有理数乘方及混合运算(讲义及答案)

有理数的运算（乘、除、乘方）教学目的：1、理解有理数的乘法法则；掌握异号两数的乘除运算的规律；2、会进行有理数的乘法、除法、乘方的运算，能灵活运用运算律进行简化运算。

教学重点：1、有理数的乘法、除法法则；2、熟练的进行有理数乘法、除法、乘方运算。

教学难点：若干个有理数相乘，积的符号的确定，乘方的符号确定。

有理数的乘法有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例1：计算(1) )3()5(-⨯-(2) 4)7(⨯-(3))109()35(-⨯-例题目的：掌握有理数的乘法法则。

有理数乘法法则的推广：(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负数的个数为奇数时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正。

(2)几个数相乘，有一个因数为0，积为0。

例2：(1))4()37(21-⨯-⨯ (2) )253()5.2()94(321-⨯-⨯-⨯例题目的：会算两个以上有理数的乘法，并能判定积的符号。

有理数乘法的运算律：在有理数运算中，乘法的交换律，结合律以及乘法对加法的分配律仍然成立。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a·b ＝b·a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成(a·b)·c ＝a·(b·c)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘． 用字母表示成：a(b ＋c)＝a·b ＋a·c例3：计算：(1) 25.18)5.4(⨯⨯- (2) )]23()3[()2(-+-⨯-(3) )8(161571-⨯例题目的：掌握有理数乘法的运算律。

有理数的除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号向负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

倒数与负倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若a ， b 互为倒数，则1=ab ；乘积为1-的两个有理数互为负倒数，即若b a ,互为负倒数，则1-=⋅b a法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a ÷b )0(1≠⋅=b ba 例4：1. 求下列各数的倒数，负倒数。

