2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2

2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理A级基础巩固一、选择题1．演绎推理是由( )A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理解析：由演绎推理的定义和特征可知C正确，故选C.答案：C 2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”结论显然是错误的，这是因为( )B．小前提错误A．大前提错误D．非以上错误C．推理形式错误解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案：A 3．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )B．对数函数A．幂函数D．余弦函数C．指数函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)，满足条件．答案：C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式解析：选项A中的推理是演绎推理，选项B中的推理是类比推理，选项C、D中的推理是归纳推理．答案：A 5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到的结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提为___________，小前提为________________．解析：用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“y＝sin x是三角函数”．答案：三角函数是周期函数y＝sin x是三角函数7．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，即a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是_______．解析：要使函数有意义，则log2x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)8．关于函数f(x)＝lg x2＋1 |x|(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lg x2＋1|x|＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x；因为在g(x)＝lg⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg 2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．答案：①③④三、解答题9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac＞0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论) 10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．求证：MN∥平面ACD(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．证明：如图，连接BM ，BN ，并延长分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ .因为三角形的重心是中线的交点，(大前提) M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，(小前提)所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点．(结论)因为三角形的重心将中线长分成1∶2的两部分，(大前提)M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，BP ，BQ 分别是△ABD 和△BCD 的中线，(小前提)所以BM MP ＝2＝BNNQ.(结论)平行线分线段成比例定理的逆定理，(大前提)BM MP ＝2＝BNNQ ，(小前提)所以MN ∥PQ .(结论)直线与平面平行的判定定理，(大前提) MN ⊄平面ACD ，PQ ⊂平面ACD ，(小前提)所以MN ∥平面ACD .(结论)B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正、负都有可能解析：易知f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增，因为a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，所以a >－b ，c >－a ，b >－c ，所以f (a )>f (－b )，f (c )>f (－a )，f (b )>f (－c )，即f (a )>－f (b )，f (c )>－f (a )，f (b )>－f (c )，所以f (a )＋f (b )>0，f (c )＋f (a )>0，f (b )＋f (c )>0，三个不等式左右两边分别相加得2[f (a )＋f (b )＋f (c )]>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.故选A.答案：A2．设a ＞0，f (x )＝ex a ＋aex是R 上的偶函数，则a 的值为____．解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫ex －1ex ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n . 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n （n ＋1）2.(3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0.所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．。

2.1.1 合情推理[A 组 学业达标]1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( ) A.r 22B.l 22 C.lr2D ．无法确定解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2. 答案：C3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支纪年法中的( )A．丁酉年B．庚午年C．乙未年D．丁未年解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.答案：B4．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( )A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.答案：D5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想a n＝3n－1.答案：A6．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此规律，第五个等式应为________．解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A ­BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A ­BCD ＝________.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R .△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比棱锥A ­BCD 各面面积和． 答案：V A ­BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. [B 组 能力提升]1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则在表中数字2 019出现在( )A．第44行第78列B．第45行第82列C．第44行第77列D．第45行第83列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936＜2 019＜2 025，∴2 019在第45行．又2 025－2 019＝6，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 019在第89－6＝83列．答案：D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C24．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC＝AC BC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC类比成V A ­CDE V B ­CDE.平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC类比成S △ACD S △BDC.故有V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC.答案：V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD S △BDC5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABC ＝V A ­BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。

其中正确的是（ ）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。

∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(n∈N*)B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N*)C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2(n∈N*)D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2(n∈N*),各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.已知不等式1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162<()A.95B.115C.116D.136,第n(n∈N*)个不等式的左边=1+122+132+…+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116.3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是(),该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.4.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2n n2+n n(n∈N*),则可归纳猜想{a n}的通项公式为()A .a n =2nB .a n =2n +1 C .a n =1nD .a n =1n +1a 1=1,a 2=2n 12+n 1=23,a 3=2n 22+n 2=432+23=24,a 4=2n 32+n 3=2×122+12=25,……由此可猜想a n =2n +1(n ∈N *).5.设f (x )=1+n1-n ,记f 1(x )=f (x ),若f n+1(x )=f (f n (x )),则f 2 016(2 016)等于( ) A .2 016 B .-12016 C .-10091008D .10081009f 1(x )=1+n1-n ,f 2(x )=-1n ,f 3(x )=n -1n +1,f 4(x )=x ,f 5(x )=1+n1-n ,f 6(x )=-1n,f 7(x )=n -1n +1,f 8(x )=x ,……可得f n (x )是以4为周期的函数,因此f 2016(x )=f 504×4(x )=f 4(x )=x ,故f 2016(2016)=2016.6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( ) A .6(66-1)6-1只 B .66只 C .63只D .62只,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B .7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为( )A.81B.121C.364D.1 093,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n 个黑色三角形内去掉小三角形的个数为a n ,则n=1时,a 1=1;n=2时,a 2=3×1+1=4;n=3时,a 3=3×4+1=13;n=4时,a 4=3×13+1=40;n=5时,a 5=3×40+1=121;n=6时,a 6=3×121+1=364.故选C .8.给出若干个数:√2+23,√3+38,√4+415,√5+524,……由此可猜测第n (n ∈N *)个数为 .,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n 个数为√n +1+n +1(n +1)2-1.n +1+n +1(n +1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18)°+cos 248°-sin(-18)°cos 48°; ⑤sin 2(-25)°+cos 255°-sin(-25)°cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算如下:sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=34.(2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证法一:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos30°cos α+sin30°sin α)2-sin α(cos30°·cos α+sin30°sin α) =sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcos α-12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34.故上式成立.证法二:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2n2+1+cos(60°-2n )2-sin α(√32cos n +12sin n )=1+12[12cos2n +√32sin2n -cos2n ]−√34sin2α-14(1-cos2α) =1-14cos2α-14+14cos2α=1-14=34.故上式成立. 10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,……试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.:第1个等式左边有1项,右边为12×1+1;第2个等式左边有2项,右边为22×2+1;第3个等式左边有3项,右边为32×3+1;第4个等式左边有4项,右边为42×4+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=n2n +1(n ∈N *).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+…+1(2n )2-1=11×3+13×5+15×7+…+1(2n -1)(2n +1) =1211−13+13−15+15−17+…+12n -1−12n +1=12(11-12n +1)=n2n +1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。