数学建模习题-人口问题

数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx d t d x（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较从表2可看出，1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是mx rs =，代入()sx r x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3） 将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图1-2 x~t 曲线现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.。

中国人口增长预测本题是一个人口发展预测的问题。

人口发展与一般种群增长一样，是由自然增长率决定的。

然而，人类个体是一种社会的个体，所以人口发展有自己的特点。

想到人口的迁移，性别比例，城镇化等。

同时，人口发展受政策的影响，例如计划生育；也要受到人们意识的影响，像生育意识等。

但是从社会层面上看，生育意识在整个社会上体现为妇女的生育模式，进而可以特别地去考虑。

思考方法：首先，数据的处理。

在经过EXCEL分析和验证后，适当修正题中的个别有误数据后，利用有效数据进行建模求解，在此过程中，我们提取出死亡率、生育率等感念，且把人的一生按年龄分为青年期、衰老期等阶段。

这是求解人口增长模型的必要过程和方法。

其次，模型建立。

和一般的预测模型一样，本模型也是个预测模型，所以考虑到用题目所给的五年的信息，来推测今后几十年的人口的总数和结构情况。

对此，我们选用差分方程模型和数据参数拟合等方法。

同时，将死亡率与出生率分开分别计算和拟合，通过五年的实际数据拟合出相应函数的参数，再利用此函数进行评估和预测。

最后，利用已有信息以及上述所求出的对应函数和方程，对中短期与长期进行估计和预测，进而得出人口结构、人口比例、人口数量等一系列的相关数据。

以下是解答过程：1.数据说明：x：表示最大的年龄；mi=1,2,3,4,5,6 其中1表示市男性，2表示市女性，3表示镇男性，4表示镇女性，5表示乡男性，6表示乡女性；A ：表示婴儿性别比例矩阵；* ：表示点乘；P(x,t)：表示t时刻年龄为x的人口数量；ibir(x,t)：表示t时刻年龄为x的出生率；i)(,i dea x t：表示t时刻年龄为x的死亡率；)(i t k：表示t时刻婴儿的死亡率；tra(x,t)：表示t时刻年龄为x的人口迁出率；i2.假设条件1. 假设国内社会环境稳定，无异常大量死亡或出生情况发生，人口比例，人口总数不会出现突变状况； 2. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁移率相同； 3. 假设不考虑国家之间的迁入与迁出，把中国内部看为一个封闭的模型； 4. 对于90岁以上的人都按照90岁处理； 5. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁出率相同，按照0.6%均匀增长。

一、粮食生产 19501950-1984 世界粮食产量的增幅超过人口增 长速度。但84年以后粮食产量增幅一直落后 长速度。但84年以后粮食产量增幅一直落后 于人口增长速度。 原因：缺少新垦土、灌溉量减少、土地生 产率的提高越来越难。
二、水资源的匮乏 国际水资源管理研究预测，到2050年， 国际水资源管理研究预测，到2050年， 约有10亿人口将面临缺水的状况。 约有10亿人口将面临缺水的状况。 三、海洋捕捞
2005年11月 世界人口状况报告》 2005年11月《世界人口状况报告》显示目 前世界总人口为64.647亿，我国占了约20% 前世界总人口为64.647亿，我国占了约20% 2050年世界人口将达77-112亿，若采取94 2050年世界人口将达77-112亿，若采取94 亿的预测值。会带来什么影响？
例题2齐次微分方程3一阶线性非线性微分方程其他模型malthusmalthus11模型假设模型假设33美国的实际人口数据美国的实际人口数据22模型建立模型建立33模型检验分析模型检验分析1人口预测人口预测22景区游客人数增长景区游客人数增长3城市人口增长城市人口增长
第六章鱼类减少
饲料
渔业养殖
四、森林覆盖率、生物多样性、能源危机等等
2、复习
1、微分方程：含有导数 或微分的方程 2、微分方程的类型：
（1）可分离变量的微分方程，形如 dy = f ( x) ⋅ g ( y ) dx
（2）齐次微分方程 （3）一阶线性、非线性微分方程 其他
例题 模型
2、模型建立
3、模型分析检验
美国的实际人口数据
二、阻滞增长模型
1、 模型假设 设人口增长率r是人口数N的线性递减函数， 记为r ( N ), K 是自然资源和环境条件的最大人 口容量，r 表示人口很少时的增长率（固有增 长率）

j 1 j
j
j
j 1
j
j
j
h(T ) P(0) h(T t1 )r (t1 )t h(T t2 )r (t2 )t
＋ h(T tn )r (tn )t h(T ) P(0) h(T ti )r (ti )t.
i 1
n
当 n 无限增大时， P(T ) h(T ) P(0)
0 10
107 e1 / 4 e (10 t ) / 40 (5 104 105 t )dt
0
10 10 10 7 e 1 / 4 e 1 / 4 5 10 4 e t / 40 dt 10 5 tet / 40 dt 0 0
0
说明
4 人口统计模型（I）中两个人口密度 P(r ) 2 r 20 和 P(r ) 1.2e-0.2r 有一个共同特点 P' (r ) 0 ，即随着r
P(r ) 减少，这是符合实际的.另外，需要指 的增大， 出的是，当人口密度 P(r 选取不同的模式时，估算 ) 出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人 口密度模式对于准确地估算人口数至关重要.

T
0
h(T t )r (t )dt
（ 1）
解题过程
第五步： 4 5 t / 40 将 r (t ) 5 10 10 t, h(t ) e 及 T 10 ， P(0) 107 代入（1）式得
P(10) h(10) P(0) h(10 t )r (t )dt
P(r ) 2πr r
j 1 j j
n
所以人口数
N P(r )2πrdr
0
2
.

人口增长模型摘要本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。

首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，从而可以预测2010年的人口数为333.8668百万。

然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。

关键字：人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型问题重述：根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口 ，同时画出拟合效果的图形。

符号说明)(t x t 时刻的人口数量 0x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率m x 环境所能容纳的最大人口数量，即0)( m x r问题分析首先，我们运用Matlab软件[1]编程（见附件1），绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。

18001820184018601880190019201940196019802000图1 1800年到2000年的人口数据图从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。

所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。

于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。

模型建立模型一：二次函数模型我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(tx是时间t的二次函数，即：2()=++x t at bt c我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。

即，要求a、b和c，使得以下函数达到最小值：221(,,)()ni i i i E a b c at bt c x ==++-∑其中i x 是i t 时刻该地区的人口数，即有：2222)3.28020002000...)2.718001800(),,(-+⋅+⋅++-+⋅+⋅=c b a c b a c b a E令0,0,0E E E a b c∂∂∂===∂∂∂，可以得到三个关于a 、b 和c 的一次方程，从而可解得a 、b 和c 。

数学建模论文人口预报问题实验组员：肖育鑫, 蒋忠炳，陈昶实验组长：陈昶实验指导：许志军老师2010年4月5日一、摘要 (3)二、问题重述 (3)三、模型假设 (4)四、分析与建立模型 (5)五、模型求解 (5)六、模型检验 (7)七、模型分析讨论及推广 (10)八、参考文献 (10)九、附录 (10)人口预报问题一、摘要人口是人类最为关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预测，在现实社会有很大的作用，是帮住有效地控制人口增长的前提。

对于人口问题，我们可通过建立指数增长模型(马尔萨斯人口模型)和阻滞增长模型（logistic模型）分别对人口进行预算，据经验，建立logistic模型求解预测更加精确。

建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测对未来的一段时期的人口结构作出总结性的结论，同时对两个模型作出一个总体的评价。

关键字指数增长阻滞增长模型人口模型二、问题重述表1-1 江苏省人口统计数据上表给出了江苏省1981年到2001年共21的人口数据，以1981 作为起始年，建立：（1）建立江苏省人口的指数增长模型(马尔萨斯人口模型)，并 利用该模型进行人口预测，与上表的实际人口数据进行比较，并 计算其误差大小。

（2）建立江苏省人口的阻增长模型（logistic 模型），并利用 该模型进行人口预测，与上表的实际人口数据进行比较，并计算 其误差大小。

三、模型假设（1）对于问题一：①假设人口增长率r 是常数（或单位时间内人口增长量与当时人口呈正比）；②假设人口平稳增长，无大型自然灾害、战争等因素影响； ③假设时刻t 的人口函数是连续可导的；④其中我们假设t 表示年份，r 表示人口增长率，x 表示人口数量。

（2）对于问题二：①假设人口增长率r 为人口x(t)的函数r(x)(减函数)，最简单地可假设(),,0r x r sx r s =->(线性函数)，r 叫做固有增长率； ②自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为m x ； ③假设在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比；④其中我们假设t 表示年份,r 表示人口增产率，x 表示人口数量。

“公平”分配方法
人数 席位 A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
另一种确定参数的方法——测试分析
2
将模型改记作 t an bn ,
只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据： 用最小二乘法可得
存贮模型
生猪的出售时机 森林救火
3.4
最优价格
3.5 血管分支
3.6 消费者均衡
3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题
• 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是 根据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
问题
3.1
x(t ) x0 e

数学建模报告——浙江省人口增长预测模型的建立与分析问题综述:为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。

我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。

人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。

一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。

所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。

浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。

近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。

从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发, 建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

解：假设：不考虑特别年份的特殊性,例如特大自然灾害等对人口增长的影响；在研究 Logistic生物模型,假设其研究对象p(t) {p(t)表示在t时刻种群的大小}是连续的；不考虑男女出生比例对人口增长的影响。

模型建立：1.短期人口预测影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。

人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。

1.下表是近两个世纪美国人口的统计数据。

试根据此数据建立一个人口增长模型，并利用所得模型预测2010年美国的人口（单位为百万）。

年1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940人口23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 75.995 91.972 105.711 123.203 131.699年1950 1960 1970 1980 1990 2000人口150.697 179.329 203.212 226.505 249.633 281.422解：建立一次线性拟合程序：year=[1850:10:2000]num=[23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 75.995 91.972 105.711 123.203 131.699 150.697 179.329 203.212 226.505 249.633 281.422]p1=polyfit(year,num,1)num2010=polyval(p1,2010)运行结果：year =Columns 1 through 61850 1860 1870 1880 1890 1900Columns 7 through 121910 1920 1930 1940 1950 1960Columns 13 through 161970 1980 1990 2000num =Columns 1 through 723.2000 31.4000 38.6000 50.2000 62.9000 75.995091.9720Columns 8 through 14105.7110 123.2030 131.6990 150.6970 179.3290 203.2120 226.5050Columns 15 through 16249.6330 281.4220p1 =1.0e+003 *0.0017 -3.1231num2010 =270.1000建立二次线性拟合程序：year=[1850:10:2000]num=[23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 75.995 91.972 105.711 123.203 131.699 150.697 179.329 203.212 226.505 249.633 281.422]p1=polyfit(year,num,2)num2010=polyval(p1,2010)运行结果：year =Columns 1 through 71850 1860 1870 1880 1890 1900 1910Columns 8 through 141920 1930 1940 1950 1960 1970 1980Columns 15 through 161990 2000num =Columns 1 through 923.2000 31.4000 38.6000 50.2000 62.9000 75.9950 91.9720 105.7110 123.2030Columns 10 through 16131.6990 150.6970 179.3290 203.2120 226.5050 249.6330 281.4220p1 =1.0e+004 *0.0000 -0.0026 2.3192num2010 =306.3376由以上结果可知：二次线性拟合更加符合实际。

答疑解惑239以人口预测为例初试数学建模★纪秀浩本文研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，然后建立leslie 模型，将用灰色预测模型算出来的数据代入leslie 模型中，得到leslie 矩阵，进而预测出未来30年我国的人口数；通过搜集中国统计局各个年龄段的结构比例以及老年人口占全部人口的比重，预测未来30年老龄化程度。

本课题是研究单独二胎和全面二胎对未来人口的影响，所以我们要用到最新的数据并对未来30年做一个预测，由于需要的数据很少，所以我们必须用已有的数据做一些预测，本次预测方法采用灰色模型矩阵来进行预测，灰色模型它的优点就在于根据已有的少量数据，对事物的发展规律做一个模糊性的描述，来预测后边未知的数据，当然在此之前我们还要把之前的数据进行一些累加，以弱化原始数据的影响，而且大大的减少了原始数据的随机性，从而呈现出比较明显的变化规律。

得到了一个初步的数据后，我们可以用Leslie 模型在MATLAB 的基础上编程求解，在图中呈现不开放二胎和单独二胎政策和全面二胎政策的一些发展趋势，并定量的分析两种政策下对未来国家总人口及老龄化的影响。

一、灰色GM（1，1）模型为了研究“二孩”政策对我国人口发展的影响问题，对于预测未来30年人口数的问题，通过搜集统计局近5年的数据人口[1]，分别对“单独二孩”和“全部二孩”政策首先建立灰色预测模型，将近5年的人口数据做累加合成，得到近似指数规律的数据，将已知的2006年至2010年出生人口性别比数据作为已知数据向量0x ，(0)125{(0),(0),,(0)}x x x x = ，先对五年的数据进行一次累加。

以减少对后边数据的影响，并得到新的向量表达式：1(1)(0) (1,2,,30),kk jj x xk ===∑ 令x为生成的新向量，(1)1230{(1),(1),,(1)}x x x x = ，在新向量x 的基础上建立灰色方程为(t)(1)dx cx v d t+= （1）式（1）为灰色一阶微分方程，一般记做(1,1)G M，其中,c v为未知参数。

