有理数的乘方例题与讲解

专题1.20 有理数的乘方（拓展提高）一、单选题1．计算232223333m n ⨯⨯⨯=+++个个（ ）A ．23n mB ．23m nC ．32m nD ．23m n【答案】B【分析】根据幂的运算进行计算即可；【详解】23222233333个个⨯⨯⨯=+++m mn n，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键． 2．如果点A 、B 、C 、D 所表示的有理数分别为92、3、﹣3.5、20171-，那么图中数轴上表示错误的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】C【分析】先化简点D 表示的数为﹣1，根据数轴上表示的数进行判定即可． 【详解】解：﹣12017＝﹣1，且图中点C 表示﹣2.5，所以图中数轴上表示错误的点是C ． 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴与点，化简每个数是解题的关键，熟练掌握数轴与数的对应关系是解题的基础． 3．a ，b 互为相反数，0a ≠，n 为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个 ①a b --，互为相反数 ②n n a b ，互为相反数 ③22n n a b ，互为相反数 ④2121n n a b ++，互为相反数 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，a ≠0，n 为自然数， ∴-a ，-b 互为相反数，故①说法正确；当n 是奇数时，a n 与b n 互为相反数，当n 为偶数时，a n 与b n 相等，故②说法错误； a 2n 与b 2n 相等，故③说法错误； a 2n +1，b 2n +1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B ．【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．4．某种细菌每过30min 便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（ ） A ．8 个 B ．16 个 C ．32 个 D ．64 个【答案】D【分析】根据3小时中有6个30min ，得到细菌分裂了6次，求解26即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：3÷0.5＝6（次），则经过3小时后这种细菌由1个分裂成26＝64（个）． 故选：D ．【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．5．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n 数的和，依次写出1或0即可．如：(10)(2)432119162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=为二进制下的五位数．则十进制数1027是二进制下的（ ）． A ．九位数 B ．十位数C ．十一位数D ．十二位数【答案】C【分析】根据题意得211=2148，210=1024，根据规律可知最高位应是1×210，故可求共有11位数． 【详解】解：∵211=2148，210=1024， ∴最高位应是1×210， 故共有10+1=11位数．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．6．我们常用的十进制数，如312639210610?3109,=⨯⨯⨯+++我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如32125132757173=⨯⨯+⨯++）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．1435天B ．565天C ．13天D ．465天【答案】B【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：1×73+4×72+3×7+5 =1×343+4×49+3×7+5 =343+196+21+5 =565（天）． 故选：B ．【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．二、填空题7．已知(a －3)2+|b －1|=0，则式子a 2＋b 2的值为________． 【答案】10【分析】根据非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵(a －3)2+|b －1|=0，∴a－3=0，b－1=0，a=3，b=1，a2＋b2=32+12=9+1=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的运算，解题关键是熟练运用非负数的性质求出字母的值，代入后准确计算．8．若|x+3|+(y﹣2)2=0，则(x+y)2015=_____．【答案】-1．【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求值即可．【详解】解：∵|x+3|+(y﹣2)2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，x=-3，y=2，(x+y)2015=(-3+2)2015=-1故答案为：-1．【点睛】本题考查了非负数的性质和乘方运算，解题关键是熟知非负数的性质，准确运用乘方的意义进行计算．9．如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．【答案】-6【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+16）2+1112，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．【详解】解：3x2+x+1＝3（x+16）2+1112，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，∴3（x+16）2+1112＞100，即（x+16）2＞118936＝33136，∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x 的取值．10．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1，+a b ，a 的形式，又可以表示0,,bb a的形式，则20192020a b +=________．【答案】0【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1，再根据分母不为0判断出a 、b 的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，ba，b 的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等．∴a +b 与a 中有一个是0，b a 与b 中有一个是1，但若a =0，会使ba无意义， ∴a ≠0，只能a +b =0，即a =-b ，于是ba中只能是b =1，于是a =-1．∴a 2019+b 2020=（-1）2019+12020=-1+1=0， 故答案为：0．【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a +b 与a 中有一个是0，ba与b 中有一个是1”是解答此题的关键．11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a ．如：1☆3=1×32+1=10．则（-2）☆3+3☆（-2）=_____． 【答案】-5【分析】原式利用题中的新定义列式计算即可求出值． 【详解】解：（-2）☆3+3☆（-2） =（-2）×32+（-2）+3×（-2）2+3 =-18-2+12+3 =-5故答案为：-5【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，则（a +b ）2019+（cd ）2020+（a b）2021的值为_____． 【答案】0【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，可以得到a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1，从而可以计算出所求式子的值．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且b ≠0，∴a +b ＝0，cd ＝1，ab＝﹣1， ∴（a +b ）2019+（cd ）2020+（ab）2021＝02019+12020+（﹣1）2021 ＝0+1+（﹣1） ＝0， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 13．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如333235,37911,413151719,=+=++=+++⋯，若3m 分裂后，其中有一个奇数是75，则m 的值是_______． 