新版浙江省普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题B(解析版)

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题B · 解析版选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合*{|05,}A x x x =<<∈N ，2{|60}B x x x =--=，则A B =I A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{3} D ．{1,2,3}1．【答案】C【解析】易得{}{}2602,3B x x x =--==-，{}{}*05,1,2,3,4A x x x =<<∈=N ，所以{}{}{}1,2,3,42,33A B =-=I I .故选C ． 2．已知a ，b 是实数，则“5a b +>”是“23a b >⎧⎨>⎩”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．【答案】B【解析】当1a =，5b =时，5a b +>，但不满足23a b >⎧⎨>⎩，故不是充分条件； 由不等式的性质可知， 由23a b >⎧⎨>⎩可得235a b +>+=，故是必要条件.故选B ．3．设函数1(),1x f x x x ≥=-<⎪⎩，则((1))f f -=A ．−1B ．0C ．1D ．33．【答案】B【解析】因为()()111f -=--=，所以()()()110f f f -===，故选B ．4．设P 是双曲线22143y x -=上的动点，则P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为A ．4B ．C ．D ．4．【答案】A【解析】由题得24,2a a =∴=.由双曲线的定义可知P 到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为24a =.故选A.5．若函数π()sin()6f x xω=+（0>ω）的最小正周期为5π，则ω=A．5 B．10 C．15 D．205．【答案】B【解析】根据周期公式2π||Tω=以及0>ω得2π10π5ω==，故选B．6．设120202019a=，2019log2020b=，20201log2019c=，则A．c b a>>B．b c a>>C．a b c>>D．a c b>>6．【答案】C【解析】120200201901912a>==Q，20192019log2020log201910b<<==，202020201log log102019c=<=，∴a b c>>，故选C．7．满足|1||1|1x y-+-≤的图形面积为A．1B．2C．2D．47．【答案】C【解析】由题意，可得3,1,11,1,11111,1,11,1,1x y x yx y x yx yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥<⎪-+-≤⇒⎨+≥<<⎪⎪-≥-<≥⎩，画出对应的平面区域，如图所示，其中四边形ABCD为正方形，因为2AB=222ABCDS=四边形，即111x y-+-≤所表示的图形的面积为2.故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．7π6B ．4π3C ．2πD ．13π68．【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，所以该几何体的体积为22111π7ππ12π11π22366V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选A ． 9．已知1{}1n a +是等差数列，且114a =，41a =，则11a = A ．−12 B ．−11C ．−6D ．−59．【答案】C【解析】因为数列1{}1n a +是等差数列，所以公差4111111412541310a a d -===---++，所以111114111010()115105d a a =+=+⨯-=-++，解得116a =-，故选C ． 10．若向量(1,1,2)=-a ，(2,1,3)=-b ，则||+=a bA 7B ．22C ．3D 1010．【答案】D【解析】由题得()3,0,1+=-a b ，则22230(1)+=++-a b 10D ．11．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a b ∥，则下列结论不可能成立的是A ．b β⊄，且b α∥B ．b α⊄，且b β∥C ．b α∥，且b β∥D ．b 与α、β都相交11．【答案】D【解析】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，令平面ABCD 为平面α，平面11D DCC 为平面β，则CD 为直线a ，a b Q ∥，∴不妨设11A B 为直线b ，11,A B AB AB ⊂Q ∥平面11,ABCD A B ⊄平面ABCD ，11A B ∴∥平面ABCD ，b β∴⊄且b α∥，即A项成立；同理满足b α⊄，且b β∥，即B 项成立；111111,A B C D C D ⊂Q ∥平面11CDD C ，11A B ⊄平面11CDD C ，11A B ∴∥平面11CDD C ，即b β∥，b α∴∥，且b β∥成立，即C 选项成立.故排除A ，B ，C ．对于D ，若a b ∥，且a αβ=I ，则b α∥或b α⊂， 所以b 不可能与α相交，同理，b 不可能与β相交，故D 不可能成立. 故选D ．12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆C 被直线y x =截得的弦长为27C 的方程为A ．22(2)9x y ++=B ．22(2)9x y -+=C ．22(1)6x y ++=D ．22(1)6x y -+=12．【答案】B【解析】由题意，设圆心坐标为(,0)C a （0a >），因为5)M 在圆C 上，所以圆的半径为25r a +，又圆心(,0)C a 到直线y x =的距离为0222a d a -==，且圆C 被直线y x =截得的弦长为7222221175522r d a a a =-=+-=+，解得2a =，所以253r a =+=，因此，所求圆的方程为22(2)9x y -+=.故选B ．13．若两个非零向量a 、b ，满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量+a b 与a 的夹角为A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．6π 13．【答案】C【解析】由||||2||+=-=a b a b a 得：|0|||+=-⇒⋅=a b a b a b ，又||2||+=a b a ，所以向量+a b与a 的夹角θ满足2222()+||1cos ==||||2||2||2θ+⋅⋅==+⋅a b a a a b a a b a a a ，解得π3θ=，故选C ．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c b -=，sin cos 3sin cos A C C A =，则b 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．514．【答案】C【解析】由sin cos 3sin cos A C C A =，及正弦定理得cos 3cos a C c A =，由余弦定理得，222222322a b cb c a a c ab bc+-+-⋅=⋅，即2222223()a b c b c a +-=+-， 又222a c b -=，所以2223(2)b b b b +=-，即24b b =，又0b >，所以4b =.故选C ．15．已知函数()254f x x x kx =-+-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅=A ．4B ．6C ．8D ．1215．【答案】C【解析】画出254y x x =-+与y kx =的图象如下图所示：()()[]22254,,14,5454,1,4x x x y x x x x x ⎧-+∈-∞+∞⎪=-+=⎨-+-∈⎪⎩U ， 由()254f x x x kx =-+-有三个零点，得当[]1,4x ∈时方程2540x x kx -+--=在区间[]1,4内有两个相等的实根，所以()25160k ∆=--=，得9k =或1k =， 若9k =，2x =-，舍去；若1k =，2x =满足条件，所以22x =；当()(),14,x ∈-∞+∞U 时，2540x x kx -+-=的两根之积为4，所以134x x =， 所以1238x x x =，故选C ．16．设二次函数2()f x x ax b =++，若对任意的实数a ，都存在实数2[]1,2x ∈使得不等式|()|f x x ≥成立，则实数b 的取值范围是A ．1(,][2,)3-∞-+∞U B ．11(,][,)34-∞-+∞U C ．11(,][,)49-∞+∞U D ．19(,][,)34-∞-+∞U16．【答案】D【解析】问题条件的反面为“若存在实数a ，对任意实数2[]1,2x ∈使得不等式()f x x <成立”，即1[,2],1 1.2bx x a x∀∈-<++<只要()=b g x x x +在2[]1,2x ∈上的最大值与最小值之差小于2即可. 当4b ≥时，1()(2)2,2g g -<得b ∈∅；当144b <<时,g(2)21()22g ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩，得1944b <<；当1111(2)()2,4234b g g b ≤-<-<≤时，得.所以1934b -<<. 综上可得，所求实数b 的取值范围是19(,][,)34-∞-+∞U ，故选D ．17．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，且满足4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，||||FA FB -=u u u r u u u r ，则FA FB ⋅u u u r u u u r 为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-17．【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212,44y y x x ==， 由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r 得22121212124,4,44y y x x y y y y +=-⋅+=-221212128,444y y y y x x ∴=-=⋅=，因为FA FB -=u u u r u u u r=结合2114y x =，2224y x =，得1212(1)(1)x x x x +-+=-=因此2212121212()()4481664,8x x x x x x x x +=-+=+=∴+=，从而1122121212(1,)(1,)()1488111FA FB x y x y x x y y x x =-⋅-=+-++=-⋅-+=-u u u r u u u r，故选A ．18．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有A ．EFK α∠≤B ．EFK α∠≥C ．EDK α∠≤D ．EDK α∠≥18．【答案】B【解析】如图，DEF △绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，πE FK EFE ∠=-∠''，πE OE α=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE '△与等腰FEE '△中，EE '为公共边，且FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠''，E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=， 当0α=o 时，E FK α∠'>， 综上，E FK α∠'≥，即EFK α∠≥.C 、D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，由图可知即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证：当0α=o 时，E DK α∠'>，当180α=o 时，E DK α∠'<，∴C 、D 都不正确. 故选B ．非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知π(0,)6a ∈，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 19．