高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用

高中数学新教材中集合思想的应用《高中数学新教材中集合思想的应用》一、随着《普通高中数学课程标准》的实施，集合思想成为高中数学必须掌握的重要内容之一，在高中数学中扮演着重要的角色。

本文将探讨集合思想在高中数学中的应用，从中总结出其具体的应用方法及思想。

二、集合与化简在高中数学知识体系中，很多化简问题都可以通过集合思想进行解决。

集合中的元素可被归类于不同的子集中，每个子集都是一种可能，而化简问题就可以看作是查询符合所有可能的共同部分。

例如下列式子：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$该式子可用集合表示为：$(a+b)\\cup(a-b)=\\{a^2,b^2\\}$其中，$\\cup$表示并集。

其原因在于，左边式子表示的是所有可能的情况，而右边集合是符合式子要求的所有元素的集合，即共同部分。

通过这种化简方式，可以减少计算量以及避免错误。

三、逻辑与函数集合可以用于表达逻辑及计算机科学中的函数。

这里我们以“开平方”函数为例说明集合思想在函数中的应用。

对于正实数$a$，开平方的函数可表示为$f(x)=\\sqrt{x}$，满足$f(a^2)=a$。

这可以用集合表示为：$A=\\{x|x>0\\}$，$B=\\{y|y>0\\land y=a\\}$那么，函数$f(x)$就可以表示为集合$A$到集合$B$的映射，是一种特定输入与输出的映射关系。

利用这个关系，我们就可以实现计算机中的开方运算。

四、数列与极限集合思想也可以应用于数列的定义与极限的求解中。

例如，一个有限数列可以表示为一个有限元素集合，而一个无限数列可以表示为一个无限元素集合。

利用极限的定义，我们可以将数列的极限表示为该数列的所有元素组成的集合中的一个特定元素。

例如，极限$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n}=0$，可以表示为：$A=\\{\\frac{1}{n}|n>0\\}$，$B=\\{0\\}$$B$是$A$的唯一极限，也就是说，当$n$趋近于无穷大时，数列$\\{\\frac{1}{n}\\}$会无限地接近于$0$。

