山西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类汇编第8部分 .

山西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分:函数与导数一一、选择题：11．(山西省太原市2011年高三模拟一文科已知方程10|lg |x x -=的两根为12,x x ，则 （ A ） A ．1201x x << B ．121x x =C ．1210x x -<<D ．12110x x <<9. (山西省大同市2011届高三第一次模拟理科)定义在R 上的函数满足且吋，,,则=( C )A. 1B.C. -1D.10．(山西省2011届高三第三次四校联考文科)已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，若)(,000x f a x 则<<的值满足（ C ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不能确定6．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为ABCD21-=y ；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是( D ) A ． q p ∧ B ．)q (p ⌝∨ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．q p ∨ 7．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落 时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( B )10．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+=]21,0[,6131]1,21(,12)(3x x x x x x f ， 函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a （0>a ），若存在]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是( A )A ．]34,21[B ．]21,0(C ．]34,32[ D ．]1,21[2 ．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)已知集合M ={1, 2, 3, m }，N ={4, 7,42,3n n n +}（m 、n ∈N ），映射f ：y →3x +1是从M 到N 的一个函数，则m -n 的值为（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 ．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)设a 为非零实数，函数11(,)1ax y x R x ax a-=∈≠-+且的反函数是( D ) A 、11(,)1ax y x R x ax a -=∈≠-+且 B 、11(,)1ax y x R x ax a+=∈≠--且 C 、1(,1)(1)x y x R x a x +=∈≠-且 D 、1(,1)(1)xy x R x a x -=∈≠-+且4 ．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．25 ．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)若2log 0a <,1()12b>,则( D )A.1a >,0b >B.1a >,0b <9．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m +1，y 3)都在二次函数y =x 2－2x 的图像上，则（ A ）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 1<y 3<y 2D. y 2<y 1<y 310．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)已知函数()f x 满足:x ≥4,则()f x =1()2x;当x<4时()f x =(1)f x +,则2(2log 3)f +=( A ) (A)124 (B)112 (C)18 (D)3811．(山西省临汾三中2011年高三第二次月考理科)若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为122+=x y ，值域为{}3,19的“孪生函数”共有( C )(A) 15个 (B) 12个 (C) 9个 (D) 8个8、(山西省介休十中2011届高三下学期第一次模拟考试文科)已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A ）A ．B ．CD ．5、(山西省介休十中2011届高三下学期第一次模拟考试文科)下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x (,0)∈-∞，当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是（ C ）A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =- C ．()2x f x = D ．()()ln f x x =-10、(山西省介休十中2011届高三下学期第一次模拟考试文科)若x (),ln ,ln 2,ln ,1,31x c x b x a e ===∈-则（ C ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ． b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 二、填空题：15．(山西省太原市2011年高三模拟一文科过曲线32y x x =+-上一点P 的切线平行与直线41y x =-，则切点的坐标为 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上．2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有 A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 2、复数512ii=-A 、2i -B 、12i -C 、2i -+D 、12i -+3、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A 、3y x =B 、||1y x =+C 、21y x =-+D 、||2x y -=4、椭圆221168x y +=的离心率为A 、13 B 、12 C 、3 D 、25、执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A 、120 B 、720 C 、1440 D 、50406、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 、13 B 、12 C 、23 D 、347、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A 、45-B 、35-C 、35D 、458、在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A 、18B 、24C 、36D 、48 10、在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)2411、设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12、已知函数()y f x =的周期为2，当[,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A 、10个B 、9个C 、8个D 、1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14、若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15、ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18、（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20、（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有 A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2．