【答案】9【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解． 【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数， ∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， ∴m 3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m 的值9． 故答案为：9．【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键． 14．求23201312222++++⋅⋅⋅+的值，可令23201312222S =++++⋅⋅⋅+，则23201422222S =+++⋅⋅⋅+，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201415555++++⋅⋅⋅+=______．【答案】2015514- 【分析】根据题意，设23201415555S =+++++，表示23201555555S =++++，利用错位相减法解题即可．【详解】解：设23201415555S =+++++，则23201555555S =++++，因此()()2320152320142015555551555551S S -=++++-+++++=-，所以2015514S =- 故答案为：2015514-．【点睛】本题考查有理数的乘方，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三、解答题 15．计算：（1）()221531924043354⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯--÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）()832521118532369⎡⎤⎛⎫---+-⨯-÷-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】（1）-360；（2）-28【分析】（1）先计算乘方和括号内的除法，再计算括号内的乘法、然后计算括号内的加法，最后再计算乘法可得答案；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式＝1253181603954⎡⎤⎛⎫-⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=15811533⎛⎫-⨯⨯-+ ⎪⎝⎭=40273-⨯=-360；（2）原式＝25111181818538369⎛⎫--⨯+⨯-⨯÷-⨯ ⎪⎝⎭=()1121522538--+-÷-⨯ =20524-÷- =-28．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．已知有理数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 是平方等于它本身的数，求代数式4（a +b ）﹣（cd ）5+m 的值．【答案】﹣1或0【分析】利用倒数定义、相反数定义、平方数等于本身的定义可得a +b ＝0，cd ＝1，m ＝1或0，然后再代入计算即可．【详解】解：∵a 、b 互为相反数， ∴a +b ＝0， ∵c 、d 互为倒数， ∴cd ＝1，又∵m 是平方等于它本身的数， ∴m ＝0或1，当m ＝0时，原式＝4×0﹣15+0＝﹣1； 当m ＝1时，原式＝4×0﹣15+1＝0． 故答案为：1或0．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握倒数之积等于1，相反数之和等于0，平方等于本身的是0或者1．17．如果,a b 是任意2个数，定义运算⊗如下（其余符号意义如常）：b a b a ⊗=，例如331112328,3228⎛⎫⊗==⊗== ⎪⎝⎭；求[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗的值．【答案】1【分析】首先认真分析理解规则，根据b a b a ⊗=代入数值计算即可． 【详解】解：∵b a b a ⊗=， ∴[(23)(3)2]2014-⊗+-⊗⊗ =32[(2)(3)]2014-+-⊗ =()892014-+⊗ =20141 =1【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题的关键是读懂新规定，按照规定的规律进行计算． 18．求1+2+22+23+…+22016的值，令S ＝1+2+22+23+…+22016，则2S ＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S ﹣S ＝22017﹣1，S ＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】2017554-【分析】仿照例题可令2320165555S +++⋯+=，从而得出2320175555S ++⋯+=，二者做差后即可得出结论．【详解】解：令2320165555S +++⋯+=， 则2320175555S ++⋯+=，∴()23201723201620175555555555S S -=++⋯+-+++⋯+=-，∴2017554S -=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出201755S 4=﹣是解题的关键．19．阅读下列材料：如点A 、B 在数轴上的分别表示有理数a 、b ．则A 、B 两点间的距离表示为AB ．①当A 、B 两点分别在原点的同侧时，如图（1），（2）所示，则AB ＝|b|﹣|a|；②当A 、B 两点分别在原点的异侧时，如图（3），（4）所示，则AB ＝|b|+|a|；请回答下列问题： （1）若数轴上的点C 表示c ，点D 表示d ，且|c+2|+（d ﹣3）2＝0．①直接写出c ＝ ，d ＝ ； ②求CD 是多少？（2）若数轴上的点P 表示﹣4，点Q 表示x ，且PQ ＝2020，则x 等于多少？【答案】（1）①﹣2，3，②5；（2）﹣2024或2016 【分析】（1）①根据非负数的性质可求c ，d ；②根据A 、B 两点分别在原点的异侧时，AB ＝|b|+|a|，可得答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式，由PQ ＝2020，列出方程可求得x ． 【详解】解：（1）①∵|c+2|+（d ﹣3）2＝0， ∴c+2＝0，d ﹣3＝0， 解得：c ＝﹣2，d ＝3， 故答案为：﹣2，3；②由材料可知：CD ＝|﹣2|+|3|＝5； （2）依题意有：|x+4|＝2020， 即x+4＝﹣2020或x+4＝2020， 解得：x ＝﹣2024或2016． 故x 等于﹣2024或2016．【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离计算，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 20．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”． 初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______． （4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】（1）12；（2）②③；（3）213⎛⎫- ⎪⎝⎭，37；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）314- 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）3122222=÷÷=； （2）当a ≠0时，a 2=a ÷a =1，因此①正确； 对于任何正整数n ，当n 为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=-，当n 为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=，因此②错误；因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；故答案为：②③；（3）4(3)-=(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-=111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5111111777777⎛⎫=÷÷÷÷ ⎪⎝⎭=177777⨯⨯⨯⨯=37； （4）由题意可得：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =()()()23112344÷-⨯-+-⨯ =()12714⨯-- =314- 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．。

