分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果

复化梯形公式,复化辛普森公式,复化柯特斯公式
复化梯形公式、复化辛普森公式和复化柯特斯公式都是用来计算定积分的近似值的方法。

1. 复化梯形公式：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上用梯形面积近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些梯形面积相加，得到积分的近似值。

2. 复化辛普森公式：将积分区间分成若干个等分小区间，在每个小区间上用矩形面积近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些矩形面积相加，得到积分的近似值。

3. 复化柯特斯公式：将积分区间分成若干个等分小区间，在每个小区间上用切线段长度近似代替该小区间的曲边梯形面积，然后将这些切线段长度相加，得到积分的近似值。

这三种方法都是通过将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上用近似方法计算该小区间的曲边梯形面积，最后将这些近似值相加得到积分的近似值。

它们的精度和误差都与分区间的大小有关。

数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。

它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。

数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。

本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。

一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。

它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。

矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。

然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。

二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。

它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。

因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。

三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。

定积分的近似计算方法定积分是微积分中的重要概念，它代表了曲线与坐标轴之间的有限面积。

在实际问题中，有时候我们需要计算一些函数在一定范围内的定积分，以获得其中一种物理量或求解其中一种问题的解析解。

然而，有些函数的原函数较复杂甚至难以找到，这时候我们就需要使用定积分的近似计算方法。

下面将介绍几种常用的定积分近似计算方法：1.矩形法：矩形法是最简单的一种近似计算方法。

它的思想是将积分区间等分成若干个小区间，然后在每个小区间上选择一个代表点，通过函数在这些代表点处的函数值与小区间长度的乘积来近似计算定积分。

具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ))其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为代表点。

当n越大时，近似结果越接近真实结果。

2.梯形法：梯形法是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算定积分。

具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₁) + f(x₂))/2 + Δx * (f(x₂) +f(x₃))/2 + ... + Δx * (f(xₙ-1) + f(xₙ))/2其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₁、x₂等为小区间的端点。

3.辛普森法：辛普森法是一种比矩形法和梯形法更精确的近似计算方法。

它的思想是将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造一个二次多项式，通过计算这些二次多项式的面积来近似计算定积分。

具体计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ Δx * (f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂))/3 + Δx *(f(x₂)+4f(x₃)+f(x₄))/3 + ... + Δx * (f(xₙ-2)+4f(xₙ-1)+f(xₙ))/3其中，Δx=(b-a)/n，n为小区间个数，x₀、x₁、x₂等为小区间的端点。

4.蒙特卡洛法：蒙特卡洛法是通过随机抽取点的方法来近似计算定积分。

陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。

一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。

2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。

3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。

因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。

二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。

2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。

三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。

C语言__用六种方法求定积分C语言是一种广泛应用于科学计算、算法设计和系统编程的程序设计语言。

虽然C语言本身并没有提供内置的定积分计算函数，但可以通过使用不同的方法来近似计算定积分。

以下将介绍六种常见的数值积分方法：矩形法、梯形法、辛普森法、龙贝格法、高斯-勒让德法和自适应辛普森法。

1. 矩形法（Reimann Sum）：将积分区间等分成若干小区间，然后在每个小区间取一个函数值，最后将所有函数值相加，并乘以区间大小。

这相当于将每个小区间上的曲线近似为一个矩形。

2. 梯形法（Trapezoidal Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用梯形面积公式进行近似计算。

梯形的上底和下底分别为相邻两个小区间的函数值，高为小区间的宽度。

3. 辛普森法（Simpson's Rule）：将积分区间分割成若干小区间，并在每个小区间使用三点拉格朗日插值多项式近似计算。

辛普森法使用二次多项式来逼近曲线，能够更好地近似曲线的曲率。

4. 龙贝格法（Romberg Method）：龙贝格法是一种逐步逼近的方法，将积分区间多次分割，并使用多种精度的梯形法进行计算。

通过不断提高梯形法的精度，最终逼近定积分的值。

5. 高斯-勒让德法（Gauss-Legendre Method）：高斯-勒让德法使用一组预先确定的节点和权重，将积分区间变换到[-1,1]上，然后使用插值多项式计算定积分的近似值。