复数512ii=-A ．2i -B ．12i -C ． 2i -+D ．12i -+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12 C ．33D ．225．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24C ． 36D ． 4810．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有 A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k=_____________．14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=（II ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]频数4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21．（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． （I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． （I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）31三、解答题 （17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n (18)解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2024届山西高三第二次学业质量评价数学试题考试时间：2024年3月5日下午14：30—16：30试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +>”的否定是（）A ．“ 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≥”B ．“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≤”C ．“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≤”D ．“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +<”2．已知集合{0,1,2,3}A =，912B x x ⎧⎫=<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{2,3}C ．912x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{1,2,3}3．已知3i2ia z +=+为实数，则a =（）A ．1B ．32C ．2D ．32-4．设α，β为不同的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）A ．若αβ⊥，a α⊂，c αβ= ，a c ⊥，则a β⊥B ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bC ．若//a α，b α⊂，则a 与b 异面D ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a 与b 相交5．方程4|cos |0t =的实数根的个数为（）A ．9B ．10C ．11D ．126．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为（）A ．35B ．14C ．1112D ．377．已知cos()2cos()αβαβ-=+，tan 0α>，则tan()αβ+的最小值为（）A ．-4B ．-3C D ．28．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与y 轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，且1132F P F M = ，210PF PF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．52B ．32C ．2D 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（）A ．这组数据的众数为1B ．这组数据的极差为2C ．这组数据的平均数为2D ．这组数据的40%分位数为110．已知函数5()24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的一个对称中心为3,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移38π个单位长度后得到的函数是偶函数C ．()f x 在区间57,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．若()f x 在区间(0,)m 上与1y =有且只有6个交点，则132,5m ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B ==1AA =，点P 在四边形ABCD 内，且正四棱台1111ABCD A B C D -的各个顶点均在球Q 的表面上，14A P =，则（）A ．该正四棱台的高为3B ．该正四棱台的侧面面积是C ．球心Q 到正四棱台底面ABCD 的距离为72D ．动点P 的轨迹长度是332三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式81x ⎫+⎪⎭展开式中常数项为______．13．写出一个过点(3,4)且与圆22:430C x y x +-+=相切的直线方程______．14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2,0)F ，过点(2,0)C -的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且A B x x >，若BF 为AFC △的角平分线，则直线l 的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：性别喜欢情况合计喜欢不喜欢男同学60女同学20合计60140（1）完善列联表并依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.100.010.001x α2.7066.63510.82816．