有理数的乘、除及乘方运算一、知识要点：1． 有理数的乘法法则：（1） 两数相乘，同号 ，异号 ，并把 .任何数同0相乘，都得 .（2） 不等于0的数相乘，积的正负号由 的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 .几个数相乘，有一个因数为0，积就为 .2． 乘积是 的两个数互为倒数3． 有理数的除法法则：除以一个数等于乘上 .两数相除，同号 ，异号 ，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.4． 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.二、典型例题：例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-43875.3 （2）532121⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯22176412（4）()[]2432611--⨯--例2、如果0,0><+ab b a ，则a 0，b 0. 如果()03<-ab ，则ab 0. 如果02>-b a ，则b .例3、已知a 、b 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A.若a ＞b,则a 2＞b 2B. 若︱a ︱＞b,则a 2＞b 2B. 若 a 3＞b 3,则a 2＞b 2 D. a ＞︱b ︱,则a 2＞b 2例4、已知：a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，｜m ｜＝5，n 是绝对值最小的数，求5ab －(c+d)×2008 － n + m 的值。

例5、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）Ａ． 2100 Ｂ．－1 Ｃ．－2 Ｄ．－2100三、练习：1． 用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是 .2． 用科学记数法表示302400，应记为 .3． 若m,n 互为相反数，xy 互为倒数，则（m ＋n ）＋5xy ＝ ；4． 若 3-x 与9+y 互为相反数，求y x -的值5． 一个数的相反数比它的本身大,则这个数是 （ ）A.正数B.负数C.0D.负数和06． 如果10<<a ，那么aa a 1,,2之间的大小关系是（ ） A ．a a a 12<< B ．a a a 12<< C ． 21a a a << D ． a a a<<21 7． 下列计算错误的个数是 （ ） ①221⎪⎭⎫ ⎝⎛=4 ②－52=25 ③2516542= ④811912=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ⑤－(－14 ) =1 ⑥()001.01.03=-- ⑦ 55=-=a ，a 则 ⑧ －a=－2则a = 2 8． A 、5个 B 、4个 C 、3个 D 、2个9． 平方等于4的数是 ，立方等于—8的数是 。

第一章有理数1.5 有理数的乘方一、知识考点知识点1【乘方的概念】1、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

2、乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。

一般地，在 a n中，a为底数，取任意有理数，n为指数，取正整数。

注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。

当 a n看作a的n次方的结果时，可以读作“a的n次方”，也可以读作“a的n次幂”。

相关题型：【例题 1】知识点2【乘方的运算】1、乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，a n就是表示 n 个 a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。

2、确定幂的符号：①负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数(奇负偶正)②正数的任何次幂是正数，0 的任何正整数次幂等于0。

3、1 的任何次幂等于1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。

4、小数化为分数再计算，带分数化为假分数再计算。

相关题型：【例题 2】知识点3【乘方的混合运算】运算顺序：1、先乘方，在乘除，最后加减。

2、同级运算，从左到右进行。

3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

相关题型：【例题 3】知识点4【科学记数法】科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a×10n的形式（其中n 为正整数，a 是整数数位只有一位的数（1 ≤ a <10），这种计数法叫做科学记数法。

相关题型：【例题 4】知识点5【近似数】1、近似数：是指与准确数相近的一个数。

近似数是经过四舍五入等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数。

2、用精确度表示近似数与准确数的接近程度。

例如：按四舍五入法对圆周率π取近似数时，π≈3（精确到个位）π≈3.1（精确到0.1或精确到十分位）π≈3.14（精确到0.01或精确到百分位）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3、求一个数的近似数，需按照精确度的要求，四舍五入求得近似数。