【答案】12;45【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=，22tan 14sin 211tan 514a a a ===++，所以1tan 2a =，4sin 25a =.20．已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =______. 20．【答案】1或−3【解析】因为l 1⊥l 2，所以k ·（k ﹣1）+（1﹣k ）·（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3，故答案为1或﹣3. 21．已知向量(,1)m =a ，(4,2)n =-b ，0m >，0n >，若∥a b ，则18m n+的最小值为______. 21．【答案】92【解析】∵∥a b ，∴420n m --=，即24n m +=，∵0m >，0n >，∴18118(2)4n m m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭116104n m m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭19(1042≥+=，当且仅当843n m ==时取等号， ∴18m n +的最小值是92．故答案为92． 22．已知数列{}n a 满足113a =，1340n n a a ++-=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则满足不等式1|9|1000n S n -->的n 的最大值为______. 22．【答案】8【解析】对1340n n a a ++-=变形得：13(1)(1)n n a a +-=--，即11113n n a a +-=--，故可以分析得到数列{1}n a -是首项为12，公比为13-的等比数列.所以11112()3n n a --=⨯-，1112()13n n a -=⨯-+，所以112[1()]1399()131()3n n n S n n --=+=-⨯-+--，故119|9()|31000nn S n --=-⨯->，解得最大正整数8n =. 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥. 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为5sin 7sin c B a C =，所以5757cb ac b a =⇒=， 又2b c a +=，所以73,255b ac a b a ==-=.（3分） 所以22222237()()155cos 32225a a a a cb B a aca +-+-===-⋅⋅.（5分）（Ⅱ）因为0πB <<，1cos 2B =-，所以2π3B =.（6分） 所以1()sin()22π3f x x =+≥23ππ5π2π2π,66k x k k ⇒+≤+≤+∈Z ，（8分） 解得x ∈ππ[2π,2π]26k k -+，k ∈Z .（10分） 24．（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，点P （2，3）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P引圆222(3)(03)x y r r +-=<<的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的焦距为4，所以c ＝2，则左焦点为F 1（﹣2，0），右焦点为F 2（2，0），所以|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，所以2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝5+3＝8，即4a =，（2分） 所以b 2=a 2−c 2=12，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（4分）（Ⅱ）设PA ：1(2)3y k x =-+，则r =，所以2221(4)0r k r -+=；设PB ：2(2)3y k x =-+，则r =2222(4)0r k r -+=，所以1k ，2k 为方程222(4)0r k r -+=的两根，即120k k +=．（6分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立122(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有()()2222111113416241648120k x k k x k k +--+--=，2111211624234k k x k -+=+，221111122111624824623434k k k k x k k ---=-=++．同理联立222(2)311612y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：211221824634k k x k +-=+，（8分） 则()121121211121212124434148234ABk k x k y k k x x x y k k x x -++-+====--+．故直线AB 的斜率是定值，且定值为12.（10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()log ()()f x a a x=+∈R .（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域；（Ⅱ）若对任意[2,4]t ∈，12,[1,1]x x t t ∈-+，均有12|()()|2f x f x -≤，求a 的取值范围. 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）当1a =时，()21log (1)f x x=+， 因为[1,)x ∈+∞，所以(]111,2x +∈，则()(]21log (1)0,1f x x=+∈， 所以()f x 在[1,)x ∈+∞时的值域为(]0,1.（3分） （Ⅱ）依题意对任意[]2,4t ∈，[]1,1x t t ∈-+，10a x+>恒成立， 所以101a t +>+在[]2,4t ∈时恒成立，则15a >-.（5分） 对任意[]2,4t ∈，函数()f x 在区间[]1,1t t -+上单调递减， 由已知[]12,1,1x x t t ∈-+，均有()()122f x f x -≤， 所以2211log ()log ()211a a t t +-+≤-+在[]2,4t ∈时恒成立，即214533111t a t t t -≥-=-+-在[]2,4t ∈时恒成立.（7分） ①当0a ≥，[]2,4t ∈时，25301t t -<-，则0a ≥符合题意.（8分） ②当105a -<<时，25331t a t -≥-在[]2,4t ∈时恒成立，则215(1)03t t a a+-+≤在[]2,4t ∈时恒成立， 令()215(1)3g t t t a a =+-+，所以()()1230,374150,310,5g a g a a ⎧=+≤⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩则109a -≤<.（10分） 由①、②可得a 的取值范围为19a ≥-.（11分）。

高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}1A x x =≥{}12B x x =-<<A B = A ．B ．C ．D ． {}1x x >-{}1x x ≥{}11x x -<<{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：.{}|12A B x x =≤< 故选：D.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1 ≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1 ≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知i 是虚数单位，则= 31i i +-A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于，故可知选D. 33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+【解析】复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．等于（ ）()sin πα-A ．-B ．C ．-D ． sin αsin αcos αcos α【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】. ()sin sin παα-=故选：B5．函数f (x )＝＋lg(1＋x )的定义域是（ ） 11x-A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【答案】C【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.【详解】因为f (x )＝＋lg(1＋x )， 11x-所以需满足， 1010x x -≠⎧⎨+>⎩解得且，1x >-1x ≠所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.6．不等式4-x 2≤0的解集为（ ）A ．B ．或 {}|22x x -≤≤{2x x ≤-}2x ≥C ．D ．或 {}|44x x -≤≤{4x x ≤-}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式即，解得或，240x -≤()()220x x -+≥2x ≤-2x ≥故不等式的解集为或.{2x x ≤-}2x ≥故选：B. 7．“”是“一元二次方程”有实数解的 14m <20x x m ++=A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件【答案】A 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必20x x m ++=11404m m ∆=-≥⇒≤14m <14m ≤要条件．故A 正确．【解析】充分必要条件8．已知 是空间三个不重合的平面，是空间两条不重合的直线，则下列命题为真命题的,,αβγ,m n 是（ ）A ．若，，则B ．若，，则 αβ⊥βγ⊥//αγαβ⊥//m βm α⊥C ．若，，则D ．若，，则 m α⊥n α⊥//m n //m α//n α//m n 【答案】C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由，，得或与相交，故A 错误；αβ⊥βγ⊥//αγαγ由，，得或或与相交，故B 错误；αβ⊥//m β//m αm α⊂m α由，，得，故C 正确；m α⊥n α⊥//m n 由，，得或与相交或与异面，故D 错误．//m α//n α//m n m n m n 故选：C ．9．设函数,则（ ） 331()f x x x =-()f x A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， {}0x x ≠()f x 再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， ()331f x x x =-{}0x x ≠()()f x f x -=-所以函数为奇函数．()f x 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 3y x =()0,+¥(),0-¥而在上单调递减，在上单调递减， 331y x x-==()0,+¥(),0-¥所以函数在上单调递增，在上单调递增． ()331f x x x=-()0,+¥(),0-¥故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 a b ，2a b =ba b ⊥ （–）a b A ． B ． C ． D ． π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b 可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ． a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π11．下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ． 3y x =1y x =+21y x =-+2x y -=【答案】B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在上是减函数，(0,)+∞故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B ．