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AC 与BD 交于点O ，点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，若BCD △为正三角形，且12AB AD AC ==，PO OC =．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n nn n a +=．（1）探究数列{}n a 的单调性；（2）证明：490n S -<．18．（本小题满分17分）已知F 为椭圆22:12x C y +=的右焦点，过点F 且斜率为1k 的直线与椭圆C 交于点A ，B ，10k ≥且11k ≠．（1）求|AB |的取值范围；（2）过点F 作直线ED 与椭圆C 交于点E ，D ，直线ED 的倾斜角比直线AB 的倾斜角大4π，求四边形AEBD 面积的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2024届山西高三第二次学业质量评价数学试题参考答案及多维细目表题号123456答案C B B A C D题号7891011答案CDACDACBC1．【答案】C【解析】依题意全称命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，e 2sin 2x x x +>”的否定为特称命题“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，e 2sin 2xx x +≤”2．【答案】B【解析】由题意可得{2,3}A B = ．3．【答案】B【解析】由3i (3i)(2i)2i (2i)(2i)a a z ++-===++-263i 2i i (6)(23)i415a a a a -+-++-=+，z 为实数，2305a -∴=，解得32a =．4．【答案】A【解析】对于A ，根据面面垂直的性质定理可得A 正确；对于B ，若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b ，或a 与b 异面，故B 错误；对于C ，若//a α，b α⊂，则//a b ，或a 与b 异面，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则//a b ，或a 与b 异面，或a 与b 相交，故D 错误．5．【答案】C【解析】设14|cos |y t =，2y =．在同一直角坐标系内画出14|cos |y t =与2y =当5t π=时，124y y =>=；当6t π=时，124y y =<=．根据图象可得两个函数共有11个交点．6．【答案】D【解析】由题知和为2的倍数的有（1，3），（1，5），（1，7），（3，5），（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（2，8），（4，6），（4，8），（6，8）共12种可能，28123C 7P ∴==．7．【答案】C【解析】cos()2cos()αβαβ-=+ ，cos cos αβ∴+sin sin 2cos cos 2sin sin αβαβαβ=-，3sin sin cos cos αβαβ∴=，又cos cos 0αβ≠，1tan tan 3αβ∴=，即1tan 3tan βα=，1tan tan tan 3tan tan()11tan tan 13ααβααβαβ++∴+===--113tan 2tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．tan 0α>，13tan tan αα+≥=∴当且仅当13tan tan αα=，即tan 3α=等号成立，tan()αβ∴+8．【答案】D【解析】210PF PF ⋅=，21PF PF ∴⊥，11112F O PF F MF F ∴=，即11211FO F F F M PF ⋅=⋅，又1132F P F M =，1112123PF F O F F PF ∴⋅=⋅，即2213PF c =，1PF ∴=，又122PF PF a -=，22PF a ∴=-，又21PF PF ⊥，2221212PF PF F F ∴+=，即22232)4c a c +-=，222)a c ∴-=，2c a -=，1c e a ∴===．9．【答案】ACD【解析】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．对于A ，该组数据的众数为1，故A 正确；对于B ，极差为413-=，故B 错误；对于C ，平均数为14224228⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，840% 3.2⨯= ，∴这组数据的40%分位数为第4个数1，故D 正确．10．【答案】AC【解析】由3532848f ππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0，故A 正确；()f x 向右平移38π个单位长度后得(y f x =-335228842x x x ππππ⎡⎤⎫⎛⎫⎤=-+=+=-⎪ ⎪⎢⎥⎥⎭⎝⎭⎦⎣⎦，为奇函数，故B 错误；当57,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则552,342x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间57,88ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5cos 242x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4x k ππ=+或2k ππ+，k ∈Z ，()f x 在区间(0,)m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：4π，2π，54π，32π，94π，52π，而第7个交点的横坐标为134π，51324m ππ∴<≤，故D 错误．11．【答案】BC【解析】对于A ，取正方形1111A B C D 的中心1O ，正方形ABCD 的中心O ，连接11AO ，AO ，1OO ，则1O O ⊥平面ABCD ，过点1A 作1A M AO ⊥于点M ，则1A M ⊥平面ABCD ，11AO OM =，11A M OO =，112AB A B == ，1AA =，AB ∴=，11A B =，故11AO OM ==，AO =，AM AO OM ∴=-=1AA = 12A M ===，故A 错误；对于B ，过点1A 作1AW AB ⊥于点W ，则()1112AW AB A B =-=，故1AW ==四棱台1111ABCD A B C D -的侧面面积是(2343)742⨯=，故B 正确；对于C ，正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球球心Q 在直线1OO 上，连接AQ ，1AQ ，则1AQ AQ R ==，如图所示．设OQ h =，则112QO OO OQ h =+=+，由勾股定理得222224AQ AO OQ h =+=+，222211116(2)A Q A O O Q h =+=++，22246(2)h h ∴+=++，解得72h =，故C 正确；对于D ，由勾股定理得PM ===，故点P 的轨迹为以M 为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，如图，其中MT MK ==，故DT BK ==，又SM ML ==，由勾股定理得3ST KL ===，由于32ST KL SM LM ==，3SMT LMK π∴∠=∠=，故56SML π∠=，故动点P 的轨迹长度是55363π⨯=，故D 错误．