第1章有理数1.5 有理数的乘方学习要求1、理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算，并体会乘方结果的变化．2、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法．3、掌握有理数混合运算的法则、顺序和运算律，能熟练、合理地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合的运算．4、进一步巩固有理数的混合运算，在运算中使用简单推理，提高运算能力．知识点一：有理数乘方的意义例1．对乘积（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）记法正确的是（）A．﹣34B．（﹣3）4C．﹣（+3）4D．﹣（﹣3）4变式1．（﹣3）2的值是（）A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6变式2．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．变式3．把下列各幂还原成连乘的形式：（1）（﹣7）4；（2）（﹣a3）5；（3）﹣a6；（4）（x﹣y）3．知识点二：有理数乘方的运算法则例2．计算：（1）（﹣3）4（2）﹣34（3）（4）（5）（﹣1）2011．变式1．计算．（1）53；（2）（﹣3）4；（3）；（4）；（5）1.52．变式2．计算：（1）﹣（﹣3）3；（2）（﹣）2；（3）（﹣）3．变式3．计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2变式4．简便计算：（﹣9）×（﹣）6×（1）3．变式5．计算：﹣32×（﹣）6×（1﹣）3．知识点三：有理数的混合运算顺序例3．计算：（1）（﹣2）2•（﹣3）2；（2）；（3）；（4）变式1．计算（1）（﹣3）4﹣（﹣3）3（2）|﹣22﹣3|﹣（﹣9）÷（﹣3）（3）（4）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+（﹣1）3×（﹣2）4．变式2．计算：（1）64÷（﹣2）4；（2）﹣22×（﹣3）2；（3）（﹣2）3×（﹣3）2；（4）．变式3．计算：（1）﹣32﹣（﹣2）2；（2）（﹣10）2+[（﹣4）2﹣（3+32）×2]；（3）（﹣1）4+（﹣23）÷×（﹣）3；（4）（﹣2）2010+（﹣2）2011；（5）（﹣0.25）2010×42011．变式4．计算题（1）﹣（﹣2）4（2）（3）（﹣1）2003（4）﹣13﹣3×（﹣1）3（5）﹣23+（﹣3）2（6）﹣32÷（﹣3）2（7）（﹣2）2﹣2+（﹣2）3+23（8）（9）（10）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+0×（﹣2）3变式5．计算（1）；（2）；（3）．变式6．计算（1）（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣9）；（2）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣7；（3）（+﹣）×（﹣36）；（4）﹣14﹣（﹣5）×+（﹣2）3÷|﹣32+1|知识点四：科学记数法例4．2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到4640万人次，其中4640万用科学记数法可表示为（）A．0.464×109B．4.64×108C．4.64×107D．46.4×106变式1．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，将2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108B．2.1×106C．2.1×107D．21×106变式2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．将82 000 000 000 用科学记数法表示为（）A．0.82×1011 B．8.2×1010C．8.2×109D．82×109变式3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×104C．1.1×105D．0.11×106变式4．国家体育场“鸟巢”建筑面积258000平方米，将258000用科学记数法表示应为（）A．258×103B．2.58×104C．2.58×105D．0.258×106变式5．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10n km，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9变式6．2014年巴西世界杯在南美洲国家巴西境内12座城市中的12座球场内举行，本届世界杯的冠军将获得3500万美元的奖励，将3500万用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．3.5×l07C．35×l06D．0.35×l08知识点五：近似数例5．用四舍五入法按要求取近似值：（1）99.5（精确到个位）（2）28343（精确到千位）（3）50673（精确到百位）变式1．下列各个数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？（1）小琳称得体重为38千克；（2）现在的气温是﹣2℃；（3）1m等于100cm；（4）东风汽车厂2000年生产汽车14 500辆．变式2．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人；（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种；（3）某校有1148人；（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷；（5）这个路口每分钟有3人经过；（6）地球表面积约5.1亿平方千米．变式3．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数：（1）地球上七大洲的总面积约为149480000平方千米（精确到10000000平方千米）（2）某人一天需要饮水1890毫升（精确到1000毫升）（3）人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）拓展点一：利用乘方解决实际问题例6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？变式1．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）拓展点二：确定近似数的精确度例7．指出下列各近似值精确到哪一位．（1）56.3（2）5.630（3）5.63×106（4）5.630万（5）0.017（6）3800．变式1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：（1）2.768（精确到百分位）；（2）9.403（精确到个位）；（3）8.965（精确到0.1）；（4）17 289（精确到千位）．变式2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（1）127.32；（2）0.040 7；（3）20.053；（4）230.0千；（5）4.002．变式3．下列近似数各精确到哪一位？（1）3.14（2）0.02010（3）9.86万（4）9.258×104（5）3.9×103（6）3.90×105．变式4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）拓展点三：科学记数法与近似数的综合应用例8．某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）变式1．人体中血液的重量约占人体重量的，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）变式2．2013年12月14日21时11分，嫦娥三号成功登陆月球．北京飞控中心通过无线电波控制，将“嫦娥三号”着陆器与巡视器成功分离的画面传回到大屏幕上．已知无线电波传播速度为3×105km/s，无线电波到月球并返回地面用2.57s，求此时月球与地球之间的距离（精确到1000km）．变式3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值，并分别写出相应的有效数字．（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．变式4．1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒千米．（1）现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？（2）写出你的计算过程．（结果保留一位小数）拓展点四：用分段法进行有理数的混合运算例9．（﹣0.125）2006×82005=．拓展点五：利用乘方进行大小比较例10．比较大小：3223．变式1．（1）问题：你能比较20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题，首先写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．通过计算，比较下列各组数的大小（在横线上填写“＞”、“＜”、“=”号）：1221，2332，3443，4554，5665，…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n的大小关系是什么？（3）根据上面的归纳猜想，尝试比较20042005和20052004的大小．变式2．化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来．（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22拓展点六：近似数真值的取值范围例11．近似数1.50所表示的准确数a的范围是（）A．1.55≤a＜1.65 B．1.55≤a≤1.64C．1.495≤a＜1.505 D．1.495≤a≤1.505变式1．近似数15.60，它表示大于或等于，而小于的数．变式2．近似数1.70所表示的准确数A的范围是．变式3．按要求取近似值：37.49≈（精确到0.1），这个近似数表示大于或等于，而小于的数．拓展点七：偶次方的非负性例12．若|a﹣1|+（b+3）2=0，则b a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1变式1．若（2a﹣1）2+2|b﹣3|=0，则a b=（）A．B．C．6 D．变式2．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+（y+3）2=0，则（）2016的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1变式3．若（a+1）2+|b﹣2|=0，求a2000•b3的值．变式4．已知|2x+1|+（y﹣2）2=0，求（xy）2011的值．拓展点八：定义新运算例13．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b=a b和a★b=b a，那么（﹣3☆2）★1=．变式1．现规定一种新的运算“⊙”：a⊙b=a2+b2﹣1，如2⊙3=22+32﹣1=12，则（﹣3）⊙4=．变式2．现定义一种新运算，对任意有理数x，y都有x⊕y=x2﹣y，例如3⊕2=32﹣2=7，则44⊕（﹣81）=．变式3．从三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作C32==3，一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：C m n=．例：从7个元素中选5个元素，共有C75==21种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种．变式4．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．解决下列问题：（1）＜π＞=（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最（填大或小）值，这个值为．变式5．阅读：如果一个非负数x四舍五入到个位后得到非负整数为n，记作“x”=n，例如“0.4”=0，“0.6”=1，“1.7”=2等，显然如果“x”=n，则可得n﹣0.5≤x＜n+0.5，反过来如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则可得“x”=n．根据以上知识，请解决以下问题：（1）当x为非负数，m为非负整数时，请说明“x+m”=m+“x”；（2）求满足3“x”=4x时，所有非负实数x的值．拓展点九：规律探究问题例14．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8变式1．观察下列式子：12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，写出第10项的算式．变式2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017首先设S=1+2+22+23+24+ (22017)则2S=2+22+23+24+25+ (22018)②﹣①得S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”1+3+32+33+34+…+32017=．变式3．观察下列各式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）=．易错点一：混淆(-a)2与-a2的值例15．﹣43的计算结果是（）A．64 B．12 C．﹣12 D．﹣64变式1．下列各组的运算结果相等的是（）A．34和43B．（﹣3）5和﹣35C．﹣32和（﹣3）2D．和变式2．下列各组中两个式子的值相等的是（）A．32与﹣32B．（﹣2）2与﹣22C．|﹣2|与﹣|+2| D．（﹣2）3与﹣23变式3．下列各数与﹣6相等的（）A．|﹣6| B．﹣|﹣6| C．﹣32D．﹣（﹣6）变式4．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（）A．﹣32B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3）D．（﹣3）+（﹣3）易错点二：混淆乘方和乘法例16．=；（）3=；（﹣）3=；﹣=．易错点三：对科学记数法理解不够例17．将下列用科学记数法表示的数还原（1）2.23×103；（2）3.0×108；（3）6.03×105．变式1．用小数表示下列各数：（1）8.5×10﹣3（2）2.25×10﹣8（3）9.03×10﹣5．变式2．用科学记数法表示的数3.61×108．它的原数是（）A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000变式3．今年1月中旬以来的低温、雨雪、冰冻天气，造成全国多个地区发生不同程度的灾害，直接经济损失已达到了5.379×1010元，将此数据用亿元表示为（）A．0.5379亿元B．5.379亿元C．53.79亿元D．537.9亿元变式4．用小数表示3.56×10﹣7为（）A．0.000000356 B．0.0000000356C．0.00000000356 D．0.000000000356易错点四：“0”不能随便去掉例18．把35.89543精确到百分位所得到的近似数为。