(0,)+∞【解析】函数的奇偶性，单调性．12．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） 2()2f x x ax b =-+A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]【答案】A【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a 的取值范围.【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以2()2f x x ax b =-+x a =. [)1,a ∈+∞故选：A13．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平()y f x =12移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） 3πsin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x =A ． B ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ． D ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到()y f x =，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y f x =解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到()y f x =12的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， (2)y f x =3π23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦根据已知得到了函数的图象，所以， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,则, 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,234212t t x x πππ=+-=+所以,所以； ()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解法二：由已知的函数逆向变换， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 3πsin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为的图象，所以. ()y f x =()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.14．函数的图象大致为（ ） 241x y x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标()()241x f x f x x --==-+()f x 原点对称，选项CD 错误；当时，，选项B 错误. 1x =42011y ==>+故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 15．若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范围是R (,0)-∞(10)xf x -≥（ ）A ．B ． [)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]--C ．D ．[1,0][1,)-⋃+∞[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积()f x 大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上也是单调递减，且，，()f x (0,)+∞(2)0f -=(0)0f =所以当时，，当时，，(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃()0f x >(2,0)(2,)x ∈-+∞ ()0f x <所以由可得： (10)xf x -≥或或 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩0012x x >⎧⎨≤-≤⎩0x =解得或，10x -≤≤13x ≤≤所以满足的的取值范围是，(10)xf x -≥x [1,0][1,3]-⋃故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.16．若，则的最小值为（ ） 0,0,2a b a b >>+=41y a b =+A ． B ． C ．5 D ．4 7292【答案】B【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的y ()()241a b a b++y最小值．【详解】解：，2a b += ∴12a b +=（当且仅当时等号成立） ∴41415259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=+++=…2b a =故选：B ． 17．如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AC =AB =BD =CD =2，且∠CDB =90°．取AB 中点E 以及CD 中点F ，连接EF ，则EF 与AB 所成角的正切值取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 1[21[2【答案】C 【分析】由题意可得当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大，从而可得最ABC ⊥BCD 大值，当平面与平面重合时，张角最小，即EF 与AB 所成角最小，从而可得最小值，又ABC BCD 平面与平面不能重合，即可求得EF 与AB 所成角的正切值取值范围.ABC BCD 【详解】解：如图，作于H ，EH BC ⊥因为，当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大， 112BE AB ==ABC ⊥BCD 如图①，作与M ，HM CD ⊥BF==EF==因为，所以，BC==222AB AC BC+=90BAC∠=︒所以EF与AB的夹角为或其补角，BEF∠，所以cos∠sin BEF∠=tan∠故EF与AB，当平面与平面重合时，张角最小，即EF与AB所成角最小，ABC BCD如图②所示，即为EF与AB所成角的平面角，45FEA∠=︒，tan1FEA∠=又平面与平面不能重合，ABC BCD所以EF与AB所成角的正切值取值范围为.故选：C.18．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（）60BAC∠=︒A．B．4 C D．221【答案】A【分析】由正弦定理可得，再在中由余弦定理化简得出AB C=ABD△，即可求出.2216AD C=+【详解】因为，所以，24BD DC==6BC=在中，由正弦定理可得，则，ABCA sin sinAB BCC BAC===∠AB C=在中，由余弦定理得ABD△2222cosAD AB BD AB BD B=+-⋅⋅248sin1624cosC C B =+-⨯⨯()248sin16cosC C A C=+++2148sin16cos2C C C C⎛⎫=++-⎪⎝⎭，cos16216C C C=+=+因为，所以，0120C︒<<︒02240C︒<<︒则当，即时，290C=︒45C=︒.AD2==+故选：A.二、填空题19．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的_________；=a（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【详解】由频率分布直方图及频率和等于1可得，0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=解之得．于是消费金额在区间内频率为，所以消3a =[0.5,0.9]0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=费金额在区间内的购物者的人数为：，故应填3；6000．[0.5,0.9]0.6100006000⨯=【解析】本题考查频率分布直方图，属基础题．20．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 710【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.2510C =若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，11326C C =若选出的2名学生都是女生，有种情况，221C =所以所求的概率为. 6171010+=【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 21．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC那么P 到平面ABC 的距离为___________．.【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面P 垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作分别垂直于，平面，连，,PD PE ,AC BC PO ⊥ABC CO 知，，,CD PD CD PO ⊥⊥=PD OD P 平面，平面，CD \^PDO OD ⊂PDOCD OD ∴⊥，．， PD PE ==∵2PC =sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=，为平分线， PO CO ∴⊥CO ACB ∠，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =．PO ∴==【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．22．若函数恰有两个零点，则实数的范围是________ 2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩a 【答案】 1[,1)[2,)2+∞ 【分析】分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围.()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--a 【详解】解：设，()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--若在时，与轴有一个交点，1x <()2x h x a =-x 所以，并且当时，　，所以，0a >1x =(1)20h a =->02a <<而函数有一个交点，所以，且，()4()(2)g x x a x a =--21a ≥1a <所以， 112a ≤<若函数在时，与轴没有交点，()2x h x a =-1x <x 则函数有两个交点，()4()(2)g x x a x a =--当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），0a ≤()h x x ()g x 当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的， (1)20h a =-≤2a ≥()g x 12,2x a x a ==综上所述的取值范围是，或. a 112a ≤<2a ≥故答案为：. 1[,1)[2,)2+∞ 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题23．已知函数 ()21sin cos cos 2,2f x x x x x x R =+-∈（1）求函数的单调减区间；()f x （2）求当时函数的最大值和最小值． 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）. 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()()min max 15,22f x f x =-=【分析】（1）将化为，然后解出不等式()f x ()12sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3222262k x k πππππ+≤-≤+即可；（2）当时，，然后可求出答案. 