第01讲 集合思想的综合应用知识与方法在高中数学中，集合思想贯穿于数学教学的各部分，集合思想通常从如下3个方面来呈现： 1．类分思想(并集思想)对于比较复杂的问题，可将问题所涉及的对象的全体(通常用集合P 表示)划分为若干两两不相交的部分，通常用()12i P i n ＝，，，表示，且()i j P P i j ⋂∅≠＝，12n P P P P ⋃⋃⋃＝，然后分别求解或论证，从而解决原问题．这就是所谓的类分思想(或逻辑划分思想)，又称为并集(无公共元素)思想，数学解题中常用的分类讨论、穷举法等都是属于这种思想的具体体现．类分思想(并集思想)处理问题的关键是对事物按恰当的标准不重不漏地划分为若干类别，逐个进行研究，当分类解决完这个问题后，还必须把它们整合到一起，从而使问题完整获解． 2．求同思想(交集思想)求同思想是指从问题所涉及的双方或多方事物之间探求共同点(共性)，使问题在某个确定范围内得以解决的一种数学思想，从集合的表示来看，设{A x x ＝∣具有性质}1P ，{B x x ＝∣具有性质}2P ，则{A B x x ⋂＝∣具有性质1P 和}2P ，探求同时具有性质1P 和2P 的对象，即求集合A B ⋂，所以求同思想也称交集思想． 3．互补思想(补集思想)已知集合A 是某个与之相关的全集U 的子集，若直接求A 比较困难或麻烦，可考虑先求A 的补集U C A ，再求()UvA A ＝，这种在顺向思维受阻后改用逆向思维的思想，我们称之为正难则反就是数学中的互补界相或补集思想．典型例题【例1】已知集合()(){}(){22321023120}A x x m x m m B x x n x n -∈∈R R ＝∣＋＋＋＝，，＝∣＋＋＋＝，．(1)若A B A ⋂＝，求m n ，的值． (2)若A B A ⋃＝，求m n ，的值．【例2】设(){}(){}221042250A x y y x B x y x x y ---＝，∣＝，＝，∣＋＋＝，(){}C x y y kx b ＝，∣＝＋，问是否存在k b ∈N ，，使得()?A B C ⋃⋂∅＝若存在，求出k b 、的值．若不存在，请说明理由．． 【例3】已知集合{}{}242600A x x mx m B x x -＝∣＋＋＝，＝∣＜．若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【例4】(1)若集合()()3cos 03sin x M x y y θθπθ⎧⎧⎫⎨⎨⎬⎩⎭⎩＝，＝，∣＜＜＝，集合(){}N x y y x b ＝，∣＝＋，，且M N ⋂∅＝，则b 的取值范围为________． (2) 设集合()222(2)2m A x y x y m x y ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭R ＝，∣＋，，， (){}221B x y m x y m x y ∈R ＝，∣＋＋，，，若A B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是________．(3)已知(){}(){}222()1M x y y x N x y x y a -＝，∣，＝，∣＋，求M N N ⋂＝成立时a 需满足的充要条件．强化训练1．(1)已知集合{{}131A B m A B A ⋃＝，＝，，＝，则m ＝( )． A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3(2)设常数a ∈R ，集合()(){}{}101A x x x a A x x a ---＝∣，＝∣，若A B ⋃R ＝，则a 的取值范围为( )． A ．()2∞-，B ．(]2∞-，C ．()2∞，＋D ．[)2∞，＋2．设集合{}*12n P n n ∈N ＝，，，，，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： (1)n A P ⊆；(2)若x A ∈，则2x A ∉；(3)若nP x A ∈，则2n P x C A ∉．(1)求()4f 的值．(2)求()f n 的解析式(用n 表示)．3．已知集合(){26230A k k x kx k -＝∣＋＋＝有两个正数根}，集合{}1B x x a -＝∣(1)若A B ⋂∅＝，求实数a 的取值范围． (2)若B A ，求实数a 的取值范围．4．已知集合()312y A x y a x -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭＝，∣＝＋，集合()(){21(30}B x y a x a y --＝，∣＋＝．若A B ⋂∅＝，求实数a 的值．5．设平面点集()()(){}2210(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫⎛⎫----⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭＝，∣，＝，∣＋，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为( )．A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π6．设m 为实数，若()(){}2225030250x y x y x x y x y mx y ⎧-⎧⎫⎪⎪⎪-⊆⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭⎩＋，∣，∣＋＋，则m 的取值范围是________． 7．已知集合()(){}2222151100322A y y a a y a a B y y x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＝∣＋＋＋＋＞，＝∣＝＋，．若A B ⋂∅＝，求实数a 的取值范围．8．若关于x 的不等式()23280m x mx ---＞的解集是一个开区间，且区间的长度L 满足[]12L ∈，，求实数m 的取值范围(注：开区间()a b ，的长度L b a -＝)．。

重要知识点（一）集合含义问题1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；2.集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．3.集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素。

4.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

5.元素与集合之间只能用“”或“”符号连接．6.集合的表示常见的方法有列举法与描述法：注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述。

如：英才中学的所有团员组成一个集合。

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

如：常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）（2）正整数集N或(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)（4）有理数集(5)实数集R7.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（二）集合的基本关系1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．3.某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠∅,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|by a x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；(2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }.(1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .。

高中数学集合难题
摘要：
1.集合难题的背景和定义
2.集合难题的解决方法和策略
3.集合难题的实际应用和意义
正文：
1.集合难题的背景和定义
高中数学中的集合难题，通常指的是涉及集合概念和集合运算的复杂数学问题。

