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第三章 期权价格的性质在第一章里，我们定性地讨论了期权价格的性质。
我们不但描述了影响期权价格的各种因素，而且讨论了在各种情况下期权的支付。
在这一节里，我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的一些重要的性质。
需要强调的是，我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。
在上一章中，我们利用标的资产和债券合成构造远期合约和期货合约，投资银行可以利用这种方法来为远期合约和期货合约做市及对冲风险。
同样地，在本章中，我们利用合成构造期权的方法来为期权做市及对冲风险。
我们仅仅研究以同一种资产为标的物的看涨和看跌期权价格之间最基本的关系。
本章主要内容：美、欧式期权价格的上下界；美式期权的提前执行；红利对期权价格的影响；看涨和看跌期权价格之间的平价关系。
我们不妨假设标的物为某种股票，其在时间t 的价格为S t ，期权的执行价格为K ，到期日为一期，即，T =1，无风险利率为f r （或者r ），按离散或者连续方式计算复利。
我们以t t t t P p C c ,,,分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间t 的价格。
1．期权价格的上、下界由第一章内容，期权价格受标的股票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期日、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。
1.1 上界美式或者欧式看涨期权的持有者拥有以一定价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过标的股票的价格t t S c ≤ t t S C ≤ 否则，买入股票，卖空看涨期权就能获得套利机会。
例子：标的股票价格为30元，执行价格为25元的看涨期权，其价格不超过30元（不管是美式还是欧式）。
如果价格为40元，如何构造套利机会？看涨期权的价格永远不会超过标的股票的价格。
即使执行价格为零，期权永远不到期，期权的价格也至多为S T 。
甚至在这种极端情形下，期权的价格也可能比标的股票的价格低，因为股票有选举权，而期权没有。
期权定价理论
期权定价理论是一种金融数学模型，它可以用来估计期权的价格。
期权是一种金融衍生品，它授予购买者在未来某个特定日期之前或之后的某个特定价格买入或卖出一定数量的标的资产的权利。
期权定价理论是用来计算期权的价格的一种技术，它涉及到多个经济变量，包括未来股票价格、利率、波动率和时间等。
期权定价理论的基础是价值重要性原则，即期权价格应反映它的价值。
这意味着期权价格应该反映它在未来可能获得的收益，以及收益可能遭受的风险。
期权定价理论涉及计算期权的价值，以及期权价格可能受影响的其他因素。
期权定价理论有不同的模型，最常用的是布朗-泰勒模型，它假定未来股票价格的变动遵循随机游走的模型。
这个模型可以用来估计期权的价格，以及期权价格可能受到的影响，如利率、波动率和时间等。
然而，期权定价理论仍然是一个抽象的概念，它没有一个统一的解决方案，因为每个投资者的观点和情况都不同。
因此，期权定价理论需要建立在个人的理财背景和投资目标之上，以便更好地评估和定价期权。
总而言之，期权定价理论是一种金融数学模型，它可以帮助投资者
估计期权的价格，并且可以考虑到多种因素，包括未来股票价格、利率、波动率和时间等，这有助于投资者更好地评估和定价期权。
金融衍生品定价理论研究金融衍生品是指与金融资产相关，其价值衍生于基础资产的一种金融工具。
衍生品在金融领域中得到广泛的应用，如股票期权、期货、利率互换等等。
金融衍生品的定价理论研究是金融学中的一个重要课题。
本文将分别从定价原理、风险中性定价、真实世界定价、随机漫步理论、蒙特卡罗模拟等角度来讨论金融衍生品定价理论研究的相关问题。
一、定价原理定价原理是衡量衍生品价格的核心理论，它从基本面、市场需求、供给等因素出发，在市场中反映出该衍生品在未来的潜在价值和价格水平。
对于衍生品定价原理的发展，传统的定价理论是围绕风险溢价的概念展开的。
在这种理论情境下，由于金融衍生品所做的承诺均来自于风险资产，因此决定了其价格与基础资产的风险溢价之差。
当然，这种价格差异的差异会受到投资者情感和市场条件之类的因素影响。
在传统的定价理论体系中，黑-斯科尔斯-默顿（BSM）定价模型和里昂-斯克伦尼克-官格林(BSOG)定价模型是主要的二元结构选择。