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）()211cos 211sin cos cos 22cos 22cos 22222x f x x x x x x x x x -=+-=-=-+ 12sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，可得 3222262k x k πππππ+≤-≤+5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数的单调减区间为 ()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以 ()15,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即 ()()min max 15,22f x f x =-=24．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，绕着BD 顺时针旋转得到60BAD ∠=︒ABD △120︒PBD △，E 是PC 的中点.(1)求证：平面BDE ；//PA (2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线可得到，再利用直线与平面平行AC BD F EF //EF PA 的判定即可证明；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，然后过EF F 作，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到为直线与平面FQ BE ⊥FQ ⊥PBC QEF ∠EF PBC 所成的角，最后求的正弦值即可.QEF ∠【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形ABCD 是菱形，AC BD F EF 所以为的中点，又因为是的中点，所以，F AC E PC //EF PA 平面，平面，所以平面. EF ⊂BDE PA ⊄BDE //PA BDE（2）过作，垂足为，连接，F FQ BE ⊥Q FP由（1）知：，//EF PA 则直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，EF 易知，又是的中点，所以，同理，BP BC =E PC BE PC ⊥DE PC ⊥又，面，所以面，又面，BE DE E ⋂=,BE DE ⊂BDE PC ⊥BDE PC ⊂PBC 所以面面，面面，面，，PBC ⊥BDE PBC =BDE BE FQ ⊂BDE FQ BE ⊥所以面，所以为直线与平面PBC 所成的角，FQ ⊥PBC QEF ∠EF 由△绕着BD 顺时针旋转得到△，可得到，ABD 120︒PBD 120AFP ∠=︒假设，则，2AB a =,AF FP ===在中，由余弦定理可得：，AFP A 22222cos1209AP AF FP AF FP a =+-⋅︒=所以，3AP a =因为，所以，又为的中点，所以，PDC PCB ≅A A DE BE =F BD EF BD ⊥则在中，， Rt EFB △13,,22EF AP a FB a BE =====所以， sin FB FEB BE ∠==所以直线AP 与平面PBC 25．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k log 2x ＝0在[2，4]上有解，求实数k 的取值范围； ⋅（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，求实数m 的取值范围．（附：函数g （t ）＝t 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．） 1t+【答案】（1）﹣1；（2）0≤t ；（3）m ≤﹣3或m ≥3． 14≤【分析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.（2）采用换元把方程化为t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为t 与2+2k 在[1，2]上有交点即可求解. ()g t =1t+y =（3）求出|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，把问题转化为1≤m 2﹣2mp ﹣2恒成立，研究关于p 的函数h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，使其最小值大于零即可.【详解】（1）函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 对称轴为x ＝1，所以在区间[1，2]上f （x ）min ＝f （1）＝a ，由根据题意函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．所以a ＝﹣1．（2）由（1）知f （x ）＝x 2﹣2x ，若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k •log 2x ＝0在[2，4]上有解，令t ＝log 2x ，t ∈[1，2]则f （t ）+1﹣2kt ＝0，即t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，t 2+2k 在[1，2]上有解， 1t+=令函数g （t ）＝t ， 1t+在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．所以g （1）≤2+2k ≤g （2），即2≤2+2t ， 52≤解得0≤t ． 14≤（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，则1≤m 2﹣2mp ﹣2，即m 2﹣2mp ﹣3≥0，令h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，所以h （﹣1）＝2m +m 2﹣3≥0，且h （1）＝﹣2m +m 2﹣3≥0，解得m ≤﹣3或m ≥3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.。

浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
13．下列选项中正确的是（ ）
A ．33log 1.1log 1.2
<B ．
()
()
3
3
1.1 1.2-<-C ． 1.1 1.2
0.990.99<D ．30.99
0.993<14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从
20．在ABC V 中，已知4BC =，4BC BD =uuu r uuu r ，连接AD ，满足
sin sin DB ABD DC ACD ×Ð=×Ð，则ABC V 的面积的最大值为四、解答题
21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，绘制如图所示的频率分布
直方图．
20．3
【分析】分别在ADB
V和
由角平分线定理得到AB AC
cos BAC
Ð，即可得到sin
ADB
V。

2020年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =U ，则m 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()()lg 1f x x =- ） A ．{}|12x x <≤B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤≤D ．{}2|x x ≤3．已知圆的方程为222420x y x y +-++=，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C D ．3±4．不等式()()2230x x -->的解集是（ ）A ．()3,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．RC ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．∅5．tan15︒=（ ）A ．2B ．2+C ．3-D ．3+6．椭圆2211636x y +=的焦距为（ ）A ．B ．8C ．D ．127．(2,,0)a m =v，(1,3,1)b n =-v ，若a v //b v ,则m n +=（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．若直线l 与380x y ++=垂直，则直线l 的斜率为（ ） A ．-3B ．13-C ．3D ．139．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．223+B 31C ．232D 3111．一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π12．已知,a b 是实数，则“11a b ==且”是“2a b +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．如图所示，l αβ⋂=平面平面，A β∈，B β∈，AB l D ⋂=，C α∈，则平面ABC 和平面α的交线是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线ABD ．直线CD14．已知实数x ，y 满足23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．145D ．215．函数3sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可看成3sin3y x =的图象按如下平移变换而得到的（ ）A ．向左平移9π个单位 B ．向右平移9π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 16．数列{}n a 的前n 项的和满足*3,,2n n S a n n N =-∈则下列为等比数列的是（ ） A ．{1}n a +B ．{1}na -C ．{1}n S +D ．{1}n S -17．已知P 为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，A 为其左顶点，(43,0)F 为其右焦点，满足||||AF PF =，3PFA π∠=，则点F 到直线PA 的距离为（ ） A ．53B ．72C ．73D ．15218．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C --的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠ B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠ C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知22(0)()4(0)xx x x f x x ⎧-=⎨<⎩…，(1)f -=___________；若()1f a =，则实数a 的值为___________． 20．已知向量,a b v v 满足a b ⊥v v ，且2,24,a a b=-=v v v 则b =v ___________．21．已知数列{}n a 满足：1a a =，()1581n n n a a n N a *+-=∈-，若对任意的正整数n ，都有3n a >，则实数a 的取值范围___________． 22．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为___________．三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()322sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间. 24．（本小题满分10分）已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.（1）若1k =，求FA FB +的值；（2）点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程. 25．（本小题满分11分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠）（1）问取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解； （2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围？2020年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01选择题部分一、选择题1．