下载文档原格式
BLACK-SCHOLES模型1. 简介BLACK-SCHOLES模型是一种用于定价期权合约的数学模型，由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出。
该模型是金融学领域最为重要的模型之一，广泛应用于期权交易和金融衍生品定价。
BLACK-SCHOLES模型基于以下假设： - 市场完全有效，不存在交易成本和税收。
- 资产价格的波动性是已知且常数。
- 资产价格的对数收益率服从几何布朗运动，即满足随机微分方程。
2. 基本原理BLACK-SCHOLES模型的基本原理是通过建立对冲组合，利用风险中性定价的原理来确定期权的价格。
其中，对冲组合由资产组成，通过买卖资产来抵消风险，使投资组合的价值在不同市场情况下保持稳定。
基于上述原理，BLACK-SCHOLES模型通过推导出具有完全对冲组合的几何布朗运动方程，得出了期权的定价公式。
该定价公式包括以下几个重要参数： - 资产价格（S）：期权标的资产的当前市价。
- 行权价格（K）：期权合约规定的买卖资产的价格。
- 无风险利率（r）：在期权有效期内，无风险投资所能获得的收益率。
- 期权有效期（T）：期权合约的剩余时间。
- 波动率（σ）：资产价格的对数收益率的标准差。
BLACK-SCHOLES模型的定价公式如下：$$C = S_0 \\cdot N(d_1) - Ke^{-rT} \\cdot N(d_2)$$$$P = Ke^{-rT} \\cdot N(-d_2) - S_0 \\cdot N(-d_1)$$其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格，N(x)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：$$d_1 = \\frac{\\ln(\\frac{S_0}{K}) + (r +\\frac{\\sigma^2}{2})T}{\\sigma\\sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \\sigma\\sqrt{T}$$3. 应用与限制BLACK-SCHOLES模型具有广泛的应用领域，主要包括以下几个方面： - 市场定价：BLACK-SCHOLES模型通过考虑市场因素，对不同的期权合约进行定价，帮助投资者在期权交易中作出合理的决策。
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
金融衍生品定价模型总结归纳：金融衍生产品是金融市场中的重要组成部分。
为了正确定价和评估这些衍生品，金融衍生品定价模型被广泛应用。
以下是对几种常见的金融衍生品定价模型的总结和归纳：1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是一种用于期权定价的重要模型。
它基于市场中的假设，包括无风险利率恒定、认购和认沽期权市场合理定价、标的资产价格遵循几何布朗运动等。
该模型可以解决欧式期权的定价问题，为投资者提供了参考。
2. Vasicek模型Vasicek模型是用于利率期限结构建模的一种模型。
该模型假设利率是随机变动的，但随着时间的推移趋于均值回归。
它可以用来估计债券的价格、利率期限结构和利率敏感性等。
3. Cox-Ingersoll-Ross模型Cox-Ingersoll-Ross模型是另一种利率期限结构建模的模型。
与Vasicek模型类似，它也假设利率是随机变动的，并且时间趋于均值回归。
然而，Cox-Ingersoll-Ross模型相对于Vasicek模型更适用于描述利率变动的波动。
4. Black-Derman-Toy模型Black-Derman-Toy模型主要用于定价利率衍生品，如利率互换和利率期权。
该模型结合了随机利率和随机波动率，可以更准确地测量和定价利率的变动和风险。
这些金融衍生品定价模型在金融市场中起着重要作用，帮助投资者和决策者进行合理定价和误差控制。
然而，使用这些模型时需要谨慎，因为它们是基于某些假设和限制条件构建的，实际市场情况可能与模型假设有所不同。
总结：选择合适的金融衍生品定价模型是金融从业者的重要任务之一。
不同类型的衍生品需要使用不同的模型来定价。
了解和掌握这些模型的原理和应用，有助于更准确地评估和定价金融衍生品。
金融工程中的衍生品定价模型资料衍生品是金融市场中重要的金融工具，它们的价值来源于基础资产或指标的变化。
衍生品定价是金融工程中的一项核心任务，其准确性和有效性对于金融市场的稳定与健康发展至关重要。
在金融工程的研究与实践中，涌现出了许多衍生品定价模型，本文将介绍其中几种常见的模型及其资料。
一、调整后的黑-斯科尔定价模型（Black-Scholes-Merton Model）调整后的黑-斯科尔定价模型是对原始黑-斯科尔定价模型的改进和扩展。
它考虑了市场不完全性和风险溢价等因素，提高了模型的适用性。
在使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间以及期权行权价。
二、卡里-鲁宾斯坦定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）卡里-鲁宾斯坦定价模型是一种在二叉树框架下进行衍生品定价的模型。
该模型将时间划分为离散的步长，通过构建二叉树推导出衍生品的定价公式。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、时间步长、期权到期时间以及期权行权价。
三、韦春华公式模型（Weng's Formula）韦春华公式模型是近年来提出的一种衍生品定价方法。
该模型适用于凸概率风险中性测度下的金融市场，可以快速、准确地计算欧式期权的理论价格。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及风险溢价。
四、蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation Method）蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的衍生品定价方法。
通过生成大量的随机数路径，模拟标的资产价格的变化，并计算衍生品的预期收益。
使用该方法进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及模拟路径的数量。
五、隐含波动率曲面在很多衍生品定价模型中，隐含波动率扮演着重要的角色。
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