该方法的优点是能够以很高的精度计算积分值。

6. 自适应辛普森法（Adaptive Simpson's Rule）：自适应辛普森法根据曲线的变化程度自动调整子区间的大小。

在每个小区间上计算出辛普森值，并与高斯-勒让德法值进行比较，以决定是否需要进一步细分区间。

以上这些方法都可以使用C语言中的循环、条件语句和函数来实现。

具体实现的步骤包括：将积分区间分割成若干小区间，计算每个小区间上的函数值，然后将这些函数值进行加权求和，最后乘以相应的权重或宽度，得到定积分的近似值。

Matlab第三章习题答案第三章3.5计算多项式乘法()()222254x x x x ++++>> a=[1 2 2];>> b=[1 5 4];>> c=conv(a,b)c =1 7 16 18 8poly2sym(c)ans =x^4 + 7*x^3 + 16*x^2 + 18*x + 83.6计算多项式的除法()()3231368/4x x x x ++++ >> a=[3 13 6 8];>> b=[1 4];>> [q r]=deconv(a,b)q =3 1 2r =0 0 0 0>> poly2sym(q)ans =3*x^2 + x + 23.8求多项式4324121459x x x x --++的微分和积分（1）微分：>> a=[4 -12 -14 5 9];>> b=polyder(a)b =16 -36 -28 5>> poly2sym(b)ans =16*x^3 - 36*x^2 - 28*x + 5（2）积分：polyint(a)ans =0.8000 -3.0000 -4.6667 2.5000 9.00000 >> poly2sym(ans)ans =(4*x^5)/5 - 3*x^4 - (14*x^3)/3 + (5*x^2)/2 + 9*x3.9求代数⽅程32349x x x +-+=0的解。

>> [x]=solve('x^3+3*x^2-4*x+9')x =- 7/(3*(15/2 - (108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)) - (15/2 -1/108*108^(1/2)*4703^(1/2))^(1/3) - 17/(6*(15/2 - (108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)) + (15/2 -(108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)/2 - (3^(1/2)*i*(7/(3*(15/2 -(108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)) - (15/2 - 1/108*108^(1/2)*4703^(1/2))^(1/3)))/2 - 1 7/(6*(15/2 - (108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)) + (15/2 -(108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)/2 + (3^(1/2)*i*(7/(3*(15/2 -(108^(1/2)*4703^(1/2))/108)^(1/3)) - (15/2 - 1/108*108^(1/2)*4703^(1/2))^(1/3)))/2 – 1 3.10求线性⽅程组223430x xy y x x ?++=??-+=??的解 eqn1='x^2+x*y+y=3';>> eqn2='x^2-4*x+3=0';[x,y]=solve(eqn1,eqn2)x =13y =1-3/23.11求微分⽅程64dy y x dx=+的通解。

数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。

常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。

梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。

辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。

总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。

实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。

近似求积公式在数学中，求解一个函数的积分是一项重要的任务。

但是，对于某些函数，我们可能无法找到其精确的积分，或者即使找到了，也不方便使用。

这时，我们可以使用近似求积公式来估算函数的积分值。

近似求积公式是一种数值积分方法，其基本思想是将要积分的函数在一定区间上近似为某个简单函数的和或积，然后计算这个简单函数的积分值，从而得到原函数的近似积分值。

这种方法常常用于数值计算和科学工程中。

常见的近似求积公式有梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等。

下面我们将分别介绍这些公式的原理和应用。

一、梯形公式梯形公式是最简单的近似求积公式之一，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个梯形，然后计算梯形面积得到近似积分值。

具体来说，梯形公式的计算公式为：∫a~bf(x)dx ≈ (b-a)×[f(a)+f(b)]/2其中，f(x)是要积分的函数，a和b分别是积分区间的下限和上限。

梯形公式的误差随着积分区间的缩小而减小，但随着步长的增加而增大。

因此，在实际应用中，我们需要根据所需的精度和计算资源，选择合适的步长来进行计算。

二、辛普森公式辛普森公式是一种二次近似求积公式，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个二次函数，然后计算二次函数的积分值得到近似积分值。

具体来说，辛普森公式的计算公式为：∫a~bf(x)dx ≈ (b-a)×[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6其中，f(x)是要积分的函数，a和b分别是积分区间的下限和上限。