有理数的乘除与乘方一、课堂目标1．理解有理数的乘除运算法则，会用法则及运算律进行计算．2．理解有理数乘方的概念，会结合有理数的四则运算法则进行混合运算．二、知识引入小学我们学过正数和0之间的四则运算，比如我们会计算 、、、、、 等等这样的算式；进入初中，正负数的引入导致了数系的扩充、因此初中的计算要分为两部分——符号与绝对值——进行讨论，所有的运算都要先定符号、再定数值；当我们遇到正数与负数、负数与0的四则运算，比如 、 等等，该如何定号和定值呢？通过小学的学习我们知道可以理解为（即个相加），所以；也知道可以理解为的相反数；那么完成下面填空：=__________=__________；__________=__________；__________=__________．填完空你发现有理数乘法计算过程中有什么规律吗？三、知识讲解1. 有理数的乘法有理数乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 相乘，都得 ．【运算步骤】先确定积的符号，再求积的绝对值、即把两个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．【推广】多个数相乘时，先确定积的符号：负因数有奇数个则积为负数、负因数有偶数个则积为正数，再求积的绝对值、即把每个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为．（简称：奇负偶正）经典例题1（1）（2）（3）（4）计算： ．． ．．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习11.．2.计算：．（1）（2）3.填空：．．4.（）有理数乘法运算律有理数乘法运算律（）乘法交换律：．（）乘法结合律：．（）乘法分配律：．【易错点津】（）乘法交换律和乘法结合律是指因数的位置交换、因数的结合，它们都包含自身符号．（）运用乘法分配律时，不要漏乘，并要注意符号，如．经典例题2（1）（2）1.计算：．．思路梳理知识点：1、2、3、2.运用简便方法计算：．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习21.计算：.2.计算： ．（1）3.计算：．4.．2. 有理数的除法倒数倒数：乘积是的两个数互为倒数．负倒数：乘积是的两个数互为负倒数．【注意】没有倒数和负倒数．【知识拓展】（）根据乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（）倒数是本身的数只有和，没有倒数．（）的倒数可以用表示、负倒数可以用表示．经典例题3的倒数是 ，负倒数是 ．思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习3（1）（2）（3）（4）1.求倒数：的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．2.若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数 ；若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数互为 ．有理数的除法与小学学过的除法一样，有理数的除法和乘法也是互逆的；。

