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高中数学(人教A版)必修一 2.3 幂函数2 课件(53张)

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人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课件PPT

人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课件PPT

x2
[0,),
且x 1
x2, 则
方法技巧: 分子有理化
( f (x1) f (x2) x1 x2
x1 x1
x2 x2
, x1
x2
0,
x1
x1
x2
x2 )( x1 x2 ) x1 x2 0, f (x1) f (x2).
所以幂函数 f (x)
人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函 数课件 PPT【 精品】
其中 x 为自变量， 为常数.
说明:
（1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值
有关；
（2）幂函数的解析式必须是y x的形式，其
特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量， ③ 的系数为1，④只有１项
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
幂函数与指数函数的对比
名称
式子
常数ɑ 自变量x 因变量y
指数函数: y= ɑx 底数
(1)如果张红购买了每千克1w千克,那么她需要支付P
= ______ w 元
P 是w 的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
S是 ɑ 的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
上增
［0，+∞） 上增
在(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
(-2,4)
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1

人教A版高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1.ppt

人教A版高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1.ppt
证明: 函数定义域为 R ，对任意的 x R . Q f (x) (x)3 x3 f (x),
y f (x) x3 为奇函数.
二、五个常用幂函数的图象： y x, y x2, y x1
(-2,4)
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
y x1
若将它们的自变量用 x来表示,函数值用 y来表
示,则它们的函数关系式将是:
以上几个函数有什么共同特征？
(1) y x
(2) y x2
(3) y x3
1
(4) y x 2
(5) y x1
x ①底数都是自变量 ;
②指数都是常数; ③幂的系数都是1.
y ax
是不是指数 函数啊
问题
指数函数与幂函数有什么区别？
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
3
4x
(-1,-1)
-1
XX
…0
3 2
1
2 -1
1 12
02
1
3
23 14 2……
-2 yy xx123 …0-3.308.7-11 -01.13 1.041 01.1.733 1 2 3.3…8 …
-3
解析式
图象
定义 域
值域 奇偶
性 单调
性 定点
观察图象，将你发现的结论填在下表中
3、下列命题中，不正确的是（ C ）
(A)幂函数 y x1是奇函数
(B)幂函数 y x2 是偶函数
(C)幂函数 y x 既是奇函数，又是偶函数

2-3幂函数-课件2新人教A版必修1 共12页

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奇偶 性
奇函 偶函数 数
奇函 数
奇函数
单调 性
奇函 在[０,＋∞) 增函
数 上递增,在
（－∞,０]
数
增函数 在[０,＋∞)
上递减,
在(－∞,０]
上递减
上递增
思考2：函数y＝x，y＝x2，y＝x-1的图象 分别是什么？
1
思考3：函数y＝ x 2
和y＝x3的图象大致如何？yo Nhomakorabeax
思考4：根据上述五个函数的图象，你能
归纳出幂函数 y x a 在第一象限的
图象特征吗？
a>1
y
a=1
0<a<1
a<0
o
x
理论迁移
例1、判断下列函数哪些是幂函数:
（1） y 0.2x ；（2） y x 2 ；
1
（3）y x1.2 ；（4） y x 5 ；
（5）y
1 x3
；（6） y
1 4 x7 .
2
例2、作函数y＝x-2和 y x 3 的大致图
象.
小结作业 P79习题2.3： 1，2，3.
谢谢
2.3 幂 函 数
问题提出
1.函数y=1，y=x，y=x2， y 1 分别是
哪种类型的函数？
x
2.这些函数的解析式结构有何共同特 点？其一般形式如何？
知识探究（一）：幂函数的概念 思考1：如果张红购买了每千克1元的水 果W千克，她需要付的钱数为P（元）， 试将P表示成W的函数.
思考2：如果正方形的边长为a，面积为 S，试将S表示成a的函数.
思考3：如果立方体的边长为a，体积为 V，试将V表示成a的函数.
思考4：如果一个正方形场地的面积为S， 正方形的边长为a，试将a表示成S的函 数.

