债券的久期和凸性40页PPT

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二、久期、息票(xī piào)率和到期收益率
下表给出了三种(sān zhǒnɡ)不同的到期收益率和 四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券 的久期变化。
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到期期限
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
1 5 10 15 20
6％
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
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债券(zhàiquàn)久期的计算公式为：
d
1
C1 (1 k
)
2
C2 (1 k)2
3
C3 (1 k)3
... t
(Cn F (1 k)t
)
/
P
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。
现金流入包括利息(lìxī)C和赎回本金F，并且时间加权 数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再除以 债券价格P（债券估值公式中的P）。
650 508
600
550
463
500 450
400
422 386
350
322
300
295
7 8 9 10 11 12 13 利率%
图5 利率变化对债券价值影响关系图示
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如前所述，零息票债券(zhàiquàn)的久期与其期限相 同。因此图中债券(zhàiquàn)的久期与期限一样也是 10年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前 到期收益率为10％时价格变化曲线的切线。
T t(t 1)CT
cv ( 1 ) t1 (1 k )T
(
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
)
10(11)(1000) (1.10)10
55
2

债券价值评估模型
零息债券定价模型
零息债券(zero-coupon bonds)
-持有期间不支付利息，只在到期时偿付本金； -债券的发行价格和面值之间的价值，代表持有人在持有期间的收益；
PV买价
Fபைடு நூலகம்面值
零息债券估值的基本模型
PV(1F rV)n
债券价值评估模型
零息债券的价值计算
【例】假设面值为1000元、期限为2年的零息债券，如果投 资者的预期年收益率是8%，那么该债券的内在价值是多少？
( 1 y 2 ) 2 ( 1 y 1 ) ( 1 E ( r 2 ) )
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有
(1y2)2 (1y1)(1f2)，则 E(r2)f2
利率的期限结构
(1 y3)3 (1 y2 )2 (1 f3) (1 y2)2(1 E(r3))
f3 E(r3)
利率的期限结构
3. 流动性溢酬理论（the liquidity preference theory） ◆ 理论内容：
通过对债券的考察，可以看到由于通货膨胀和将来利率的不确定性，即使是无违约风险 的债券也存在风险。这些风险是理解债券收益率曲线的关键。债券持有者面临着通货膨胀和 利率的风险。债券的期限越长，这两种风险就越大。既然一些债券的持有者想要在债券到期 之前出售债券，那么就存在利率风险。这些投资者要求对于他们购买的长期债券所承担的风 险进行补偿。正如在通货膨胀的情形下，到期时间越长，风险越大，因此补偿也必须随之上 升。流动性溢价理论是预期理论与分割市场理论结合的产物。
1 r n n1 0 f1 1 1 f21 2 f3 1 n 1 fn 流动性
利率的期限结构

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久期的定义及其用途
金融工程课程
（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
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金融工程课程
二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D

时间加权现值
T
t(t 1)Ct (1 i)t
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五、 凸度
金融工程课程
例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
市场 利率％
债券的 价格
PB
修正久期 D*
近考虑久期 的价格变化
免疫的概念： 性； 在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；
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金融工程课程
零息债券显然是具有免疫的。 因为它没有息票收入的再投资。 零息债券的久期等于债券的期限。 因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键
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二、 债券组合的久期与免疫资产的组合
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
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四、 久期的数学解释
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB

20.24308 24.33865, ?
久期的局限性
凸性
• 债券的凸性是由收益率的微小变化引起的 价格-收益率曲线斜率的变化，价格-收益率 曲线的二阶导数提供了凸性的计算方法。 • 根据泰勒展开式，价格变化可以写为： P 1 2P 2 P y 2 y (3) y 2 y
P
• 当收益率上升0.005%时，价格为：
P
4 104 101.91832 0.05995 0.05995 2 (1 ) (1 ) 2 2
4 104 101.90862 0.06005 0.06005 2 (1 ) (1 ) 2 2
• 因此如果面值为1百万美元，则其PVBP为：
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。 • 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期的局限性
P • 根据修正久期的公式： MD y P
• 当收益率增加200个基点时：
P 200 12.12 24.24% P 10000
• 因此价格的实际变化为：
P 100.40695 24.24% 24.33865
久期的局限性
• 当然，我们也可以利用价格——收益率曲线 计算新的收益率7.216%+200个基点下的债 券价格为80.16387，因此其价格的实际变化 为： • 100.40695-80.16387=20.24308
久期（Duration）
• 久期是另外一个较常用的测量风险的工具 • 久期克服了需要重复计算价格的缺陷 • 债券价格公式：