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第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
如何进行金融衍生品的定价金融衍生品的定价是金融市场中的核心问题之一，它涉及到金融工具的确定价格，不只是对风险进行定价，同时也涵盖了市场流动性和其他市场因素的考虑。
本文将介绍如何进行金融衍生品的定价。
一、理论定价模型的介绍金融衍生品的定价主要基于理论定价模型，其中最著名的理论定价模型是Black-Scholes模型。
该模型是由Black和Scholes于1973年提出的，被广泛应用于期权的定价。
Black-Scholes模型基于几个关键因素，包括标的资产价格、期权执行价格、剩余期限、无风险利率和标的资产价格波动率等。
二、市场因素的考虑除了理论定价模型所需的基本参数外，金融衍生品的定价还需要考虑市场因素。
这些因素可能包括风险偏好程度、市场流动性、交易成本和市场预期等。
这些因素会对金融衍生品的价格产生影响，需要在定价模型中加以考虑。
三、隐含波动率的估计在金融衍生品的定价中，波动率是一个重要的参数，它反映了标的资产价格的波动程度。
然而，波动率无法直接观测到，需要通过一定的方法进行估计。
其中一种常用的方法是通过市场上相同或类似衍生品的交易价格来反推隐含波动率。
通过对市场上的交易数据进行分析，可以得出相应的隐含波动率估计结果，从而用于金融衍生品的定价。
四、模型的风险管理金融衍生品的定价中需要考虑风险的管理，主要有市场风险和对冲风险。
市场风险是指金融市场波动对金融衍生品价格的影响，而对冲风险是指持有金融衍生品的交易对手方无法履约的风险。
在定价模型中，需要对这些风险进行合理的管理，以保证持有人的权益。
五、实践中的定价方法在金融市场实践中，还存在许多不同的定价方法，如蒙特卡洛模拟、二叉树模型、离散时间模型等。
这些方法可以根据具体情况选择合适的方法进行定价。
同时，还需要根据市场的实际状况和特点进行调整，以使定价结果更加准确和可信。
六、风险管理的重要性在金融衍生品的定价过程中，风险管理起着重要的作用。
合理的风险管理可以降低交易风险，保护个别投资者和市场的稳定。
金融工程中的衍生品定价模型资料衍生品是金融市场中重要的金融工具，它们的价值来源于基础资产或指标的变化。
衍生品定价是金融工程中的一项核心任务，其准确性和有效性对于金融市场的稳定与健康发展至关重要。
在金融工程的研究与实践中，涌现出了许多衍生品定价模型，本文将介绍其中几种常见的模型及其资料。
一、调整后的黑-斯科尔定价模型（Black-Scholes-Merton Model）调整后的黑-斯科尔定价模型是对原始黑-斯科尔定价模型的改进和扩展。
它考虑了市场不完全性和风险溢价等因素，提高了模型的适用性。
在使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间以及期权行权价。
二、卡里-鲁宾斯坦定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）卡里-鲁宾斯坦定价模型是一种在二叉树框架下进行衍生品定价的模型。
该模型将时间划分为离散的步长，通过构建二叉树推导出衍生品的定价公式。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、时间步长、期权到期时间以及期权行权价。
三、韦春华公式模型（Weng's Formula）韦春华公式模型是近年来提出的一种衍生品定价方法。
该模型适用于凸概率风险中性测度下的金融市场，可以快速、准确地计算欧式期权的理论价格。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及风险溢价。
四、蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation Method）蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的衍生品定价方法。
通过生成大量的随机数路径，模拟标的资产价格的变化，并计算衍生品的预期收益。
使用该方法进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及模拟路径的数量。
五、隐含波动率曲面在很多衍生品定价模型中，隐含波动率扮演着重要的角色。
理解Black-Scholes-Merton模型Black-Scholes-Merton模型是衍⽣品定价中⼀个⾮常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。
理解它对于理解量化⾦融⾮常重要。
这⾥仅介绍⼀种简单理解，因此本⽂中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。
⼀、⾦融基础：期货（Futures）⾸先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.远期协议是⼀个买卖双⽅在未来以某价格交易某种资产的⼀个协议，⽽期货是⼀种标准化的远期协议，更容易来交易。
所以我们可以看到期货的⼏个要素：⼀个标的资产，⼀个价格，买卖双⽅，交割⽇。
当然，因为⼀般我们要⽤保证⾦来保证协议在未来能够被履⾏，所以还有⼀个要素是保证⾦。
例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，⽐如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照⽇均成交额和⽇均总市值进⾏综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12⽉31⽇这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的⼀种股票价格指数）。