人教A版数学必修一2-3幂函数(72张).pptx

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命题方向 2 幂函数的图象 [例 3] 幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图， 则将 m、n、p、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
[解析] 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0， ∴n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝x 上方的 α>1，下方的 α<1， ∴p>1,0<m<1,0<q<1； x>1 时，指数越大，图象越高，∴m>q， 综上所述 n<q<m<p.
函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋ ∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
[分析] 由题意，得①f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－1 是幂函 数；②当 x>0 时，f(x)是增函数；解答本题可严格根据幂函数 的形式定义列方程求出 m，再由单调性确定 m 的值．
3．求下列函数的定义域： (1)y＝1x，定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞) ； (2)y＝ x，定义域为 (0，＋∞) ．
新课引入 问题一：若正方形的边长为 x，面积为 y，则 y＝x2.
1
问题二：若正方形的面积为 x，边长为 y，则 y＝x 2 . 问题三：若正方体的棱长为 x，体积为 y，则 y＝x3.
⑤中，y＝x
2 3
是幂函数；⑥中，y＝2x
是指数函数．
[例 2] 已知函数 f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m 为何值时， f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂 函数．
[分析] 把此函数解析式同各种函数解析式对比，即可得 出关于 m 的关系式，从而求得 m.

2.3 幂函数 课件(人教A必修1)

2.3 幂函数 课件(人教A必修1)

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
栏目 导引
变式训练
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
3
2
3
2．给定一组函数解析式：①y＝x ；②y＝x ；③y＝x－ ；
4
3
2
2
3
1
1
④y＝x－ ；⑤y＝x ；⑥y＝x－ ；⑦y＝x .有如下一组函数图象．
3
2
3
3
请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内．
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
义，任取0<x1<x2，比较f(x1)与f(x2)的大小关 系；要比较大小可结合函数单调性判断．
栏目 导引
变式训练
3．比较下列各题中两个值的大小．
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
1
1
(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)22，1.83.
解：(1)函数 y＝3x 是增函数，
所以 30.8>30.7；
解析：按顺序分别为⑥④③②⑦①⑤. 答案：⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤
栏目 导引
题型三 幂函数性质的应用
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1
(本题满分 12 分)已知函数 y＝x－2.
例3 (1)判断该函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明；
(2)比较大小：43－12与65－12.
【思路点拨】 要判断单调性，可利用定
3.当a＞ 1时，函数图像为开为口向上的抛物线掰支 4.当0＜a＜ 1时，函数图像 开口向右抛物线掰支或砍支；
5.在（0，+ ）上按逆时针
旋转，a由小变大。 6.a为奇，幂函数为奇，
a为偶，幂函数为偶。 7.幂函数图像恒过点（1,1）

高中人教A版数学必修一课件2.3幂函数

高中人教A版数学必修一课件2.3幂函数
R
R
值域 R
_[0_，__＋__∞)
R
奇偶性
单调性
__奇____ 在 R 上是___增
在(－∞，0)上 偶 _减__函__数____；在
∞)上是增函数
__奇____ 在 R 上是_增__
y＝x12 y＝x－1
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (_0_，__＋__∞_)_____
__[0_，__＋__∞_ )
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝1 ，∴m＝
(2)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝－1 ，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝2
，∴m＝－1±2
13 .
(4)若 fபைடு நூலகம்x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表 的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数 势．
1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他 指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现 数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家 了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。此后 里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指 号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了。那么，什么是幂 么关系呢？
新课标导学
数学
必修① ·人教A版
第二章
基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后 方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《 书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等 这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．

人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件


奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1

数学2.3《幂函数》课件(人教A版数学必修1)


练习:比较下列各组数的大小:
< 1
1
1、(0.3)3 ____(0.31)3
10
3
< 2、 (0.9)1.3 ____(1.1)1.3 1.3 0
< 3、(2.1)0.3 ____(1.9)0.3 0.3 0
> 4、(1.9)0.2 ____(1.8)0.2 0.2 0
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
观察图象，将结论写在下表内:
1
y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R [0,+∞)
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
(3)幂函数和指数函数的异同:都具有幂的形式， 但指数函数的自变量位于指数上， 幂函数的自变量是底数.
练习：判断下列函数是否为幂ຫໍສະໝຸດ 数:1y x41
2y x 2
3y 2x2 5y x3 2
4y x2
6y