集合是数学中的一个基本概念，它包含了一些确定的元素。

集合难题往往涉及到集合的交集、并集、补集等运算，以及集合的表示和证明等问题。

2.集合难题的解决方法和策略
解决集合难题，首先要理解集合的基本概念和运算规则，然后根据题目的具体情况，采取不同的解决方法和策略。

常见的解决方法包括：- 利用集合的基本运算法则，如交集、并集、补集等运算；
- 利用集合的表示方法，如描述法、列举法等；
- 利用集合的性质，如互异性、无序性、确定性等；
- 利用集合的证明方法，如直接证明、间接证明、反证法等。

3.集合难题的实际应用和意义
集合难题在实际生活中有着广泛的应用，如在计算机科学中的集合数据结构，物理学中的量子力学中的集合概念等。

同时，解决集合难题也是提高学生数学思维能力和解决实际问题能力的有效手段。

总的来说，集合难题是高中数学中的一个重要内容，它不仅涉及到集合的
基本概念和运算规则，也需要学生掌握一定的解决方法和策略。

专题01集合、常用逻辑用语【2019年咼考考纲解读】从近几年高考题来看，涉及本节知识点的高考题型是选择题或填空题•有时在大题的条件或结论中出现所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了.要掌握以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算；要能够利用集合之间的关系，利用充要性求解参数的值或取值范围；要掌握命题的四种形式及命题真假的判断；还得注意以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算•要活用“定义法”解题，重视“数形结合”，定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择，抽象到直观的转化•要体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力•体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.【重点、难点剖析】一、集合的概念及运算1 •集合的运算性质及重要结论(1) A U A= A, A U ? = A, A U B= B U A.(2) A n A= A, A n ? = ?, A n B= B n A.⑶ A n(?U A) = ?, A U( ?U A) = U.⑷ A n B= A? A? B, A U B= A? B? A.2•集合运算中的常用方法(1) 数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.(2) 图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.⑶Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.【方法技巧】解答集合问题的策略：(1) 集合的化简是实施运算的前提，等价转换是顺利解题的关键.解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验；(2) 求交集、并集、补集要充分发挥数轴或韦恩图的作用；(3) 含参数的问题，要有分类讨论的意识•注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性.二、充分与必要条件的判断充分、必要条件与充要条件的含义若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A, B,那么有以下结论:【方法技巧】命题真假的判定方法：(1) 一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；(2) 四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；(3) p V q、p A q、「p命题的真假根据p, q的真假与逻辑联结词的含义判定；(4) 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要举出集合M中的一个x = x o,使得p(x o)不成立即可(也就是通常所说的“举一个反例”).要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中能找到一个x = X0，使p(x o)成立即可；否则，这一存在性命题是假命题.三、命题真假的判定与命题的否定1•四种命题的关系(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.2. 复合命题真假的判断方法含逻辑联结词的命题的真假判断：“ p V q ”有真则真，其余为假；“p A q ”有假则假，其余为真；“綈P ”与“ P ”真假相反.3.全称量词与存在量词(1) 全称命题p ： ? x € M P (x )，它的否定綈 p ： ? x o € M 綈P (x o ). (2) 特称命题p ： ? X o € M p (x o )，它的否定綈 p ： ? x € M 綈p (x ). 【方法技巧】充分条件必要条件的判定方法：(1) 定义法：分清条件和结论；找推式，判断“p ? q ”及“q ? p ”的真假；下结论，根据推式及定义 下结论； (2) 等价转化法：条件和结论带有否定词语的命题，常转化为其逆否命题来判断； (3) 集合法：小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围. 【题型示例】题型一、集合的含义与表示、集合的运算A.刘 B. |{1・ C. 画 D.【答案】A【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求得应卫②]，故选A.【变式探究】(2018 •全国卷H )已知集合 A = {(x , y)|x 2+ y 2< 3, x € Z , y €Z }，则A 中元素的个数为A. 9 B . 8 C . 5 D. 4【解析】由题意可知 A = {( —1,0) , (0,0) , (1,0) , (0，- 1) , (0,1) , ( — 1,— 1) , ( —1,1) , (1 ,- 1) , (1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选 A.【答案】A【变式探究】解决集合问题的 3个注意点 (1) 集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质.(2) 空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论.(3) “端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要 代入检验，否则可能产生增解或漏解现象.【变式探究】(2018年全国III 卷)已知集合 料=*冰-1兰0}],尸{0丄2}],则|APiB = A •回 B.画 C.回 D. 【答案】C例1、(2018年全国I 卷)已知集合 *{0. 2}|, 2. -1. 0, 1, 2}贝 m"lB =【解析】由集合A得巨7],所以= 故答案选C.【变式探究】（2018年全国卷H）已知集合，—:二"二，则.A. B. C. D.【答案】C【解析】■•，. ：•.「、.；I-. : ，“ yr - 丁心、，故选Co【变式探究】（2018年全国III卷）已知集合^ =例十I三闻，B = {0丄"1，则A•回B. H C.回D.【答案】C【解析】由集合A得巨7],所以R「iB = e纠，故答案选C.【变式探究】（2018年浙江卷）已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5} , A={1 , 3}，贝UA. "B. {1 , 3}C. {2 , 4 , 5}D. {1 , 2 , 3 , 4 , 5}【答案】C【解析】因为全集」.,所以根据补集的定义得'.?■■ = <■>■:,故选C.