最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《推理与证明》全章复习与巩固【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识网络】【要点梳理】要点一：有关推理概念归纳推理：又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．类比推理：又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．演绎推理：又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．要点诠释：演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M 都是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P ．要点二：有关证明方法综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是p q ⇒，那么证明步骤用符号表示为p (已知)123p p p ⇒⇒⇒⇒…q ⇒．分析法分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q (结论)n p ⇐⇐…321p p p p ⇐⇐⇐⇐(已知)． 间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．反证法证题步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：①导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾．②导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾．③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．数学归纳法数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：第一步：证明n 取第一个值0n 时命题成立．第二步：假设n ＝k(k ≥0n ，k ∈N +)时命题成立，证明n ＝k+1时命题成立．第三步：下结论，命题对从0n 开始的所有自然数n 都成立．要点诠释：（1）用数学归纳法证明与自然数n 有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n ＝k 到n ＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n 成立，应假设n ＝2k -1时命题成立，推证n ＝2k+1时命题成立或假设n ＝k (k 为奇数)时命题成立，推证n ＝k+2时命题成立．（2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则有数列n b =n ∈N +)也为等比数列，类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等差数列，则有n d =________也是等差数列． 【思路点拨】类比猜想可得12n n c c c d n+++=…也成等差数列. 【解析】若设等差数列{}n c 的公差为x ， 则12n n c c c d n +++=…1(1)2n n nc x n -+=1(1)2x c n =+-． 可见{}n d 是一个以1c 为首项，2x 为公差的等差数列，故猜想是正确的． 【总结升华】类比猜想是以两个对象之间某已知的相同或相似之处为根据，从而推出对象之间未知的相似之点的推理方法，这个根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需要证明．举一反三：【变式1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE AC EB CB=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】ACD BCDS AE EB S ∆∆= 【变式2】观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记g (x )为()f x 的导函数，则g (-x )＝( )A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】 D【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当()f x 是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (-x )＝-g (x )．例2. 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈N +．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)证明不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【解析】 (1)由题设1431n n a a n +=-+得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈N +．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． (3)对任意的n ∈N +，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎡⎤-++-+-=+-+⎢⎥⎣⎦21(34)2n n =-+-≤0． 所以不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【总结升华】本题属于递推数列问题，是高考考查的热点．解题的关键是转化为等差、等比数列． 举一反三：【变式1】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】 B【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．【变式2】（2016 广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.201520172⨯B. 201420172⨯C.201520162⨯D. 201420162⨯【答案】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，···，第2015行公差为20142 ， 故第1行的第一个数为：122-⨯ ，第2行的第一个数为：032⨯ ，第3行的第一个数为：142⨯，…第n 行的第一个数为：2(1)2n n -+⨯， 第2016行只有M ，则20142014(12016)220172M =+⋅=⨯类型二：直接证明与间接证明例3. 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10．求证：log log 4lg a b c c c +≥．【解析】证法一(综合法)：因为ab ＝10， 所以lg lg log log 4lg 4lg lg lg a b c c c c c c a b+-=+- 11lg lg 4lg lg lg 4lg lg lg lg lg a b a b c c a b a b ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭14lg lg lg lg lg a b c a b-= 2(lg lg )4lg lg lg lg lg a b a b c a b+-= 2(lg lg )lg lg lg a b c a b-=． 又因为a ，b ，c 均为大于1的正数，所以lg a ，lg b ，lg c 均大于0，故2(lg lg )lg 0lg lg a b c a b-≥．即log log 4lg a b c c c +≥．证法二(分析法)：由于1a >，b ＞1．故要证明log log 4lg a b c c c +≥ 只要证明lg lg 0lg lg c c a b+≥，即log log 4lg a b c c c +≥． 又1c >，所以只要证明114lg lg a b +≥，即lg lg 4lg lg c b a b +≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=， 故只要证明14lg lg a b ≥． ①由于a ＞1，b ＞1，所以lg 0a >，lg b ＞0． 所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，即14lg lg a b ≥． 当且仅当lg lg a b =时等号成立，即①式成立，所以原不等式成立．举一反三：【变式】设a ，b ∈R 且a ≠b ，a+b ＝2，则必有（ ) A ．1≤ab ≤222a b + B ．2212a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．2212a b +< 【答案】B【解析】∵ a+b ＝2．∴ b ＝2-a ，2224a b ab ++=，∴ 22(2)2(21)1ab a a a a a a =-=-=--++ 2(1)11a =--+≤． ∵ a ≠b ≠1．∴ ab ＜1．∵ 222222()0222a b a a b b a b ab +-+--==>， ∴ 2212a b +>．∵ 22222122a b a b ++--=422102ab ab --==->， ∴ 2212a b +>， 综上可得2212a b ab +>>． 例4. 设函数()f x 对定义域内任意实数都有()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=成立． 求证：对定义域内任意x ，都有()0f x >．【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.【解析】假设满足题设条件的任意x ，()0f x >不成立，即存在某个0x ，有0()f x ≤0． ∵ ()0f x ≠，∴ 0()0f x <． 又知2000000()022222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这与假设0()0f x <矛盾，假设不成立．故对任意的x 都有()0f x >．【总结升华】此题证明过程中，“对任意x ，都有()0f x >”的否命题是：“存在x 0，使0()f x ≤0”，而不是“对所有的x ，都有()f x ≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的． 举一反三：【变式】函数41()2x x f x +=的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】 D【解析】 对于选项A ，点512⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 上， 但点512⎛⎫-- ⎪⎝⎭，不在()f x 上；对于选项B ，点(0，2)在()f x 上，但点(2，0)不在，(z )上；对于选项C ，函数的图象不能关于x 轴对称；对于选项D ，∵ 4114()()22x x x x f x f x --++-===． ∴ 函数的图象关于y 轴对称．类型三：数学归纳法例5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅> 【解析】(1)由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，21a b a =，即(1)b b b b r-=+，解得r ＝－1. (2)当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为214121242n n+++⋅⋅⋅>①当n ＝1时，左式＝32. 左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即214121242k k +++⋅⋅⋅>， 则当n ＝k ＋1时，21412123232422(1)2(1)k k k k k k +++++⋅⋅⋅⋅>=++， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，>，即证232k+>由均值不等式23(1)(2)22k k k++++=>>所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式1212111nnbb bb b b+++⋅⋅⋅>【总结升华】本题属中等难度题，求解关键是要掌握数学归纳法．举一反三：【变式1】已知*111()()1231f n n Nn n n=+++∈++-，则f(k＋1)＝f(k)＋______________________. 【答案】1111331321k k k k++-+++【变式2】试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，由n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n ∈N *都成立．【变式3】（2016 南通一模）已知函数f 0（x ）=x （sin x+cos x ），设f n （x ）是f n+1（x ）的导数，n ∈N*。