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
这对于节省计算量、比较静态分析定价问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
B1ACK-SCHO1ES模型
B1ACK-SCHo1ES模型是一种用于计算金融衍生品价格的数学模型，由费舍尔・布莱克和默顿・勒曼・斯科尔斯(MyronScho1es)在1973年提出。
它基于一些假设，包括市场是有效的、不考虑交易成本和无风险利率不变等。
B1ACK-SCHO1ES模型的主要应用是计算欧式期权的理论价格。
它的基本公式是一个偏微分方程，可以通过对其进行求解来计算期权的价格。
这个公式考虑了标的资产的价格、期权行权价格、期权到期时间、无风险利蔚口资产波动率等因素。
B1ACK-SeHo1ES模型的主要优点是可以提供期权价格的解析解，而不需要进行数值计算。
它也是现代金融理论的基石，为衍生品定价和风险管理提供了重要的工具。
然而,B1ACK-SCHo1ES模型也有一些局限性，包括假设市场是有效的和不考虑交易成本等。
这些假设可能与实际情况存在一定的差异，因此模型的结果可能会产生一定的误差。
总之,B1ACK-SCHO1ES模型是金融衍生品定价的重要工
具，但在实际应用中需要结合实际情况进行修正和调整。
BLACK—SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model)，1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿（RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会（The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B—S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布;（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二）荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C-期权初始合理价格 L —期权交割价格 S —所交易金融资产现价 T —期权有效期r -连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N （）—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到：过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
并对所需的参数进行估计。
最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。
1．连续时间随机过程我们先介绍Markov 过程。
定义：一个随机过程{}0≥t t X 称为Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即[][]t s t s X X E X E =ψ（1）这里，t s ≥，t ψ表示直到时间t 的信息。
我们通常假设股票的价格过程服从Markov 过程。
假设IBM 公司股票的现在的价格是100元。
如果股票价格服从Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。
唯一相关的信息是股票当前的价格100元。
由于我们对将来价格的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。
股票价格的Markov 性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨道。
股票价格的Markov 性质与市场的弱形式的有效性有关。
这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。
考虑一个随机过程的变量t X 。
假设它现在的值为10，在任何时间区间t ∆内它的值的变化量，t t t X X -∆+，服从正态分布()t N ∆,0，且不相交时间区间变化量是独立的。
在任何两年内它的值的变化量为t t X X -+2，满足t t X X -+2=12++-t t X X +t t X X -+1由假设，12++-t t X X 与t t X X -+1独立，且12++-t t X X 服从()1,0N ，t t X X -+1服从()1,0N 。
两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均值的和，方差为各个方差的和。
所以t t X X -+2服从正态分布()2,0N 在任何半年内，t t X X -+5.0服从正态分布()5.0,0N不确定性与时间的平方根成比例。
上面假设的过程称为布朗运动 (Brownian motion)，也称为Wiener process 。
这是一种特殊的Markov 随机过程，在每年的变化量的均值为0，方差为1。
定义：一个(标准的、 1-维) 布朗运动是一个连续的适应过程z ={t z ,t ψ; 0≤t <∞} ，其值域为R 且满足如下性质： （1） 00=z a.s .（2） 对任意的 0≤s<t , 增量s t z z - 独立于s ψ，且服从以0为均值，以(t-s )为方差的正态分布。
有时，我们将用到区间[0,T ]上的布朗运动z ={t z ,t ψ; 0≤t ≤T } ，这里 T >0, 这个概念可以类似地定义。
性质： 1）一个标准布朗运动既是 Markov 过程又是鞅。
2）在任何小时间区间t ∆内的变化量为t z ∆=∆ε这里ε是标准正态分布。
3）任何两个小时间区间的变化量是独立的。
考虑变量在时间T 内的值的增加量0z z T -。