12．【答案】28【解析】81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为8431881C C rrr g r rr T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8403r -=，解得2r =，故81x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为28C 28=．13．【答案】3x =或158130x y --=（答案不唯一，写出一个即可得分）【解析】依题意，将圆C 化为标准方程可得22(2)1x y -+=，则圆C 表示以(2,0)C 为圆心，半径1r =的圆，当切线的斜率不存在时，过(3,4)的直线3x =正好与圆C 相切；当切线的斜率存在时，设切线方程为4(3)y k x -=-，则1d ==，解得158k =，此时切线方程为158130x y --=．14．【答案】32±【解析】由题意得抛物线方程为28y x =，故设直线l 的方程为2x my =-，不妨设0m >，联立28y x =，可得28160y my -+=，且0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y >，则128y y m +=，1216y y =，则12AB y y =-，22BC y y ==，由正弦定理得sin sin CF BC CBF CFB =∠∠，sin sin AF ABABF AFB=∠∠，BF 为AFC △的角平分线，即AFB CFB ∠=∠，又CBF ABF π∠+∠=，12y y ∴>，CF BCAF AB=，即2124y AF y y ==-，又由焦半径公式可知111222AF x my my =+=-+=，则21124y my y y =-，即121244my y y y =-=，即16m =，解得3m =，故直线l的斜率为12m =．同理，根据对称性可知，当0m <时，直线l 的斜率为32-．综上所述，直线l 的斜率为32±．15．解：（1）完善列联表如下：性别喜欢情况合计喜欢不喜欢男同学4060100女同学2080100合计60140200零假设为0H ：该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关．则220.01200(20604080)9.5 6.63560140100100x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随机抽取10人，则抽取的人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3，不喜欢吃山西大同刀削面的人数为7，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，3037310C C 1(0)C 120P X ===，2137310C C 7(1)C 40P X ===，1237310C C 21(2)C 40P X ===，0387310C C 7(3)C 24P X ===，故X 的分布列为X0123P 11207402140724则1721721()012312040402410E X =⨯+⨯+⨯+⨯=16．证明：（1）由题意可得ABC ADC ≌△△，6ACB ACD π∴∠=∠=，CO BD ∴⊥，即AC BD ⊥．又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，即PO ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，又BD PO O = ，BD ，PO ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ．（2）由（1）可得OB ，OC ，OP 两两垂直，建立以O 为原点如图所示的空间直角坐标系，设3CD =，则3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，330,0,2P ⎛ ⎝⎭，30,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，333,0,22PB ⎛=- ⎝⎭ ，3330,22PA ⎛=-- ⎝⎭ ，333,0,22PD ⎛=-- ⎝⎭，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则有0,2230,22m PA y z m PD x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos ,|||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅13==．17．解：（1）由题意可得211323n n n n a ++++=，故()22211121320333n n n n n n n n n n a a +++-+++-=-=≤，即1n n a a +≤，故数列{}n a 中12a a =，且从第二项起单调递减．（2）证法一：由题意可得22221122333n n n n S +++=+++ ，222231*********n n n n S ++++=+++ ，有221112233333n n n n n n n S S ++⎛⎫-=⨯+++- ⎪⎝⎭ ，即2212333323n n n n n n S +⎛⎫=⨯+++- ⎪⨯⎝⎭ ，令212333n n n H =+++ ，则2311123333n n n H +=+++ ，则有21111133333n n n n n H H +-=+++- ，即有1111121133133223313n n n n n n n H ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=--⨯-，即13144323n n n n H -=--⨯⨯，故213134432323n n n n n n n S -+⎛⎫=⨯--- ⎪⨯⨯⨯⎝⎭2291444323n nn n -+=--⨯⨯，又221404323n n n n -++>⨯⨯，故94n S <，即490n S -<．证法二：不妨设213n n an bn c b -++=，且1n n n a b b +=-，n N *∈，则221333(1)(1)3n n nan m c a n b n c b b +++-+-+--=22(22)2,3nan b a n c a b +-+--=则21,221,20,a b a c a b =⎧⎪-=⎨⎪--=⎩解得1,21,3.4a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩2113243n n n n b -++∴=，那么12n nS a a a =+++ ()()()12231n n b b b b b b +=-+-++- 11n b b +=-213(1)(1)9924434n n n ++++=-<．18．解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知(1,0)F ，联立2211,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()()2222111214210k x k x k +-+-=．()2810k ∆=+> ，211221421k x x k ∴+=+，()2112212121k x x k -=+，12||AB x x ∴=-=)212211122121k k k +==++．