辛普森公式的误差随着积分区间的缩小而减小，但随着步长的增加而增大。

因此，在实际应用中，我们需要根据所需的精度和计算资源，选择合适的步长来进行计算。

三、龙贝格公式龙贝格公式是一种多项式近似求积公式，其基本思想是将要积分的函数在积分区间上近似为一个多项式函数，然后计算多项式函数的积分值得到近似积分值。

具体来说，龙贝格公式的计算公式为：B(m,n) = (4^nB(m,n-1)-B(m-1,n-1))/(4^n-1)其中，m和n分别表示递归计算的次数和精度级别，B(m,n)表示第m次递归、精度为n的近似积分值。

计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。

数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。

数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。

矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。

它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。

具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。

其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。

梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。

具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。

辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。

它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。

辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。

辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。

数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。

在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。

此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。

总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。

常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。

数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。

估算定积分的方法一、引言定积分是微积分中的基本概念，它描述了函数在某个区间上的积分和。

在实际应用中，我们需要估算定积分的值。

传统的定积分计算方法包括矩形法、梯形法等，但这些方法在处理复杂函数或大区间时可能效率低下。

因此，寻找更高效、准确的估算定积分的方法具有重要意义。

本文将介绍几种常用的估算定积分的方法，并对其进行具体分析。

二、方法概述1.矩形法：将积分区间分成若干个等宽的小矩形，然后用小矩形的面积近似代替曲线下方的面积，从而得到定积分的近似值。

2.梯形法：将每个小矩形连接起来形成一个梯形，然后用梯形的面积近似代替曲线下方的面积，从而得到更精确的定积分近似值。

3.辛普森法则：将积分区间分成对称的两部分，然后在每个部分上使用梯形法进行近似计算，最后将两个部分的近似值相加，得到定积分的近似值。

4.牛顿-莱布尼茨公式：将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用矩形法进行近似计算，最后将所有小区间的近似值相加，得到定积分的近似值。

三、具体分析1.矩形法矩形法是一种简单直观的定积分估算方法。

其基本思想是将积分区间分成若干个等宽的小矩形，然后用小矩形的面积近似代替曲线下方的面积。

这种方法简单易行，但精度较低。

矩形的宽度越大，近似值的误差越大。

因此，在处理大区间或复杂函数时，矩形法的精度可能无法满足要求。

2.梯形法梯形法是在矩形法的基础上改进而来的。

与矩形法相比，梯形法更精确。

其基本思想是将每个小矩形连接起来形成一个梯形，然后用梯形的面积近似代替曲线下方的面积。

这种方法比矩形法更精确，因为梯形的面积更接近曲线下方的面积。

但当小矩形的宽度较大时，误差仍然较大。

因此，在处理大区间或复杂函数时，梯形法的精度也可能无法满足要求。

3.辛普森法则辛普森法则是基于梯形法的改进方法。

其基本思想是将积分区间分成对称的两部分，然后在每个部分上使用梯形法进行近似计算。

最后将两个部分的近似值相加，得到定积分的近似值。

与梯形法相比，辛普森法则可以在计算量增加不大的情况下提高近似值的精度。

定积分的近似计算定积分的近似计算是数学中一种常用的方法，它可以帮助我们计算具体函数在一定区间上的面积或曲线长度。

在实际应用中，定积分的近似计算有多种方法，包括矩形法、梯形法、辛普森法等。

本文将侧重介绍这些方法的原理和应用。

1. 矩形法（Reimann和法）：矩形法是定积分近似计算的最简单方法之一、其基本思想是将给定区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间内选择一个代表点，以该点处函数值与小区间长度的乘积作为该小区间的面积近似值，然后对所有小区间的面积近似值求和得到最终的近似计算结果。

具体而言，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将该区间分为n个小区间：x0=a, x1=a+h, x2=a+2h, ..., xn=a+nh=b其中h=(b-a)/n，xi为每个小区间的代表点。

此时，对于每个小区间，我们可以将其面积近似为S_i=h*f(xi)，然后对所有小区间的面积进行求和，即：S=a*h*f(x0)+a*h*f(x1)+...+a*h*f(xn-1)对于当n趋向于无穷大时，通过这一方法可以得到函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。

2.梯形法：梯形法是定积分近似计算的另一种常用方法。

与矩形法类似，梯形法也是将给定区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间内用该区间两个端点处的函数值构造出一个梯形，以该梯形的面积作为小区间面积的近似值，最终对所有小区间的面积进行求和得到近似计算结果。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将该区间分为n个小区间，并选取区间端点[a,b]分别作为梯形的上底和下底，连线得到梯形。