理解Black-Scholes-Merton模型Black-Scholes-Merton模型是衍⽣品定价中⼀个⾮常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。
理解它对于理解量化⾦融⾮常重要。
这⾥仅介绍⼀种简单理解，因此本⽂中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。
⼀、⾦融基础：期货（Futures）⾸先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.远期协议是⼀个买卖双⽅在未来以某价格交易某种资产的⼀个协议，⽽期货是⼀种标准化的远期协议，更容易来交易。
所以我们可以看到期货的⼏个要素：⼀个标的资产，⼀个价格，买卖双⽅，交割⽇。
当然，因为⼀般我们要⽤保证⾦来保证协议在未来能够被履⾏，所以还有⼀个要素是保证⾦。
例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，⽐如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照⽇均成交额和⽇均总市值进⾏综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12⽉31⽇这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的⼀种股票价格指数）。
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
这对于节省计算量、比较静态分析定价问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
金融衍生品价格定价模型研究金融衍生品是指那些其价值来源于某种基础资产的金融工具，如期货、期权、掉期等。
它们的价值与基础资产的价格密切相关，因此准确的价格定价模型对金融市场的参与者至关重要。
本文将探讨金融衍生品价格定价模型的研究，重点关注两种常用的模型：Black-Scholes模型和BINOMIAL模型。
Black-Scholes模型是金融衍生品定价中最为经典的模型之一。
它最初由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出，后期又得到了Robert C. Merton的完善。
该模型基于一些假设，包括市场效率性、无套利机会等，通过建立偏微分方程来推导期权的定价公式。
Black-Scholes模型的假设和推导过程相对简单，适用于欧式期权的定价。
然而，该模型的假设并不总是成立，市场中存在的实际情况与模型假设的差异可能导致定价误差。
BINOMIAL模型是另一种经典的金融衍生品定价模型。
它由Cox、Ross和Rubinstein于1979年提出，通过建立二项式树模型来近似金融资产的价格变动。
该模型的思想是将时间划分成许多小段，通过迭代计算每个时间段的价格变动，最终得到期权的定价。
相较于Black-Scholes模型，BINOMIAL模型更加灵活，可以处理更多复杂的金融衍生品，如美式期权等。
然而，该模型的计算量较大，需要较长的计算时间，且在划分时间段较多时可能出现计算不稳定的问题。
除了上述的两种模型，近年来还出现了许多基于数值方法和随机过程的定价模型。
例如蒙特卡洛模拟方法和风险中立估值方法等。
蒙特卡洛模拟方法通过产生大量的随机路径模拟未来资产价格，从而计算期权的预期收益。
风险中立估值方法假设市场参与者对风险的态度是中立的，通过构造一种等价无风险投资组合来推导期权的定价公式。
这些方法在解决特定问题和处理特定类型金融衍生品时具有一定的优势。
在实际应用中，金融衍生品的价格定价模型需要综合考虑市场的实际情况和不确定性因素。
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
并对所需的参数进行估计。
最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。
1．连续时间随机过程我们先介绍Markov 过程。
定义：一个随机过程{}0³t t X 称为Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即[][]t s t s X X E X E =Y（1）这里，t s ³，t Y 表示直到时间t 的信息。
我们通常假设股票的价格过程服从Markov 过程。
假设IBM 公司股票的现在的价格是100元。
如果股票价格服从Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。
唯一相关的信息是股票当前的价格100元。
由于我们对将来价格的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。
股票价格的Markov 性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨道。
股票价格的Markov 性质与市场的弱形式的有效性有关。
这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。
考虑一个随机过程的变量t X 。
假设它现在的值为10，在任何时间区间t D 内它的值的变化量，t t t X X -D +，服从正态分布()t N D ,0，且不相交时间区间变化量是独立的。
在任何两年内它的值的变化量为t t X X -+2，满足t t X X -+2=12++-t t X X +t t X X -+1由假设，12++-t t X X 与t t X X -+1独立，且12++-t t X X 服从()1,0N ，t t X X -+1服从()1,0N 。
两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均值的和，方差为各个方差的和。
所以t t X X -+2服从正态分布()2,0N 在任何半年内，t t X X -+5.0服从正态分布()5.0,0N不确定性与时间的平方根成比例。
上面假设的过程称为布朗运动 (Brownian motion)，也称为Wiener process 。
这是一种特殊的Markov 随机过程，在每年的变化量的均值为0，方差为1。
定义：一个(标准的、 1-维) 布朗运动是一个连续的适应过程z ={t z ,t Y ; 0 t < } ，其值域为R 且满足如下性质： （1） 00=z a.s .（2） 对任意的 0 s<t , 增量s t z z - 独立于s Y ，且服从以0为均值，以(t-s )为方差的正态分布。