可以把它视为z 在N 个小时间区间t ∆的增量的和，这里tTN ∆=因此∑=∆=-Ni i T t z z 10ε（2）这里i ε是独立的标准正态分布。
[]00=-z z E T[]T t N z z T =∆=-0var例子：推广的Wiener 过程bdz adt dx +=（3）这里b a ,视常数。
为了理解（3），分别考虑它右边的两部分（1）adt 说明x 在单位时间的期望漂移率为aadt dx =或者 at x x +=0 这里0x 是x 在时间0的值。
（2）bdz 是加在x 轨道上的噪声或者扰动。
在一个小时间区间t ∆，x 的变化量x ∆为t b t a x ∆+∆=∆ε因此x ∆服从正态分布[]t a x E ∆=∆ ()t b x ∆=∆2var在一个时间区间T ，x 的变化量0x x T -为正态分布 []aT x x E T =-0[]T b x x T 20var =-所以推广的Wiener 过程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 为a ，方差率(variance per unit of time)为2b 。
Ito 过程dz t x b dt t x a dx ),(),(+=（4）在一个小时间区间t ∆，x 的变化量x ∆为t t x b t t x a x ∆+∆=∆ε),(),(所以Ito 过程在一个小时间区间t ∆的期望漂移率为),(t x a ，方差率为2),(t x b 。
Ito 引理2. 股票的价格过程我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。
我们可以假设股票的价格过程服从推广的Wiener 过程，即常的期望漂移率和常数方差率。
但是，这个过程不满足股票价格的一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立于股票价格，股票回报率在短时间内的变动也应该独立于股票的价格。
如果当股票价格是10元时，投资者要求的每年期望回报率是14%，则当股票的价格是50元时，投资者要求的每年期望回报率也是14%。
通常我们也假设在一个短时间t ∆内，回报率的变动也独立于股票的价格。
如下的Ito 过程满足要求Sdz Sdt dS σμ+=这里σμ,为常数。
我们称之为几何布朗运动。
这是应用最广泛的描述股票的价格过程。
σ是股票价格的波幅，μ是股票价格的期望回报率。
如果没有随机项，则t SS∆=∆μ 在极限状态下dt SdSμ= 从而T T e S S μ0=这说明，当方差率为0时，股票价格以每单位时间连续复利率μ增长。
例子：几何布朗运动的离散时间版本为t t SS∆+∆=∆σεμ The variable S ∆is the change in the stock price, S , in a small interval of time, t ∆; and εis arandom drawing from a standardized normal distribution. The parameter, μ, is the expected rate of return per unit of time from the stock and the parameter, σ, is the volatility of the stock price. Both of these parameters are assumed constant. The left hand the above equation is the returnprovided by the stock in a short period of time, t ∆. The term t ∆μis the expected value of this return, and the term t ∆σεis the stochastic component of the return. The variance of thestochastic component (and, therefore, of the whole return) is t ∆2σ. This is consistent with the definition of the volatility, σ, that is , σis such that t ∆σis the standard deviation of the return in a short time period, t ∆.正态分布()t t N SS∆∆∆2,~σμ参数μ和σThe process for the stock prices developed in this chapter involves two parameters μ and σ. The parameter, μ, is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock.Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of μ in any detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of μ. The parameter σ, the stock price volatility, is, by contrast, critically important to the determination of the value of most derivatives. Typical values of σ for a stock are in the range 0.20 to 0.40. 对S ln 利用Ito 引理得到dz dt S d σσμ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2ln 2这说明S ln 服从推广的Wiener 过程。