【变式探究】（2018年北京卷）已知集合A={（|| |<2）}, B={-2,0,1,2},则|ACW =A. {0,1}B. { -1,0,1}C. { -2,0,1,2}D. { -1,0,1,2}【答案】A【解析】2} = {x|-, ZAnB={0」]| ,故选A o【变式探究】（2018年天津卷）设集合A = , 3= {_1Q23 , C = {x€R|—1兰注2},则人UBWO【解析】由并集的定义可得：4UB = {-1Q12乳4}],结合交集的定义可知：|（AUB）门<2 = {_1』」}本题选择C选项。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.●案例探究［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( ) A.M =N B.M N C.M N D.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4 二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y ) |41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明. (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1. 歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4. 答案：D 二、3.a =0或a ≥89 4.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b ya x -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩ B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩ B ∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解.∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2.8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根.将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3. 故B ={－3，－1，3，3}.。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ．3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；【点评】：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合，集合,则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为，所以先求出集合A,B 后可得结论． 【解析】由题意得，所以，即图中阴影部分表示的集合为．故选C ．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算，解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征，属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B=,则（)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，B=，∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习 1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合，的元素只有1个，则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出的范围.【解析】联立即，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即，可得,解得，方程只有一个根，符合题意，综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 练习2.同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有( )A． 9个 B． 8个 C． 7个 D． 6个【答案】C共有7个集合满足条件，故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（五）分类讨论问题例 5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B，由得，转化为不式等组求解，可得所求范围．【解析】（1）①当时，原不等式成立．②当时，原不等式等价于，解得.，综上可得原不等式的解集为，∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a的取值范围；若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习 1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ．3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；(4)∁U (A ∩B )＝∁U A ∪∁U B ，∁U (A ∪B )＝∁U A ∩∁U B ，A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ；(5)A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B . 三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系 例1. 已知{0,1}M =,则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A 【解析】{0,1}M =，M N ∴∈练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可．【解析】由A 中y=log 2（x+1），得到x+1＞0，即x ＞-1，∴A=（-1，+由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A． B． C． D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．（二）集合中元素重复陷阱例 2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中，此时（y ，z ，w ）=（3，4，1）∈S ，（x ，y ，w ）=（2，3，1）∈S ， 故A 、C 、D 错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B ，求20152016a b ＋. 【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M ∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【解析】图中的阴影部分是： M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M ∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义． 练习1.设集合，，若，求实数a 的取值范围；若，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习 1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。