数学·选修2－2(人教A版)推理是人们思维活动的过程，本章主要介绍人们在日常生活和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理．合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理部分主要学习直接证明、间接证明和数学归纳法．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但两者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本形式，也是公理化体系所采用的推理形式；另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法，分析法是从结论追溯到条件的证明方法．在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝k时结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳推理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．题型一合情推理与演绎推理(1)对奇数列1,3,5,7,9，…，进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论解析：(1)由于1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f (n)＝n3.(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.点评：(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．题型二综合法与分析法(1)若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42；(2)设a ＞b ＞0，证明：a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.证明：(1)因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2v 2a ＋b ，又a ＋b ＝3，所以2a ＋2b ≥223＝4 2.当且仅当a ＝b ＝32时等号成立． 故2a ＋2b ≥42成立．(2)要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)，只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )，只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0，因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立． 点评：分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：①分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．②确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．③解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．题型三 反证法已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .点评：一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； ②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题； ③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．题型四 数学归纳法用数学归纳法证明122＋132＋142＋ (1)2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．点评：(1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二种形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.答案：A2．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理解析：所有三角形按角分，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．答案：D3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.答案：C5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：解法一因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，所以ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22≤0.解法二令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.答案：D6．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于()A．f(k)＋π2B．f(k)＋πC．f(k)＋32π D．f(k)＋2π解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.答案：B7．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝()A．18 B．24 C．60 D．90解析：由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋562d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋902d＝60，选C.答案：C8．设函数f (x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自＝f(x n)，则x2 011＝()然数均有x n＋1A.1 B．2 C．4 D．5解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2 011＝x3＝4，故应选C.答案：C二、填空题9．命题“在△ABC 中，A ＞B ，则a >b ”，用反证法证明时，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”． 答案： a ≤b10．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25511．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值__________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，所以x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y 的最小值为23－2. 答案：23－212．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 答案：1 0三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即1 2×34×…×2k－12k<12k＋1，则n＝k＋1时，12×34×…×2k－12k×2k＋12k＋2<12k＋1×2k＋12k＋2＝2k＋12k＋2，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要2k＋1 2k＋2<12k＋3成立．即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2，即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.该不等式显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；解析：如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.所以MG⊥GN.所以MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；解析：选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：证法一 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.证法二 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝1－12cos 2α＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.16．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋3q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n＋10b n (n ∈N *)．证明：证法一 T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 1b n ＝2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝2n ⎝⎛ a 1＋a 22＋…＋⎭⎪⎪⎫a n 2n －1. 令a n 2n －1＝3n －12n －1＝3n ＋22n －2－3n ＋52n －1＝c n －c n ＋1， ∴T n ＝2n [(c 1－c 2)＋(c 2－c 3)＋…＋(c n －c n ＋1)]＝10×2n －2(3n ＋5)＝10b n －2a n －12⇔T n ＋12＝10b n －2a n .证法二(数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即T k＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有：T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12，即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．。

推理与证明知识回顾对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一、推理部分1．知识结构框图：2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．③推理过程：从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．集合简述：ⅰ大前提：且x具有性质P；ⅱ小前提：且；ⅲ结论：y也具有性质P；４．合情推理与演绎推理的关系：①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；二、证明部分１．知识结构框图２．综合法与分析法①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．三、考查要求“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．推理与证明复习指导对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力一．推理部分1．知识结构：演绎推理推理归纳和情推理类比2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知，可以，，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；集合简述：ⅰ大前提：且具有性质；ⅱ小前提：且；ⅲ结论：也具有性质；例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D 上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是．解答：由（大前提）因为在上是凸函数（小前提）得（结论）即因此，的最大值是注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型４．和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例２．设，（其中且）（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由＝＋＝又＝因此，＝（2）由＝即＝于是推测＝证明：因为：，（大前提）所以＝，＝，＝，（小前提及结论）所以＝＋＝＝解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝．二．证明部分１．知识结构数学归纳法综合法证明直接证法分析法间接证法反证法２．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例３．已知：，求证：证明：因为所以又由已知，因此，成立．由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)这里表示了,( )是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切.证明：（如图）作AA／、BB／垂直准线，取AB的中点M，作MM／垂直准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切只需证｜MM／｜＝｜AB｜[om]由抛物线的定义：｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当时命题也成立。

第二章推理与证明
本章概览
内容提要
1.归纳推理和类比推理都是合情推理,归纳是由特殊到一般,由部分到整体的整理;后者是由特殊到特殊的推理.二者都能由已知推测未知,都能用于猜测,得出新规律,但推理的结论都有待于去证明它的正确性.