中国人口增长预测摘要：本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,Malthus微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了[1]L eslie人口模型,微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式. 建立Leslie模型来预测未来中国大陆人口增长模型。

根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。

于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。

最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。

但对于长期的预测准确度有所下降。

通过对第一个模型—Leslie人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测人口数量在各个年龄段的分布。

再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道Leslie人口模型增长只能用来预测中短期的人口发展规律（对与中国的实际国情而言）。

于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。

这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。

随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色.一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长预测模型摘要：在中国的人口增长预测问题中，老龄化进程加速，出生人口性别比的变化，乡村人口城镇化，是影响人口预测的主要因素。

在中短期预测的过程中，由于影响人口的各项主要因素变化范围较小，可以直接根据我们建立的模型进行预测。

老年人的死亡率变化较大，出生的男女百分比得到遏制并逐渐趋于正常的水平。

我们将根据年龄将人口分成两部分，0到60岁的人口的预测，和60岁以后人口的预测。

通过原来的模型对0岁到60岁的中国妇女的人口数预测，进而通过中国男女比例变化与年份的关系来预测出相应的0岁到60岁中国男性数目的总和，得到了中国0到60岁人口总和的预测，根据附件一中的资料预测出相应年份的60岁以上的人口数目总和，这样我们就合理的得到了长期人口数目的预测。

通过预测我们得到：在 2010年人口达到13.8亿人，城镇化率达到46.7% 在2020年人口总数变为：14.7亿人，城镇化率达到53.26% ，2035年人数达到高峰，城镇化率达到56.53％，以后各年直到2050年保持基本稳定的状态。

跨学科合作：加强数学建模与其他学科 的合作，如生物学、经济学等，共同研 究人口增长问题，推动相关领域的发展。
数学建模在人口增长问题中的应用：通过建立数学模型，对人口增长进行预测和模拟， 为政策制定提供科学依据。
未来发展方向：随着大数据和人工智能技术的不断发展，数学建模将更加精准地预 测人口增长趋势，为可持续发展提供有力支持。
定义变量：人口数量、出生率、死 亡率等
求解模型：通过数学方法求解模型， 得到未来人口数量
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建立模型：根据人口增长规律和影 响因素，建立数学模型
应用模型：将模型应用于实际人口 数据，预测未来人口趋势
模型假设：对人口增长进行合理假设，简化问题 模型建立：根据假设建立数学模型，描述人口增长规律 模型求解：采用适当的数学方法求解模型，得出人口增长预测结果 模型验证：通过实际数据与预测结果进行对比，检验模型的准确性和可靠性
模型验证与评估：验证所建模型的准确性和可靠性，以及在实际应用中的效果和价值
预测未来人口趋势，为政策制定提供科学依据 优化资源配置，提高人口管理和服务水平 揭示人口发展规律，促进人口与经济社会协调发展 创新人口研究方法，推动人口科学的发展
挑战：数据获取与处理
机遇：预测未来人口增长趋势
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和可靠性
拓展研究领域， 探究人口增长与 其他领域（如气 候变化、资源利 用等）之间的联
系和影响
汇报人：XX
通过数学建模， 我们可以评估不 同的人口政策对 人口增长的影响，增长的规律和趋 势，为经济和社 会发展提供参考。
深入研究不同 数学模型在人 口增长问题中 的应用和效果
探索人口增长 与社会、经济、 环境等多因素 之间的相互作

Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx==（1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即)0,0()(>>-=s r sxr x r（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当mx x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m x r s =，于是（2）式为 )1()(mx xr x r -=????????????（3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm ???? ??? ???（4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2;a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5 得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。

1．（工资问题）现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。

在装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作10天（包括给自己家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市价在60~80元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。

下表是他们协商制订出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？工种天数木工电工油漆工在木工家的工作天数 2 1 6在电工家的工作天数 4 5 1在油漆工家的工作天数 4 4 32、（合理下料问题）某工厂要制作100套专用钢架,每套钢架需要用长2.9m、2.1m和1.5m 的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4m，现考虑应如何下料，可使所用原料最省？解分析：利用7.4m长的圆钢裁成2.9m、2.1m、1.5m的圆钢共有如表所示的8种下料方案。

表5.5下料方案表方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 方案6 方案7 方案82.9 2 1 1 1 0 0 0 02.1 0 2 1 0 3 2 1 01.5 1 0 1 3 0 2 3 4合计7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0剩余料头0.1 0.3 0.9 0.0 1.1 0.2 0.8 1.43．（生产安排问题）某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。

每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：产品甲产品乙设备能力设备A 3 2 56设备B 2 1 40设备C 0 3 75利润/（元/件）1500 2500问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？4。