此时，对于每个小区间，梯形的面积可以近似表示为：S_i=(h/2)*(f(xi)+f(xi+1))其中h=(b-a)/n，xi为每个小区间的起点。

最后，对于所有小区间的面积近似值进行求和，即：S=(h/2)*[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+2f(b-h)+f(b)]对于当n趋向于无穷大时，通过这一方法也可以得到函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。

梯形公式和辛普森公式例题摘要：一、引言二、梯形公式1.定义2.推导过程3.应用举例三、辛普森公式1.定义2.推导过程3.应用举例四、总结正文：一、引言在数学中，梯形公式和辛普森公式是两个在计算梯形面积和辛普森面积时常用的公式。

它们在解决实际问题中有着广泛的应用，本文将详细介绍这两个公式的定义、推导过程及应用举例。

二、梯形公式1.定义梯形公式是计算梯形面积的一种方法，其公式为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。

其中，上底和下底分别为梯形顶部和底部的长度，高为两底之间的垂直距离。

2.推导过程梯形的面积可以看作是一个小矩形面积之和，这个小矩形的长是梯形的高，宽是梯形上底和下底之差的一半。

因此，梯形面积可以表示为：(上底+ 下底) × 高÷ 2。

3.应用举例假设一个梯形的上底长为3cm，下底长为5cm，高为4cm，我们可以使用梯形公式计算其面积：(3 + 5) × 4 ÷ 2 = 16cm。

三、辛普森公式1.定义辛普森公式是计算辛普森面积的一种方法，其公式为：(a + b) × h ÷ 2。

其中，a 和b 分别为两个平行线段的长度，h 为它们之间的垂直距离。

2.推导过程辛普森面积可以看作是一个小矩形面积之和，这个小矩形的长是两个平行线段的长度之和，宽是它们之间的垂直距离。

因此，辛普森面积可以表示为：(a + b) × h ÷ 2。

3.应用举例假设两个平行线段的长度分别为3cm 和5cm，它们之间的垂直距离为4cm，我们可以使用辛普森公式计算其面积：(3 + 5) × 4 ÷ 2 = 16cm。

四、总结梯形公式和辛普森公式都是计算几何图形面积的常用方法，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

定积分的计算方法及其在几何物理等领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、几何和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分的计算方法，并探讨其在几何物理等领域中的应用。

一、定积分的计算方法定积分是通过将函数在一个闭区间上的取值进行累加来计算的。

可以分为以下几种常见的计算方法：1. 函数图像分析法通过观察函数图像的特点，我们可以确定定积分的上下限和积分区间，并求解出函数在该区间上的定积分。

例如，对于连续函数而言，可以通过求解曲线下方的面积来计算定积分。

2. 函数积分法定积分与函数的不定积分存在紧密的联系，可以通过函数的不定积分来计算定积分。

通过积分的基本公式和求导与积分的逆关系，可以推导出定积分的计算公式。

3. 数值逼近法对于某些函数，无法通过解析的方式求得其定积分，这时可以借助于数值逼近方法来近似计算。

常用的数值逼近方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。

二、定积分在几何领域的应用1. 曲线长度计算定积分可以用来计算曲线的长度。

对于平面曲线，可以将曲线划分为无数个微小的线段，并对其长度进行累加，最终得到曲线的总长度。

2. 曲线包围的面积计算定积分可以用来计算曲线所包围的面积。

通过将曲线所在的区域分割成无数个微小的矩形或三角形，并对其面积进行累加，可以得到所求的面积。

3. 旋转体的体积计算定积分可以用来计算旋转体的体积。

当平面图形绕某条轴线旋转一周形成旋转体时，可以通过定积分计算旋转体的体积。

三、定积分在物理领域的应用1. 质量、密度和体积计算定积分可以应用在质量、密度和体积的计算中。

通过将物体分割成无数个微小的部分，并对其进行累加，可以计算出质量、密度和体积的值。

2. 能量和功的计算定积分可以用来计算能量和功。

对于一定范围内的力和位移，可以通过定积分计算功；而能量也可以通过积分的方式计算。

3. 力学问题的求解定积分在力学领域的应用非常广泛。

例如，通过对速度-时间曲线进行定积分可以计算物体的位移；通过对加速度-时间曲线进行定积分则可以计算物体的速度。

用几种不同的方法求定积分的值设计要求：用牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，辛普森公式，复化梯形公式，复化辛普森公式计算定积分。