D 2．A 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 9．D 10．B 11．C 12．A 13．D 14．B 15．A 16．A 17．D 18．C非选择题部分二、填空题19．141+ 20 21．()3,+∞ 22三、解答题23．【解析】（1）由题意，函数3()cos 2sin 2sin 222f x x x x =+-1=sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，（3分） 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．（5分） （2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，（7分） 由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（10分）24．【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=， 则124x x k +=，128x x =-，（3分）又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（5分）（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ，（7分） 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，（9分）所以直线l 的方程为3240x y +-=. （10分）25．【解析】（1） 22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[]0,2π上有两解,换sin t x =,则2221t t a -+=在[]1,1-上解的情况如下：①当在()1,1-上只有一个解或相等解，x 有两解()()510a a --<或0∆=,∴()1,5a ∈或12a =.②当1t=-时，x 有惟一解32x π=,③当1t=时，x 有惟一解2x π=,故()1,5a ∈或12a =. （5分） （2）当[]10,3x ∈∴()1f x 值域为1,108⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,当[]20,3x ∈时，则23666x πππ-≤-≤-有21sin 126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, （7分） ①当0k>时，()2g x 值域为1,2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,②当0k<时，()2g x 值域为1,2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ,而依据题意有()1f x 的值域是()2g x 值域的子集, （9分）则0101182k k k⎧⎪>⎪≤⎨⎪⎪-≥-⎩ 或 0110218k k k ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩ , （10分） ∴10k≥或20k ≤- . 综上，实数k 的取值范围是(][)∞+∞，，1020--Y . （11分）2020年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题04选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．命题00:0,340p x x ∃>->，则命题p 的否定为（ ）A ．00,340o x x ∃>-≤B ．000,340x x ∀≤-≤C ．0,340x x ∀>-<D ．0,340x x ∀>-≤2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,7A =，集合{}1,2,4,6,7B =，则U A B ⋂ð=（ ） A ．{}2,3 B ．{}3,5C ．{}3,4D ．{}2,73．函数()()3xf x =在区间[]1,2上的最大值是（ ）A ．33B ．3C ．3D ．234．如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-。

2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷04一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分) 1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x ∈R}则P∩Q 等于 A ．{﹣2，﹣1，0，1，2}B ．{3，4}C ．{1，2}D ．{1} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依题意，共同元素为{}1,2. 2．函数()4ln 1xf x x x-=++的定义域为（ ） A ．()1,4- B ．()(]1,00,4-⋃ C ．()()1,00,4- D ．(]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数为正数、分母不为零以及偶次根式的被开方非负列式可得结果. 【详解】要使函数有意义，则有10400x x x +>⎧⎪-≥⎨⎪≠⎩解得14x -<≤且0x ≠.所以函数()f x 的定义域为(1,0)(0,4]-. 故选：B3．在同一坐标系中，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可. 【详解】解：由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭中的底数1012<<，所以为减函数，所以排除BC ， 由于2log y x =中的底数21>，所以为增函数，所以排除D ， 故选：A.4．若α为钝角，4sin 5α，则cos α=（ ） A ．15-B ．15C ．35D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系式22cos sin 1αα+=求解. 【详解】α为钝角，4sin 5α，3cos 5α∴==-.故选：D.5．若()()12212,a e me m R b e e m =-∈=--与平行则的值是（ ） A ．m=0 B ．m= -1C ．m=12D ．m= -2【答案】C 【解析】 【详解】∵2112(2)2b e e e e =--=-又∵()()12212a e me m R b e e =-∈=--与平行 ∴121m-=-，即12m =6．图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】直接根据三视图定义得到答案. 【详解】根据图形知：几何体的左视图是A 选项. 故选：A.7．函数221()x f x x+=．A ．是奇函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增B ．是奇函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 C ．是偶函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增D ．是偶函数且在区间2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】由222()121()()x x f x f x x x -++-==-=--可知()f x 是奇函数，排除C ，D ， 且()()819212,13221f f ++====，由(2)(1)f f >可知B 错误，故选A ． 8．不等式22150x x -++≤的解集为（ ）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B 【解析】 【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集； 【详解】解：依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．9．已知函数()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)21,+∞ B ．[)13,+∞C ．27,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)15,+∞【答案】C 【详解】解：因为()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域R 上单调递减的奇函数，当0x ≥时()2f x x =-，则()()()223399f x x x f x =-=-=，当0x <时()2f x x =，则()()()223399f x x x f x ===，所以()()39f x f x =，因为x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，即x ∀∈R ，()()()()2943934912f mx f x f x f x ≤--=-=-恒成立，所以2912mx x ≥-恒成立，即29120mx x -+≥恒成立，当0m =，显然不成立，当0m ≠时，则，解得2716m ≥，即27,16m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C10．已知1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78- B ．78 C ．716D ．716-【答案】B 【详解】∵1cos 64πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2sin 2sin 2cos 212cos 66266πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B.11．已知,R αβ∈，“tan tan αβ=”是“π,k k αβ=+∈Z ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合函数tan y x =的周期分别判断充分性与必要性是否成立. 【详解】当tan tan αβ=时，由于函数tan y x =的周期为π，所以可得π,k k αβ=+∈Z ，即充分性满足；当3,22ππαβ==时，其正切值不存在，所以π,k k αβ=+∈Z 推不出tan tan αβ=，不满足必要性，所以“tan tan αβ=”是“π,k k αβ=+∈Z ”的充分不必要条件. 故选：A12．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数cos 2y x =的图象上的所有点沿x 轴A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】根据sin 2cos(2)2x x π=-及平移变换的规则可得正确的选项.【详解】因为sin 2cos(2)2x x π=-，所以由cos2y x =图像平移到cos(2)2y x π=-，只需向右平移4π个单位． 故选：A.13．已知二次函数221y x ax =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),23,-∞⋃+∞ B ．[]2,3 C ．(][),32,-∞-⋃-+∞ D ．[]3,2--【答案】A 【解析】 【分析】结合图像讨论对称轴位置可得. 【详解】 由题知，当222a --≤或232a--≥，即2a ≤或3a ≥时，满足题意. 故选：A14．已知向量1a =，3a b +=，26a b -=，则23a b +=（ ）A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】由已知平方可得232b =，14⋅a b =，再对23a b +平方即可求出.【详解】因为1a =，3a b +=，26a b -=，平方可得21a =，2223a a b b +⋅+=，22446a a b b -⋅+=， 解得232b =，14⋅a b =，故22231412349124912242a b a b a b +=++⋅=+⨯+⨯=，∴82232a b +=. 故选：D ．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）A 10B 26C 15D 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接11A C 交11B D 于点O ，连接BO ，证明1OC ⊥平面11BB D D ，则1C BO ∠为则1BC 与平面11BB D D 所成角，在1Rt BOC △中，求出1C BO ∠即可. 