2.演绎推理与合情推理不同,演绎推理是由一般到特殊的推理,是数学证明中的基本推理形式,只要前提正确,推理形式正确,得到的结论就正确.
3.合情推理与演绎推理既有联系,又有区别,它们相辅相成,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.
4.数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明.直接证明的两个基本方法:综合法与分析法.间接证明的基本方法之一:反证法.
5.数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题.在证明中,它的两个步骤缺一不可. 学法指导
在学习本章的过程中要准确把握概念,理解合情推理,演绎推理的联系与区别;理解直接证明与间接证明的方法,步骤.要对命题进行观察,比较,分析,类比,归纳,不断提高自己的逻辑思维能力.。

【金版教案】 2015-2016 高中数学第二章推理与证明章末小结新人教 A 版选修 2-2知识点一合情推理与演绎推理(1)概括推理的难点是由部分结果获得一般结论，破解的方法是充足考虑这部分结果供给的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行察看、剖析、概括整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③查验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推断正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特别属性推断另一种事物的特别属性；的结果是猜想性的，不必定靠谱，但它却有发现的功能．找出圆与球的相像性质，并用圆的以下性质类比球的有关性质．(1)圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦．(2)与圆心距离相等的两弦相等．(3)圆的周长c＝π d(d 为直径 )．类比(4)圆的面积S＝πd2. 4分析：圆与球拥有以下相像性质．1．圆是平面上到必定点的距离等于定长的全部点组成的会合，球面是空间中到必定点的距离等于定长的全部点组成的会合．2．是平面内关闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中关闭的曲面所围成的对称图形．与圆的有关性质对比较，能够推断球的有关性质：圆球(1)圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦球心与截面圆 (非轴截面 )圆心的连线垂直于截面(2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等(3) 圆的周长 c＝πd2球的表面积 S＝π dπ 2π 3(4) 圆的面积 S＝4 d球的体积 V＝6 d1由实数组成的会合 A 知足条件：若a∈ A， a≠ 1，则∈ A，证明：(1)若 2∈ A，则会合 A 必有此外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空会合A 中起码有三个不一样元素．剖析：从会合中的元素知足的条件“若a ∈ A ，则1∈ A(a ≠1)出”发；当a ＝ 2 时，挨次a － 1进行查验，即可得证．证明：(1)∵ a ∈ A ， a ≠1，则1 ∈A.a － 11∴ 2∈A 时，有＝－ 1∈ A.1 1因为－ 1≠1，有 1－（－ 1） ＝2∈A. 因为 1≠ 1，有 1 ＝2∈A.211－ 2这样循环可知会合 A 中的此外两个元素为1，－ 1.2(2)∵会合 A 非空，故存在1∈A ，a ∈ A ， a ≠1，有 1－a∴1 ∈A 且 1≠1，1－ a1－ a即 a ≠0时，有1＝a － 1a ，1a － 11 ，∈ A ，即这样循环出现三个数，∈ A.若 a ＝1a1－aa1－ a1－1－ a则 a 2－ a ＋ 1＝0，方程无实根．若＝ 1 ＝ a － 1，则 a 2－ a ＋1＝ 0，方程无实根． 1－ a a若 a ＝a － 1，则 a 2 －a ＋ 1＝ 0，方程无实根． a∴ a ， 1 ， a －1互不相等，故会合 A 中起码有三个不一样元素．1－ a a知识点二 综合法与剖析法剖析法和综合法是对峙一致的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：(1)剖析条件和结论之间的联系和差别，选择解题方向．(2) 确立适合的解题方法，若能够联合题设条件，经过有关的公义、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用有关的公义、定理、公式、结论难以推得所求结果，则能够考虑使用剖析法．(3) 解题反省，回首解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，保证解题的谨慎性和齐备性．设 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，求证：1＋1＋1≥8.a b ab证明：方法一综合法因为 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，因此 1＝ a＋ b≥2ab，ab≤1， ab≤1，因此1≥ 4，24ab又1a＋1b＝ (a＋ b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥ 4，因此 1＋ 1＋a b1 ≥ 8(当且仅当 aba＝b＝ 1时等号建立2)．方法二剖析法因为 a>0， b>0，a＋ b＝ 1，要证1a＋1b＋ab1≥ 8.只需证1＋1＋a＋b≥8，a b ab只需证1＋1＋1＋1≥8，a b b a11即证＋≥4.也就是证a＋b＋a＋b≥ 4.a b即证ba＋ab≥ 2，b a由基本不等式可知，当a>0， b>0 时，＋≥ 2建立，因此原不等式建立．知识点三反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则 q”的否认是“若 p，则 ?q”，由此进行推理，假如发生矛盾，那么就说明“若p，则?q”为假，进而能够导出“若 p，则 q”为真，进而达到证明的目的．反证法反应了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”自己更简单、更详细、更明确；②否认性命题、独一性命题，存在性命题、“至多”“起码”型命题；③有的必定形式命题，因为已知或结论波及无穷个元素，用直接证明比较困难，常常用反证法．用反证法证明不等式要掌握三点：①一定先否认结论，即必定结论的反面；②一定从否认结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且一定依照这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假定矛盾，有的与已知事实矛盾等，可是推导出的矛盾一定是明显的．