BSM定价模型中，通过对风险溢价因素、基础资产、行权价格、持有期限和无风险利率的影响进行考量，来达到对衍生品实现的宏观预测。
当然，BSOG定价模型是在BSM模型基础上进一步解释的。
二、风险中性定价风险中性定价是金融衍生品定价的重要理论基础，其讲解的核心思想是，在完美的竞争环境下，投资者对风险的态度是中性的。
因此，价格只反映了所做承诺的预期收益率。
这种定价方法的本质是剥离了衍生品的风险因素，因此在该定价方式下，衍生品的价格只反映了所做承诺的预期收益率。
三、真实世界定价在实际交易中，投资者考虑的不仅仅是风险因素，还会对做出选择综合考虑政策影响、货币政策等多种因素。
在实践中，这种因素是难以被纳入完整的定价模型的。
这就是为什么成熟市场的实际交易价格往往无法与理论定价完全吻合的原因。
四、随机漫步理论随机漫步理论认为，市场价格的变化是由市场信息集体决定的。
在这种理论情境下，预测市场行情将是非常困难的。
金融衍生品的定价和风险管理在当今全球化和复杂化的金融市场中，金融衍生品成为了各类金融机构和投资者的重要工具。
然而，金融衍生品的定价和风险管理一直是金融从业者面临的重大挑战。
本文将探讨金融衍生品的定价理论和相关的风险管理策略。
一、金融衍生品的定价理论金融衍生品的定价理论是金融工程学中的重要内容。
我们以期权定价理论为例，简要介绍金融衍生品的定价模型。
期权是一种在未来某个时间购买或者出售标的资产的权利。
期权的价格取决于多个因素，包括标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率、市场波动率等。
著名的期权定价模型是布莱克-斯科尔斯-默顿（Black-Scholes-Merton）模型。
该模型基于假设标的资产价格服从几何布朗运动，并利用偏微分方程得到了期权的价格公式。
该模型的核心思想是通过持有一定数量的标的资产和债务来构建一个无风险组合，通过对冲策略来消除市场风险。
布莱克-斯科尔斯-默顿模型在金融衍生品定价领域具有重要的意义，然而其也有一些假设限制，如市场无摩擦、无税收等，实际应用中需要结合具体情况进行修正。
二、金融衍生品的风险管理策略金融衍生品具有杠杆效应，可以用较小的成本控制较大的市场敞口。
然而，这种杠杆效应也带来了更大的风险。
因此，金融机构和投资者需要制定风险管理策略来降低衍生品交易的风险。
1. 多元化投资组合多元化是降低投资风险的重要策略，同样适用于金融衍生品的风险管理。
通过在不同类型的衍生品上分散投资，可以降低因某一衍生品产生亏损而导致的整体风险。
2. 建立风险管理制度金融机构应该建立完善的风险管理制度，明确相关人员的职责和权限。
制定风险限额和暴露度限制，确保投资者和机构不会陷入无法承受的风险。
3. 使用衍生品进行对冲对冲是金融衍生品最重要的应用之一。
通过合理运用衍生品来对冲实物资产或其他金融仪器的价格波动，可以减少因市场波动带来的损失。
4. 监测市场风险市场风险监测是金融衍生品风险管理的重要环节。
期权定价理论知识期权定价理论是金融市场中重要的工具，它用于确定期权的合理价格。
期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点购买或卖出标的资产的权利，但并不强制执行。
期权的价格由多种因素决定，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性以及无风险利率等。
在期权定价理论中，最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型是由费希尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的，并且因此获得了诺贝尔经济学奖。
该模型基于一些假设，如市场是完全有效、无风险利率是恒定的等。
根据布莱克-斯科尔斯期权定价模型，期权的价格可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中，C表示看涨期权价格，S表示标的资产价格，N(d1)和N(d2)分别是标准正态分布函数，X表示行权价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间。
公式中的d1和d2可以通过以下公式计算：d1 = (ln(S/X) + (r + (σ^2)/2)*t) / (σ * √t)d2 = d1 - σ * √t该模型通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素，来确定一个看涨期权的合理价格。