并比较计算的结果。

一．引言微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就,在科学技术中, 积分是经常遇到的一个重要计算环节,比如求不规则图形的面积就涉及积分计算。

在一定条件下,计算函数的积分，虽然有Newton- Leibniz 公式：但在很多情况下, f (x )的原函数不易求得, 或非常复杂。

此外,在实际工程中, 函数f ( x )是用函数表形式给出而没有解析表达式, 这就更无法使用Newton- Leibniz 公式了，即使使用该公式，由于舍入误差影响，最终算得得结果也只能是近似值。

因此, 探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的, 即有必要研究定积分的数值计算方法,以解决定积分的近似计算。

数值积分的基本思想是将积分区间细分，在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，它的计算方法也有很多, 如Newton-Cotes 方法、Romberg 方法、Gauss 方法等。

其中Newton- Cotes 方法是一种利用插值多项式来构造数值积分的常用方法, 但是高阶的New ton-Cotes 方法的收敛性没有保证, 因此, 在实际计算中很少使用高阶的New ton-Cotes 公式。

Romberg 方法收敛速度快、计算精度较高, 但是计算量较大。

Gauss 方法积分精度高、数值稳定、收敛速度较快, 但是节点与系数的计算较麻烦、而且要求已知积分函数f （x ）。

那么，在实际计算中我们经常用到的是低阶的Newton-Cotes 方法，主要有梯形求积方法、辛普森求积方法以及它们的复化形式。

本文就是主要介绍用牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，辛普森公式，复化梯形公式，复化辛普森公式计算定积分的相关理论，和通过实例，利用数学软件MATLAB 编程，对个各种算法进行实现，并对计算结果进行比较评价。