又2121[1,3)(3,)k +∈+∞，4242||33AB ⎫⎛∴∈⎪ ⎪ ⎭⎝ ，（2）解法一：设直线AB 的倾斜角为0,,442πππα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，则1tan k α=．由（1）知)222222sin 1tan 1cos ||2sin 2tan 11cos AB αααααα⎫+⎪+⎝⎭===++222421sin 3cos 2αα=+-． 直线DE 的倾斜角为4πα+，∴同理可知||3cos 24DE πα==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭423sin 2α+． 11||||sin ||242AEBD S AF DF AF π=+ 四边形11||sin ||||sin ||4242EF BF DF BF ππ++⋅||sin ||||44EF AB DEπ=，43cos 23sin 2AEBD S αα∴=⋅⋅=-+四边形93(sin 2cos 2)sin 2cos 2αααα+--．令sin 2cos 22[1,1)(1,4t πααα⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，则21sin 2cos 22t αα-=． 2617AFBD S t t ∴=++四边形，∴当1t =-时，取最大值423．解法二：依题意，11k ≠ ，直线ED 的倾斜角比直线AB 的倾斜角大4π，∴直线ED 的斜率存在．不妨设直线ED 的方程：2(1)y k x =-，且11211tan1411tan 4k k k k k ππ++==--，()()3314,,,D x y E x y ．由（1）同理得2234221||21k ED x k +=-=+， 11||||sin ||||242AEBD S AF DF AF EF π=+⋅四边形11sin ||||sin ||||sin 42424BF DF BF EF πππ++1||||sin 24AB DE π=()()()()2212221211842121k k k k ++=⨯⋅++()()()()222121222212121421k k k k k k k k +++=+++()()()()2212122212121212k k k k k k k k -++=-++又22111112121112,11k k k k k k k k k k ++-=+=--，2222111111 222211111121121123112211AEBD k k k k k k S k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴=⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭四边形)2214321111164923k k k k k +=++++令()224321()64923x f x x x x x +=++++，0x ≥，()()()()2222432212121()64923x x x x x f x x x x x +++--'∴=++++，解方程2210x x --=，得1x =±()f x ∴在区间[0,1+上单调递减，在区间(1)++∞上单调递增．当1x ≠时，1()6f x ≠．1(0)3f = ，x →+∞时，1()6f x →，1()(0)3f x f ∴≤=，42(0)3AEBD S ∴≤=四边形．19．解：（1）由题意知，(0)0f =且(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，(0)20f a '∴=-=，解得2a =，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-，1()cos 21f x x x '=+-+，当0x ≥时，cos 1x ≤，111x ≤+．故()0f x '≤，()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=．当10x -<<时，令1()cos 21g x x x =+-+，则21()sin (1)g x x x '=--+，sin (0,1)x -∈ ，211(1)x >+，()0g x '∴<()f x '∴在区间(1,0)-上单调递减，则()(0)0f x f ''>=，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增，则()(0)0f x f <=．综上所述，2a =，()f x 的最大值为0．（2）证明：()sin ln(1)2f x x x x =++-，要证1()22f x x +>，即证1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，当5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤，ln(1)0x +>，1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->；当5,6x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1m x x x '=++，记1()()cos 1n x m x x x '==++，则21()sin 0(1)n x x x '=--<+，()m x '∴在区间5,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则536()06256m x m ππ⎛⎫''<=-+< ⎪+⎝⎭，则()m x 在区间5,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()11()()sin ln(1)ln 122m x m ππππ∴≥=++-=+-，综上所述，当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>．（3）设()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-，1()cos 11h x x x '∴=+-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，故()()0f x x f x +<<，故()0f x x +=在区间(1,0)-上无实数根．当0x =时，(0)0h =，因此0为()0f x x +=的一个实数根．当(0,)x π∈时，1()cos 11h x x x '=+-+单调递减，又(0)10h '=>，1()201h ππ'=-<+，∴存在0(0,)x π∈，使得()00h x '=，()h x ∴在区间()00,x 上单调递增，在区间(0,)x π上单调递减，()0(0)0h x h ∴>=，又()ln(1)20h ππππ=+-<-<，()0f x x ∴+=在区间()0,x π上有且只有一个实数根，在区间(]00,x 上无实数根．当[,)x π∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)()l x x x x π=++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++，故()l x 在区间[,)π+∞上单调递减，()()ln(1)130l x l ππππ≤=+-+<-<，于是()0f x x +<恒成立．故()0f x x +=在区间[,)π+∞上无实数根，综上所述，()0f x x +=有2个不相等的实数根．。