类似地，可以用类似的方法计算看跌期权的价格。
虽然布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一个重要的理论框架，但它在实际应用中存在一些限制。
例如，该模型假设市场是完全有效的，但实际市场存在各种交易成本、税收和限制等，这些因素都可能影响期权的价格。
此外，该模型假设无风险利率是恒定的，但实际上利率是变化的。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况进行调整和修正。
总之，期权定价理论是金融市场中重要的理论工具，它为期权的定价和交易提供了基础。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是其中最著名的模型之一，它通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素来确定期权的合理价格。
金融学中的金融衍生品定价金融衍生品是金融市场中的一种重要工具，其定价是金融学中的重要课题之一。
本文将从理论层面对金融衍生品定价进行探讨，并介绍几种常用的金融衍生品定价模型。
一、定价理论基础金融衍生品的定价理论基础主要包括资产定价理论和无套利定价原理。
资产定价理论是指通过衡量资产的风险和收益来确定其价格，其中著名的资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论（APT）被广泛应用于金融衍生品的定价。
无套利定价原理是指在金融市场中不存在风险无差异的套利机会，通过构建套利组合实现无风险利润。
二、期权定价模型期权是金融衍生品中的一种典型产品。
几种常用的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型和它的变体，以及蒙特卡洛模拟方法。
布莱克-斯科尔斯模型以资本资产定价模型为基础，通过假设资产价格的对数收益率服从几何布朗运动，建立了对期权价格的数学表达式。
蒙特卡洛模拟方法则通过随机模拟资产价格的路径，得到期权价格的近似解。
三、期货和远期定价模型期货和远期合约是另一类广泛使用的金融衍生品。
最基本的定价模型是无套利定价模型，即利用无套利原理确定合约价格。
此外，通过协理论方法，可以根据利率和存储成本等因素，建立远期合约价格的模型。
另外，通过期货价格和现货价格之间的价差（基差），也可以对期货合约进行定价。
四、利率衍生品定价模型利率衍生品包括利率互换、利率期权等。
利率互换的定价模型可以基于利率期限结构，利用贴现因子计算交换现金流的现值。
利率期权的定价模型常用的有布莱克-迈尔斯（Black-Merton）模型和格文斯坦（Geske）模型。
五、其他金融衍生品定价模型除了上述提到的几种金融衍生品之外，还有其他一些特殊的金融衍生品，如信用衍生品和能源衍生品。
信用衍生品的定价模型主要包括基于模型和基于市场的方法。
能源衍生品的定价模型受多种因素影响，如供求关系、储存成本等。
六、定价模型的应用和局限性金融衍生品定价模型的应用广泛，不仅在金融市场中用于交易和风险管理，还在金融工程学和金融研究中具有重要意义。
金融期权定价理论及其应用金融市场是一个高度复杂的系统，投资者和交易人员都需要通过各种分析工具来预判市场变化，减少风险、增加收益。
期权定价理论就是其中重要的一环，它是保险公司、基金管理者和各种金融工具交易者必备的知识之一。
在这篇文章中，我们将探讨期权定价理论的原理、模型以及应用。
一、期权定价理论概述期权是一种金融衍生品，它可以使投资者在未来的时间内以一个确定的价格买入或卖出一定数量的某种资产。
期权的价值取决于下面三个主要因素：1. 资产价格水平 (underlying asset price)2. 行权价格 (exercise price)3. 期权到期时间 (time to expiry)在此基础上，Black-Scholes公式创立了期权定价理论。
该公式的基本思想是，如果我们知道了期权的上述三个因素以及市场利率和波动率，我们就可以计算出期权的理论价格。
Black-Scholes模型主要适用于欧式期权，也就是只能在到期日行权的期权。
对于美式期权，行权只能在美式期权到期日之前。
因此，它们的定价也有所不同。
二、Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes模型假设资产价格服从随机漫步，并且期权价格的波动率是稳定不变的。
该模型还假设，市场利率是无风险利率，可以随意获得。