一、有理数乘法1. 有理数乘法法则(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘，都得0.例1: (1)(—3)X 9(2)(-12)X(-2)(3)3 591654(4) 56 4 1(5)(-2012)X(+ 8)X 0X(-5 40.5 )X( - 1999)2、倒数(1) 定义：乘积为1的两个有理数数互为倒数。

倒数不能独立存在。

1(2) 若a^0,则a的倒数是匚，0没有倒数；a若a、b互为倒数，则ab=1；倒数为本身的数是土 1.(一个数的倒数与原数的符号是一致的).例2：倒数是3的数是 ____ ; a+b (a+b M 0)的倒数是.例3: a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求a|b +xy- 1c.3、有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定•当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正•再把绝对值相乘.(2)几个有理数相乘，有一个因数为0,积就为0.注意：进行有理数乘法运算时先定符号后定值； 第一个因数是负数时，可省略括 号.例如：判断下列算式积的符号并计算结果：(1)3 X (-5) X (-2) ;(2)3 X (-5) X (-2)X (-4)；(3) -3 X (-5) X (-2) X (-4) X (-3) X (-6) ; (4)(-2) X (-3) X 0X (-4);4、有理数的乘法运算律小学学习的乘法运算律(交换律、结合律、分配律)都适用于有理数乘法.计算 下列式子比较可以说明：(1) 5 X (-6) ,(-6) X 5;(2)[ 3X (-4) ]X (-5) ,3X[ (-4) X (-5) ];(3)5 X[ 3+(-7)], 5X 3+5X (-7)11 6 + 12 ) X (-24)⑶ 5 X (-11 )-(-6) X (-11 )-1 172二、有理数的除法有理数的除法法则：(1)除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即 a 十例 4.(1)4 X (- 0.17) X( -25)⑵( 1361b=a x (b^ 0)b(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.(3)0除以任何一个不为0的数，都得0.注意：1.0不能做除数；2.做有理数的除法运算时，一般的，不能整除的情况下, 应用法则(1)，能整除时，应用法则(2); 3.有理数的除法是有理数的乘法的逆运算。

2.11 有理数的乘方1．有理数乘方的概念(1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝⎛⎭⎫546，不能记作564； ③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同． ⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝⎛⎭⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积． 【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)；(2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5；(2)25×25×25×25＝⎝⎛⎭⎫254； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算：(1)(－3)2；(2)1.53；(3)⎝⎛⎭⎫－434；(4)(－1)11； (5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9；(2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375；(3)⎝⎛⎭⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1；(5)(－1)2＝1；(6)(－1)2n ＝1；(7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n次呢？(请把探索的结果填入下表中)分析：第一次拉出2＝2根，第二次拉出2＝4根，第三次拉出2＝8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.面条根数248163264...2 (2)5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝⎛⎭⎫12n 求解．【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？ 分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．(2)(220×0.1)毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝⎛⎭⎫127×1＝1128(米)．。

《有理数的乘方》典型例题例1 计算： （1）4)3(-；（2）3)8(-；（3）4)31(- 分析 根据乘方的意义可以直接用乘法来求出各乘方的值．解 （1）.81)3()3()3()3()3(4=-⨯-⨯-⨯-=-（2）.512)8()8()8()8(3-=-⨯-⨯-=-（3）.811)31()31()31()31()31(4=-⨯-⨯-⨯-=- 说明：（1）4)3(-不能写成43-或（－3）×4，同理3)8(-和4)31(-也不能如此书写；（2）观察该题可以发现负数的乘方，当指数是偶数时其乘方的值为正，当指数为奇数时其乘方的值为负．由此我们在计算负数的乘方时也可以先根据这一规律来确定乘方的符号，再计算正数的乘方．例2 计算：（1）3)7(--；（2）45.0-|分析 （1）中只要求出3)7(-，就可求出3)7(--；（2）中需注意的是44)5.0(5.0-≠-．解 （1）3437)7()7(333==--=-- （2）0625.05.04=-例3 计算12104)25.0(⨯-的值．分析 直接求10)25.0(-和124比较麻烦，但细观察可以发现个个12121010104444 25.025.025.0)25.0(⨯⨯⨯=⨯⨯==-．这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．解 12104)25.0(⨯-1210425.0⨯=个个1210444 25.025.025.0⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=)44( )425.0()425.0()425.0(10⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=个16 11110⨯⨯⨯⨯=个|.16=说明： 当发现一个题算起来比较麻烦时，我们就应该细观察、多动脑，尽可能找出简便的方法来．例4 选择题：（1）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的数共（ ）个．A ．18B ．19C ．10D ．9（2）在绝对值小于100的整数中，可以写成整数立方的数共有（ ）个．A ．7B ．8C ．10D ．12分析 （1）绝对值小于100的整数共199个；0，±1，±2，…，±99，由于任何整数的平方都是非负数，所以满足题意的数应在0，1，…，99中寻找．819,648,497,366,255,164,93,42,11,002222222222==========，而100102=（不合题意），所以共计10个数．（2）负整数的立方仍然是负数，且可以看做与正数的立方是成对的，比如有6443=，就有64)4(3-=-，只有03是个特殊情况，因此，在所给范围内可写成整数立方的数的个数必为奇数．解 （1）选C （2）选A ．说明：（1）从课本中用黑体字给出的乘方的符号规律地可以知道，负数不可能等于某个有理数的偶数次幂，但可能是某个负数的奇数次幂．（2）第（2）问还可以怎样给出呢如果把其中的“D ”改为13个，你又怎样解出呢要学会给自己提出问题，要学会经常与同学一起研究问题．。

