第十四章 债券投资组合管理-久期和凸性

四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。

几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。

1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。

当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。

久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。

麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。

其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。

上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。

它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。

每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。

如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。

麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。

将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。

括号中的项是麦考莱久期公式的分子。

因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。

注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。

实际上，久期的负号常常被忽略。

3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。

债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。

由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。

债券久期、免疫方法与凸性一、久期及其计算多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。

例如，30年期固定利率债券比1年期债券更具有利率敏感性。

但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。

通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。

它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。

有效持续期用公式表示则为：P y tC D nt t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。

价格为95.2，当前利率为12%。

求其持续期。

持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。

简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。

在本例中，2.728年的持续期与3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。

持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。

对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期总是短于偿还期。

持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。

二、债券价格对利率变动的敏感程度由金融工具的理论价格公式：∑=+=nt t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度：∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1)1(11 两边同时乘以pdy 得∑=+⨯+-=n t t t y tC P dy y P dp 1)1(11=P y tC y dy nt t t ∑=+⨯+-1)1(1 =ydy D +∙-1 =-D *·dy其中D *即为修正久期相应地，修正久期D *=pd d y p1⨯-，即修正久期可以看成等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。

债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。

由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。

久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。

它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。

久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。

久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。

修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。

加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。

久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。

凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。

它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。

凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。

凸性为负则相反。

凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。

久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。

首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。

当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。

其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。

当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。

此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。

投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。

例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。

同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。

综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。

久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。

通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。

第⼗四章债券投资组合管理-久期和凸性2015年证券从业资格考试内部资料2015证券投资基⾦第⼗四章债券投资组合管理知识点：久期和凸性●定义：久期的性质和凸性计算●详细描述：1.附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期⼩于其到期期限。

对于零息债券⽽⾔，麦考莱久期与到期期限相同。

在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越⼤。

对于普通债券⽽⾔，当其他因素不变时，票⾯利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越⼤(这⼀特点不适⽤于长期贴现债券)。

同时，假设其他因素不变，久期越⼤，债券的价格波动性就越⼤。

具有相同麦考莱久期的债券，其利率风险是相同的。

2.债券投资者可以选择到期期限与⽬标投资期不同的债券进⾏投资，只要麦考莱久期与⽬标投资期相同，就可以消除利率变动的风险，这被称为利息免疫。

3. ⼤多数债券价格与收益率的关系都可以⽤⼀条向下弯曲的曲线来表⽰，这条曲线的曲率就是债券的凸性。

由于存在凸性，债券价格随着利率的变化⽽变化的关系就接近于⼀条凸函数⽽不是直线函数。

4.凸性的作⽤在于可以弥补债券价格计算的误差，更准确地衡量债券价格对收益率变化的敏感程度。

凸性对于投资者是有利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性更⾼的债券进⾏投资。

尤其当预期利率波动较⼤时，较⾼的凸性有利于投资者提⾼债券投资收益。

5.凸性计算，凸性⽤cv表⽰。

零息债券凸性cv=N（N+1)/(1+Y)的平⽅。

⾮零息债券cv=（P1+P2-2P0）/P0(Δr)的平⽅6.流动性较强的债券在收益率上往往有⼀定折让，折让的幅度反映了债券流动性的价值。

例题：1.测算债券价格波动性的⽅法不包括（）。

A.基点价格值B.凸性C.价格变动收益率值D.到期收益率值正确答案：D解析：测算债券价格波动性的⽅法包括：基点价格值；价格变动收益率值；久期；凸性。

2.麦考来久期是债券每期产⽣现⾦流的时间的加权平均，其权数是每期现⾦流在债券价格中所占的⽐重。

A.正确B.错误正确答案：A解析：麦考来久期是债券每期产⽣现⾦流的时间的加权平均，其权数是每期现⾦流的现值在债券价格中所占的⽐重。

金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。

关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。

我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。

用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。

如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。

我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。

久期与凸性就是衡量债券利率风险的重要指标,就是衡量债券价格对利率的敏感程度。

久期具有双面性,在利率上升周期,要选择久期小的债券;在利率下降周期,要选择久期大的债券。

凸性具有单面性,就就是凸性越大,债券的风险越小,选择凸性较大的债券,对持有者越有利。

久期描述了价格-收益率(利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度,或者就是由于该曲线的非线性程度较大,使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大,无法以统一的数字来判断,因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。

凸性就就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就就是对债券久期(受利率影响,对利率敏感性)的再度测量。

在利率变化很小的时候,传统的久期(就是以每期现金流现值占总体现值的比)可以近似衡量债券价格与利率之间关系,但就是更为精确的衡量则就是修正久期。

久期(也称持续期,duration)就是1938年由F、R、Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标,反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。

直观地讲,就就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。

久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它就是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重就是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。

久期的计算比较麻烦,一般投资者没有必要自己去计算它。

久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金与利息支出的现金流,到期收益率。

债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大,因此,该债券所承担的利率风险也越大。

在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。

由此,投资者在预期未来降息时,可选择久期大的债券;在预期未来升息时,可选择久期小的债券。

案例:某只债券基金的久期就是5年,如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点;反之,如果利率上涨1个百分点,则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。

久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度。

久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券；在利率下降周期，要选择久期大的债券。

凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，选择凸性较大的债券,对持有者越有利。

久期描述了价格—收益率（利率）曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。

凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就是对债券久期(受利率影响，对利率敏感性)的再度测量。

在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。

久期(也称持续期，duration）是1938年由F。

R. Macaulay提出的，以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。

直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。

久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重.久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。

久期取决于债券的三大因素：到期期限,本金和利息支出的现金流,到期收益率。

债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。

在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。

由此,投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。

案例：某只债券基金的久期是5年，如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。

又如，有两只债券基金，久期分别为4年和2年，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍.久期的局限性在于运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的。