【详解】解：连接11A C 交11B D 于点O ，连接BO ，由2AB BC ==，可得1111D C B A 为正方形即111OC B D ⊥， 由长方体的性质可知1BB ⊥面1111D C B A ，1OC ⊂面1111D C B A ，所以11OC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=， ∴1OC ⊥平面11BB D D ，则1C BO ∠为则1BC 与平面11BB D D 所成角， 在1Rt BOC △中，12OC =，15,3BC OB ==， ∴11315cos 55OB OBC BC ∠===， 即1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为155. 故选：C.16．若0,0,1x y x y >>+=，且14m x y+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}3m m <B ．{}6m m <C ．{}5m m <D ．{}9m m <【答案】D 【解析】 【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求得14x y+的最小值后可得m 的范围．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=，所以141444()5529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时等号成立，所以9m <．即m 的范围是{|9}m m <．故选：D ．17．平面向量,a b 满足4a =，a 与a b -的夹角为120，记()()1m ta t b t =+-∈R ，当m 取最小值时，a m ⋅=（ ） A ．23 B ．12C ．43D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，作出图象，根据平面向量基本定理可知,,m a b 起点相同，终点在直线AB 上，可知min 23m =且,30a m <>=，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】设OA a =，OB b =，则a b BA -=，如图所示，a 与ab -的夹角为120，120OAB ∴∠=，60OAC ∠=；()()1m ta t b t =+-∈R 且()11t t +-=，,,m a b ∴起点相同时，终点共线，即在直线AB 上，∴当m AB ⊥时，m 最小，又4a =，min 23m ∴=,30a m <>=，42312a m ∴⋅=⨯=. 故选：B.18．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．72-D ．52【答案】C 【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x -+=+①， 因为()2f x +是奇函数，所以()()22f x f x -+=-+②． 令1x =，由①得：()()024f f a b ==+， 由②得：()()()31f f a b =-=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=， 令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()228f x x =-，111711222232f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C ．二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知幂函数()f x x α=的图像过点，则α=________，(16)f =_________． 【答案】 124【详解】由题意知，2α=12α=，所以12()f x x =，可知12(16)16=4f =. 故答案为：12；420．在△ABC 中，若b ＝2，c ＝C ＝23π，则a ＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦定理直接求解可得. 【详解】∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，223∴（）＝a 2＋22－2a ×2×cos 23π， ∴a 2＋2a －8＝0，即(a ＋4)(a －2)＝0，∴a ＝2或a ＝－4(舍去)．∴a ＝2．故答案为：221．已知平面向量()()1,1,,2a b t =-=，若()a b a +⊥，则t =__________.【答案】0【详解】解：因为()()1,1,,2a b t =-=，所以()()()1,1,21,1a b t t +=-+=+，又()a b a +⊥，所以()()()11110a b a t +⋅=⨯++⨯-=，解得0=t ；故答案为：022．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,A D C D 的中点，若点,,N P M 分别为线段11,,BD EF BC 上的动点，则PM PN +的最小值为___________.【答案】1【详解】如上图所示，当P 点运动时，M 位于EF 中点时，PM 最小；若BN BQ =，则BPN BPQ ≅，即PN PQ =，当,,M P Q 三点共线时，PM PQ +最小，即PM PN +最小，此时1PM PN += 故答案为：1三、解答题(本大题共3小题，共31分)23（10分）．已知函数f （x ）＝sin x .（1）判断f （x ）是否是三角函数，并求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求f （x ）的单调递增区间.【答案】（1）f （x ）是三角函数，1；（2）222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）f （x ）是三角函数，代入数据，即可得答案.（2）根据正弦函数的性质，即可得答案.【详解】 （1）f （x ）是三角函数，=sin 122f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）f （x ）的单调递增区间为222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦24（10分）．如图，三棱锥P ABC -中，AC CB PA PC ===，120ACB ∠=︒，90BCP ∠=︒.(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）若,D E 分别是,AB BP 中点，连接,,CD DE EC ，由已知条件及勾股定理可得DE CD ⊥、CD AB ⊥，根据线面垂直的判定和面面垂直的判定即可证结论.（2）由（1）可得PA PB ⊥，结合面面垂直的性质求P 到面ABC 的距离，由等体积法P ABC B PAC V V --=求B 到面PAC 的距离，进而求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(1)如下图，若,D E 分别是,AB BP 中点，连接,,CD DE EC ，令2AC CB PA PC ====，由90BCP ∠=︒，即△CBP 为等腰直角三角形，则2CE在等腰△ACB 中120ACB ∠=︒，可得 1CD =且CD AB ⊥，又112DE PA ==， 所以222DE CD CE +=，即DE CD ⊥，又DE AB D ⋂=且,DE AB ⊂面PAB ， 所以CD ⊥面PAB ，而CD ⊂面ABC ，故平面PAB ⊥平面ABC .(2)由（1）知：22PB =23AB =222PA PB AB +=，即PA PB ⊥，若h 为P 到AB 上的高，则h AB PA PB ⋅=⋅，可得26h =， 又面PAB ⊥面ABC ，且面PAB ⋂面ABC AB =，易知P 到面ABC 的距离为26h . 所以211261222sin1203323P ABC ABC V h S -=⋅=⨯⨯︒=P ABC B PAC V V --=，212sin 6032PAC S =⨯⨯︒= 若B 到面PAC 的距离为d ，则12233d 26d =2PB = 所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值263322d PB ==⨯.25（11分）．已知函数()()()2f x x x a a R =-+∈，(1)当1a =时，①求函数()f x 单调递增区间；②求函数()f x 在区间[]4,1-的值域；(2)当[]3,3x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的表达式．【答案】(1)①(],1-∞-，1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；②[]18,0-；(2)()23,44,443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩【分析】(1)①分别在1x ≤-与1x >-时，结合二次函数单调性即可得解；②利用①中单调性确定最值点，求出最值即可作答.(2)分别在3,2,23a a a -≥-≤<-<三种情况下，结合二次函数对称轴位置与端点值的大小关系确定最大值即可作答.(1)当1a =时，()()222,1212,1x x x f x x x x x x ⎧-++≤-=-+=⎨-->-⎩， ①当1x ≤-时，()22f x x x =-++在(],1-∞-上单调递增，当1x >-时，()22f x x x =--在1(1,)2-上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增； 所以()f x 的单调递增区间为(],1-∞-，1[,)2+∞. ②由①知：()f x 在[]4,1--上单调递增，在1(1,)2-上单调递减，在1(,1]2上单调递增， 于是有()()min 1min{4,()}2f x f f =-，()()()max max{1,1}f x f f =-， 而()418f -=-，1)(294f =-，()10f -=，12f ，则()min 18f x =-，()max 0f x =，所以()f x 在[]4,1-上的值域为[]18,0-.(2)依题意，()()()()()()()22222,222,x x a x a x a x a f x x x a x a x a x a ⎧-+=+--≥-⎪=⎨--+=-+-+<-⎪⎩， ①当3a -≥，即3a ≤-时，()()222f x x a x a =-+-+，对称轴为2522a x -=≥， 当232a -≥，即4a ≤-时，()f x 在[]3,3-上单调递增，max ()()(3)3g a f x f a ===--， 当52322a -≤<，即43a -<≤-时，()f x 在23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，2max 244()()()24a a a g a f x f -++===，②当2a -≤，即2a ≥-时，若[]3,2x ∈-有()0f x ≤，若(]2,3x ∈有()0f x >，因当(]2,3x ∈时，()()222f x x a x a =+--，对称轴222a x -=≤， 则()f x 在(]2,3上单调递增，()()max ()33g a f x f a ===+，③当23a <-<，即32a -<<-时，25222a -<<， ()f x 在23,2a -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(],3a -上单调递增， ()()2max244()max 3,max 3,24a a a g a f x f f a ⎧⎫⎧-⎫++⎛⎫===+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 若24434a a a +++≥，即2a -<-时，()3g a a =+， 若24434a a a +++<，即3a -<<-时，()2444a a g a ++=， 综上所述：()23,44,443,4a a a a g a a a a ⎧+≥-⎪++⎪=-<<-⎨⎪--≤-⎪⎩。