第三讲 有理数的乘方【知识网络】1.234⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数乘方的意义.有理数乘方运算有理数的乘方.科学计数法.加减乘除与乘方的综合运算模块一：有理数乘方的意义【引例】1.从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。

他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，照这样下去，我就永远不用那么辛苦去要饭啦，哈哈哈……请想想看，如果把整块面包看成整体“1”，那第三天将吃到面包的 ，那第五天呢？2.拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条。

请想想看，捏合 次后，可以拉出8根面条；捏合 次后，就可以拉出32根面条。

【知识导航】1.乘方的概念：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即：n a a a a ⨯⨯⨯个…14444244443，记作na ，读作a 的n 次方。

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

2.乘方的结果叫做幂（power ）；在na 中，a 叫做底数（base number ），n 叫做指数（exponent ）。

【典型例题】例1.（1）底数是a,指数是4的幂写作 ,结果是.（2）m 3的意义是 ,3m（m 为正整数）的意义是 .a m （m 为正整数）的意义是 .（3）5个x 相加写成 , 5个x 相乘可写成 。

例2.边长为a 的正方形的面积列式是a a ⨯,即 （幂的形式）；棱长为a 的正方体的体积列式是 ，即 （幂的形式）。

当a=4cm 时，该正方体的体积是 （幂的形式）。

例3.判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）a 个k 相乘写作a k 。

（ ）（2）4个-5相乘写作-54。

（ ）例4.把下列式子写成幂的形式。

（1）1×1×1×1×1×1×1= ；（2）2.3×2.3×2.3×2.3 ×2.3= ；（3）（－3）×（－3）×（－3）×（－3）= ； （4） = （5）2013m m m ⨯⨯⨯个m…1444442444443 = .例5.在例4中，题（3）的计算结果是 （填正数或负数）；题（5）中，若m>0,计算结果是 （填正数或负数）；若m<0，计算结果是 （填正数或负数）。

第四讲 有理数的乘方与混合运算一、有理数的乘方 （一）、复习引入：在小学我们已经学习过a ·a ，记作a 2，读作a 的平方(或a 的二次方)；a ·a ·a 作a 3，读作a 的立方(或a 的三次方)；那么，a ·a ·a ·a 可以记作什么?读作什么?a ·a ·a ·a ·a 呢?个n a a a a ⋅⋅ (n 是正整数)呢? （二）、讲授新课：1．概念：一般地，我们有：n 个相同的因数a 相乘，即个n a a a a ⋅⋅，记作na 。

例如，2×2×2＝23；(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4。

这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)， 乘方的结果叫做幂(power)。

在a n 中，a 叫作底数，n 叫做指数， a n 读作a 的n 次方，a n 看作是a 的n 次方的结果时，也可 读作a 的n 次幂。

例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。

一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。

2．例题：例1：计算：(1) ()32-； (2) ()42-； (3) ()52-。

解：(1) 原式=(－2)(－2)(－2)=－8，(2) 原式= (－2)(－2)(－2)(－2)=16(3) 原式= (－2)(－2)(－2)(－2)(－3．总结：让学生总结出符号法则。

根据有理数乘法运算法则，我们有：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?当a ＞0时，a n ＞0(n 是正整数)； 当a <0时，⎪⎩⎪⎨⎧)(0)n (0是正整数是正整数n a a n n；当a =0时，a n =0(n 是正整数) (以上为有理数乘方运算的符号法则) a 2n =(―a )2n (n 是正整数)；12-n a=―(―a )2n-1(n 是正整数)；a 2n ≥0(a 是有理数，n 是正整数)。