1 x2
下面研究幂函数 y x

高中数学人教A版 必修第一册 幂函数 课件

请同学们举出几个体的幂函数？
1
y x2 , y x3 , y x5 等都是幂函数.
探究二 幂函数的图像
自己动手画出以下 5 个函数的图像，并观察图像.
1
幂函数 y x, y x2 , y x3, y x1, y x 2 的图象如下图．
探究三 幂函数的性质
教师引导学生通过观察图像完成系列表格.
3
练一练
3.已知幂函数 f (x) (2n 1)xm2 2m3 ，其中 mN ，若函数 f (x) 在 (0, ) 上是单调递增的，并且在
其定义域上是偶函数，则 m n ( )
√A.2
B.3
C.4
D.5
因为函数 f (x) 为幂函数，所以 2n 11 ，所以 n 1. 因为函数 f (x) 在 (0,) 上是单调递增的， 所以 m2 2m 3 0 ，所以 1 m 3. 又因为 mN ，所以 m 0 ，1，2. 当 m 0 或 m 2 时，函数 f (x) 为奇函数，不合题意，舍去； 当 m 1时， f (x) x4 ，为偶函数，符合题意. 故 m 1.所以 m n 11 2 .故选 A.
综上，实数 m 的值是 4，故选 A.
1.幂函数的定义. 2.幂函数的图像. 3.幂函数的性质.
练一练
m
4.已知幂函数 y m2 3m 3 x 3 是偶函数，则实数 m 的值是( )
√A.4
B.-1
C. 3 21
2
D.4 或-1
m
已知函数 y m2 3m 3 x 3 是幂函数，则 m2 3m 3 1，解得 m 1或 m 4 .
当
m
1时，
y
1
x3
不是偶函数；
4
当 m 4 时， y x3 是偶函数.

人教版高中数学必修一2.3幂函数 (2)ppt课件


那么y=______
x 1
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y=x
y = x2
1
y x2
y = x3
y x 1
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底 数是自变量。
一般地,我们将形如 y x 的函数称为幂函数( power f unction) ,
其中x 是自变量,是常数.
（偶函数）
3 x2
3
(4) y x 4
1
定义域为（0， ） （非奇非偶函数）
4 x3
例3.已知幂函数 f ( x) xm2 2m3 (m N )的图象与 x轴，y轴都无交点，且关于 y轴对称，试确定 f ( x)的解析式 .
谢谢观看！
y = x3
R R
偶函数
奇函数
在（－∞,0]上 是减函数，在 [0, +∞）上是增 函数
R上是增 函数
1
y x2
[0，+∞）
[0，+∞）
y x 1
{x| x ≠ 0} {y| y≠ 0}
非奇非偶函数 奇函数
在（ －∞,0）和(0,
在[0，+∞）上是 +∞）
增函数
上是减函数
公共点
（1，1）
幂函数 y x的性质：
3
1 y x 5 ;
1
2 y x 4 ;
3
y