（生产安排问题）某公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。

甲、乙两种产品的铸件既可以外包协作，也可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。

有关情况的数据如表 5.3。

问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件由本公司铸造和由外包协作各应多少件？表5.3 有关数据甲乙丙工时限制单件铸造工时/h 5 10 7 8000单件机加工工时/h 6 4 8 12000单件装配工时/h 3 2 2 10000自产铸件成本/(元/件) 3 5 4外协铸件成本/(元/件) 5 6 —机加工成本/(元/件) 2 1 3装配成本/(元/件) 3 2 2产品销售/(元/件) 23 18 165．（生产销售问题）一奶制品加工厂用牛奶生产A1 ，A2普通的奶制品，和B1，B2两种高级奶制品，B1，B2分别是由A1 ，A2深加工得到的，已知每一桶牛奶可以在甲类设备上用12h 加工成3kg A1或者在乙类设备上用8h加工成4kg A2；深加工时，用2h小时并花1.5元加工费，可将1kg A1加工成0.8kg B1，也可将1kg A2加工成0.75kg B2。

数学模型报告2邓曌 100244105作业1 用1900年至2000年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观察结果。

年份19001910192019301940195019601970198019902000实际人口7692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4 表1模型建立：记时刻t 的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时， x(t)是一个很大的整数。

为了讨论方便，我们将x(t)视为连续、可微函数。

记初始时刻的人口为x0.基本假设 :人口(相对)增长率 r 是常数x(t)：时刻t 的人口t r t x t x t t x ∆=-∆+)()()( （1） 0)0(,x x rx dtdx == （2） rt e x t x 0)(= ，t t r r x e x t x )1()()(00+≈= （3）rt e x t x 0)(=的参数r 和x 0可以用表1的数据估计。

为了利用简单的线性最小二乘法，将（3）式取对数，可得：0ln ,ln ,x a x y a rt y ==+= （4）模型求解：以1900年至2000年的数据拟合（4）MATLAB 编程代码：>> t=1900:10:2000;x=[76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4];y=log(x);p=polyfit(t,y,1);x0=exp(p(2));r=p(1);plot(t,x,'r:o');hold on;x1=x0*exp(r*t);plot(t,x1);disp(['x0=',num2str(x0),',r=',num2str(r)]);结果得：x0=1.9618e-09,r=0.0128611900191019201930194019501960197019801990200050100150200250300图1由图1可以看出，蓝色拟合曲线表示曲线拟合的很好，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长。

人口问题一、摘要20世纪90年代以来，中国人口的老龄化进程加快。

65岁及以上老年人口从1990年的6299万增加到2000年的8811万，占总人口的比例由5.57%上升为6.96%，目前中国人口已经进入老年型。

老年人口高龄化趋势日益明显。

所谓人口老龄化，是指老年人在总人口中的相对比例上升，按国际通行的标准，60岁以上的老年人口或65以上的老年人在总人口的比例超过10%和7%，即可看作是达到了人口老龄化。

人口的老龄化问题将成为中国面临的前所未有的新挑战。

迅速发展的人口老龄化趋势，与人口生育率和出生率下降，以及死亡率下降、语气寿命提高密切相关。

政府高度重视和解决人口老龄化问题，积极发展老龄事业，把老龄事业明确纳入了经济社会发展的总体规划和可持续发展战略。

在社会经济不太发达的状态下进入人口老龄化，会影响我国的发展。

由于抚养老年人与少年人所需的社会资源不同，负担大小也不同。

社会保障支出负担重，影响到GDP，也就是国内生产总值，指在一定时期内或一个季度或者一年，一个国家或地区的经济中所生产出全部最终产品的劳务价值。

它不但可以反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力和财富。

2016年我国的GDP达7444127亿元，同比2015年增长6.7%。

解决措施①立刻完善老年社会福利保障体系，养老保险、医疗保险、等等。

②提高老人的生活质量，营造健康老龄化的环境。

③发展经济，增强经济承受能力。

④取消计划生育政策。

针对人口随时间与GDP的变化建立数学模型，解决我国人口老龄化问题，利用微分方程稳定性理论，研究我国人口老龄化问题。

最后，通过Excel拟合出散点图模型。

关键词：人口老龄化出生率死亡率国内生产总值二、问题的提出一国人口生育率的迅速下降在造成人口老龄化加速的同时，少儿抚养比例迅速下降，劳动年龄人口比例上升，在老年人口比例达到较高水平之前，将形成一个劳动力资源相对丰富、抚养负担轻、于经济发展十分有利的“黄金时期”，人口经济学家称之为“人口红利”。