[整理]定积分的近似计算实验⼆定积分的近似计算⼀、问题背景与实验⽬的利⽤⽜顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适⽤于被积函数的原函数能⽤初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的⽅法．在定积分的很多应⽤问题中，被积函数甚⾄没有解析表达式，可能只是⼀条实验记录曲线，或者是⼀组离散的采样值，这时只能应⽤近似⽅法去计算相应的定积分．本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可⽤．⼆、相关函数（命令）及简介1．sum(a)：求数组a的和．2．format long：长格式，即屏幕显⽰15位有效数字．（注：由于本实验要⽐较近似解法和精确求解间的误差，需要更⾼的精度）．3．double()：若输⼊的是字符则转化为相应的ASCII码；若输⼊的是整型数值则转化为相应的实型数值．4．quad()：抛物线法求数值积分．格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使⽤*、/、^等运算时要在其前加上⼩数点，即.*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2);5．trapz()：梯形法求数值积分．格式：trapz(x,y)其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上⾯介绍的函数fun）例：计算0sin()dx xπx=0:pi/100:pi;y=sin(x);trapz(x,y)6．dblquad()：抛物线法求⼆重数值积分．格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以⽤inline定义，也可以通过某个函数⽂件的句柄传递．例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi)顺便计算下⾯的Q2，通过计算，⽐较Q1 与Q2结果（或加上⼿⼯验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代⼊⽅法．Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi)这时必须存在⼀个函数⽂件integrnd.m：function z = integrnd(x, y)z = y*sin(x);7．fprintf （⽂件地址，格式，写⼊的变量）：把数据写⼊指定⽂件．例：x = 0:.1:1;y = [x; exp(x)];fid = fopen('exp.txt','w'); %打开⽂件fprintf(fid,'%6.2f %12.8f\n',y); %写⼊fclose(fid) %关闭⽂件8．syms 变量1 变量2 …：定义变量为符号．9．sym('表达式')：将表达式定义为符号．解释：Matlab 中的符号运算事实上是借⽤了Maple 的软件包，所以当在Matlab 中要对符号进⾏运算时，必须先把要⽤到的变量定义为符号．10．int(f,v,a,b)：求f 关于v 积分，积分区间由a 到b ．11．subs(f ，'x'，a)：将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x ，并计算出值．若简单地使⽤subs(f)，则将f 的所有符号变量⽤可能的数值代⼊，并计算出值．三、实验内容1．矩形法根据定积分的定义，每⼀个积分和都可以看作是定积分的⼀个近似值，即1()d ()nbi i a i f x x f x ?==?∑?在⼏何意义上，这是⽤⼀系列⼩矩形⾯积近似⼩曲边梯形的结果，所以把这个近似计算⽅法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有⼀定的精确度．针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，我们以 120d 1x x +?为例（取100=n ），（1）左点法：对等分区间b x i na b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑?0.78789399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784ππ-=≈（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =?，12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78289399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 0.7828939967307840.0031884ππ-=≈（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12i i i x x ?-+=， 12 01d ()1n i i i x f x x ?==?≈+∑0.78540024673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785400246730784 2.653104ππ--=≈? 如果在分割的每个⼩区间上采⽤⼀次或⼆次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到⽐矩形法效果好得多的近似计算公式．下⾯介绍的梯形法和抛物线法就是这⼀指导思想的产物．2．梯形法等分区间b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，na b x -=? 相应函数值为n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）．曲线)(x f y =上相应的点为n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1,0),,( ==）将曲线的每⼀段弧i i P P 1-⽤过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其⾯积为x y y i i ??+-21，n i ,,2,1 =．于是各个⼩梯形⾯积之和就是曲边梯形⾯积的近似值，11 11()d ()22n n b i i i i a i i y y x f x x x y y --==+?≈??=+∑∑?，即 011 ()d ()22bn n a y y b a f x x y y n --≈++++?，称此式为梯形公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 10112 0d ()122n n y y x b a y y x n --≈++++=+?0.78539399673078，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 60.785393996730784 5.305104ππ--=≈? 很显然，这个误差要⽐简单的矩形左点法和右点法的计算误差⼩得多．3．抛物线法由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏⼩；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏⼤．若每段改⽤与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<=2102 ，na b x 2-=?