1.6 有理数的乘方 1．有理数的乘方的意义及有关名称 (1)一般地，n 个相同的因数a 相乘，记作a n ，即，这种求n 个相同因数的积的运算叫做乘方．(2)幂：乘方的结果叫做幂．在乘方运算a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 叫做幂，即(如图)．(3)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．也就是说，a n 既表示n 个a 相乘，又表示n 个a 相乘的结果．(4)a n 看作乘方运算时，读作a 的n 次方；当a n 看作a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂．如34中，底数是3，指数是4，读作3的4次方或3的4次幂．又如(－3)4中，底数是－3，指数是4，读作－3的4次方或－3的4次幂．(5)一个数可以看作这个数本身的一次方．例如：5就是51,51就是5，指数1通常省略不写．(6)底数是分数或负数时，要用括号把底数括起来．如(－1)2，212⎛⎫ ⎪⎝⎭分别表示(－1)×(－1)，12×12. 【例1】 把下列式子写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么？(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；(2)25×25×25×25×25×25； (3) 分析：5个－3.14相乘，写成(－3.14)5,6个25相乘可写成⎝⎛⎭⎫256,2n 个m 相乘，写成m 2n . 解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5.(2)25×25×25×25×25×25＝⎝⎛⎭⎫256，其中底数是25，指数是6. (3)＝m 2n ，其中底数是m ，指数是2n .2.有理数的乘方的运算法则(1)乘方运算的符号法则乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能得出乘方运算的符号法则：正数的任何次乘方都取正号，负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号．(2)乘方的运算步骤非零有理数的乘方，先根据乘方运算的符号法则判断结果的符号，再将其绝对值乘方；即：①根据幂指数的奇、偶性直接确定幂的符号；②计算绝对值的乘方．乘方是特殊的乘法，由乘法法则，我们能把乘方运算化归为我们熟悉的乘法运算．如，(－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81(不是－3和4相乘)．(－232)＝(－23)×(－23)＝49. (3)几点注意①－a n 与(－a )n 的意义完全不同，－a n 表示a n 的相反数，(－a )n 表示n 个－a 相乘．如－14＝－(1×1×1×1)＝－1，底数是1；(－1)4＝(－1)×(－1)×(－1)×(－1)＝1，底数是－1.②当底数是带分数时，必须先化为假分数，再进行乘方计算．如，(－123)2＝(－53)2＝(－53)×(－53)＝259. ③若一个有理数的平方(可推广到偶次方)等于它本身，那么这个有理数是0或1.④若一个有理数的立方(可推广到奇次方)等于它本身，那么这个有理数是0或±1. ⑤0的正数次方是0.【例2】 计算：(1)(－3)4；(2)－34；(3)⎝⎛⎭⎫－343；(4)－334；(5)(－1)101； (6)( 1123). 分析：(1)(－3)4表示4个－3相乘；(2)－34表示34的相反数，即－34＝－(3×3×3×3)；(3)⎝⎛⎭⎫－343表示3个－34相乘；(4)－334表示33除以4的商的相反数；(5)(－1)101表示101个－1相乘，(－1)101＝－1，在进行乘方运算时，首先根据符号法则确定符号，然后再计算绝对值，幂的绝对值等于底数绝对值的乘方；(6)底数是带分数，乘方时要先把带分数化成假分数．解：(1)(－3)4＝＋(3×3×3×3)＝81；(2)－34＝－(3×3×3×3)＝－81；(3)⎝⎛⎭⎫－343＝－(34×34×34)＝－2764； (4)－334＝－3×3×34＝－274； (5)(－1)101＝＝－1；(6)( 112)3＝(323)＝278. 3．有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算(1)有理数的运算，加减叫第一级运算，乘除叫第二级运算，乘方、开方(以后再学)叫第三级运算．(2)有理数混合运算的顺序①先乘方，再乘除，后加减．②同级运算，按照从左到右的顺序进行．③如果有括号，先做括号里的运算(括号的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的)．(3)在进行有理数混合运算时，除遵循以上原则外，还要根据具体的题目的特点，灵活使用运算律，使运算准确而快捷．【例3】 计算：(1)3＋50÷22×⎝⎛⎭⎫－15－1； (2)2334121115965⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 分析：(1)先算乘方，再把除法转化为乘法，计算乘除运算，最后算加减；(2)此题运算顺序是：第一步计算(1－49)和(1－16)；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法． 解：(1)原式＝3＋50÷4×⎝⎛⎭⎫－15－1 ＝3＋50×14×⎝⎛⎭⎫－15－1 ＝3－50×14×15－1＝3－52－1 ＝－12. (2)原式＝(85×592)÷35265⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝(89)2÷⎝⎛⎭⎫－133 ＝6481×(－27) ＝－643. 4．科学记数法(1)大数的表示方法在日常生活中我们会遇到一些特别大的数，这些数在读、写、算时都不方便，于是用如下的简洁方法来表示这些较大的数：①用更大的数量级来表示；②根据10n 的特点，来表示这些较大的数．(2)科学记数法的概念一般地，一个绝对值大于10的数都可记成±a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 等于原数的整数位数减1，这种记数方法叫做科学记数法．(3)大于10的数用科学记数法表示时，a ，n 的确定方法：①10的指数n 比原数的整数位数少1，用科学记数法表示大于10的数，只要先数一下原数的整数位数即可求出10的指数n .a 是整数位数只有一位的数．例如：341 257.31的整数位数是6，则n ＝6－1＝5，所以用科学记数法表示为3.412 573 1×105.②将原数的小数点从右向左移动，一直移到最高位的后面(即保留一位整数)，这时得到的数就是a ，小数点移动的位数就是n ，如1 300 000 000人＝1.3×109人，38万千米＝380 000千米＝3.8×105千米．辨误区 用科学记数法时应注意的几点(1)不要误认为a 就是零前面的数，如误把426 000记作426×103.(2)n 等于原数的整数位数减1.不要误认为n 就是该数后面零的个数．(3)a 是整数位数只有一位的数．如果原数是负数，负数前面的“－”号不能丢．【例4】 用科学记数法表示下列各数：(1)687 000 000；(2)5 000 000 000；(3)－367 000.分析：(1)把687 000 000写成a ×10n 时，a ＝6.87，它是将原数的小数点向左移动8位得到的，即n ＝8，所以687 000 000＝6.87×108；(2)把5 000 000 000写成a ×10n 时，a ＝5，它是将原来的小数点向左移动9位得到的，即n ＝9，所以5 000 000 000＝5×109；(3)把－367 000写成a ×10n 时，a ＝－3.67，它是将原来的绝对值的小数点向左移动5位得到的，即n ＝5，所以－367 000＝－3.67×105.解：(1)687 000 000＝6.87×108；(2)5 000 000 000＝5×109；(3)－367 000＝－3.67×105.5．有理数乘方的运算有理数乘方运算的步骤：确定幂的符号；计算幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 在幂的形式中，底数是因数，指数是相同因数的个数．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来计算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”，再计算53＝125，即(－5)3＝－125.