考研数学一(高等数学)模拟试卷234(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷234 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有( )．

A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)

B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)

C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)

D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)

正确答案：A

解析：由f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0得＜0，从而为单调减函数，由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，应选(A)． 知识模块：高等数学

2． 设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则( )．

A．x0为f(x)的驻点

B．一x0为一f(一x)的极小值点

C．一x0为一f(x)的极小值点

D．对一切的x有f(x)≤f(x0)

正确答案：B

解析：因为y=f(一x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以一x0为f(一x)的极大值点，从而一x0为一f(一x)的极小值点，选(B)． 知识模块：高等数学

3． 设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )．

A．若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数

B．若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数

C．若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数

D．若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数

正确答案：D

解析：令f(x)=cosx一2，F(x)=sinx－2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，F(x)=x3+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫axf(t)dt，因为F(－x)=∫a－xf(t)dt∫－axf(一μ)(一dμ)=∫－axf(μ)dμ=∫－aaf(μ)dμ+∫axf(μ)dμ=∫axf(μ)dμ=F(x)，所以F(x)为偶函数，选(D)． 知识模块：高等数学

4． 在曲线y=(x一1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该

曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：过曲线y=(x一1)2上点(2，1)的法线方程为y=x+2，该法线与x轴的交点为(4，0)，则由该法线、x轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为V=π∫12(x－1)4dx+π∫24，选(D)． 知识模块：高等数学

5． 在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z一4=0平行的切线有( )．

A．只有一条

B．只有两条

C．至少有三条

D．不存在

正确答案：B

解析：T={1，一2t，3t2}，平面的法向量为n={1，2，1}，令1—4t+3t2=0,解得t=1，t=，故曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z一4=0平行的切线有两条，选(B)． 知识模块：高等数学

填空题

6． 若(cosx—b)=5，则a=_______，b=_______·

正确答案：a=1，b=－4；

解析： 知识模块：高等数学

7． 设f’(a)存在，则=__________．

正确答案：4f’(a)

解析：=4f’(a)． 知识模块：高等数学

8． 函数f(x)=xe－2x的最大值为_________．

正确答案：

解析：由f’(x)=(1—2x)e－2x=0得x=，当x＜时，f’(x)＞0；当x＞时，f’(x)＜0，则x=为f(x)的最大值点，最大值为． 知识模块：高等数学

9． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

10． 设，则过L1平行于L2的平面方程为_________．

正确答案：π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0

解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0． 知识模块：高等数学

11． 设D由y=及x轴围成，f(x，y)=xy—f(x，y)dxdy，求f(x，y)=________．

正确答案：f(x，y)=xy－

解析：令A=f(x，y)dxdy，则f(x，y)=xy—A，积分得 知识模块：高等数学

12． ∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=________．

正确答案：

解析：因为xy2dx+x2ydy=d(x2y2)，所以∫(1，1)(2，2)xy2dx+x2ydy=x2y2｜(1，1)(2，2)=． 知识模块：高等数学

13． 设函数f(x)=πx+x2(－π＜x＜π)的傅里叶级数为(ancosnx＋bnsinnx)，则b3=________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

14． 设y=y(x)满足△y=y△x+ο(△x)且y(0)=1，则y(x)=________．

正确答案：ex

解析：由△y=y△x+ο(△x)得一y=0，解得y=Ce－∫－dx=Cex，再由y(0)=1得C=1，故y(x)=ex． 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 求．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

16． 设f(x)二阶连续可导，f’’(0)=4，．

正确答案：因为=0，所以f(0)=0，f’(0)=0，又f(x)二阶连续可导且f’’(0)=4，所以f(x)=2x2+ο(x2)，所以=e2． 涉及知识点：高等数学

17． 设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．

正确答案：f(x)的定义域为(0，+∞)，=＋∞．由f’(x)=lnx+1=0，得驻点为x=为f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为．(1)当k＞时，函数f(x)在(0，+∞)内没有零点；(2)当k=时，函数f(x)在(0，+∞)内有唯一零点x=；(3)当0＜k＜时，函数f(x)在(0，+∞)内有两个零点，分别位于内． 涉及知识点：高等数学

18． 求．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

19． 设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

正确答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x—x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x—x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx—sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点，不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0． 涉及知识点：高等数学

20． μ=f(x2，xy，xy2z)，其中f连续可偏导，求．

正确答案：=2xf1’+yf2’+y2zf3’，=xf2’+2xyzf3’，=xy2f3’． 涉及知识点：高等数学

21． 求I=dxdy，其中D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0｝．

正确答案：由对称性得 涉及知识点：高等数学

22． 计算x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中∑：(x－1)2+(y一1)2＋=1(y≥1)，取外侧．

正确答案：令∑0：y=1(Dxz：(x一1)2+≤1)，取左侧，则原式=x2dydz＋y2dzdx＋z2dxdy－x2dydz＋y2dzdx＋z2dxdy＝I1－I2， 涉及知识点：高等数学

23． 判断级数的敛散性．

正确答案：因为＜1，所以级数收敛． 涉及知识点：高等数学

24． 求微分方程xy’=yln的通解．

正确答案：xy’ ，原方程化为μ+=μlnμ．变量分离得，积分得ln(lnμ一1)=lnx+lnC，即lnμ一1=Cx，或μ=eCx＋1，故原方程的通解为y=xeCx＋1． 涉及知识点：高等数学

25． 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜=｜OA｜，且L经过点，求L的方程．

正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y—y=y’(X—x)．令X=0，则Y=y—xy’，故A点的坐标为(0，y—xy’)．由｜MA｜=｜OA｜，得｜y—xy’｜=，因为曲线经过点，所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为y=(0<＜x＜3)． 涉及知识点：高等数学