2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}2,1,0,1-- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式化简B ，根据交集运算可得结果. 【详解】 {|22}Bx x,A B ={1,0,1}-.故选：B2．函数()1lg 1y x x =-+的定义域是（ ）A ．(],1-∞B ．()0,1C ．()(),00,1-∞⋃D ．()(],00,1-∞⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0且分母不为0可得到结果 【详解】由10x ->可得1x <又因为0x ≠，所以()1lg 1y x x =-+的定义域为()(),00,1-∞⋃故选：C3．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且,{1,2,3,4}a b ∈，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．38B ．58C ．316D ．516【答案】B 【详解】B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足||1a b -≤的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为105168P ==． 故选：B 4．若复数z 满足i 12i=-+z（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．1【答案】D 【详解】 由i 12i=-+z得()()i 12i 3i z =-+=-+，故z 的虚部为1． 故选：D ．5．已知向量(3,22)a k k =-+，(4,0)b =，若a b ⊥，则k =（ ） A ．1 B ．3 C ．3-D ．13【答案】B 【详解】解：因为向量(3,22)a k k =-+，(4,0)b =，且a b ⊥， 所以()340-⨯=k ， 解得3k =， 故选：B6．已知某5个数据的平均数为5，方差为3，现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．25,3x s == B ．25,3x s =< C ．25,3x s => D ．25,3x s <>【答案】C 【详解】 由题意可得： 553757x ⨯++== ，222123[53(35)(75)]377s =⨯+-+-=> ， 故选：C7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚线. 【详解】将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线()DB E 被几何体左侧面遮挡，应当为虚线， 故选：C.8．已知1x >，则11x x +-的最小值是（ ） A ．3 B ．8C ．12D ．20【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】 因为1x >， 所以11111(1)13111x x x x x x +=-++≥-⋅=---，当且仅当111x x -=-时取等号，即当2x =时取等号，故选：A9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，5a =，4c =，则b =（ ）A ．26B ．25C 21D 31【答案】C 【解析】 【分析】在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即可求解. 【详解】由题意，在ABC 中，60B =，5a =，4c =，根据余弦定理得22212cos 2516254212b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以 21b = 故选：C.10．函数()2442x xf x x x --=+-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案. 【详解】由题意知，220x x +-≠，解得1x ≠±，所以()f x 定义域()()(),11,11,-∞-⋃-+∞关于原点对称，又因为()()()224444=22x xx x f x f x x x x x -----==-+--+--，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.当12x =时，1216201125242f -⎛⎫==-< ⎪⎝⎭+-，排除B.()00f x x =⇒=，函数只有1个零点，排除C.故选：D11．从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率是（ ） A ．518 B ．49C ．59D ．79【答案】B 【详解】解：从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，基本事件总数9872n =⨯=，而其中抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的基本事件个数435432m =⨯+⨯=， 则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率324729m P n ===， 故选：B12．>0”是“x >0”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】判断两个命题的真假，即p q ⇒和q p ⇒的真假，可得结论． 【详解】0x >0>0>时0x <或0x >0>推不出0x >，0是0x >的必要不充分条件． 故选：B.13．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可 【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：A14．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，则以下结论：①//BD 平面11CB D ；②11AC B C ⊥；③1AC ⊥平面11CB D ，其中正确结论的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】由11//BD B D ，利用线面平行的判定可知①正确；利用线面垂直的性质和判定可证得1CD ⊥平面1ADC ，11B D ⊥平面11AA C ，由此可得11CD AC ⊥，111B D AC ⊥，由线面垂直的判定和性质可知②③正确 【详解】对于①，11//BB DD ，11=BB DD ，∴四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴， 又BD ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ，//BD ∴平面11CB D ，①正确； 对于②③，连接11A C ，1C D ，四边形11CDD C 为正方形，11CD C D ∴⊥；AD ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂平面11CDD C ，1AD CD ∴⊥；又1C D AD D ⋂=，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1CD ∴⊥平面1ADC ， 1AC ⊂平面1ADC ，11CD AC ∴⊥；同理可得：11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，111B D AC ∴⊥； 1111CD B D D =，111,CD B D ⊂平面11CB D ，1AC ∴⊥平面11CB D ，又1B C ⊂平面11CB D ，11AC B C ∴⊥，②正确，③正确. 故选：D.15．若函数2()10f x x mx =-+在(2,1)上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,+)∞ B ．[4,+)-∞ C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞-【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解得即可； 【详解】解：函数2()10f x x mx =-+的对称轴为2mx =，开口向上， 依题意可得22mx =≤-，解得4m ≤-，即(,4]m ∈-∞-； 故选：D16．已知函数()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)21,+∞ B ．[)13,+∞C ．27,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)15,+∞【答案】C 【详解】解：因为()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，所以函数图象如下所示：由函数图象可知函数为定义域R 上单调递减的奇函数，当0x ≥时()2f x x =-，则()()()223399f x x x f x =-=-=，当0x <时()2f x x =，则()()()223399f x x x f x ===，所以()()39f x f x =，因为x ∀∈R ，()()29430f mx f x +-≤恒成立，即x ∀∈R ，()()()()2943934912f mx f x f x f x ≤--=-=-恒成立，所以2912mx x ≥-恒成立，即29120mx x -+≥恒成立，当0m =，显然不成立，当0m ≠时，则，解得2716m ≥，即27,16m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C17．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(12)f x -为奇函数，则（ ） A ．1()02f -=B ．(0)0f =C ．(2)0f =D ．(3)0f =【答案】D 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(12)f x -为奇函数， 所以()(),(12)(12)f x f x f x f x -=+=-- ，即(12)(21)f x f x +=--，故令0x = ，则(1)(1)(1)f f f =--=-， 所以(1)0f =，令1x =，则(3)(1)0f f =-=，故D 正确； 取函数()cos 2f x x π=，则(12)cos[(12)sin 2f x x x ππ-=-=， 故()cos2f x x π=满足是定义域为R 的偶函数，且(12)f x -为奇函数，而12()cos()0242f π-=-=≠， (0)cos010,(2)cos 10f f π==≠==-≠，说明A,B,C 错误， 故选：D.18．等边三角形ABC 边长为4，M ，N 为,AB AC 的中点，沿MN 将AMN 折起，当直线AB 与平面BCMN 所成的角最大时，线段AB 的长度为（ ）A 6B ．22C 10D ．3【答案】B 【解析】以E 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设设(),0,A x z ，其中2223x z AE +==，3,3x ⎡∈⎣，利用向量法可得23sin cos ,1023x AB n x θ-=<>=-利用导数可求出最大值，得到点A 坐标，即可求出AB . 【详解】在ABC 中，取BC 中点D ，连接AD 交MN 于E ，连接BE ， 则在ABC 中，23AD =3AE DE ==以E 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则)3,2,0B -，设(),0,A x z ，其中2223x z AE +==，3,3x ⎡⎤∈⎣⎦， ()3,2,AB x z ∴=--，可知平面BCNM 的一个法向量()0,0,1n =， 设直线AB 与平面BCMN 所成的角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 则()2223sin cos ,102334AB nzx AB n x AB n x z θ⋅-=<>===-⋅-++ 令()21023f x x =-3,3x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()()(()2223133232063103103x x x x f x x x ---+'==--，当33,x ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当33x ∈⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，()max 313f x f ∴==⎝⎭，即当3x =sin θ最大，即θ最大，此时326,0,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()22232630202233AB ⎛⎫⎛⎫=-+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19．已知函数()1522,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则(0)f =__________，((5))f f -=__________.【答案】 1 53- 【解析】【分析】根据分段函数的定义域分别代入计算即可.