已知直线ax－y＝ 1 与曲线x2－2y2＝ 1 订交于P，Q 两点，证明：不存在实数a，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.证明：假定存在实数a ，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则 OP ⊥OQ.y 1y 2设 P(x 1， y 1)， Q( x 2， y 2)，则 x 1· x 2＝－ 1， 因此 (ax 1－ 1)(ax 2－ 1)＝－ x 1·x 2， 即 (1＋ a 2 )x 1· x 2－ a(x 1＋ x 2)＋ 1＝ 0. 由题意得 (1－ 2a 2)x 2＋4ax － 3＝ 0，－ 4a2， x 1· x 2＝－ 3因此 x 1＋ x 2＝2.1－ 2a 1－2a －3 － 4a2＋ 1＝ 0，因此 (1＋ a 2) · 2－ a ·1－ 2a 1－ 2a 即 a 2＝－ 2，这是不行能的．因此假定不建立．故不存在实数a ，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O.知识点三 数学概括法数学概括法的两关关注(1)关注点一：用数学概括法证明等式问题是数学概括法的常有题型，其要点点在于“先看项 ”，弄清等式两边的组成规律，等式两边各有多少项，初始n 0 是多少．(2)关注点二：由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝ k 时的式子，即利用假定，正确写出概括证明的步骤，进而使问题得以证明．设数列 { a n } 知足 a n ＋1＝ a n 2－ na n ＋ 1， n ∈ N * .(1)当 a 1＝ 2 时，求 a 2， a 3， a 4，并由此猜想出 a n 的一个通项公式；(2)当 a 1≥ 2 时，证明对全部的 n ≥1，有 a n ≥ n ＋1.分析： (1)由 a 1＝ 2，得 a 2＝ a 21－a 1＋ 1＝ 3.由 a 2＝ 3，得 a 3＝ a 22－ 2a 2＋1＝ 4.由 a 3＝ 4，得 a 4＝ a 23－ 3a 3＋1＝ 5.由此猜想 a n 的一个通项公式为a n ＝ n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当 n ＝ 1 时，∵ a n ＝ a 1≥ 2，n ＋ 1＝ 1＋1＝ 2，∴不等式建立．②假定当 n ＝ k 时不等式建立，即a k ≥ k ＋ 1.那么当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋1＝ a k (a k － k)＋ 1≥(k ＋1)( k ＋ 1－ k)＋ 1＝ k ＋ 2. 也就是说，当 n ＝ k ＋ 1 时， a k ＋ 1>(k ＋1)＋ 1.依据①和②，对于全部n ≥1，有 a n ≥n ＋ 1.一、1．“因指数函数x是增函数 (大前提 )，而 y＝1xy＝ a3是指数函数 (小前提 )，因此函数1xy＝3是增函数 () ”，以上推理的的原由是 (A)A．大前提致B．小前提致C．推理形式致D．大前提和小前提致分析：推理形式没有，而大前提“y＝ a x是增函数”是不正确的，当0＜ a＜1 ， y＝a x是减函数；当a＞ 1 ， y＝ a x是增函数．故 A.2．已知 n 正偶数，用数学法明：1－1＋1－1＋⋯＋1＝2(1＋1＋⋯1)，若已假 n＝ k(k≥2 偶数 )命2 34n－ 1n＋ 2n＋ 42n真，需要用假再(B)A ． n＝ k＋ 1 等式建立B．n＝ k＋ 2 等式建立C．n＝ 2k＋ 2 等式建立D． n＝ 2(k＋ 2)等式建立分析：因n 正偶数， n＝ k(k≥2 偶数 )，因此下一步要明的命也是在偶数条件下建立，因此，需要明n＝ k＋ 2 等式建立，故 B.3．若m， n 是正整数，m＋ n>mn 建立的充要条件是(D)A ． m， n 都等于1B．m，n 都不等于2C．m，n 都大于1D． m， n 起码有一个等于1分析：∵ m＋n>mn，∴ (m－ 1)( n－ 1)<1.∵m， n∈ N*，∴ (m－ 1)(n－ 1)∈ Z ，∴ (m－ 1)(n－1)＝ 0.∴m＝1 或n＝1，故 D.4．以下正确的选项是 (B)1A ．当 x>0 且 x ≠1 ， lg x ＋ ≥21B ．当 x>0 ，x ＋ ≥ 21C ．当 x ≥2 ， x ＋ x 的最小21D ．当 0<x ≤2 ， x － x 无最大分析： A 在 lg x 的正 不清； C 在等号建立的条件不存在；依据函数f(x)＝ x －1的x3性，当 x ＝ 2， f(2) max ＝ 2，故 D ．故 B.5．已知 a ＋ b ＋ c ＝ 0， ab ＋ bc ＋ ca 的 (D)A ．大于 0B ．小于 0C ．不小于 0D ．不大于 0分析：解法一因 a ＋b ＋ c ＝ 0，因此 a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋ 2ac ＋ 2bc ＝ 0， 因此 ab ＋ bc ＋ ca ＝－ a 2＋ b 2＋ c 22≤ 0.解法二 令 c ＝ 0，若 b ＝ 0， ab ＋ bc ＋ ca ＝ 0，否 a 、b 异号，因此 ab ＋ bc ＋ ca ＝ ab＜0，清除 A 、 B 、 C ，故 D.23＋ ⋯ ＋ n ×3n －1n*都建立，那么 a ，6．已知 1＋ 2×3＋ 3×3 ＋ 4×3 ＝ 3(na － b)＋ c 全部 n ∈N b ， c 的 (A)1， b ＝ c ＝1A ． a ＝ 241B ．a ＝ b ＝ c ＝ 41C ．a ＝ 0， b ＝c ＝ 4D ．不存在 的a 、b 、 c分析：令 n ＝ 1，得 1＝ 3(a －b) ＋c ，令 n ＝2，得 1＋2×3＝ 9(2a －b) ＋c ，令 n ＝3，得 1＋2×3＋ 3×32＝27(3a － b)＋ c.3a －3b ＋ c ＝ 1即 18a － 9b ＋ c ＝ 7 ，∴ a ＝1， b ＝ c ＝1.故 A.81a －27b ＋ c ＝ 34 247．若凸 k 形的内角和f(k)， 凸 (k ＋1) 形的内角和f( k ＋ 1)(k ≥3且 k ∈ N * )等于(B)πA ． f(k)＋2B． f(k)＋πC．f(k)＋32π D ． f(k)＋ 2π分析：由凸k 形到凸 (k＋ 1)形，增添了一个三角形，故f(k＋ 1)＝ f(k)＋π .故 B.8．公差不零的等差数列{ a n} 的前 n 和 S n.若 a4是 a3与 a7的等比中， S8＝ 32，S10＝ (C)A．18 B．24C．60 D． 90分析：由 a42＝ a3a7得 (a1＋ 3d) 2＝ (a1＋ 2d)(a1＋ 6d)， 2a1＋3d＝ 0.再由 S8＝ 8a1＋56d＝ 32，2得 2a1＋ 7d＝ 8， d＝ 2， a1＝－ 3.因此 S10＝ 10a1＋90d＝ 60， C. 2二、填空9．若数列 { a n} 足： a1＝ 1， a n＋1＝ 2a n(n∈ N* ) ， a5＝ ________；前8 的和S8＝________(用数字作答 )．28－1分析： a1＝ 1，a2＝ 2a1＝2，a3＝ 2a2＝ 4，a4＝ 2a3＝ 8，a5＝ 2a4＝ 16，易知 S8＝2－1＝ 255，∴ 填 255.答案： 1625510．(2014 ·州高二 ) 1 是一个水平放的小正方体木，2，小正方体木叠放而成的，依照的律放下去，至第七个叠放的形中，3 是由的小正方体木数就是 ________．分析：分察正方体的个数：1， 1＋ 5， 1＋ 5＋ 9，⋯可知，第n 个叠放形中共有n ，组成了以 1 首，以因此 S n＝n＋ [n(n－ 1) ×4] ÷2＝ 2n2－n，因此 S7＝2×72－ 7＝ 91.答案： 914 公差的等差数列，11．(2014 厦· 六中高二期中)在平面上，我用向来去截正方形的一个角，那么截下222截成如截面，从正方体上截下三条棱两两垂直的三棱OLMN ，假如用S1、S2、 S3表示三个面面，S 表示截面面，那么比获得的是________．分析： 比方下：正方形? 正方体；截下直角三角形 ? 截下三 面两两垂直的三棱 ；直角三角形斜 平方 ? 三棱 底面面 的平方； 直角三角形两直角 平方和 ? 三棱 三个 面面 的平方和，S 2＝ S 21＋ S 22＋ S 23.( 个 是正确的， 明略 )答案： S 2＝S 21＋ S 22＋ S 2312．(2014 洛·阳部分要点中学教课) 察以下等式：3 × 1＝ 1－ 12， 3×1＋ 41×2 2 2 1×2 2 2×3 1131 ＋4× 1511× 2＝ 1－2，×2×33，⋯⋯，由以上等式推 到一个2 3× 2 1×2 2 2×3 2＋3× 4 2 ＝ 1－ 4× 2一般的 ： 于 *， 3 1 4 1n ＋ 2 1n ∈ N × ＋× 2× n1×2 2 2× 3 2＋ ⋯＋n （ n ＋ 1）2 ＝ ________．分析：由已知中的等式：3 ×1＝1－ 121×2 2 231 ＋ 4 1 ＝1－ 1 2，1× 2 × × 222×323× 231 ＋ 4 × 1 5113，⋯，1× 2 ×2 × 3＝1－ 4× 22 2×3 2＋3× 4 2因此 于 n ∈ N *，3×1＋ 4 × 12n ＋ 2 ×1n＝1－ 11× 22 2×3 2＋ ⋯＋n （ n ＋ 1）2 （ n ＋ 1） 2n .1答案：1－（n ＋ 1） ·2n三、解答13． 明不等式： 1× 3×⋯×2n － 1 < 1 ( n ∈ N *)．2 42n2n ＋1明： (1)当 n ＝ 1 ，左 ＝1，右 ＝1， 然11，不等式建立．232<3(2)假 n ＝ k ，不等式建立，即 1×3×⋯× 2k － 11，2 42k<2k ＋ 1n ＝k ＋ 1 ， 1×3×⋯×2k － 1×2k ＋11× 2k ＋ 1＝2k ＋ 1，要 n ＝ k ＋ 1 ，2 42k2k ＋ 2<2k ＋ 12k ＋22k ＋ 2不等式建立，只需2k ＋1 1建立．2k ＋ 2<2k ＋ 3即证 (2k＋ 1)(2k＋3)<(2 k＋2)2，即证 4k2＋8k＋ 3<4k2＋ 8k＋ 4.该不等式明显建立．即 n＝k＋ 1 时，不等式建立．由 (1)(2) 知，对随意的正整数n，不等式建立．14．以下图，已知两个正方形ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M， N 分别为 AB，DF 的中点．(1)若 CD ＝ 2，平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，求 MN 的长；(2)用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线．(1)分析：以以下图，取CD 的中点 G，连结 MG ，NG，因为 ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，因此 MG⊥ CD ，MG ＝ 2，NG＝ 2.因为平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，因此 MG ⊥平面 DCEF .因此 MG⊥GN.因此 MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)证明：假定直线 ME 与 BN 共面，则 AB? 平面 MBEN ，且平面 MBEN ∩平面 DCEF ＝ EN.由已知，两正方形ABCD 和 DCEF 不共面，故AB?平面 DCEF .又 AB∥ CD，因此 AB∥平面 DCEF .因此 EN ∥AB，又 AB∥ CD ∥ EF，因此 EF ∥ NE，这与 EF∩EN＝E 矛盾，故假定不建立．因此 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆 x2＋y2＝r 2(r>0) 中，AB 为直径， C 为圆上异于A、B 的随意一点，则有 k AC·k BC＝－ 1.你能用类比的方法得出椭圆x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．22分析：类比获得的结论是：在椭圆x y＝ 1(a>b>0)中， A、B 分别是椭圆长轴的左右端a2＋b22是椭圆上不一样于A 、B 的随意一点，则 k AC · k BC ＝－ b2 a证明以下：设 A( x 0， y 0)为椭圆上的随意一点，则 A 对于中心的对称点B 的坐标为 B(－，－ y·k ＝ y － y 0 y ＋y 0 y 2－y 02x － x 0 · ＝ 2 2.x 00)，点 P(x ，y)为椭圆上异于 A ，B 两点的随意一点， 则 k APBP x ＋ x 0 x －x 0 x 2 y 2 a 2＋ b 2＝ 1，因为 A 、 B 、P 三点在椭圆上，∴y 02x 02a 2＋b 2＝ 1.22 2 2两式相减得，x － x 0 y － y 0a 2 ＋ 2 ＝ 0，b2－ y222∴ y220＝－ b2，即 kAP · k BP＝－ b 2. x － x 0a ax 2 y 2故在椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于 A 、 B 的椭圆上的随意2一点，则有 k AB · k BP ＝－ b2.a16．在各项为正的数列 { a } 中，数列的前 n 项和 S 知足 S ＝ 1n ＋ 1.nn na(1)求 a 1， a 2， a 3；(2)由 (1) 猜想数列 { a n } 的通项公式，并用数学概括法证明你的猜想．分析： (1)由 S 1＝ a 1 ＝1 a 1＋ 1得 a 12＝ 1，2 a ∵ a n >0，∴ a 1＝ 1.112由 S 2＝ a 1＋ a 2＝ 2 a 2＋ a 2 得 a 2＋ 2a 2－1＝ 0. ∴ a 2＝ 2－ 1.1 12由 S 3＝ a 1＋ a 2＋a 3＝2 a 3＋ a 3 得 a 3＋ 2 2a 3－ 1＝0.∴ a 3＝ 3－ 2. (2)猜想 a n ＝ n － n － 1(n ∈ N * )．证明以下：① n ＝ 1 时， a 1＝ 1－ 0命题建立．②假定 n ＝ k 时， a k ＝ k － k － 1建立，则 n ＝k ＋ 1 时，＋＝S ＋－S ＝1k ＋ 1＋ 1 － 1＋ 1 ，a k 1 k 1k2 aa k ＋12 a ka k即 a k ＋ 1＝1a k ＋ 1＋1－11k － k －1＋2a k ＋ 1 2 k － k － 1＝ 1a k ＋ 1＋ 1－ k ，2a k ＋1∴a2k＋1＋ 2 ka k＋1－ 1＝0.∴ a k＋1＝ k＋ 1－ k.即 n＝k＋ 1 时，命题建立，由①②知， n∈N *， a n＝ n－ n－ 1.。

【金版学案】2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A 版选修2-2知识点一 合情推理与演绎推理(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质． (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦． (2)与圆心距离相等的两弦相等． (3)圆的周长c ＝πd (d 为直径)． (4)圆的面积S ＝π4d 2.解析：圆与球具有下列相似性质．1．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．2．是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形． 与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，a ≠1，则11－a ∈A ，证明：(1)若2∈A ，则集合A 必有另外两个元素，并求出这两个元素；(2)非空集合A 中至少有三个不同元素． 分析：从集合中的元素满足的条件“若a ∈A ，则1a －1∈A (a ≠1)”出发；当a ＝2时，依次进行检验，即可得证．证明：(1)∵a ∈A ，a ≠1，则1a －1∈A . ∴2∈A 时，有11－2＝－1∈A .由于－1≠1，有11－（－1）＝12∈A .由于12≠1，有11－12＝2∈A .如此循环可知集合A 中的另外两个元素为12，－1.(2)∵集合A 非空，故存在a ∈A ，a ≠1，有11－a∈A ， ∴11－a ∈A 且11－a≠1， 即a ≠0时，有11－11－a ＝a －1a ∈A ，即如此循环出现三个数a ，11－a ，a －1a ∈A .若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若＝11－a ＝a －1a ，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根．若a ＝a －1a，则a 2－a ＋1＝0，方程无实根． ∴a ，11－a ，a －1a互不相等，故集合A 中至少有三个不同元素．知识点二 综合法与分析法分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是： (1)分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．(2)确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．(3)解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：方法一 综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．知识点三 反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p ，则¬q ”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题思想．一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2， 即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0. 由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0， 所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2.所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0，即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .知识点三 数学归纳法 数学归纳法的两关关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥2时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋1. 解析：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3. 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4. 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，∵a n ＝a 1≥2，n ＋1＝1＋1＝2，∴不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋1)(k ＋1－k )＋1＝k ＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1>(k ＋1)＋1. 根据①和②，对于所有n ≥1，有a n ≥n ＋1.一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(A ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数；当a ＞1时，y ＝a x是增函数．故选A.2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为n 为正偶数，n ＝k (k ≥2为偶数)，所以下一步要证明的命题也应该是在偶数条件下成立，所以，还需要证明n ＝k ＋2时等式成立，故选B.3．若m ，n 是正整数，则m ＋n >mn 成立的充要条件是(D ) A ．m ，n 都等于1 B ．m ，n 都不等于2 C ．m ，n 都大于1 D ．m ，n 至少有一个等于1解析：∵m ＋n >mn ，∴(m －1)(n －1)<1. ∵m ，n ∈N *，∴(m －1)(n －1)∈Z， ∴(m －1)(n －1)＝0. ∴m ＝1或n ＝1，故选D. 4．下列结论正确的是(B )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值(D ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 解析：解法一 因为a ＋b ＋c ＝0， 所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法二 令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，故选D.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为(A )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ， 令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A.7．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于(B )A ．f (k )＋π2 B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32π D ．f (k )＋2π解析：由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.故选B.8．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝(C )A ．18B ．24C ．60D ．90解析：由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，2a 1＋3d ＝0.再由S 8＝8a 1＋562d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3.所以S 10＝10a 1＋902d ＝60，选C.二、填空题9．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25510．(2014·郑州高二检测)图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是________．解析：分别观察正方体的个数为：1，1＋5，1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9111．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.(这个结论是正确的，证明略)答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 2312．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．解析：由已知中的等式：31×2×12＝1－122 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝1－1（n ＋1）2n .答案：1－1（n ＋1）·2n三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立， 即12×34×…×2k －12k <12k ＋1， 则n ＝k ＋1时，12×34×…×2k －12k ×2k ＋12k ＋2<12k ＋1×2k ＋12k ＋2＝2k ＋12k ＋2，要证n ＝k ＋1时，不等式成立，只要2k ＋12k ＋2<12k ＋3成立． 即证(2k ＋1)(2k ＋3)<(2k ＋2)2， 即证4k 2＋8k ＋3<4k 2＋8k ＋4. 该不等式显然成立． 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n ，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求MN 的长； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解析：如下图，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2， 所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2. 因为平面ABCD ⊥平面DCEF ， 所以MG ⊥平面DCEF . 所以MG ⊥GN .所以MN ＝MG 2＋GN 2＝ 6.(2)证明：假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ， 且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．解析：类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2. 故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.16．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解析：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立，由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。

整合提升知识网络知识回顾推理是人们思维活动的过程.本章主要介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理.合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理主要学习了直接证明、间接证明以及数学归纳法.1.归纳和类比都是合情推理.前者是由特殊到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法.在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证法的一种基本方法是反证法.反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步（归纳奠基）n=n 0时结论成立，第二步（归纳递推）假设n=k 时结论成立，推得n=k+1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤（两步）证明出无限个命题成立.典例精讲【例1】 若数列{a n }是等比数列，且a n >0,则有数列b n =n n a a a 21(n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，可得猜想：若数列{c n }是等差数列，则有d n =______________也是等差数列. 解:类比猜想可得d n =nc c c n +++ 21也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x, 则d n nc c c n +++ 21 =nx n n nc 2)1(1-+=c 1+(n-1)·2x .可见{d n }是一个以c 1为首项，2x 为公差的等差数列，故猜想是正确的. 点评：类比猜想是以两个对象之间某已知的相同或相似点为根据，从而推出对象之间未知的相似点的推理方法，这个根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需要证明.【例2】 {a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0,a 2=3,a n+1a n =(a n-1+2)(a n-2+2),n=3,4,5,…，求a 3.