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错． 【例5－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.辨误区 进行乘方运算时应注意的问题在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例5－2】 计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律就比较容易求出结果了．解：(－0.25)10×412＝0.2510×412＝(0.2510×410)×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.6.写出用科学记数法表示的原数把用科学记数法表示的数±a ×10n “还原”成原数，原数的整数位数等于n ＋1；原数等于把a 的小数点向右移动n 位所得的数，若向右移动位数不够，应用0补上数位．谈重点 科学记数法的误区把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法表示的数还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．【例6】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？(1)3×104；(2)2.25×105；(3)－6.32×103；(4)赤道长约4×104千米；(5)按365天计算一年有3.153 6×107秒．分析：将科学记数法a ×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数．也可以先把10n 化成通常表示的数，再与a 相乘即可，但转化时要注意1后面0的个数就是n .解：(1)3×104＝3×10 000＝30 000；(2)2.25×105＝2.25×100 000＝225 000；(3)－6.32×103＝－6.32×1 000＝－6 320；(4)4×104千米＝40 000千米；(5)3.153 6×107秒＝31 536 000秒．7.有理数运算中的技巧运算顺序规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算，按从左到右的顺序进行． 在进行有理数的运算时，若能根据算式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用运算律和运算法则，可使问题化繁为简，化难为易，运算过程迅捷简便，起到事半功倍的奇效．对于较复杂的计算问题，计算时不要急于下手，应该先整体观察，分析算式的结构特征和各数之间的关系，寻找简捷的解题途径，进行合理、快速的运算．在有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除．乘除运算在一起时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化；遇到带分数通分时，可以写成整数与真分数和的形式，如－198＝－2－38，而将－38化成－616，因而避免把－198化为－3816，也可以简化运算． 解技巧 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算中，先确定运算顺序，注意恰当使用运算定律．分数、小数的乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化成假分数．含有多重括号时，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外向内．计算过程中应时时重视符号． 【例7】 计算：(1)－321625÷(－8×4)＋2.52＋(12＋23－34－1112)×24； (2)112÷34÷(－2)＋12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪－912－0.752. 分析：(1)此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，把－321625化成假分数，可以写成(－32－1625)的形式，而(12＋23－34－1112)×24，若用分配律又较为方便．(2)在运算的同时把前两个除法转化为乘法．去掉绝对值、把小数转化为分数，然后进一步计算即可．解：(1)－321625÷(－8×4)＋2.52＋1231123412⎛⎫+-- ⎪⎝⎭×24 ＝(－32－1625)×(－132)＋6.25＋12＋16－18－22 ＝1＋150＋6.25－12＝1.02＋6.25－12＝－4.73. (2)112÷34÷(－2)＋12÷2211122⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦×⎪⎪⎪⎪－912－0.752 ＝32×43×(－12)＋12÷(14－94)×192－916＝－1＋12×(－12)×192－916＝－1－198－916＝－1－2－616－916＝－31516.8．有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．【例8】 据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3～0.4亩森林木材的造纸量．某市今年大约有6.7×104名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，则至少可使森林免遭砍伐的亩数为__________(用科学记数法表示)．解析：本题可分步计算出废纸回收的数量，再算出因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数：废纸回收的数量：6.7×104×12＝8.04×105(千克)＝804(吨)；因废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数是804×0.3＝241.2(亩)，用科学记数法表示为2.412×102亩．答案：2.412×1029.利用乘方解决规律性问题乘方运算是新学的一种重要的计算方法，乘方运算中有很多规律性变化，目前主要有三种：①一个数的乘方运算中，个位数字总是呈现一定的循环规律．②乘方运算中的数或数列的变化呈现一定的规律性，如：－2,4，－8，16，－32，….③等式运算中的规律性变化，如：12－02＝1,22－12＝3，32－22＝5，42－32＝7，….乘方运算中规律性变化灵活多样，有时还伴有符号的变化，并与和、差、等式相结合，更不容易发现其中的规律，因此识别较难．由特殊到一般，发现探索规律，是解决这类问题的关键，要注意观察：一是看参与计算的数与顺序间的变化规律，二是看结果的变化与顺序之间的规律．由特殊入手，猜想、验证，得出正确结论．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或12n 求解． 【例9－1】 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128，…，通过观察，用你所发现的规律确定227的个位数字是( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析：观察式子的变化发现，从2的1,2,3,4,5，…次方的结果看，个位数以2,4,8,6,2,4，…循环，所以每四次一循环，而27÷4＝6余3，所以227的个位数字是8，故选D.答案：D【例9－2】 观察下列各式：1＝1＝12,1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42，….请猜想前15个奇数的和是__________．解析：1个奇数等于12，前2个奇数的和等于22，前3个奇数的和等于32，…，猜想前15个奇数的和是152.答案：1＋3＋5＋7＋9＋…＋29＝152＝225【例9－3】 观察下面一列数：2,5,10，x ,26,37,50，65，…，根据规律，其中x 表示的数是__________．解析：观察数列发现，每个数都是对应的顺序号的平方加1，即2＝12＋1,5＝22＋1,10＝32＋1，…，所以它们的排列规律是n 2＋1，所以x ＝42＋1，所以x ＝17.答案：17【例9－4】 一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．(2)对折20次后，厚度为(220×0.1)毫米．。

