随机变量及其函数概率分布
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第二章 随机变量及其函数的概率分布§2.1 随机变量与分布函数§2.2 离散型随机变量及其概率分布.三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。
解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(51041===-k CC k X P k所以X 的分布列为2. 一批元件的正品率为4，次品率为4，现对这批元件进行有放回的测试，设第X 次首次测到正品，试求X 的分布列。
解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k1==⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P k . 此即为X 的分布列。
3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。
解 X 的分布列为由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3 ,132 ,3221 ,611,0)(x x x x x F4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15)(===k kk X P 。
求 ).3( )3( ),31( )2( ),2521( )1(>≤≤<<X P x P X P解 ,51152151)2()1()2521( )1(=+==+==<<X P X P X P.53155154)5()4()3( )3(,52153152151)3()2()1()31( )2(=+==+==>=++==+=+==≤≤X P X P X P X P X P X P x P5. （1）设随机变量X 的分布律为0 ;,2,1 !)(>λ=λ== k k a k X P k为常数，试确定a 。
（2）设随机变量Y 只取正整数值N ，且)(N Y P =与2N 成反比，求Y 的分布律。
解 （1）因为∑∞===1,1)(k k X P 及0 ,1!1>-=∑∞=λλλe k k k，所以.11-=λe a （2）令 ;,2,1N )(2 ===N k aN Y P 类似上题可得 26π=k 。
所以Y 的分布律为 ,2,1,6)(22=π==N N N Y P6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X 的概率分布解 X =0, 1, 2, 3, i A =“汽车在第i 个路口遇到红灯.”，i =1，2，3. )()0(1A P X P ===21, )1(=X P =4121221==）（A A P )2(=X P113321==）（A A A P ，)3(=X P =81213321==）（A A A P为所求概率分布7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X 的概率分布律.,2,1 ,3611)36111()()( ,,2,1 ,3611)( ,"6" 1121=⋅-======--k A A A A P k X P X i A P i A k k k i i 的概率分布为所以点次出现第设解四、证明题，是两个常数，且都是分布函数，又和设1 ,0 ,0)()(21=+>>b a b a x F x F 试证明：.)()()(21也是分布函数x bF x aF x F +=1112220)1, 0)1 0))1;0)1,0)F x aF x a aF x bF x a b F x bF x b ≤≤≤≤⎧⇒≤+≤+=⎨≤≤≤≤⎩（（解（）因为（（（（ []111212212211121221221212))(2) , ))()))))(),(). 3 lim ()lim ))lim )lim )1x x x x aF x aF x x x bF x bF x F x aF x bF x aF x bF x F x F x F x aF x bF x a F x b F x a b →+∞→+∞→+∞→+∞≤⎧∀<⎨≤⎩⇒=+≤+==+=+=+=（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（[]1212 lim ()lim ))lim )lim )000x x x x F x aF x bF x a F x b F x a b →-∞→-∞→-∞→-∞=+=+=⨯+⨯=（（（（ .)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于x F x F x F x bF x aF x bF x aF x F =+=+++=+§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<=其它 ,021 ,210 ,)(x x x x x f ；求X 的分布函数。
解 ⎰∞-=xdx x f x F )()( ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤<≤=2,121 ,12210 ,20 ,0)(22x x x x x x x x F 2. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-0,00,)1(1)(x x e x x F x ；求XX P )2( );1( )1(≥的密度函数。
解 ;2)21(1)1()()1( )1(11--=--=-+∞=≥e e F F X P ⎩⎨⎧<≥='=-0 ,00,)()( )2(xx xe x F x f x3. 设连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它 ,010 ,4)(3x x x f ；（1）求常数a ，使)()(a X P a X P <=>； （2）求常数b ，使05.0)(=>b X P 。
解 （1）因为 )()(a X P a X P <=>，所以),()(1a X P a X P <=<-故440321,214)(====<⎰a a dx x a X P a所以。
（2）因为 ,2019)(,05.0)(1,05.0)(4==≤=≤-=>b b X P b X P b X P419,0.987220b b ==≈所以即 4. 在半径为R ，球心为O 的球内任取一点P ，X 为点O 与P 的距离，求X 的分布函数及概率密度。
解 当R x ≤≤0时，设x OP =，则点P 落到以O 为球心，x 为半径的球面上时，它到O 点的距离均为x ，因此3333434)(⎪⎭⎫⎝⎛=ππ==≤R x Rx V V x X P OROP ，所以，X 的分布函数为30, 0(), 01, x x F x x R R x R<⎧⎪⎪⎛⎫=≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎩X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤='=R x x R x R x x F x f ,0 ,00 ,3)()(325. 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,–∞<x <+∞,试求 (1) 系数A 与B , (2) P (–1<x <1), (3) X 的概率密度函数.解 ,12112021)(0)( 1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+∞=-∞πππB A B A B A F F ）（+∞<<∞-+='==-+-+=--=<<-x x x F x f F F x P ,)1(1)()( )3( ,21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11( )2( 2πππ6. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它，）（ ,010 2x x x f , 以Y 表示对X 进行三次独立观察中{X ≤21}出现的次数,求概率P (Y =2). 解 p = P (X ≤21)=412210 21==⎰⎰∞-xdx dx x f ）（, 由已知 Y ~B (3, 41)所以 64943412223===）（）（C Y P7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从)100,50(N ；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从)16,60(N ，问（1）要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2）要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 .9938.0)46070()70(,9772.0)105070()70(21=-Φ=≤=-Φ=≤X P X P 所以走第二条。
（2）类似的走第一条。
§2.4 随机变量函数的分布三、计算下列各题1. 设随机变量X 的分布律如下，求12+=X Y 的分布律。
解2. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求X Z e Y X ln 2 )2( ; )1(-==的密度函数。
解 X 的密度函数为 1, 01()0, 0,1x f x x x <<⎧=⎨≤≥⎩（1）设Xe Y =，则有 ⎰∞-=≤=≤=≤=xXXY dt t fx X P x e P x Y P x F ln )()ln ()()()(。
所以 )(ln 1)(x f xx f X Y =，因此当1≤x 及e x ≥时，由0)(=x f X 知0)(=x f Y ； 当e x <<0时，由1)(=x f X 知x x f Y 1)(=，所以所求密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ex x ex x x f Y ,1 ,01 ,1)(（2）类似的可得：21, 0()20, 0xZ e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩3. 设)1,0(~N X ，求(1) ; (2) ||X Y e W X ==的密度函数。
解 （1）X 的密度函数为 )( 21)(22+∞<<-∞π=-x e x f x X ，X e Y = 的分布函数为0 ,)()ln ()()()(ln ≥=≤=≤=≤=⎰∞-y dt t fy X P y e P y Y P y F yXXY0 , 0)(<=y y F Y所以Xe Y = 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>π=-0 ,00 ,1.21)(2)(2yy ye yf i n y Y （2）|| X W =的分布函数为 )|(|)()(y X P y W P y F W ≤=≤= 0 221)(02222≥π=π=≤≤-=⎰⎰---y dt e dt ey X y P yt yyt0 , 0)(<=y y F W所以|| X W =的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥π=-0 ,00,2)(22y y e y f y W4. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧π<<π=其它 ,00 ,2)(2x xx f ；求X Y sin =的概率密度。
