第2章 2.1.1(二)合情推理(二)

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

2.1.1 合情推理明目标、知重点1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想 →归纳、类比→提出猜想情境导学]佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．探究点一 归纳推理思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理． 思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题： (1)哥德巴赫猜想： 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11 ……1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 ……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电． 问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？ ②其结论一定正确吗？答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确．反思与感悟 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出a n ＝1n.反思与感悟 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项找出数列项的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . 解 (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31.(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N *)．例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝______；f (n )＝______(答案用含n 的代数式表示)．答案 10n (n ＋1)(n ＋2)6解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝1216n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2] ＝n (n ＋1)(n ＋2)6.反思与感悟 解本例的关键在于寻找递推关系式：f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n 项和的变化规律．跟踪训练2 在平面内观察： 凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？ 解 凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条， 凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条， ……于是猜想凸n 边形比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线．因此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4且n ∈N *)．探究点二 类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质： 猜想不等式的性质： (1)a ＝b ⇒a ＋c ＝b ＋c; (1)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；(2)a ＝b ⇒ac ＝bc; (2)a >b ⇒ac >bc ； (3)a ＝b ⇒a 2＝b 2等等. (3)a >b ⇒a 2>b 2等等．思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答 类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 思考2 猜想正确吗？ 答 不一定正确．思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征图形中的“面”对应空间图形的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形的“体积”；例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是__________________．答案 设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD 解析 类比条件： 两边AB 、AC 互相垂直侧面ABC 、ACD 、ADB 互相垂直．结论：AB 2＋AC 2＝BC2S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .反思与感悟 类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．跟踪训练3 (1)如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解 如图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.(2)已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD 2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B解析 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 呈重点、现规律]1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128 答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65. 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数， 即1 111 111.3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数， 故g (－x )＝－g (x )．4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为__________________________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面PAB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面PAB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin∠PCO ＝hPC ，cos β＝h PA ，cos γ＝h PB. ∵V P －ABC ＝16PA ·PB ·PC ＝13(12PA ·PB cos α＋12PB ·PC cos β＋12PC ·PA cos γ)·h ， ∴(cos αPC ＋cos βPA ＋cos γPB)h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.二、能力提升8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 答案 B解析 推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B.9．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是( ) A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *) B ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 18－n (n <18，n ∈N *) C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 17－n (n <17，n ∈N *) D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 18－n (n <18，n ∈N *) 答案 A解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1 ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1 ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n . 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n .相应地，等比数列{b n }中有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．10．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n； (2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a(n ∈N *)．(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0， ∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3. 同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )． 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )，令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a.同理得y N ＝－ay 0x 0－a.所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)．所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2.因为AN →＝{a ，y N }，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)． 三、探究与拓展13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.m l )2＋(nl)2＋(gl)2＝m2＋n2＋g2l2＝l2l2＝1.证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝(。

2.1.1合情推理（第2课时）类比推理学案（含答案）第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义.特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征1火星也是绕太阳公转.绕轴自转的行星；2有大气层，在一年中也有季节更替；3火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理答案类比推理梳理1类比推理的定义根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法2类比推理的思维过程大致如图3特征由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系答案区别归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗答案不一定正确梳理1合情推理的含义合情推理是根据已有的事实.正确的结论.实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的2合情推理必须有前提有结论3类比推理不能猜想类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，，，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*等差数列等比数列定义anan1dn2anan1qn2通项公式ana1n1dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列；类比上述性质，相应地若数列cnnN*是等比数列，且cn0，则有数列dn______________nN*也是等比数列答案解析数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列类比猜想若数列cnnN*是各项均为正数的等比数列，则当dnnN*时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目.位置关系.度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2中学阶段常见的类比知识点等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，，，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢1类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；2探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；3在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列2由1知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等3当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1abaabaab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kkabab所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则“mnnm”类比得到“abba”；“mntmtnt”类比得到“abcacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn||m||n|”类比得到“|ab||a||b|”以上类比得到的正确结论的序号是________答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________填序号三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为________________答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为Sabcr，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________答案S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以VS1S2S3S4r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧1类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些2这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性3这些共同相似属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.。

第二章 推理与证明课时作业34一、选择题1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近． 答案：C2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③D ．③ 解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A ，还有可能异面，对于C 还有可能异面，对于D ，还有可能异面．答案：B4．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若ΔBCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C. 答案：C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示__________________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O －xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A －BCD 的棱长为a ，可得其内切球的半径为612a ，外接球的半径为64a ，则V 1V 2＝127. 答案：1277．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是b n 的前n 项积，试得出类似结论并证明．解：类比等差数列可得等比数列对应性质：在公比为4的等比数列{b n }中，T n 表示b n 的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下：T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝，∴T 10＝b 101·445，T 20＝b 2014190，T 30＝b 3014435，T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145，T 30T 20＝b 1014245，T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100，b 1014345b 1014245＝4100， ∴T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理，y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．。

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第2课时类比推理1。

结合实例,理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.(重点、难点）2.区别归纳推理与类比推理,了解合情推理的合理性.（易混点）[基础·初探］教材整理1 类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法。

其思维过程为：错误!→错误!→错误!1。

判断正误：（1)类比推理是特殊到特殊的推理。

( )(2)类比推理的结论一定正确。

（)【答案】(1)√（2)×2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________。

【导学号:97220011】【解析】“边的中点"类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2 合情推理阅读教材P35“练习”以上部分,完成下列问题。

1。

合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2。

《合情推理》教学设计1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

2．教学重点：归纳推理及方法的总结。

3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

6．教学过程：学生探究过程：引入：皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠— “歌德巴赫猜想”。

世界近代三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。