，对应函数值为n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==），曲线上相应点为n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1,0),,( ==）．现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =⽤通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线)(12x p x x y =++=γβα来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：20 1 ()d x x p x x =?20 2 ()d x x x x x αβγ++=?)()(2)(30220223032x x x x x x -+-+-γβα]4)(2)()()[(62022022202002γβαγβαγβα++++++++++-=x x x x x x x x x x 由于2201x x x +=，代⼊上式整理后得 20 1 ()d x x p x x ?)](4)()[(612122202002γβαγβαγβα++++++++-=x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=)4(6210y y y na b ++-= 同样也有 42 2 ()d x x p x x ?)4(6432y y y na b ++-=……222 ()d n n x n x p x x -?)4(621222n n n y y y na b ++-=-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 222 22212 11()d ()d (4)6i i n n b x i i i i a x i i b a f x x p x x y y y n ---==-≈=++∑∑?，即021******* ()d [4()2()]6b n n n a b a f x x y y y y y y y y n---≈++++++++? 这就是抛物线法公式，也称为⾟⼘⽣（Simpson ）公式．仍⽤ 120d 1x x +?的近似计算为例，取100=n ， 102132124222 0d [4()2()]16n n n x b a y y y y y y y y x n ---≈+++++++++?=0.78539816339745，理论值 12 0d 14x x π=+?，此时计算的相对误差 160.785398163397454 2.827104ππ--=≈?4. 直接应⽤Matlab 命令计算结果（1）数值计算 120d .1x x +? ⽅法1：int('1/(1+x^2)','x',0,1) (符号求积分)⽅法2：quad('1./(1+x.^2)',0,1) （抛物线法求数值积分）⽅法3：x=0:0.001:1;y=1./(1+x.^2);trapz(x,y) （梯形法求数值积分）（2）数值计算 2 12 0 1d d x x y y -+?? ⽅法1：int(int('x+y^2','y',-1,1),'x',0,2) （符号求积分）⽅法2：dblquad(inline('x+y^2'),0,2,-1,1) （抛物线法⼆重数值积分）四、⾃⼰动⼿1．实现实验内容中的例⼦，即分别采⽤矩形法、梯形法、抛物线法计算 12 0d 1x x +?，取258=n ，并⽐较三种⽅法的精确程度．2．分别⽤梯形法与抛物线法，计算 2 1d x x，取120=n ．并尝试直接使⽤函数trapz()、quad()进⾏计算求解，⽐较结果的差异．3．试计算定积分 0sin d x x x+∞?．（注意：可以运⽤trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）4．将 120d 1x x +?的近似计算结果与Matlab 中各命令的计算结果相⽐较，试猜测Matlab 中的数值积分命令最可能采⽤了哪⼀种近似计算⽅法？并找出其他例⼦⽀持你的观点．5．通过整个实验内容及练习，你能否作出⼀些理论上的⼩结，即针对什么类型的函数（具有某种单调特性或凹凸特性），⽤某种近似计算⽅法所得结果更接近于实际值？6．学习fulu2sum.m 的程序设计⽅法，尝试⽤函数 sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环．五、附录附录1：矩形法（左点法、右点法、中点法）（fulu1.m ）format longn=100;a=0;b=1;inum1=0;inum2=0;inum3=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点fxj=subs(fx,'x',xj); %左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %右点值fxij=subs(fx,'x',(xi+xj)/2); %中点值inum1=inum1+fxj*(b-a)/n;inum2=inum2+fxi*(b-a)/n;inum3=inum3+fxij*(b-a)/n;endinum1inum2inum3integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum1 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum1-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum2 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum2-integrate)/integrate))fprintf('The relative error between inum3 and real-value is about: %d\n\n',...abs((inum3-integrate)/integrate))附录2：梯形法（fulu2.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录2sum：梯形法（fulu2sum.m），利⽤求和函数，避免for 循环format long n=100;a=0;b=1;syms x fxfx=1/(1+x^2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形⾯积inum=sum(f) %加和梯形⾯积求解integrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',... abs((inum-integrate)/integrate))附录3：抛物线法（fulu3.m）format longn=100;a=0;b=1;inum=0;syms x fxfx=1/(1+x^2);for i=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点xi=a+i*(b-a)/n; %右点xk=(xi+xj)/2; %中点fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,0,1)integrate=double(integrate)fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %d\n\n',...。

