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几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值求积公式数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。
由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。
数值求积公式还有一个别名——数值积分。
相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。
只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。
本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。
一、基础概念1. 定义数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。
如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。
2. 积分区间能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。
所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。
3. 数值积分的目的数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。
虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。
4. 数值积分的特点数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。
和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。
另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。
二、计算方法数值求积公式的计算方法主要有以下几种。
1. 复合梯形公式所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
第七章 数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a-=⎰来求得定积分。
然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。
7.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ba n dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T ba ba +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a , 2ba c +=，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=，则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S baλλλ++===⎰，)(61))(())((0a b dx b a c a b x c x ba-=----=⎰λ，)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ，)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=⎰λ。
