，∴2427a a ++=，2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴，5a =-∴或1a =.（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=，满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．∴a 的值为1．四、忽略空集的特殊情况：例. 设集合{}{}2230,10,A x x x B x ax =--==-=且,A B B =求实数a 的值.常见错解：由{}13,1,,A B a ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭又,A B B =故,B A ⊆所以131-=或a 分析：忽视了B =∅的情形．五、其他问题：以上给出的是重点的基础习题中常出现的几个易错点，包括常见的错误解答及错因.当然还会有其他易错之处，例如：1.子集的个数问题：例如：忽略子集和真子集的区别，忽略空集是任意非空集合的真子集、集合本身是子集.2.解不等式，不知道怎么解答.3.不会求函数的值域、定义域等等.下面给出几道练习题来巩固一下.练习题：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8 2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， ｂ∈R}求Ａ中所有元素之和．练习题解析：1.设集合A ={1，2，3，4，5，6}，B ={4，5，6，7，8}，则满足S A ⊆且SB ≠∅的集合S 的个数是( )A .57B .56C .49D .8解析：2.已知{}41|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，求当A B ⊆求实数m 的取值范围.解：因为当B =∅时，A B ⊆亦成立.（1）当B =∅时，则121->+m m ，解得：2<m .（2）当B ≠∅时，要使A B ⊆，应有121,11,,214m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：252≤≤m . 综上，所以m 的取值范围为：25≤m . 3. 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 解：∵{}5S C A =， 5S ∈∴且5A ∉，2235a a +-=∴，2280a a +-=∴，2a =∴或4a =-.当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去.2a =∴．4. 已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，求x ＋y 的值.5. 设A ={x |x 2+(b +2)x +b +1=0， b ∈R}求A 中所有元素之和．解：集合A 中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(b b b =+-+=∆，当b =0时，方程有二重根－1，由集合中元素的互异性，集合A ={－1}，所以元素之和为－1；当b ≠0时，x 1 ＋x 2 ＝－b －2．。