辛普森求积公式的代数精度为

Simpson算法及其推广形式摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。

首先是对一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及其算法，进行误差分析，并且列举了实例。

然后，对辛普森公式进行改进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛普森公式对积分的计算更加精确。

另外，还研究了辛普森公式的推广形式。

最后，在结论的当中列举了一个例子。

关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpsonformula and the double integral simpson formula problem. First, study thealgorithm and derived of one-dimensional simpson formula andstep-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpsonformula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this ,improve the simpson formula. This improved the most important is toincre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study thesimpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example inthe conclusion.Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral.1 引言辛普森公式主要的研究数值积分（numerical integration）的。

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生姓名:学生学号:班级:学院(系):目录1.概述 (3)2.问题提出 (4)3.算法推导 (5)4.算法框图 (6)4.1复合梯形公式算法流程图 (6)4.2 复合辛普森公式算法流程图 (6)5.MATLAB源程序 (7)6.结论与展望 (8)图表目录图 4-1 复合梯形公式算法流程图 (6)图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 (7)图 6-1 MATLAB计算结果 (9)表 2-1函数计算结果表 (4)1.概述梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。

其中梯形求积公式可表示为由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。

为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。

这种方法称为复合求积法。

本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。

首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。

希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件。

并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。

同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。

2.问题提出对于函数 给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分 。

表 2-1函数计算结果表3. 算法推导3.1复合梯形公式根据梯形公式，将区间 划分为n 等份，分点 ,, ，在每个子区间上采用梯形公式，则得：记则 为复合梯形公式。

另外，复合梯形公式的余项可表示为2()()12n b a R f h f η-''=-3.2 复合辛普森公式根据辛普森公式将区间 划分为n 等份，在每个子区间 上采用辛普森公式。

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

辛普森法代数精度
辛普森法是一种常用的数值积分方法，用于解决微分方程的近似解。

它的原理是将区间[a,b]分成若干小区间，然后在每个小区间内使用多项式近似函数的值。

辛普森法的代数精度是指在解决数值积分问题时所能达到的最高精度。

通常情况下，辛普森法的代数精度为O(h^4)，其中h是小区间的长度。

这意味着，当小区间越小，辛普森法的精度就越高。

在计算时，辛普森法的代数精度通常与被积函数的连续性有关。

如果被积函数在整个区间[a,b]内都是连续的，那么辛普森法的精度就会更高。

但如果被积函数存在突变点，那么辛普森法的精度就会降低。

辛普森法的代数精度是一个重要的指标，它可以帮助我们评估辛普森法在解决数值积分问题时的精确度。

通常情况下，辛普森法的代数精度较高，因此它在解决数值积分问题时非常有效。

数值计算考题五1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分I=⎰102x e sinx dx 的近似值，要求误差不超过ε=0.5⨯10-5.解：方法一： 复合梯形求积公式复合梯形求积公式是将积分区间划分为n 个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数n →∞时，求得的面积就等于积分的精确值。

由复合梯形求积公式的余项R n T 可得满足精度要求≤ε0.5⨯10-5时区间()b a ,被分成的区间数n 的最小值为700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。

以下是编写的C 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x,f=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x=a+i*h;f=f+exp(pow(x,c))*sin(x);}t=(h/2)*(2*f+sin(1)*exp(1));printf("T=%f\n",t);}输出结果为T=0.778746.方法二：复合辛普森求积公式：复合辛普森求积法是将积分区间分割之后，在每个小区间[x i ,x i+1]上运用辛普森求积公式。

以下是编写的c 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x1,x2,f1=0.0,f2=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x1=a+i*h;x2=a+(i+0.5)*h;f1=f1+exp(pow(x1,c))*sin(x1);f2=f2+exp(pow(x2,c))*sin(x2); }t=(h/6)*(2*f1+sin(1)*exp(1)+4*f2); printf("T=%f\n",t);}程序输出结果为0.778745.2. 用高斯求积法求上述积分的近似值。

辛普森求积公式
辛普森求积公式是数值积分中一种常用的方法，它利用三点插值公式来计算被积函数的近似积分值。

具体而言，辛普森求积公式可以表示为：
∫a^b f(x)dx ≈ (b-a)/6 [f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]
其中，a和b是积分区间的左右端点，f(x)是被积函数在区间[a,b]内的取值。

公式中使用了三点插值法，将积分区间[a,b]分成了两个
子区间，然后在每个子区间中应用二次插值公式来计算积分值。

辛普森求积公式的精度比较高，在被积函数光滑的情况下可以达到二阶精度，比其他一些数值积分方法更为准确。

但是它的缺点是需要将积分区间等分成偶数份，所以在非等距离的区间上可能会有误差。

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数值积分的牛顿——科茨求积[摘要]：在实际生活中我们常遇到数值积分的求积问题，虽然我们也学过求数值积分的一些方法，但是由于用插值多项式)(x L n 近似表达函数f(x)时存在截断误差，即有插值余项，因此插值型求积公式也有相应的余项。

存在求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分⎰ba dx x f )(以及)('x f 在给定点上的值的数值方法，为了克服求)(x f 的原函数可能遇到的困难和便于计算，我们利用牛顿——科茨来计算。

其中还推导它的两种特殊形式——梯形求积公式和辛普森求积公式，并对这三种求积公式（梯形公式、辛普森公式和柯茨公式）进行了分析和比较。

现在要对数值积分进行求积需要运用matlab 对梯形求积公式、辛普森求积公式和牛顿—柯茨公式进行编程实现，程序简洁、直观、求解速度快并且方法实用性强。

[关键字]：插值积分、梯形求积公式、辛普森求积公式、牛顿——科茨公式1、 梯形求积公式梯形求积公式即使当n=1时，过a,b 两点，做直线：)()()(1a f ba b x b f a b a x x L --+--=用)(1x L 代替)(x f ，得 )1())()((2)()()()(1 b f a f a b dx a f ba b x b f a b a x dx x L dx x f b a ba b a+-=--+--=≈⎰⎰⎰ 用梯形面积近似替代曲面梯形的面积，所以（1）式叫做梯形求积公式。

2、 辛普森求积公式辛普森求积公式即是当n=2时，把区间2等分即是过a 、b 和2b a +三点，做抛物线：)()(2)(2)2(22))(()()(2)(2)(2b f a b b a b a x b a x b a f b b a a b a b x a x a f b a b a a b x b a x x L -⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 用)(2x L 代替)(x f ，则可求得)2())()2(4)((6)()(2 b f b a f a f a b dx x L dx x f ba b a +++-=≈⎰⎰ 式（2）就叫做辛普森（Simpson ）公式。