“有理数乘方”易错点分析及应用乘方运算是有理数的混合运算中一种比较重要的运算，在以后的学习中经常涉及到这种运算.为了帮助同学们学好这部分内容，现就解题中容易出现的一些错误分析如下.例题1 用乘方表示下列各式：(1)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)；(2)23×23×23×23×23错解：(1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=−34(2)23×23×23×23×23=253错解分析：我们知道，求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.(1) 错在混淆了-34与(-3)4所表示的意义. (-3)4的底数是-3,表示4个-3 相乘,即(-3)(-3)(-3)(-3),而-34表示-(3×3×3×3);(2)错解在最后的结果没有加上括号.实际上253与(23)5的意义不同, 253表示2×2×2×2×23,而(23)5表示2323×23×23×23正解: (1) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)=(−3)4(2) 23×23×23×23×23=(23)5当把几个相同的因数相乘写成乘方的形式,当底数是负数或分数时,应将底数用括号括起来，而加不加括号对负数的乘方而言是完全不同的，要避免这种错误发生，我觉得首先应该从教学生的读法开始，让他们在边读的同时就体会其意义，这样就会避免类似的问题发生。

例题2 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？解析：（1）纸的对折次数与纸的层数关系如下；答案：解：(1)0.1×22＝0．4(毫米)(2)220×0.1毫米点拨：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每张纸的厚度×纸的层数即可，关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些事与对折次数的对应关系，从而看到当底数大于1时，乘方增长得很快.例题 3 某股票经纪人，给他的股资者出了一道题，说明投资人的赢利净赚情况：（单位：元）股票名称每股净赚（元）股数天河+23500北斗+1.51000白马－31000海潮－（－2）500请你计算一下，投资者到底赔了还是赚了，赔或赚了多少元？解析：从题目的已知条件来看，+23表示每股净赚8元，－3表示每股净赚-3元，即佘了3元。