在这个模型框架下，Black-Scholes公式的推导过程中使用了几个重要的假设和公式: S：资产价格水平K：行权价格σ：资产价格的波动率r：市场利率t：期权到期时间N：标准正态分布函数的值S、K、σ、r、t这五个变量是市场上可以通过数据源获得的，只有N这一项需要计算。
Black-Scholes公式给出如下期权价格计算公式：C = S*N(d1) - Ke^(-rt)*N(d2)P = Ke^(-rt)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表欧式期权的买方支付的价格 (call option price)，P代表欧式期权的卖方支付的价格 (put option price)。
金融衍生品定价理论及应用研究衍生品是指一种金融资产，其价格来源于其他资产或指标的变化，比如股票期权、期货、互换合同等。
在金融领域，衍生品的发展和应用具有重要的意义。
本文将深入探讨金融衍生品的定价理论及其应用研究。
一、金融衍生品定价理论衍生品的定价是指对衍生品的基础资产进行定量分析，通过利用数学模型和统计方法，计算衍生品价格的公式。
数学模型主要包括布莱克-斯科尔斯期权定价模型、二项式期权定价模型、蒙特卡罗随机模拟模型等等。
这些定价模型通常是建立在一些基本假设之上，比如股票价格的随机走势、无套利套利原则以及贴现因子等等。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是最著名的期权定价模型之一，其基本假设是股票价格服从随机漂移和波动率的几何布朗运动。
该模型推出的期权定价公式使其成为了衍生品定价理论中的经典案例。
二项式期权定价模型基于无套利套利原则，其主要假设是股票价格只有两种状态：上涨和下跌。
该模型可以用于定价不同种类的期权合同。
蒙特卡罗随机模拟模型则是比较灵活的一种定价方法，其可以通过模拟随机数的方式解决对于复杂金融衍生品的定价问题，但是该方法在计算量较大、时间较长时存在一定不足。
另外，金融衍生品定价理论还需要注意贴现因子的作用。
贴现因子是指在未来收益与现在收益之间给定的转化因子，即未来现值与现在价值之间的关系。
贴现因子的使用可以减小风险和将未来的现金流归纳到当前的价值，保证了金融衍生品的公平定价。
二、金融衍生品定价应用定价理论是将金融衍生品与基础资产联系起来的一种手段，将金融衍生品的现金流预测、价值度量和比较交易等问题纳入了定价的范畴中。
金融衍生品定价应用主要有以下几个方面：1、市场风险管理金融衍生品定价理论的应用使得企业能够更好地进行市场风险管理。
企业可以通过金融衍生品的定价，利用其对冲风险、锁定价格和利率，降低资产负债风险。
例如，企业可以通过使用期货来锁定物价，通过使用利率互换来控制利率波动影响。
定价理论的应用提高了企业的风险意识，对于企业的稳定经营具有积极的影响。
第三章期权价格的性质在第一章里，我们定性地讨论了期权价格的性质。
我们不但描述了影响期权价格的各种因素，而且讨论了在各种情况下期权的支付。
在这一节里，我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的一些重要的性质。
需要强调的是，我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。
在上一章中，我们利用标的资产和债券合成构造远期合约和期货合约，投资银行可以利用这种方法来为远期合约和期货合约做市及对冲风险。
同样地，在本章中，我们利用合成构造期权的方法来为期权做市及对冲风险。
我们仅仅研究以同一种资产为标的物的看涨和看跌期权价格之间最基本的关系。
本章主要内容：美、欧式期权价格的上下界；美式期权的提前执行；红利对期权价格的影响；看涨和看跌期权价格之间的平价关系。
我们不妨假设标的物为某种股票，其在时间t的价格为S t ,期权的执行价格为K ,到期日为一期，即，T =1，无风险利率为r f （或者r ），按离散或者连续方式计算复利。
我们以C t,C t, p t, P t分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间t的价格。
1期权价格的上、下界由第一章内容，期权价格受标的股票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期日、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。