【详解】函数1522,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，0(0)21f ==；∴51(5)232f --==，∴()()211155log 323323f f f ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 故答案为：①1；②53-. 20．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB 的长度为2π，则该勒洛三角形的面积是___________.【答案】18183π-【解析】【分析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.【详解】 由弧长公式可得23AC ππ⋅=，可得6AC =，所以，由AB 和线段AB 所围成的弓形的面积为2162662ππ⨯⨯=- 而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，因此，该勒洛三角形的面积为(3618S ππ=⨯-+=-.故答案为：18π-.21．函数2()sin 2f x x x =-，则(2021)(2021)f f +-=_______．【答案】4-【解析】【分析】分析函数()f x ，是由奇函数2()sin g x x x =和常函数构成，利用奇函数性质可知(2021)+(2021)0g g -=，计算答案即可. 【详解】设()()2f x g x =-，其中2()sin g x x x =，因为22()sin()sin ()g x x x x x g x -=-=-=-，所以()g x 为奇函数，利用奇函数性质可知 (2021)(2021)f f +-=(2021)2g -+(2021)2(2021)+(2021)44g g g --=--=-.故答案为：4-.22．锐角ABC 的内角所对边分别是a ，b ，c 且1a =，cos cos 1b A B -=，若A ，B 变化时，2sin sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围______．【答案】⎛ ⎝⎭【详解】1a =，cos cos 1b A B -=，由正弦定理得：sin cos cos sin sin B A B A A -=，即：()sin sin B A A -=，B A A ∴-=或πB A A -=-（舍）2B A ∴=ABC 是锐角三角形，π02π022π22A A A A ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪+>⎪⎩，解得：ππ64A << ()21sin sin sin 21cos 22B A A A λλ-=--()sin 2cos 22222A A A λλλϕ=+-=+-（其中tan 2λϕ=） ππ232A << ∴使2sin sinB A λ-存在最大值，只需存在ϕ，满足π22A ϕ+=π06ϕ∴<< πtan 0tan tan 26λϕ∴<=< 解得：0λ<<. 故答案为：⎛ ⎝⎭. 三、解答题(本大题共3小题，共31分)23（10分）．已知函数()sin()3f x x π=+． (1)求函数()f x π的最小正周期；(2)当[0,]2x π∈时，求()()66y f x f x ππ=-++的取值范围．【答案】(1)2(2) 【解析】【分析】（1）利用周期公式即可得到结果；（2）利用恒等变换公式化简公式，借助正弦型函数的性质得到结果.(1)∵()sin()3f x x π=+， ∴()sin 3f x x πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴22T ππ==， 故函数()f x π的最小正周期为2； (2)()()sin sin 6662y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3sin cos 3sin 2332x x x π⎛⎫+=+ ⎝=⎪⎭ ∵[0,]2x π∈，∴5[,]336x πππ+∈， ∴1sin ,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即33sin [,3]32x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 故()()66y f x f x ππ=-++的取值范围是3[,3]224（10分）．已知四棱锥P ABCD -，CD AB ∥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，△PBC 为等腰直角三角形，面PBC ⊥面ABCD ，且BP CP ⊥，F 为CD 中点.(1)求证：PF BC ⊥；(2)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；6【分析】（1）取BC 中点E ，连接EF ，PE ，BD ，由等腰三角形性质、勾股定理、中位线等可得PE BC ⊥、EF BC ⊥，利用线面垂直的判定及性质证明线线垂直；（2）利用直线与平面所成角的定义找到PA 与平面PBC 所成角，结合已知条件求解即可.(1)取BC 中点E ，连接EF ，PE ，BD ，∵△PBC 为等腰直角三角形，即PB PC =，∴PE BC ⊥，由//CD AB ，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，可得22BD BC ==， ∴222CD BD BC =+，则BD BC ⊥，又F 为CD 中点，则//EF BD ，故EF BC ⊥，而PE EF E ⋂=， ∴BC ⊥面PEF ，PF ⊂面PEF ，∴BC PF ⊥.(2)过点A 作CB 延长线的垂线，垂足为H ，连PH ,∵面PBC ⊥面ABCD ，面PBC 面ABCD BC =,AH BC ⊥，AH ⊂面ABCD ， ∴AH ⊥面PBC ，∴APH ∠为线PA 与面PBC 所成的线面角，由135CBA ∠=,2AB =知：sin AH ABH AB ∠=,2222AH ==, 由余弦定理得2222cos AE BE AB BE AB ABE =+-⋅⋅∠,即10AE =由PE BC ⊥，面PBC ⊥面ABCD ，面PBC 面ABCD BC =，PE ⊂面PBC ， 所以PE ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，故PE AE ⊥，2PE =，则3PA = 在PAH 中， 26sin 23AH APH PA ∠===25（11分）．设函数()2a f x x b x =++，其中0a >，b ∈R . (1)若()f x 在[1,2]上不单调，求a 的取值范围；(2)记(,)M a b 为|()|f x 在[1,2]上的最大值，求(,)M a b 的最小值.【答案】(1)()2,8a ∈(2)3-【分析】（1）根据对勾函数的单调性和()f x 在[1,2]上不单调可知，12，解出a 的取值范围；（2）令()2g x a x x=+，根据函数图象即函数对称性可知，当12，(1)(2)f f =，且[1,2][1,2]max ()min ()2x x g x g x b ∈∈+=-时，(,)M a b 取得最小值.(1)由对勾函数函数单调性的定义可知：()f x 在上递减，在)+∞上递增，因此()f x 在[1,2]上不单调的充要条件是12<，解得：28a <<，所以()2,8a ∈； (2)令()2g x a x x =+，比较01<2，12三种情况，可知当12<，(1)(2)f f =，且[1,2][1,2]max ()min ()2x x g x g x b ∈∈+=-时，(,)M a b 取得最小值，且最小值为[1,2][1,2]max ()min ()2x x f x f x ∈∈-，由(1)(2)f f =得：4a =，所以[1,2]max ()(1)6x g x g ∈==，[1,2]min ()x g x g g ∈===(3b =-+， 所以(,)M a b 的最小值为[1,2][1,2]max ()min ()32x x f x f x ∈∈-=-。

2023年7月浙江省温州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题CM平面α，则直线A．若//B．若//CM平面α，则直线三、双空题17．已知函数e ,1()ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则()1f =______；若()1f m =，则实数m 的值为______．四、填空题五、解答题(1)求直三棱柱111ABC A B C -的体积；参考答案：A B的中点，所以又因为E为11CC的中点．所以1C 因为D为1则()()1131,0,0,0,0,1,,,022A C B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故11131,,1,,222AB BC ⎛⎫⎛=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 记异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则所以1111cos cos ,|AB BC AB BC AB BC θ⋅== 故异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为23．(1)0a =(2)10a -<<或01a <<(3)证明见解析【分析】（1）利用偶函数的性质求得显然，当()110f a =-<，即0a <<当a<0时，()1f x ax =-在(,1-∞-则()f x 的图像如下：显然，当()110f a -=--<，即-当0a =时，()221f x x x =--为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：10a -<<或01a <<.（3）因为()221f x x x ax =--+，所以当01x <<时，()212f x x =-调递减，当1x ≥时，()1f x ax =-+，则g 因为()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点所以()y g x =与2y =在()0,1与[1,又12x x >，所以2101,1x x <<>，且则22122a x x -=-，112a x -=，故要证21432x x a -<-，即证243x -只需证22222312021x x x x +-<-，即证即证42224310x x --<，即证(224x +因为201x <<，所以2201x <<，则所以()()22224110x x +-<显然成立，证毕【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图像，像得到22122x a x -+=，11a x -+=。

【学考模拟】2023学年第二学期浙江省9+1高中联盟学考模拟卷数学试卷❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.R2.已知复数z满足，则在复平面内，复数z所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数则下列结论正确的是()A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为4.若，则的最小值是()A.1B.2C.D.5.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则的概率是()A. B. C. D.6.已知向量，，则与的夹角的余弦值为()A. B. C. D.7.某企业在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.企业为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A.分层随机抽样法，分层随机抽样法B.分层随机抽样法，简单随机抽样法C.简单随机抽样法，分层随机抽样法D.简单随机抽样法，简单随机抽样法8.已知，，则的值为()A. B. C. D.39.若函数的定义域和值域都是，则的值为()A.1B.2C.3D.410.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出四个函数：，，，，则此四个函数中的“平行”函数是()A.与B.与C.与D.与11.在中，，，若为直角三角形，则k 的值为()A. B.0 C.或0 D.，0或312.设，若方程满足b ，c 属于A ，且方程至少有一根属于A ，称该方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的总个数为()A.8B.10C.6D.5二、多选题：本题共4小题，共16分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。