第十章 定积分的应用 6 定积分的近似计算根据定积分的定义，每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值， 如⎰ba f(x )dx=i n 1i i x △)f(x ∑=(或i n1i 1-i x △)f(x ∑=). 这种用一系列小矩形面积来近似表示曲边梯形面积的方法称为矩形法.只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.一、梯形法将积分区间[a,b]作n 等分，分别依次为a=x 0<x 1<x 2<…<x n <b, △x i =na-b . 相应的被积函数记为y 0,y 1,y 2,…,y n (y i =f(x i ), i=0,1,2,…,n)， 并记曲线y=f(x)上相应的点为P 0,P 1,P 2,…,P n (P i (x i ,y i ), i=0,1,2,…,n).将曲线上每一段弧⌒P i-1P i 用弦i 1-i P P 来替代，使得每个小区间[x i-1,x i ]上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为：2y y i1-i +△x i , i=0,1,2,…,n. 于是，各小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即⎰baf(x )dx=i n1i i 1-i x △2y y ∑=+，亦即⎰b a f(x )dx=n a -b (2y 0+y 1+y 2+…+y n-1+2y n ). 此近似式称为定积分的梯形法公式.二、抛物线法将积分区间[a,b]作n 等分，分别依次为a=x 0<x 1<x 2<…<x 2n <b, △x i =2na-b . 相应的被积函数记为y 0,y 1,y 2,…,y 2n (y i =f(x i ), i=0,1,2,…,2n)， 曲线y=f(x)上相应的点为P 0,P 1,P 2,…,P 2n (P i (x i ,y i ), i=0,1,2,…,n).现把区间[x 0,x 2]上的曲线y=f(x)用通过三点P 0(x 0,y 0), P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2) 的抛物线p 1(x)= α1x 2+β1x+γ1来近似替代，便有⎰2x x f(x)dx ≈⎰20x x 1(x)p dx=⎰+2x x 1121)γ+x βx (αdx=3α1(x 23-x 03)+2β1(x 22-x 02)+γ1(x 2-x 0) =6x -x 02[(α1x 02+β1x 0+γ1)+(α1x 22+β1x 2+γ1)+α1(x 0+x 2)2+2β1(x 0+x 2)+4γ1] =6x -x 02(y 0+y 2+4y 1)=n6a-b (y 0+4y 1+y 2). 同样的，在[x 2i-2,x 2i ]上，用p i (x)= αi x 2+βi x+γi 来近似替代曲线y=f(x)， 可得⎰2i 2-2i x x f(x)dx ≈⎰2i2-2i x x i (x)p dx=n6a-b (y 2i-2+4y 2i-1+y 2i ). 按i=1,2,…,n 把这些近似式相加，得：⎰ba f(x )dx=∑⎰=n1i x x 2i2-2i f(x )dx ≈∑=++n1i 2i 1-2i 2-2i )y y 4y (n 6a -b ，即 ⎰baf(x )dx ≈n6a-b [y 0+y 2n +4(y 1+y 3+…+y 2n-1)+2(y 2+y 4+…+y 2n-2)]. 这就是抛物线法公式，也称为辛普森公式.例：分别用三种求定积分近似值的方法求⎰+12x1dx，并与准确值比较. 解：将区间[0,1]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：1)用矩形法公式计算，得：⎰+102x 1dx ≈101(y 0+y 1+…+y 9)=0.8099；或⎰+12x 1dx ≈101(y 1+y 2+…+y 10)=0.7600. 2)用梯形法公式计算，得：⎰+102x 1dx ≈101(2y 0+y 1+y 2+…+y 9+2y 10)=0.7850. 3)用抛物线法公式计算，得⎰+102x 1dx ≈n 6a-b [y 0+y 10+4(y 1+y 3+…+y 9)+2(y 2+y 4+…+y 8)]=0.7853982.4)通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：⎰+102x 1dx =arctan1=4π=0.78539816… 可见，抛物线法得到的结果最接近准确值.习题1、分别用梯形法和抛物线法近似计算⎰21xdx(将积分区间十等分). 解：将区间[1,2]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：1)用梯形法公式计算，得：⎰21x dx ≈101(2y0+y 1+y 2+…+y 9+2y 10)=0.69377.2)用抛物线法公式计算，得⎰21x dx ≈n6a-b [y 0+y 10+4(y 1+y 3+…+y 9)+2(y 2+y 4+…+y 10)]=0.693150.注：通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：⎰21xdx=ln2=0.693147…2、用抛物线法近似计算⎰π0xsinxdx(分别将积分区间二等分、四等分、六等分). 解：当n=2时，⎰π0x sinx dx ≈12π[1+4(π22+3π22)+2·π2]≈1.852211；当n=4时，⎰π0x sinx dx ≈24π[1+4(π8sin 8π+3π8sin 83π+5π8sin 85π+7π8sin 87π) +2(π22+π2+3π22)]≈1.851937； 当n=6时，⎰π0x sinx dx ≈36π[1+4(π12sin 12π+π22+5π12sin 125π+7π12sin127π +3π22+11π12sin 1211π)+2(π3+2π33+π2+4π33+5π3)]≈1.851940； 注：xsinx的原函数不是初等函数，所以不能直接通过牛顿—莱布尼茨公式求定积分.3、下图为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积. 解：河道的截面面积为： S ≈308[4(0.50+1.30+2.00+1.20+0.55)+ 2(0.85+1.65+1.7 5+0.85)]=8.64(m 2).4、下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：(1)按积分平均⎰baf(t)a -b 1dt 求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近似法分别计算；(2)若按算术平均∑=121i 1-i C 121或∑=121i i C 121求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由. 解：(1)设平均气温为T ，n=12, a=0, b=24. 矩形法：T ≈121(C 0+C 1+…+C 11)≈28.71或T ≈121(C 1+C 2+…+C 12)≈28.64. 梯形法：T ≈121(2C 0+C 1+C 2+…+C 11+2C 12)=28.675.抛物线法：T ≈361[C 0+C 12+4(C 1+C 3+…+C 11)+2(C 2+C 4+…+C 10)]≈28.67. (2)∵∑=121i 1-i C 121=121(C 0+C 1+…+C 11)；∑=121i i C 121=121(C 1+C 2+…+C 12).∴运用矩形法积分平均的两种形式分别与它们相对应，即为近似值.而梯法积分平均则以C 0和C 12的平均值代替∑=121i 1-i C 121中的C 0或∑=121i iC 121中的C 12，所以也是它们的近似值.。