2
x 3 ; (4) y

3
x4
.
3
1 y x 5 5 x3定义域为 R ;
（奇函数）
1
2 y x 4 4 x定义域为[0， ）; （非奇非偶函数）
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大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示 若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将
指数与底数分开来表示的趋势．
1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用 罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，
这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全
奇偶性 单调性 奇 增函数 ______ 在 R 上是______ 偶 在(－∞，0)上是 减函数 ______；在[0，＋∞)
公共点
[0 ，＋∞) ______
R
上是增函数 奇 增函数 ______ 在 R 上是______ 非奇 非偶 在[0，＋∞) 上是 增函数 ______ 在(－∞，0)和(0，＋ 减函数 ∞)上均是______
_____
[0 ，＋∞) ______
(－∞，0)
y＝x
－1
( －∞，0)∪ ________ ＋∞) (0，＋∞) ∪(0，
奇 ____
1.下列函数为幂函数的是 ( A．y＝2x4 2 C．y＝x
)
B．y＝2x3－1 D．y＝x2
[答案] D
[解析] y＝2x4 中，x4 的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝ 2 2x －1 不是 x 的形式，故 B 不是幂函数；y＝ ＝2x－1，x－1 的系 x
1 4．幂函数 f(x)的图象过点(2，8)，则 f(x)＝________.
[答案] x－3
1 [解析] 设幂函数的解析式为 f(x)＝x (α 为常数)， 则2 ＝ ， 8
α α
解得 α＝－3，即 f(x)＝x－3.
1 5．设 a∈{－1,1，2，2}，则使________.
[答案] C
3．函数
4 y＝x 3
的图象是 (
)
[答案] A
[解析]
4 y＝x3
＝ x4是定义域为 R 的偶函数，其图象关于
4 时，y＝23
3
y 轴对称，故排除 D 又因为当 x≥0 时，此函数为增函数，当 x ＜0 时，此函数为减函数，且当 x＝2 ＞1 时，函数
4 y＝x3
＞2，所以当 x
的图象在 y＝x 的图象的上方，故选 A.
2．利用幂函数的定义，抓住其本质特征，这是判断一个
函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要 根据单调性验根，以免增根．
有下列函数： 1 ①y＝3x ；②y＝x ＋1；③y＝－x ；
2 2
2 1 ④y＝x ；⑤y＝x3 ；⑥y＝2x.
其中，是幂函数的有________(只填序号)．
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，
2 m ＋m－1＝1 则 2 m ＋2m≠0
，∴m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，
2 m ＋m－1＝－1 则 2 m ＋2m≠0
，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，
2 m ＋m－1＝2 则 2 m ＋2m≠0
3 a
数为 2，故 C 不是幂函数，故只有 D 是幂函数．
2．下列结论中，正确的是 (
)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C．当幂指数 α 取 1,3，2时，幂函数 y＝xα 是增函数 D．当幂指数 α＝－1 时，幂函数 y＝xα 在定义域上是减函数
－1± 13 ，∴m＝ . 2
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
[规律总结] 1.形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)
系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、
y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区 别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2.3 幂函数
课前自主预习
数学史上很早就借用“幂”字，起先用于
表示面积，后来扩充为表示平方或立方 .1859年 中 国 清 末 大 数 学 家 李 善 兰 (1811 ～ 1882) 译 成 《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名 词，如函数、极限、微分、积分等，并把 “ Power” 这个词译为“幂”．这样“幂”就转 译为若干个相同数之积．
一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马 数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。此后由英国数学家渥 里斯 (Wallis,1616 ～ 1703) 、牛顿等人分别引入负指数幂和分数 指数幂的概念及符号，从而使幂的概念及符号发展得更完备
了。那么，什么是幂？幂与an又有什么关系呢？
y＝xα(α为常数) 的函数叫做幂函数． 1.一般地形如______________
[答案] 2
1 [解析] 当 α＝－1 或 时，y＝xα 的定义域不为 R；α＝1 为 2 奇函数，故 α＝2 符合题意．
课堂典例讲练
幂函数的概念
已知函数 f(x)＝(m ＋2m)· x 数.
2 m2＋m－1
，m 为何值时，
f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函
[知识点拨] 幂函数与指数函数的区别与联系 函数 指数 函数 表达式 y＝ax(a＞0， 且 a≠1) 相同点 不同点
右边都是 指数是自变量，底数是常数 幂的形式 底数是自变量，指数是常数
幂函数 y＝xα(α∈R)
1 (2)对于幂函数，我们只讨论 α＝1,2,3， ，－1 时的情形． 2 (3)图象：在同一坐标系中，幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y
1 ＝x2
，y＝x－1 的图象如图．
[知识点拨]
幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第
一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变 小，即指数大的在上边．
(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：
y＝x y＝x2 y＝x3
1 y＝x2
定义域 R ______ R R [0， ＋∞)
值域 R
[思路分析]
本题将正比例函数、反比例函数、二次函数
和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据 k 各自定义： (1)正比例函数 y ＝ kx(k≠0)； (2)反比例函数 y ＝ x (k≠0)；(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数 y＝xα(α 是常数)，转化为系数和指数的取值问题．