第六章 二次型总结

第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数212111121213131122222232322(,,,)222222n n nn n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x=++++++++++L L L L称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n nn nn n n n n n nn nn n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax=+++++++++++++++⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=L L L L LL L L LL L L L M L因此，二次型也记AX X f T=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =；（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11TA C BC --=；（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212TA C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若()()r A r B =,问在F 上是否合同？证 若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫⎪⎝⎭，B =1101⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭，B =1200B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.证 由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，2222T B C A C =，于是令1200C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有T B C AC =，即A 与B 合同.2．3 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同. 定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00A C ⎛⎫⎪⎝⎭与00BD ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似且合同.例5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性 标准型: 二次型12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换x Cy =化为21rT T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++---L L ,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。

4.化二次型为标准型方法(1) 配方法（任何二次型都可可由此化为标准型）①如果二次型中至少含有一个平方项,不妨设110a ≠,则对所有含有1x 的项配方,经配方后所余各项中不再含有1x , 如此继续, 直至每一项都包含在各完全平方项中, 引入新变量12,,,n y y y L ,由1y C x -=, 得2221122T n n x Ax d y d y d y =+++L例：p 书131例6.4②如果二次型中不含平方项,只有混合项,不妨设120a ≠, 则可令112x y y =+, 212x y y =-,33x y =,L ,n n x y =,然后按①的方法继续做. 例：p 书131例6.5(2) 正交变换法设A 是n 阶实对称矩阵, 按以下步骤进行: ① 求出A 的全部特征值12,,,t λλλL .② 对每个i λ(1,2,,i t =L ),求出()0i E A x λ-=的一个基础解系12,,,i i is αααL ;③ 将12,,,i i is αααL 正交化,单位化,得12,,,i i is r r r L ,它是单位正交向量组,而且是的属于的i λ线性无关的特征向量.④ 以11121,,,s r r r L ,121222,,,s r r r L ,L 12,,,t i i is r r r L 列向量, 构造出正交矩阵T , T 即为所求正交变换矩阵,使1T AT -为对角矩阵. ⑤ 再利用正交变换x=Py ，二次型可化为标准型f=ƛ1y 1^2+ ƛ2y 2^2+…+ ƛn y n ^2,其中ƛi 为对角矩阵1T AT -的对角元素，也为A 的全部特征值.因为对角矩阵的位置任意性，故二次型化为标准型的答案不唯一.例4 用正交变换化二次型32312123222184444x x x x x x x x x f -+-++=为标准形.解 f 的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=442442221A A 的特征多项式为)9(442442221||2-=-----=-λλλλλλA IA 的特征值为01=λ（二重）, 92=λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-000002214424422211A E λ可得A 对应于1λ的两个线性无关特征向量为TT )1 ,1 ,4( ,)1 ,1 ,0(21-==αα显然21 ,αα已经正交.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-009905425424522282A E λ得A 对于2λ的特征向量为T)1 ,2 ,1(3-=α将321 , ,ααα T)21,21,0(1=β，T)231 ,231,234(2-=β，T)32 ,32 ,31(3-=β作正交变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡32132132231213223121312340y y y x x x则239y f =.例 5 已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=.（1）求参数a 及所用的正交变换矩阵；（2）1233232332221=+++x ax x x x 表示什么曲面？解 二次型f的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa AA 的特征多项式为303002||------=-λλλλaaA E)96)(2(22a -+--=λλλ由题设可知A 的特征值为5,2,1321===λλλ将11=λ代入0||=-A E λ, 得2,042±==-a a因0>a , 故取2=a , 这时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32230002A .对于11=λ, 解0||1=-X A E λ, 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00022220001321x x x解得对应的特征向量为T )1,1,0(1-=α.对于22=λ, 解0||2=-X A E λ, 即得对应的特征向量为T)0,0,1(2=α.对于53=λ, 解0||3=-X A E λ, 可得对应的特征向量为T )1,1,0(3=α.将321 , ,ααα单位化：T)2121,0(1111-==ααβ，T0) ,0 ,1(1222==ααβ，T)21,21,0(1333==ααβ故所用正交变换的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010T ；（2）当1=f 时,151211222=++z y x 是椭球面.例6 设二次型313221232221222x x x bx x ax x x x f +++++=经正交变换PY X =化成23222y y f +=.其中, TT y y y Y x x x X ),,( ,),,(321321==, P 是三阶正交矩阵.试求常数a , b .解 二次型f 经变换PY X =前后的矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11111b b a a A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010000B故二次型f 可写为BY Y AX X f TT ==由于B AP P T =且P 为正交矩阵, 故1-=P P T 且B AP P =-1, 因此||||B E A E -=-λλ即20100011111--=---------λλλλλλbb a a 等价于λλλλλλ23)()2(32322223+-=-+--+-b a b a由此式可得0==b a 为所求的常数.注1：对于同一个二次型来说，他的标准型不唯一；注3：对二次型所有标准型当中所含有的项数是一致的，所含的正系数的个数也唯一.5. 二次型的正定性及正定矩阵(1) 如果实二次型12(,,)T n f x x x x Ax =L ，对任意一组不全为零的实数12(,,,)Tn x x x x =L ，都有12(,,)0T n f x x x x Ax =>L ，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵。