有理数的乘方与计算

有理数的乘方运算1. 乘方的基本定义有理数的乘方运算定义如下：对于有理数a和自然数n，称a的n次方为a的乘方运算，记作aⁿ。

特别地，当n为0时，任何非零有理数a的0次方都定义为1。

2. 乘方的规则有理数的乘方运算具有以下规则：- 相同底数相乘的乘方相同底数相乘的乘方对于相同底数a，a的m次方乘以a的n次方，等于a的m+n次方，即 a^m * aⁿ = a^m+n。

- 乘方的乘方乘方的乘方对于乘方a的m次方再乘以n次方，等于a的m*n次方，即(a^m)ⁿ = a^m*n。

- 乘方的倒数乘方的倒数对于有理数a，且a不等于0，a的-m次方等于a的倒数的m 次方，即 a^-m = (1/a)^m。

- 乘方的分数指数乘方的分数指数对于有理数a，a的m/n次方等于a的m次方的n次方根，即a^m/n = (a^m)^1/n。

需要注意的是，当指数为负数或分数时，底数不能为0。

3. 例题解析例题：计算 (-2/3)⁴ * (-2/3)^-1 * [(-2/3)^2/3]³首先，根据乘方的基本定义，计算 (-2/3)⁴：(-2/3)⁴ = (-2/3) * (-2/3) * (-2/3) * (-2/3) = 16/81然后，根据乘方的规则，计算 (-2/3)^-1：(-2/3)^-1 = 1 / (-2/3) = -3/2接下来，根据乘方的规则，计算 [(-2/3)^2/3]³：[(-2/3)^2/3]³ = (-2/3)^{2/3 * 3} = (-2/3)² = 4/9最后，将以上结果相乘得到最终的答案：16/81 * (-3/2) * 4/9 = -8/27所以，(-2/3)⁴ * (-2/3)^-1 * [(-2/3)^2/3]³ 的值为 -8/27。

有理数的乘方运算及其应用有理数是数学中一类重要的数，它包括了整数、分数以及它们的负数。

在数学运算中，有理数的乘方运算是一种常见的操作。

本文将介绍有理数乘方的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

一、有理数乘方的定义有理数的乘方运算是指将一个有理数自乘若干次，其结果仍为有理数。

乘方运算可以简洁地表示为a^n，其中a为底数，n为指数。

具体来说，有理数的乘方可以分为以下几种情况：1. 当指数n为正整数时，a^n表示将底数a乘以自身n次，即a^n =a × a × ... × a (共n个a)。

2. 当指数n为零时，a^0的结果为1，其中a不为零。

3. 当指数n为负整数时，a^n的结果为a的倒数的绝对值，即a^n = 1/(a^(-n))。

4. 当底数a为零时，指数不能为负数，即0^n结果未定义。

二、有理数乘方的性质有理数乘方具有一些重要的性质，这些性质对于求解具体问题非常有帮助。

1. 乘方的幂性：对于任意的有理数a，a^m × a^n = a^(m+n)。

即相同底数的乘方，可以化简为将指数相加。

2. 乘方的乘法法则：(a × b)^n = a^n × b^n，其中a、b为有理数，n为指数。

即乘方的乘积等于各个底数的乘方的乘积。

3. 乘方的除法法则：(a/b)^n = (a^n)/(b^n)，其中a、b为有理数，n为指数。

即乘方的商等于底数的商的乘方。

三、有理数乘方的应用有理数乘方在实际问题中有广泛的应用，尤其涉及到面积、体积和距离等概念。

以下是几个常见的应用场景：1. 面积计算：当计算矩形、正方形、圆形等几何图形的面积时，需要使用乘方运算。

例如，矩形的面积公式为A = length × width，其中length和width分别表示矩形的长度和宽度。

2. 体积计算：当计算立方体、圆柱体、球体等立体图形的体积时，也需要用到乘方运算。

例如，立方体的体积公式为V = length × width ×height，其中length、width和height分别表示立方体的长度、宽度和高度。

授课类型 C 有理数的乘除法 C 有理数的乘方 T 运用能力教学目标有理数的乘除及乘方运算教学内容1.有理数的乘除法（☆☆）1) 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0. 2) 有理数乘法的运算律（1）两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab=ba(乘法结合律)（2）三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. abc=a(bc)(乘法结合律)（3）一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. a(b+c)=ab+ac(乘法分配律) 3)有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.(2)几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.2.有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. a ÷b=a ·1b(b ≠0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0. 5)倒数及有理数除法（1）乘积为1的两个数互为倒数.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是正数；0没有倒数；求一个非零有理数的倒数，只要把它的分子和分母颠倒位置即可（正整数可以看作分母为1的分数）. 注意： ,a b 互为倒数，则1a b =；,a b 互为负倒数，则1a b =-.反之亦然. (2)有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.【例4】 计算:（1）4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()()()345826-⨯--⨯--⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ <分析>（1）小题是化带分数为假分数后约分. （2）小题是遵循括号先运算的原则. <解> （1）4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝9101133959211⎛⎫-⨯⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭(2) ()()[]()()34582(6)12581228-⨯--⨯--⨯-=-⨯-+=⎡⎤⎣⎦<教学建议>紧扣有理数乘法法则步骤，先定符号，再求绝对值，有括号的先算括号里的数.【例5】 计算：（1）1571(8)16-⨯-； （2）()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ <分析> （1）小题需变形后使用分配律；（2）小题逆向应用分配律，较复杂的有理数混合运算，要注意解题方法的选取. <解> （1）()()15137187181616⎛⎫-⨯-=--⨯- ⎪⎝⎭ ()()()13718816155685687.5575.52⎛⎫=-⨯-+-⨯- ⎪⎝⎭=+=+=（2）()()9985124121616⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9－－12－－－＋－16 ＝()9985412121616⎛⎫⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭－－－＋－＝－ <教学建议> 教师可以提问学生，应该采用什么方法比较简便（即运用分配律解）.【教学拓展】计算：（1）111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<解> （1）11110352532133537621⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷-=-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝511011210356⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<教学建议> 教师可以提问学生分析式子的特点，可按法则2进行处理，转化为乘法.【例6】 已知：a 的相反数是213，b 的倒数是122-，求算式32a b a b +-的值.<分析> 利用相反数和倒数的概念求出a 、b ，然后求代数式的值. <解> 依题意2521,335a b =-=-=-， 则：52563335355452223535a b a b ⎛⎫-+⨯--- ⎪+⎝⎭==-⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭ ＝43131515⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝431543151313⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭练1.计算: （1）()()6416-÷- （2）()1751÷- <解> （1）()()()641664164-÷-=+÷= （2）()()1175117513÷-=-÷=-练2.计算:（1）()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭;（2）()110.0333323⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<解> （1）小题是小数结合相乘凑成整数.（2）小题是小数化成分数，互为倒数结合相乘为1.（1）()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ＝()()()330.250.54700.2527055⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯-=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()313533530.57052510⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()113100110.033333323100322⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 练3. 计算: 1111122111;42612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭<解> 直接顺向应用分配律；111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭＝()()()()937131212121242612⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+-⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()2718(14)1310-++-+=-; 练4.计算: 735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦<解>原式=()735(36)(36)36(1)(36)1246⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯---⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21-27+30-36=-12练5.已知x 的负倒数是5,y 的相反数是-6,求算式2x yy x++的值. <解>由题意可知x =15-,y =6,所以2x y y x ++=12628512965-⨯+=-.做一做： 判断题：1．同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘． ( ) 2．两数相乘，如果积为正数，则这两个因数都是正数． ( ) 3．两数相乘，如果积为负数，则这两个因数都是负数． ( ) 4．一个数除以－1，便得这个数的相反数．( ) 选择题：5．下面计算结果正确的是( )． (A)(－3×4)2＝－144 (B)－(3×4)2＝－144 (C)－3×(－4)2＝－144 (D)3×(－4)2＝1446．若)4(531-⋅=x ，则x ＝( )． (A)25- (B)25(C)52-(D)52解答题：7．判断下列乘积的符号，说明为什么？ (1)(－1)×(－1)×(－1)；(2));4()31()9.8(-⨯+⨯-(3)(－9)×(＋10)×(－8)×(－7)×(－0.1)；(4)(－4)×2×(－3)×(－5)×8．8．计算： (1));321(8.0-⨯(2));10()21(51-⨯+⨯-(3));311()211()21()32(-⨯-⨯-⨯+ (4)()113333⎛⎫⎛⎫-⨯÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5))412()39()314(-⨯-÷-；(6))323()33.0()31()91(-÷⨯+÷-．有理数的乘方（1）定义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方。

有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算 练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ） A ． 它们底数相同，指数也相同 B ． 它们底数相同，但指数不相同C ． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ． 虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（ ）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（ ） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（ ） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（ ） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（ ） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（ ）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（ ） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（ ） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（ ） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（ ）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝ ．18. -（-3）＝ ；-25＝ ；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是 ．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算 练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（ ） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（ ）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是 （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（ ）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝ ． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 ．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为 ． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16） （2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

有理数的乘方运算介绍有理数指的是可以表示为两个整数的比值的数。

乘方运算是对一个数进行自我乘以自己的操作，可以简化重复计算的过程。

本文将介绍有理数的乘方运算的基本概念和规则。

乘方的定义对于一个有理数a，乘方运算可以表示为a^n，其中a 是底数，n 是指数。

乘方运算可以将一个数自我乘以自己 n 次，例如 a^2 即表示将 a 自乘一次再乘以 a，a^3 表示将 a 自乘两次再乘以 a。

乘方的规则有理数的乘方运算遵循以下规则：1. 底数为正数时，指数可以是任意整数。

例如 2^3 表示将 2 自乘两次再乘以 2，结果为 8。

2. 底数为负数时，指数应为正偶数。

例如 (-2)^4 表示将 -2 自乘三次再乘以 -2，结果为 16。

若指数为正奇数，则结果的符号为负数。

3. 底数为 0 时，指数应为正数且不为 0。

例如 0^2 表示将 0 自乘一次再乘以 0，结果为 0。

乘方运算的性质有理数的乘方运算具有以下性质：1. 任何数的 0 次方均为 1，即 a^0 = 1，其中 a 不等于 0。

2. 对于任何数 a 和 b，a^b 与 b^a 的结果不一定相等。

3. 乘方运算遵循乘法交换律和结合律，例如 (a * b)^n = a^n * b^n。

4. 有理数的乘方运算可以化简为乘法运算，例如 a^n * a^m = a^(n+m)。

应用举例下面是一些应用有理数乘方运算的例子：1. 2^3 = 2 * 2 * 2 = 82. (-3)^2 = (-3) * (-3) = 93. 0^3 = 0 * 0 * 0 = 0乘方运算可以帮助简化重复计算的过程，使数学运算更加高效。

结论有理数的乘方运算是对一个数进行自我乘以自己的操作，具有一定的规则和性质。

通过乘方运算，可以简化重复计算的过程，并应用于各种数学问题中。

有理数的乘方运算
有理数的定义
有理数是可以表示为两个整数之比的数。

有理数包括整数、分数以及整数与分数的混合形式。

乘方的定义
有理数的乘方是指将一个数连乘若干次的运算。

乘方用指数表示，指数为正整数表示连乘次数，指数为负整数表示连除次数。

乘方的运算规则
1. 同底数幂相乘：对于相同的底数，指数相加。

例如，$a^m \times a^n = a^{m+n}$。

2. 乘方的乘法：乘方的乘法即连乘的运算。

例如，$(a^m)^n = a^{mn}$。

3. 乘方的除法：乘方的除法即连除的运算。

例如，
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。

4. 幂的乘法：不同底数的幂相乘，可以将其拆分为两个幂相乘。

例如，$a^m \times b^n = (a^m)(b^n)$。

5. 幂的除法：不同底数的幂相除，可以将其拆分为两个幂相除。

例如，$\frac{a^m}{b^n} = \frac{a^m}{b^n}$。

乘方的计算示例
下面是一些有理数乘方的计算示例：
1. $2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
2. $(3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8$
3. $\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$
总结
有理数的乘方运算是数学中的基本概念，理解了乘方的定义和运算规则，可以帮助我们更好地处理有理数的乘方计算。

以上是有理数的乘方运算的简要介绍。

以下是有理数的乘方的笔记，包括概念、法则、例题等内容：
1. 有理数的乘方是指将有理数乘若干次方的运算。

乘方的运算可以利用指数的形式来表示，也可以直接进行计算。

2. 乘方的运算法则包括乘方和幂的运算，以及同底数幂的乘法、除法和幂的乘方等运算。

3. 乘方的运算顺序是从左到右依次计算，括号内的运算优先于乘方和幂的运算。

4. 乘方的运算律包括交换律、结合律和分配律。

交换律是指$a^n\times a^m=a^{n+m}$；结合律是指$(a^n)^m=a^{n\times m}$；分配律是指$a^n(b+c)=a^nb+a^nc$。

5. 乘方的运算性质包括正数和零的乘方为正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数。

6. 乘方的实际应用包括计算面积、体积、指数函数等。

7. 乘方的历史背景包括古埃及人用手指计算阶乘，以及欧拉公式等。

希望以上笔记能够帮助你更好地理解有理数的乘方。

文档来源 :从网 收集整理 .word 版本可 . 迎下 支持 .有理数的乘方运算及其混合运算1. 理解有理数乘方的意 并能准确 行有理数乘方的 算教学目的2. 熟 运用加减乘除法 行有理数的混合运算( 一 ) 、乘方的意知识点梳理. 在 a n 中， a 叫做底数， n 叫做指数，当a n 看作 a1. 求 n 个相同因数的 的运算，叫做乘方，乘方的 果叫做的 n 次方的 果 ，也可以 作a 的 n 次 .2. 数的奇次 是 数， 数的偶次 是正数.3. 正数的任何次 都是正数，0 的任何正整数次 都是 0.( 二 ) 、有理数混合运算的运算 序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同极运算，从左到右 行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次 行 .( 三 ) 、有理数混合运算需注意的1. 有理数的运算，加减法叫做第一 运算；乘除法叫做第二 运算；乘方和开方（以后学）叫做第三 运算. 一个式子中如果含有多 运算式，先做第三 运算，再做第二 运算，最后做第一季运算. 同一 运算按照从左到右的序 行运算；有括号 ，按照小括号、中括号、大括号（或大括号、中括号、小括号）的 序 行运算.2. 灵活的运用运算律，改 运算 序，可以 化 算 .1 1 3 5【例 1】例题讲解242 6 812【例 2】 132 2 1 135 3 0.3430.3477【例 3】311333【例 4】1410.51 1223123456782007【例 5】已知 3 =3，3 =9， 3 =27， 3 =81， 3 =243， 3 =729， 3 =2187，3 =6561，⋯， 确定3 的末位数字是几．（ 1） 写出木棍第一天，第二天，第三天的 度分 是多少？（ 2） 推断第 n 天木棍的 度是多少？【例 7】若 52x+1=125，求（ x-2 ） 2005+x 的值是 ．【例 8】用简便方法计算．（ 1）（ - 14 ） 4005×162003=（2） 318×（ - 19 ） 8=19920092093（3）（0.5 ×3 23 ） ?（ - 2× 311 ） =（ 4） 0.25 ×2 ×25 ×64 =【例 9】比较下面算式结果的大小（在横线上填“＞”、“＜”或“ =”）：42+322×4×3；（ -3 ）2 +12 ×（ -3 ）× 1；（ -2 ） 2+（ -2 ） 2 ；×（ -2 ）×（ -2 ）．通过观察归纳，写出能反映这一规律的一般结论．【例 10】有一张厚度是 0.2毫米的纸，如果将它连续对折10 次，那么它会有多厚？一、选择题 巩固练习1、 118 表示（ ）A 、11 个 8 连乘B、11 乘以 8C 、8个11连乘D、8个别 1相加2的值是（ ）2、－ 3A 、－ 9B 、9C 、－6D 、 63、下列各对数中，数值相等的是（）A 、 －32 与 －23B 、－23 与 ( －2)3C 、－ 32 与 (－3) 2D 、 ( －3×2) 2 与－ 3×224、下列说法中正确的是（ ）A 、 23 表示 2×3的积B、任何一个有理数的偶次幂是正数C 、－ 32 与 ( － 3) 2 互为相反数D、一个数的平方是4，这个数一定是2935、下列各式运算结果为正数的是（）A 、－ 24×5B 、 (1 －2) × 5 C、(1 －24) ×5D、 1－(3 ×5) 66、如果一个有理数的平方等于 ( －2) 2，那么这个有理数等于（）A 、－ 2B 、 2C 、4D、2或－27、一个数的立方是它本身, 那么这个数是（ ）A 、0B 、0或1 C、－1或1D、0或1或－18、如果一个有理数的正偶次幂是非负数, 那么这个数是（）A 、正数B 、负数C 、 非负数D、任何有理数9、－ 24×( － 22) ×( － 2) 3 =（ ）A 、29B 、－29C、－ 224D 、22410、两个有理数互为相反数，那么它们的 n 次幂的值（）A 、相等B、不相等C、绝对值相等 D、没有任何关系11、一个有理数的平方是正数 , 则这个数的立方是（ ）A 、正数B、负数C、正数或负数D、奇数12、 ( － 1) 2001＋( － 1) 2002÷ 1 ＋ ( － 1) 2003 的值等于（）A 、0B 、 1 C、－ 1D 、 2二、填空题3 51、 ( －2) 6 中指数为，底数为； 4 的底数是，指数是；的底数是，指数2是 ，结果是；2、根据幂的意义， ( － 3) 4 表示 ，－ 43 表示；3、平方等于1的数是，立方等于 1 的数是；64644、一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的2003 次幂是；5、平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是；33336、3， 3，44；47、2 73 ， 2 74 ， 2 75 的大小关系用“＜”号连接可表示为；8、如果 a 4 a 4 ，那么 a 是；9、 12 23 3 42001 2002；10、如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是 ；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是；11、若a 2b 3＞0 ，则 b三、计算题2 41131、2、23、 1 2003413 3 3、 15、23 3 2 6、323 27、2 222 3 238、 421545 349、2624321210 、2 2 31 302 37四、解答题：某种细菌在培养过程中， 每半小时分裂一次 （由一个分裂成两个） ，若这种细菌由 1 个分裂为 16 个，则这个过程要经文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.过多长时间？1、 78表示（）作业布置A、7个8连乘B、7 乘以 8C、8个7连乘D、8个7相加2、计算﹣32的结果是（）A、﹣9B、 9C、﹣6D、 63、下列各组数中，数值相等的是（）A、32和 23B、﹣ 23和（﹣ 2）3C、﹣32和（﹣ 3）2D、﹣（ 3×2）2和﹣ 3×224、下列说法中正确的是（）A、 23表示 2×3的积B、任何一个有理数的偶次幂是正数C、﹣ 32 与（﹣3）2互为相反数D、一个数的平方是，这个数一定是5、下列各式运算结果为正数的是（）A、﹣ 24×5B、（ 1﹣ 2）4×5C、（ 1﹣ 24）×5D、 1﹣（ 3×5）66、下列计算结果为正数的是（）A、7×（﹣24）B、（ 1﹣ 5）2×3C、（ 1﹣ 52）×3D、 1﹣（ 3×5）27、﹣ | ﹣ 3| ﹣ 23的值是（）A、﹣ 3B、﹣ 11C、 5D、 118、计算器上的或键的功能是（）A、开启计算器B、关闭计算器C、清除全部内容或刚刚输入内容D、计算乘方9、﹣ 5 的绝对值的倒数与绝对值等于 5 的数的和为（）A、1 或-1 B 、 0 或1C、51或- 4 1D、 55510、下列计算结果正确的是（）A、﹣ 7﹣2×5=（﹣7﹣ 2）×5B、C、D、﹣（﹣32）=911、（﹣ 2）6中指数为_________，底数为_________； 4的底数是_________，指数是_________；文档来源 :从网收集整理 .word 版本可 .迎下支持 .的底数是_________ ，指数是_________，果是_________．12、根据的意，（ 3）4表示_________， 43表示_________．13、平方等于的数是_________，立方等于的数是_________ ．14、一个数的15 次是数，那么个数的2003 次是_________．15、平方等于它本身的有理数是_________，立方等于它本身的有理数是_________．16、 = _________， = _________， =_________．17、用算器入7 的法是先入_________ ，然后按 _________．18、算： =_________ ．19、若 |a+1|+|b5|+ （ c 2）2=0， abc=_________．20、当 x=， y= 2 ，（ x+y）2=_________．21、有理数依次是2， 5，9， 14，x， 27，⋯依次你能求出x 的？ x 的_________．22、（ 1）（ 2）4（ 2）（ 3）（ 1）2003（ 4） 13 3×（ 1）3325） 2 +（ 3）23. 你吃“手拉面” ？如果把一个面拉开，然后折，再拉开，再折，⋯如此往复下去，折10 次，会拉出多少根面条？附答案典型例例 1：7例2：-13.34例3：9例4：例5：解：32007的指数2007 且 2007÷4=501⋯3，所以 32007的末位数字是7．答： 32007的末位数字是7．例 6：一根木棍原m 米，如果从第一天起每天折断它的一半．（ 1）写出木棍第一天，第二天，第三天的度分是多少？（ 2）推断第n 天木棍的度是多少？例7：解：∵ 52x+1=53，∴2x+1=3 ，解得 x=1．所以（ x-1 ）2005+x=（ -1）2006=1．故填 1．例8：解：（1）（- 14）4005×162003=（ - 14）4005×（ 42）2003=（ - 14）4005×44006=（ - 14）4005×44005×4=[ （ - 14）×4]4005×4=（ -1）×4=-4 ；（2） 318×（ - 19）8=318×[-（ 13）2]8=318×（ 13）16=316+2×（ 13）16=（ 3×13）16×32=9；（3）（0.5 ×3 23）199?（-2 ×311）200=（ 0.5 ×113）199?（ -2 ×311）200=[0.5 ×113 ×（ -2）×311] 199×（ -2 ×311）= 611；（4） 0.259×220×259×643=0.25 9×643×220×259=0.25 9×（43）3×410×259=（ 0.25 ×4）9×（ 4×25）9×4=4×1018．例9：解：∵ 42+32=25，2×4×3=24，∴42+32＞ 2×4×3；∵（ -3）2+12=10， 2×（ -3）×1=-6，∴（ -3）2+12＞ 2×（ -3）×1；∵（ -2）2+（-2）2=8， 2×（ -2）×（ -2） =8，∴（ -2）2+（-2）2=2×（ -2）×（-2）．∴规律为：两数的平方和大于或等于这两数的积的 2 倍．故答案为：＞，＞， =，两数的平方和大于或等于这两数的积的2倍．例 10：课堂练习一、选择题1、 C2、 A3、B4、 C5、 B6、D7、 D8、 D9、B10、 C11、 C12、 C二、填空题3， 5，2432、4 个－ 3 相乘， 3 个 4 的积的相反数；1、 6，－ 2， 4，1，；2323、1，1 ；4、负数；5、0 和 1， 0，1 和－ 1；6、27 ,27 ,27；8464644 7、2 75＜ 2 73＜ 2 74； 8、9，0；9、－ 1； 10、－ 1 和 0，1；11、＜三、计算题271、－ 162、3、－ 14、 25、16、－ 17、 288、－ 599、－ 7310、－ 1四、解答题： 2 小时11.6，﹣ 2， 4， 1，﹣， 5，﹣．12.4 个﹣ 3 相乘和 3 个 4 的积的相反数．13. ±，． 14.负数 15.解： 02=0， 12=1，（﹣ 1）2=1 ，所以平方等于它本身的有理数是0,1；又 03=0 ， 13 =1，（﹣ 1）3=﹣ 1，所以立方等于它本身的有理数是0，±1．16.解： ==；==；==．17.7；+/ ﹣．18.解：原式 ===19.﹣ 10．20.解：当 x= ， y= ﹣ 2 时，（x+y ）2=（﹣ 2）2=（﹣）2=．故答案为：．21.20． 22. 解：（ 1）﹣（﹣ 2）4=﹣ 16；（ 2） =（）3=；（ 3）（﹣ 1）2003=﹣ 1；（4）﹣ 13﹣ 3×（﹣ 1）3=﹣ 1﹣ 3×（﹣ 1）=﹣ 1+3=2；（ 5）﹣ 23+（﹣ 3）2=﹣ 8+9=1；23. 2101024 根。

1.6 有理数的乘方 1．有理数的乘方的意义及有关名称 (1)一般地，n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，即，这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方．(2)幂：乘方的结果叫做幂．在乘方运算a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 叫做幂，即(如图)．(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．也就是说，a n 既表示n 个a 相乘，又表示n 个a 相乘的结果．(4)a n 看作乘方运算时，读作a 的n 次方；当a n 看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂．如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂．又如(－3)4中，底数是－3，指数是4，读作－3的4次方或－3的4次幂．(5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写．(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来．如(－1)2，212⎛⎫ ⎪⎝⎭分别表示(－1)×(－1)，12×12. 【例1】 把下列式子写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么？(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)25×25×25×25×25×25； (3) 分析：5个－3.14相乘，写成(－3.14)5,6个25相乘可写成⎝⎛⎭⎫256,2n 个m 相乘，写成m 2n . 解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5.(2)25×25×25×25×25×25＝⎝⎛⎭⎫256，其中底数是25，指数是6. (3)＝m 2n ，其中底数是m ，指数是2n .2.有理数的乘方的运算法则(1)乘方运算的符号法则乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能得出乘方运算的符号法则：正数的任何次乘方都取正号，负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号．(2)乘方的运算步骤非零有理数的乘方，先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号，再将其绝对值乘方；即：①根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号；②计算绝对值的乘方．乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算．如，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81(不是－3和4相乘)．(－232)＝(－23)×(－23)＝49. (3)几点注意①－a n 与(－a )n 的意义完全不同，－a n 表示a n 的相反数，(－a )n 表示n 个－a 相乘．如－14＝－(1×1×1×1)＝－1，底数是1；(－1)4＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝1，底数是－1.②当底数是带分数时，必须先化为假分数，再进行乘方计算．如，(－123)2＝(－53)2＝(－53)×(－53)＝259. ③若一个有理数的平方(可推广到偶次方)等于它本身，那么这个有理数是0或1.④若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身，那么这个有理数是0或±1. ⑤0的正数次方是0.【例2】 计算：(1)(－3)4；(2)－34；(3)⎝⎛⎭⎫－343；(4)－334；(5)(－1)101； (6)( 1123). 分析：(1)(－3)4表示4个－3相乘；(2)－34表示34的相反数，即－34＝－(3×3×3×3)；(3)⎝⎛⎭⎫－343表示3个－34相乘；(4)－334表示33除以4的商的相反数；(5)(－1)101表示101个－1相乘，(－1)101＝－1，在进行乘方运算时，首先根据符号法则确定符号，然后再计算绝对值，幂的绝对值等于底数绝对值的乘方；(6)底数是带分数，乘方时要先把带分数化成假分数．解：(1)(－3)4＝＋(3×3×3×3)＝81；(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；(3)⎝⎛⎭⎫－343＝－(34×34×34)＝－2764； (4)－334＝－3×3×34＝－274； (5)(－1)101＝＝－1；(6)( 112)3＝(323)＝278. 3．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算(1)有理数的运算，加减叫第一级运算，乘除叫第二级运算，乘方、开方(以后再学)叫第三级运算．(2)有理数混合运算的顺序①先乘方，再乘除，后加减．②同级运算，按照从左到右的顺序进行．③如果有括号，先做括号里的运算(括号的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的)．(3)在进行有理数混合运算时，除遵循以上原则外，还要根据具体的题目的特点，灵活使用运算律，使运算准确而快捷．【例3】 计算：(1)3＋50÷22×⎝⎛⎭⎫－15－1； (2)2334121115965⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 分析：(1)先算乘方，再把除法转化为乘法，计算乘除运算，最后算加减；(2)此题运算顺序是：第一步计算(1－49)和(1－16)；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法． 解：(1)原式＝3＋50÷4×⎝⎛⎭⎫－15－1 ＝3＋50×14×⎝⎛⎭⎫－15－1 ＝3－50×14×15－1＝3－52－1 ＝－12. (2)原式＝(85×592)÷35265⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝(89)2÷⎝⎛⎭⎫－133 ＝6481×(－27) ＝－643. 4．科学记数法(1)大数的表示方法在日常生活中我们会遇到一些特别大的数，这些数在读、写、算时都不方便，于是用如下的简洁方法来表示这些较大的数：①用更大的数量级来表示；②根据10n 的特点，来表示这些较大的数．(2)科学记数法的概念一般地，一个绝对值大于10的数都可记成±a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 等于原数的整数位数减1，这种记数方法叫做科学记数法．(3)大于10的数用科学记数法表示时，a ，n 的确定方法：①10的指数n 比原数的整数位数少1，用科学记数法表示大于10的数，只要先数一下原数的整数位数即可求出10的指数n .a 是整数位数只有一位的数．例如：341 257.31的整数位数是6，则n ＝6－1＝5，所以用科学记数法表示为3.412 573 1×105.②将原数的小数点从右向左移动，一直移到最高位的后面(即保留一位整数)，这时得到的数就是a ，小数点移动的位数就是n ，如1 300 000 000人＝1.3×109人，38万千米＝380 000千米＝3.8×105千米．辨误区 用科学记数法时应注意的几点(1)不要误认为a 就是零前面的数，如误把426 000记作426×103.(2)n 等于原数的整数位数减1.不要误认为n 就是该数后面零的个数．(3)a 是整数位数只有一位的数．如果原数是负数，负数前面的“－”号不能丢．【例4】 用科学记数法表示下列各数：(1)687 000 000；(2)5 000 000 000；(3)－367 000.分析：(1)把687 000 000写成a ×10n 时，a ＝6.87，它是将原数的小数点向左移动8位得到的，即n ＝8，所以687 000 000＝6.87×108；(2)把5 000 000 000写成a ×10n 时，a ＝5，它是将原来的小数点向左移动9位得到的，即n ＝9，所以5 000 000 000＝5×109；(3)把－367 000写成a ×10n 时，a ＝－3.67，它是将原来的绝对值的小数点向左移动5位得到的，即n ＝5，所以－367 000＝－3.67×105.解：(1)687 000 000＝6.87×108；(2)5 000 000 000＝5×109；(3)－367 000＝－3.67×105.5．有理数乘方的运算有理数乘方运算的步骤：确定幂的符号；计算幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 在幂的形式中，底数是因数，指数是相同因数的个数．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来计算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”，再计算53＝125，即(－5)3＝－125.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错． 【例5－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.辨误区 进行乘方运算时应注意的问题在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例5－2】 计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．解：(－0.25)10×412＝0.2510×412＝(0.2510×410)×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.6.写出用科学记数法表示的原数把用科学记数法表示的数±a ×10n “还原”成原数，原数的整数位数等于n ＋1；原数等于把a 的小数点向右移动n 位所得的数，若向右移动位数不够，应用0补上数位．谈重点 科学记数法的误区把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法表示的数还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．【例6】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？(1)3×104；(2)2.25×105；(3)－6.32×103；(4)赤道长约4×104千米；(5)按365天计算一年有3.153 6×107秒．分析：将科学记数法a ×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．也可以先把10n 化成通常表示的数，再与a 相乘即可，但转化时要注意1后面0的个数就是n .解：(1)3×104＝3×10 000＝30 000；(2)2.25×105＝2.25×100 000＝225 000；(3)－6.32×103＝－6.32×1 000＝－6 320；(4)4×104千米＝40 000千米；(5)3.153 6×107秒＝31 536 000秒．7.有理数运算中的技巧运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行． 在进行有理数的运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，起到事半功倍的奇效．对于较复杂的计算问题，计算时不要急于下手，应该先整体观察，分析算式的结构特征和各数之间的关系，寻找简捷的解题途径，进行合理、快速的运算．在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除．乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写成整数与真分数和的形式，如－198＝－2－38，而将－38化成－616，因而避免把－198化为－3816，也可以简化运算． 解技巧 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律．分数、小数的乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化成假分数．含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符号． 【例7】 计算：(1)－321625÷(－8×4)＋2.52＋(12＋23－34－1112)×24； (2)112÷34÷(－2)＋12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪－912－0.752. 分析：(1)此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，把－321625化成假分数，可以写成(－32－1625)的形式，而(12＋23－34－1112)×24，若用分配律又较为方便．(2)在运算的同时把前两个除法转化为乘法．去掉绝对值、把小数转化为分数，然后进一步计算即可．解：(1)－321625÷(－8×4)＋2.52＋1231123412⎛⎫+-- ⎪⎝⎭×24 ＝(－32－1625)×(－132)＋6.25＋12＋16－18－22 ＝1＋150＋6.25－12＝1.02＋6.25－12＝－4.73. (2)112÷34÷(－2)＋12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪－912－0.752 ＝32×43×(－12)＋12÷(14－94)×192－916＝－1＋12×(－12)×192－916＝－1－198－916＝－1－2－616－916＝－31516.8．有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．【例8】 据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3～0.4亩森林木材的造纸量．某市今年大约有6.7×104名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，则至少可使森林免遭砍伐的亩数为__________(用科学记数法表示)．解析：本题可分步计算出废纸回收的数量，再算出因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数：废纸回收的数量：6.7×104×12＝8.04×105(千克)＝804(吨)；因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是804×0.3＝241.2(亩)，用科学记数法表示为2.412×102亩．答案：2.412×1029.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律．②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，….③等式运算中的规律性变化，如：12－02＝1,22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．由特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或12n 求解． 【例9－1】 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析：观察式子的变化发现，从2的1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，…循环，所以每四次一循环，而27÷4＝6余3，所以227的个位数字是8，故选D.答案：D【例9－2】 观察下列各式：1＝1＝12,1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42，….请猜想前15个奇数的和是__________．解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32，…，猜想前15个奇数的和是152.答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225【例9－3】 观察下面一列数：2,5,10，x ,26,37,50，65，…，根据规律，其中x 表示的数是__________．解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序号的平方加1，即2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1，…，所以它们的排列规律是n 2＋1，所以x ＝42＋1，所以x ＝17.答案：17【例9－4】 一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．(2)对折20次后，厚度为(220×0.1)毫米．。