5. 圆的极坐标方程(教师版)

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第三节 圆的极坐标方程（第1课时）学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解学习重点：圆的极坐标方程的求法学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用学习过程：一、复习引入问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？二、新知探究1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

三、例题展示类型一：圆心在极点的圆例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆例3：求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？变式训练：求下列圆的极坐标方程（1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；（2） 圆心为2π（，），半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2A π处并且过极点的圆的方程。

类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。

三简单曲线的极坐标方程第1课时圆的极坐标方程学习目标 1.了解极坐标方程的意义.2.掌握圆的极坐标方程.3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．知识点一曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；③将列出的关系式整理、化简；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．知识点二圆的极坐标方程思考1在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案不一定．思考2圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？答案ρ＝2.梳理圆的极坐标方程类型一求圆的极坐标方程例1求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐标为(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC cos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．引申探究若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程．解设P(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，即ρ2＝6ρcos θ－5.当O ，P ，C 共线时此方程也成立． 反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤 (1)设圆上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)．(2)在极点、圆心与M 构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f (ρ，θ)＝0并化简．(3)验证极点、圆心与M 三点共线时，点M (ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程．跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C 的圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为r ＝3.求圆C 的极坐标方程． 解 设M (ρ，θ)为圆C 上任一点，易知极点O 在圆C 上，设OM 的中点为N ， ∴△OCM 为等腰三角形， 则|ON |＝|OC |cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴|OM |＝2×3cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 则ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6即为圆C 的极坐标方程． 类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程 例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)x 2＋y 2＝1； (2)x 2＋y 2－4x ＋4＝0； (3)x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.解 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程化简，(1)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1. (2)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0， ∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.(3)∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0. ∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0， ∴ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0. 反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值． 跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin 2θ＝4cos θ. (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2x －1＝0， 得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程 例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4； (3)ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22；(4)ρ＝12－cos θ. 解 (1)∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1， ∴化为直角坐标方程为x 2－y 2＝1.(2)∵ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(3)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θ·cos π4－sin θ·sin π4＝22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴x －y －1＝0. (4)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1，∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形． 跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2－2x ＝0；(2)ρ＝cos θ－2sin θ；(3)ρ2＝cos 2θ. 解 (1)∵x 2＋y 2－2x ＝0， ∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)∵ρ2＝cos 2θ，∴ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2. ∴(x 2＋y 2)2＝x 2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用例4 若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A ，B ，求|AB |的值． 解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0，得ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 ． 答案 (1,1)1．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．3 B. 2 C ．1 D.22答案 D2．将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1答案 C3．在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π) B.⎝⎛⎭⎫2，π2 C.⎝⎛⎭⎫1，π2 D ．(1,0)答案 C解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 4．4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 4ρsin 2θ2＝5⇒4ρ1－cos θ2＝5⇒2ρ＝2ρcos θ＋5.∵ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，代入上式得2x 2＋y 2＝2x ＋5，两边平方并整理，得y 2＝5x ＋254，∴它表示的曲线为抛物线．5．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为C ⎝⎛⎭⎫2，π6，半径为1，求圆C 的极坐标方程．解 在圆C 上任取一点P (ρ，θ)，在△POC 中， 由余弦定理可得CP 2＝OC 2＋OP 2－2OC ·OP ·cos ∠POC ， 即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 化简可得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋3＝0. 当O ，P ，C 共线时，此方程也成立，故圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋3＝0.1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π或⎝⎛⎭⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M (ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．一、选择题1．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( ) A ．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆 B ．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆 C ．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D ．以点⎝⎛⎭⎫3，π2为圆心，3为半径的圆 答案 C2．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( ) A ．ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 B ．ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4 C ．ρ＝2cos(θ－1) D ．ρ＝2sin(θ－1)答案 C3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．极坐标系内，点⎝⎛⎭⎫1，π2到直线ρcos θ＝2的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B5．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，π3 B.⎝⎛⎭⎫－12，2π3 C.⎝⎛⎭⎫12，－π3 D.⎝⎛⎭⎫12，－2π3 答案 D 二、填空题6．把圆的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为 ． 答案 ρ＝4sin θ解析 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. 7．曲线C 的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为 ． 答案 x 2＋y 2－3y ＝0解析 由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ， 故x 2＋y 2＝3y ，即所求方程为x 2＋y 2－3y ＝0.8．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB |＝ .答案 2 3解析 由题意知，直线方程为x ＝3，曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4，将x ＝3代入圆的方程，得y ＝±3，则|AB |＝2 3.9．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝ . 答案22解析 曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 三、解答题10．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝23，求点Q 的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解 设Q (ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝25ρ.∵ρ0＝2cos θ0，∴25ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆．11．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，求圆C 的直角坐标方程． 解 将圆C 的极坐标方程ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6变形可得 ρ2＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ，可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝4cos θ＋2sin θ； (2)ρ2＝204cos 2θ＋5sin 2θ.解 (1)方程ρ＝4cos θ＋2sin θ两边同时乘以ρ，并把ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入， 化简可得(x －2)2＋(y －1)2＝5.(2)ρ2＝204cos 2θ＋5sin 2θ可化为4(ρcos θ)2＋5(ρsin θ)2＝20，把ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，化简可得x 25＋y 24＝1. 四、探究与拓展13．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，则圆C 的半径及圆心坐标分别为 ．答案 6，⎝⎛⎭⎫2，7π4 解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.圆心C 的直角坐标为(1，－1)，∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝－1，且C 在第四象限． ∴θ＝7π4，∴C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π4. 14．判断两圆ρ＝cos θ＋3sin θ和ρ＝2cos θ的位置关系．解 圆C 1：ρ＝cos θ＋3sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －3y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1. ∴C 1⎝⎛⎭⎫12，32，r 1＝1. 同理，圆C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标为(x －1)2＋y 2＝1，∴C 2(1,0)，r 2＝1，∴|C 1C 2|＝1，∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝2，∴两圆相交．。