解:由已知a 4a 3=(a 2+2)(a 1+2)=5×2=10×1,∴a 3可能取值1，2，5，10.若a 3=1，a 4=10,从而a 5=1015)2)(2(423=++a a a =23， 显然a 5不是非负整数，与题设矛盾.若a 3=10，则a 4=1,从而a 5=60.但再计算a 6=53，也与题设矛盾. ∴a 3=2,a 4=5.温馨提示本例用归纳、猜想、证明的思想方法来解决.已给出a 1\,a 2,但递推式是关于连续四项的一个等式，若无其他条件一般是不能确定数列的，因a n ∈N,可用整数知识及反证法推理来确定a 3=2,a 4=5.【例3】 抛物线y=21x 2-1上是否存在着关于直线y=x 对称的两点，证明你的结论. 证明:假设抛物线y=21x 2-1上存在着关于直线y=x 对称的两点P （a,b ）和Q （b,a ），这里a\,b 是不相等的实数，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2(.121)1(),(21222b a a b b ②-①,得（a-b ）=21(b 2-a 2), 则（a-b ）(a+b+2)=0.∵a≠b,∴a-b≠0.那么a+b+2=0.∴b=-a-2代入①得a 2+2a+2=0.∵Δ=22-4×1×2<0,∴方程没有实数根，这与a 是实数矛盾.因此抛物线y=21x 2-1上不存在关于直线y=x 对称的两点. 温馨提示符合条件的点或者存在或者不存在，二者必居其一，不可能有第三种情况，我们可以假设这样的点存在，然后通过合乎逻辑的推理和正确的运算，如果能求出这样的点，那就证明这样的点存在，如果因此引出矛盾，那就从反面证明这样的点是不存在的.可见，借助反证法可解探索结论的开放性问题.【例4】 设长为a 、b 、c 的三条线段可以构成锐角三角形.证明存在一个对棱相等且棱长分别为a 、b 、c 的四面体并计算其体积.证明:由已知条件得a 2+b 2-c 2>0，b 2+c 2-a 2>0,c 2+a 2-b 2>0.令x=2222c b a -+, y=2222a c b -+, z=2222b a c -+. 分别以x 、y 、z 为过同一顶点的棱长作长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,则A 1D=BC 1=a,AB 1=C 1D=b,BD=A 1C 1=c,∴四面体C 1—A 1BD 符合题意，其体积等于长方体体积减去四个直角四面体的体积. ∴V C1—A1BD =xyz-4×61xyz=31xyz =))()((122222222222b a c a c b c b a -+-+-+. 温馨提示本题关键是将长为a 、b 、c 的锐角三角形与长方体过某顶点的截面三角形类比，构造出完整图形后，证明其符合条件.【例5】 设F 1、F 2分别为椭圆C ：2222by a x +=1(a>b>0)的左、右两个焦点. （1）若椭圆C 上的点A （1，23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标;（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程;（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ,k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值，试写出双曲线2222by a x -=1具有类似特性的性质并加以证明. 解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4,即a=2.又点A （1，23）在椭圆上，因此222)23(21b+=1，b 2=3. ∴c 2=a 2-b 2=1.∴椭圆C 的方程为3422y x +=1,焦点F 1（-1，0），F 2（1，0）. （2）设椭圆C 上的动点为K （x 1,y 1），线段F 1K 的中点Q （x,y ）满足：x=2,2111y y x =+-, ∴x 1=2x+1,y 1=2y. ∴3)2(4)12(222y x ++=1，即(x+21)2+342y =1为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m,n ），则点N 的坐标为（-m,-n ）,其中2222bn a m -=1. 又设点P 的坐标为（x,y ），由k PM =m x n y --, k PN =mx n y ++得k PM ·k PN =2222mx n y m x n y m x n y --=++∙--. 将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2代入,得k PM ·k PN =v.。

高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2的全部内容。

高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：错误!→错误!→错误!类比推理的思维过程大致如下:错误!→错误!→错误!2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：（1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2,2cos错误!＝错误!，2cos错误!＝错误!.证明:2cos错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下：2cos错误!＝错误! (n∈N＋，n≥1）．【例2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线错误!－错误!＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解:类似的性质为:若M,N是双曲线错误!－错误!＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标为(m,n），(x，y），则N（－m，－n）．因为点M(m,n)在已知双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝错误!x2－b2.因为k PM·k PN＝错误!·错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!（定值），所以k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．专题二直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．综合法与分析法的区别与联系:分析法的特点是:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是:从“已知”看“可知”，逐步推向“未知",其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P。