山西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第10部分:圆锥曲线一、选择题：11．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满 足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为( B )A ． 2B ． 3C ．233D ．2 2二、填空题：14．(山西省太原市2011年高三模拟一理科）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上的一动点到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 2 。

14．(山西省太原市2011年高三模拟一文科已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F且倾斜角60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 。

[2,)+∞三、解答题：20. (山西省2011届高三第三次四校联考文科)（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为2。

（1）求椭圆的方程；（II ）假设存在点()(),001M m m <<满足条件,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y由()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．…………… 6分 由0∆>恒成立，∴22121222422,1212k k x x x x k k-+==++． 设线段P Q 的中点为00(,)N x y ，则2002221021)1(,2122kkx k y k k x x x +-=-=+=+= …………… 8分 ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，∴MN⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K …………… 10分即222121212kk k k mk -+⋅=--+，2222110012122k m k m k k ∴==∴>∴<<++ …………… 12分20．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)（本小题满分12分）已知椭圆方程为222116x y b +=(40)b >>，P 为椭圆上的动点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，当点P 不在x 轴上时，过F 1作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线F 1M ，垂足为M ，当点P 在x 轴上时，定义M 与P 重合．（Ⅰ）求M 点的轨迹T 的方程；（Ⅱ）已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ：Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2OEQ S ∆=？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）当点P 不在x 轴上时，延长F 1M 与F 2P 的延长线相交于点N,连结OM ，∵1NPM MPF ∠=∠,1NMP PMF ∠=∠ ∴PNM ∆≌1PF M ∆ ∴M 是线段1NF 的中点，1||||PN PF =|，∴ OM =21N F 2 =()PN P F +221=()1221PF P F +∵点P 在椭圆上∴21PF PF +＝8 ∴OM ＝4， 当点P 在x 轴上时，M 与P 重合∴M 点的轨迹T 的方程为：2224x y +=．（Ⅱ）连结OE ，易知轨迹T 上有两个点 A (4,0)-，B (4,0)满足2OEA OEB S S ∆∆==, 分别过A 、B 作直线O E 的两条平行线1l 、2l . ∵同底等高的两个三角形的面积相等 ∴符合条件的点均在直线1l 、2l 上. ∵12OE k =∴直线1l 、2l 的方程分别为： 1(4)2y x =+、1(4)2y x =-设点(,)Q x y （,x y Z ∈ ）∵Q 在轨迹T 内，∴2216x y +<分别解22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=+⎪⎩与22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=-⎪⎩，得2425x -<< 与2245x -<< ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5-上2,,0,2x =-对应的1,2,3y = 在2(2,4)5-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =--- ∴满足条件的点Q 存在，共有6个，它们的坐标分别为：(2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．。

山西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第3部分:函数与导数二三、解答题：21．(山西省2011届高三第三次四校联考文科)（本小题满分12分）设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f （1）若函数)(x f 在1=x 处与直线21-=y 相切， ①求实数a ，b 的值；②求函数],1[)(e ex f 在上的最大值；（2）当0=b 时，若不等式x m x f +≥)(对所有的(]2,1],23,0[e x a ∈∈都成立，求实数m的取值范围.21（本小题满分12分）． 解：（1）①'()2af x bx x=-函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切 '(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ (3)分②22111()ln ,'()2x f x x x f x x x x-=-=-= ………4分当1x e e ≤≤时，令'()0f x >得11x e<<；令'()0f x <，得1;x e << 1(),1f x e ⎛⎤∴ ⎥⎝⎦在上单调递增，在[1，e]上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==-…6分（2）当b=0时，()ln f x a x =若不等式()f x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立， 则ln a x m x ≥+对所有的(230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦都成立，即,ln x x a m -≤对所有的(]2,1],23,0[ex a ∈∈都成立，……8分令)(,ln )(a h x x a a h 则-=为一次函数，min ()m h a ≤(21,,ln 0,x e x ⎤∈∴>⎦3()[0,]2h a a ∴∈在上单调递增 min ()(0)h a h x ∴==-，m x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立……10分 221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=-……12分（注：也可令()ln ,()h x a x x m h x =-≤则所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立，分类讨论得2m i n ()2m h x a e≤=-对所有的3[0,]2a ∈都成立，22min (2)m a e e ∴≤-=-， 21．