1.1上界美式或者欧式看涨期权的持有者拥有以一定价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过标的股票的价格c t _ & C t_ S t否则，买入股票，卖空看涨期权就能获得套利机会。
例子：标的股票价格为30元，执行价格为25元的看涨期权，其价格不超过30元（不管是美式还是欧式）。
如果价格为40元，如何构造套利机会？看涨期权的价格永远不会超过标的股票的价格。
即使执行价格为零，期权永远不到期，期权的价格也至多为S T。
甚至在这种极端情形下，期权的价格也可能比标的股票的价格低，因为股票有选举权，而期权没有。
美式或者欧式看跌期权的持有者拥有以执行K价格卖一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过KP t兰K R兰K对欧式看跌期权而言，我们知道它在到期日的价格不会超过K，所以P t否则，卖出期权，投资在无风险利率，获得套利例子：r =5% , S t=30 元，K =25元，P t- 25e1.2以不支付红利股票为标的物的欧式期权价格的下界我们在这里仅仅关注标的股票的价格和执行价格的影响，所以，我们可以把看涨期权在时 间t 的价格写成，c t（S t ,K ）。
下面，我们讨论第一条性质。
当期权被执行的概率严格位于0和1之间时，即，在到期日，股票价格概率严格位于0和1之间，上述不等式严格成立。
证明：我们证明严格不等式。
考虑如下的策略：卖空一份标的股票，买一份欧式看涨 期权，再以无风险利率 r f 借出 %+「f 。
该策略的初始成本为 c 0（S 0,K ）_S 0+K/（1+r f ），到 期日的支付为：S T -K -S T K =0 [ -S T +K >0因为策略的期末支付是非负的，且严格为正的概率大于 0,所以，由无套利原理，初始成本也应该严格大于零。
即有，C 0（S °,K ） -S - K （1 r f ）＞0。
这个不等式等价于c °（S °,K ）.S 。
—K（1十）。
（2）最后，因为期权的持有者只有买标的物的权利而没有必须买的义务，所以期权的价格是非 负的。
又因为假设期权被执行的概率严格位于0和1之间，所以期权的价格严格大于零，即，C 0（S 0,K ） 0。
这个式子与（2）式结合起来，得到我们需要的结果。
注：（1）在性质1中，我们是针对时间0的价格讨论的，该性质对到期日以前的任何时 间均成立，只需把（1）式中角标由0换成t ，并对执行价格的折现作相应的修改。
（2） 通过类似的方法，我们可以得到以不支付红利股票为标的物的欧式看跌期权价格 的下界为一 K ° ]max -------- -S 0,0 。
严f _（3） 这个性质的直观意义在于，如果在期末必须以价格K 买一份股票，这种义务的现值为S 0—少（卄彳。
当股票价格 S T 小于执行价格 K 的概率严格位于0和1之间时，不买股 票的权利的价值严格大于零。
因此，欧式看涨期权的的价格严格大于 S 。
-% +斤。
另一方面，由于期权被执行的概率是严格正的，所以， C 0（S 0,K ） 0。
例子：欧式看涨期权 假设标的股票的价格为 55元，执行价格为50元，期权三个月到期，三个月的简单利率为8.9%，在这3个月内，股票不支付红利，求欧式看涨期权价格的下界，如果期权的价格为 元，如何构造套利机会。
性质1: (1)S T 大于执行价格K 的S T _K S T：时。
C o (S o , K)丄max例子：欧式看跌期权3个月到期的欧式看跌期权，执行价格为 50元，股票价格为45元，三个月的简单利率为 8.9%，在这3个月内，股票不支付红利，求欧式看跌期权价格的下界，如果期权的价格为3元，如何构造套利机会。
性质2：欧式看涨期权的价格是其执行价格的凸函数，即，g(S t ，K)+(1 —a)q(S t ，K)Xc t (S t ，K)⑶这里，K =aK +(1—a)K ，« €(01)。
当S T =(K, l~］的概率严格正时，上式中的严格不等式 成立。
证明：考虑如下的策略：买入 「份以K 为执行价格的欧式看涨期权，买入 1一:•份以 为执行价格的欧式看涨期权，卖空一份以 K 为执行价格的欧式看涨期权。
这个策略在t(t ：：:1)时的成本为:C t (S t ,K) (^: )C t (S t ,l~^C t (S t ,K)。
不失一般性，假设K ■ K 。
这个策略在到期日的支付为：在任何情况下，支付均为非负的。
因此，由无套利原理有:«C t (S t , K)+(1 -a )C t (S t ,K)-C t (S t ,K)ZO这即为(3)式。
当S T €(K, K ］的概率严格正时，(3)式中的严格不等式成立。
