根轨迹的基本概念

第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

根指的是闭环特征根(闭环极点)。

根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。

K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。

3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。

4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。

★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。

有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。

(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。

说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。

在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。

(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。

由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。

2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。

由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。

第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。

本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。

4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。

例如某控制系统的结构图如图4.1所示。

图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。

于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。

箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。

这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。

画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。

通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。

又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。

可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。

图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。

而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。

下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。

根轨迹根之和法则根轨迹根之和法则，是关于稳定性分析的一种常用方法。

又称为根轨迹闭合原理、罗麦特准则等。

这一方法基于控制系统中特征方程根的位置与稳定性的关系，通过计算根轨迹上的根、开环传输函数等来判断控制系统的稳定性，并进行系统设计的优化。

1. 根轨迹的基本概念控制系统的根轨迹是指在$K$的取值变化范围内，控制系统的特征方程在复平面上的轨迹。

这种轨迹可以描出控制系统的稳定性、响应速度等性能参数。

根轨迹的末端点称为闭环系统的极点。

根轨迹的形状受到开环传输函数的影响。

在计算根轨迹的过程中，最常用的方法是采用符号法和数值法。

符号法较为常见，主要用于计算特殊形式的开环传输函数，如一般的一阶、二阶系统、恒定命令输入下的比例积分控制系统等。

而数值法则可以应用于一般形式的开环传输函数。

2. 根轨迹根之和规律的定义在一般的线性控制系统中，根轨迹闭合的必要条件是当特征方程中任意一极点位于左半平面时，闭环系统才是稳定的。

根轨迹根之和规律是指，闭环系统极点的位置可以通过计算开环传输函数的根轨迹上所有极点的和的剩余值（$\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{1-KG(s_j)}$）与$-1$的关系来确定。

因为当开环传输函数的根轨迹上所有极点和的剩余值与$-1$相等时，闭环系统的一个极点会在右半平面，在这种情况下该闭环系统不再是稳定的。

在计算开环传输函数的根轨迹上所有根的和时，需要注意开环传输函数$KG(s)$的分子多项式次数不能大于分母多项式的次数，否则，开环传输函数的不稳定极点将不再出现在根轨迹上。

同时，当特征方程根的数量大于等于控制系统自由度时，根轨迹根之和规律无法计算出闭合系统的极点。

此时需要通过其他的方法进行稳定性判断。

3. 根轨迹根之和规律的应用在控制系统设计和稳定性分析中，根轨迹根之和法则是一种常用方法。

在控制器的设计中，可通过该规律确定控制器的增益，使闭环系统的稳定性更高。

此外，在控制系统的分析中，应用根轨迹根之和规律可以快速判断控制系统的稳定性。

自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。

本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。

一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。

通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。

二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。

2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。

3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。

4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。

三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。

2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。

3. 计算特征方程的根，即极点的位置。

4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。

四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。

2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。

五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。

2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。

六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。

2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。

七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。

2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。

以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。

根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。

第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。

一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。

根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。

绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。

起点数n 就是根轨迹曲线的条数。

二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。

其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。

三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。

此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。

因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。

四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。

这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。

五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。

同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。

当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。

这是两者的共性。

此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。