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试理科)（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --= （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”，如果函数)(x f 为x xtx g ln )(-=（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围； （Ⅲ）当0m >时，讨论221()()2x m F x f x x m+=+-在区间（0，2）上极值点的个数． 解：（Ⅰ）当1=x 时，0=y ，代入2()ln f x a x b x =⋅+⋅得0=b ，所以x a x f ln )(=，xax f =')(，由切线方程知0)1(='f ，所以1=a ，故x x f ln )(=．（Ⅱ）()()f x g x ≥恒成立，即x x xtln ln ≤-恒成立，因为0>x ，所以x x t ln 2≤，令x x x h ln 2)(=，)1(ln 2)(+='x x h ，当)1,0(e x ∈时，0)(<'x h ，所以)(x h 在)1,0(e 为减函数；当),1(+∞∈e x 时， 0)(>'x h ，所以)(x h 在),1(+∞e为增函数；)(x h 的最小值为e e h 2)1(-=，故et 2-≤．（Ⅲ）由已知221()()2x m F x f x x m +=+-，m m x x x F 11)(2+-+='xm x m x )1)((--=， 又0>x ，由0)(='x F 得，m x =1，mx 12=．（1）当mm 1=时，得1=m ，0)(≥'x F ，)(x F 在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<21020m m 且m m 1≠时，得221<<m 且1≠m ，)(x F 有2个极值点； （3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<2120m m 或⎪⎩⎪⎨⎧<<≥2102m m 时，得210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点； 综上，当1=m 时，函数)(x F 在（0，2）无极值点；当210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；当221<<m 且1≠m 时，)(x F 有2个极值点．21．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试文科)（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --= （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”，如果函数)(x f 为x xtx g ln )(-=（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围； （Ⅲ）当0m >时，讨论221()()2x m F x f x x m+=+-在区间（0，2）上极值点的个数．（Ⅲ）由已知221()()2x m F x f x x m +=+-，m m x x x F 11)(2+-+='xm x m x )1)((--=，又0>x ，由0)(='x F 得，m x =1，mx 12=．（1）当m m 1=时，得1=m ，0)(≥'x F ，)(x F 在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<21020m m 且m m 1≠时，得221<<m 且1≠m ，)(x F 有2个极值点； （3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<2120m m 或⎪⎩⎪⎨⎧<<≥2102m m 时，得210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；综上，当1=m 时，函数)(x F 在（0，2）无极值点；当210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；当221<<m 且1≠m 时，)(x F 有2个极值点。

2011届高三年级第二次四校联考数学试题（理科）本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}13|,3|2≤≤-=-==x x N x y x M ，且N M 、都是全集I 的子集，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}13|≤≤-x xB ．{}13|≤≤-x xC ．{}33|-<≤-x xD ．{}31|≤<x x2．已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．-1B ．-2C ．12D ．23．已知向量的夹角为6π2,3== （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．直线sin 20x α+=的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃ 5．曲线)0(12≠+-=a ax ax y 在点(0，1)处的切线与直线012=++y x 垂直，则=a（ ）A ．31B ．31-C ．21D ．21-6．已知22x ,10,x ,10,R mx q R x mx q ∃∈+≤∀∈++>∨p ：：若p 为假命题，则实数m的取值范围为 （ ）A ．2≥mB ．2m ≤-C ．2,m 2m ≤-≥或D ．22≤≤-m7．已知幂函数()m f x x =的图像过点1A 22（，），则不等式2|)(|f ≤x 的解集是（ ）A ．}20|{≤<x xB ．}40|{≤≤x xC ．{|x x ≤D ．}44|{≤≤-x x8．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 （ ）A ．27B ．3C ．818D ．729．若定义在R 上的偶函数)()2()(x f x f x f =+满足，且当x x f x =∈)(]1,0[时，，则函数x x f y 4log )(-=的零点个数为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．设1,1,>>∈b a R y x 、，若2==yx b a ，a+b=4，则2x +1y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数R y x ∈、，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若))((,211*∈==N n n f a a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围为 （ ）A ．)2,21[B ．]2,21[C ．]1,21[D ．)1,21[12．已知抛物线bx c bx ax y -=++=y 2与直线交于A,B 两点，其中a b c >>，0a b c ++=，设线段AB 在X 轴上的射影为11A B ，则||11B A 的取值范围是（ ）A ．)323(，B ．），（∞+3 C ．），（30 D ．），（32 2第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4个小题。