注：我们可以证明欧式看涨期权的价格是其执行价格的减函数，从而，欧式看涨期权 的价格是其执行价格的单调递减的凸函数。
：(S T -K) 0(1 _a)(K _S T ) >0如果S T <K ， 如果K ::: S T 乞K ， 如果 K ::: S T ^K ， 如果S Tl~，在实际中，投资者投资的期权不但可以以单个证券为标的物，也可以以上市证券形成的证券组合为标的物。
另外，投资者还可投资在期权形成的证券组合上。
下面，我们比较两种投资方式所需要的成本。
性质3：假设有n种证券，以这n种证券为标的物构成n种欧式期权，它们具有相同的执行价格K。
以这n种证券的凸组合为标的物，以K为执行价格的期权的价格比前面的n 种欧式期权以同样的权形成的证券组合的价格低，即，n* * jC t(S t,K)I : j C t(&,K)n n这里=1，二j _0，S*三，而c；(S；,K)是以n种证券的凸组合为标的物, j 1j 4以K为执行价格的期权的价格。
证明：以n种证券的凸组合为标的物，以K为执行价格的期权的终端支付为：j 1max 送C C J S T -K,0 。
j-一因为max Z,0 I是z的凸函数，由Jenser不等式得到：■n j 1 n jmax £ ct j S T -K,0 兰送ctjmaxS T -K,0 ］。
戶一j二而上述不等式的右端正好是n种欧式期权的证券组合的终端支付。
由无套利原理，我们得到：n* * jC t(S t,K)・：j C t(S t j,K)jm这里的不等式严格成立当且仅当存在证券j和j *，使得S T cK cS T "以一个严格正的概率成立。
假设所有n个标的证券的支付使得，以单个证券为标的物，以K为执行价格的n个期权都能同时被最优执行，则这n个期权的凸组合的价格，和下面这个期权的价格是相同的，这个期权以n个标的证券的凸组合为标的物，以K为执行价格。
但是，一旦以单个证券为标的物的n个期权中有某个不能被同时最优执行，则两者的价格不会相等。
作为期权的证券组合，不同于以n个证券的凸组合为标的物的期权，因为我们可以单独执行组合中的每个期权。
所以，期权的证券组合的价格大于以n个证券的凸组合为标的物的期权的价格。
1.3美式期权的下界性质：美式看涨期权价格的下界为C t_ max O S t- K /证明：（1）C t _0（2）不妨假设S t _K。
如果C t ::: St -K，构造套利机会：以C t买入美式看涨期权，马上执行，现金流为S t - K，净利润为St - K - G : 0例子：设美式看涨期权的价格为2兀，设股价为50兀，执行价格为45兀，是否存在套利机会?性质：如果两个美式看涨期权具有相同的执行价格，相同的标的物，则到期日越长的期权，价格越高。
图：美式看涨期权价格的界性质：美式看跌期权价格的下界为R 二max b,K - S t}证明:例子：设美式看跌期权到期日为78天，价格为3元，执行价格为55元，标的股票价格为55 元，是否存在套利机会？图：美式看跌期权价格的界2 •提前执行：以不支付红利股票为标的物的美式期权本节的目的是证明：以不支付红利的股票为标的物的美式期权不会提前执行。
对期权定价理论感兴趣的读者可以参考Merton在1973年的开创性工作。
由于欧式期权只能在到期日执行，而美式期权在到期日前的任何时间都能执行，所以，欧式期权的定价比美式期权定价容易。
但是，当标的股票不支付红利时，我们可以证明美式看涨期权不会提前执行，从而美式看涨期权的价格和欧式看涨期权的价格一致。
下面，我们证明这一重要的定理。
定理1：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权不会提前执行。
证明：设无风险利率为r f，采用连续计算复利的方式；欧式和美式期权的到期日为T ,执行价格均为K ;不支付红利的标的股票在t时的价格为S t。
由前面知道：c t S t,T,K _maxl0,S t-e_rf(T_t)^ (9)方程(9)对一个欧式看涨期权成立。
但是，由前面的分析我们知道，和一个欧式看涨期权等价的美式看涨期权的价格总比欧式看涨期权的价格大。
因此，C t S t,T,K _c t S t,T,K _maxb,S t -ef(T_L)K 1 (10)而且，如果执行，美式看涨期权的价值是maxb, S t -K 1,它比max[o,S t -B t K ]小。
在这种情况下，美式期权的持有者在证券市场上卖掉期权总会优于提前执行该期权。
从(10)式，我们可以更合理的解释为什么当无风险利率上升时，看涨期权的价格会上升？假设股票的价格是50元，执行价格是30元，期权一年到期。