有时，我们将用到区间[0,T ]上的布朗运动z ={t z ,t Y ; 0 t T } ，这里 T >0, 这个概念可以类似地定义。
性质： 1）一个标准布朗运动既是 Markov 过程又是鞅。
2）在任何小时间区间t D 内的变化量为t z D =D e这里e 是标准正态分布。
3）任何两个小时间区间的变化量是独立的。
考虑变量在时间T 内的值的增加量0z z T -。
可以把它视为z 在N 个小时间区间t D 的增量的和，这里tTN D =因此å=D =-Ni i T t z z 10e（2）这里i e 是独立的标准正态分布。
[]00=-z z E T[]T t N z z T =D =-0var例子：推广的Wiener 过程bdz adt dx +=（3）这里b a ,视常数。
为了理解（3），分别考虑它右边的两部分（1）adt 说明x 在单位时间的期望漂移率为aadt dx =或者 at x x +=0 这里0x 是x 在时间0的值。
（2）bdz 是加在x 轨道上的噪声或者扰动。
在一个小时间区间t D ，x 的变化量x D 为t b t a x D +D =D e因此x D 服从正态分布[]t a x E D =D()t b x D =D 2var 在一个时间区间T ，x 的变化量0x x T -为正态分布 []aT x x E T =-0[]T b x x T 20var =-所以推广的Wiener 过程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 为a ，方差率(variance per unit of time)为2b 。
Ito 过程dz t x b dt t x a dx ),(),(+=（4）在一个小时间区间t D ，x 的变化量x D 为t t x b t t x a x D +D =D e ),(),(所以Ito 过程在一个小时间区间t D 的期望漂移率为),(t x a ，方差率为2),(t x b 。
Ito 引理2. 股票的价格过程我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。
我们可以假设股票的价格过程服从推广的Wiener 过程，即常的期望漂移率和常数方差率。
但是，这个过程不满足股票价格的一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立于股票价格，股票回报率在短时间内的变动也应该独立于股票的价格。
如果当股票价格是10元时，投资者要求的每年期望回报率是14%，则当股票的价格是50元时，投资者要求的每年期望回报率也是14%。
通常我们也假设在一个短时间t D 内，回报率的变动也独立于股票的价格。
如下的Ito 过程满足要求Sdz Sdt dS s m +=这里s m ,为常数。
我们称之为几何布朗运动。
这是应用最广泛的描述股票的价格过程。
s 是股票价格的波幅，m 是股票价格的期望回报率。
如果没有随机项，则t SSD =D m 在极限状态下dt SdSm = 从而T T e S S m 0=这说明，当方差率为0时，股票价格以每单位时间连续复利率m 增长。
例子：几何布朗运动的离散时间版本为t t SSD +D =D s e m The variable S D is the change in the stock price, S , in a small interval of time, t D ; and e is arandom drawing from a standardized normal distribution. The parameter, m , is the expected rate of return per unit of time from the stock and the parameter, s , is the volatility of the stock price. Both of these parameters are assumed constant. The left hand the above equation is the returnprovided by the stock in a short period of time, t D . The term t D m is the expected value of this return, and the term t D s e is the stochastic component of the return. The variance of the stochastic component (and, therefore, of the whole return) is t D 2s . This is consistent with the definition of the volatility, s , that is , s is such that t D s is the standard deviation of thereturn in a short time period, t D . 正态分布()t t N SSD D D 2,~s m参数m 和sThe process for the stock prices developed in this chapter involves two parameters m and s . The parameter, m , is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock.Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of m in any detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of m . The parameter s , the stock price volatility, is, by contrast, critically important to the determination of the value of most derivatives. Typical values of s for a stock are in the range 0.20 to 0.40. 对S ln 利用Ito 引理得到dz dt S d s s m +÷÷øöççèæ-=2ln 2这说明S ln 服从推广的Wiener 过程。