有理数的乘方（讲义）➢ 课前预习1. 填空：边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．2. 根据第1题的内容，填空：22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；312⎛⎫-⎪⎝⎭=___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．➢ 知识点睛1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；210=____．3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：__________________________________________________________________________________．5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．➢ 精讲精练1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在513⎛⎫- ⎪⎝⎭中，底数是_____，指数是________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（ ）A ．它们的底数相同，指数也相同B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ）A ．4381-=B ．2(6)36--=C ．23324-=-D ．3225125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4. 下列各组数中，值相等的是（ ）A ．23与32B ．22-与2(2)-C ．2)3(-与2(3)--D ．232⨯与2)32(⨯ 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（ ） A ．6 B ．8C ．-5D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（ ）A ．4B ．-4C ．±4D ．87. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）A ．正数B ．奇数C ．负数D ．偶数8. 下列各式一定成立的是（ ）A ．22()a a =-B ．33()a a =-C ．22a a -=-D ．33a a =-9. 计算：（1）2292343⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（2）322(2)0.54(2)-⨯-÷-；（3）3332(32)⨯--⨯； （4）235(4)48⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭；（6）3222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；（7）22141220.532-÷-÷⨯-；（8）42110.5233⎡⎤-+(1-)⨯⨯-(-)⎣⎦；（9）243213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（10）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．10. 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34 200 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34 200 000用科学记数法表示为__________．11. 2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42 000万千克可用科学记数法表示为___________千克．12. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约9.6×106平方千米，9.6×106的原数为__________________． （2）人体中约有2.5×1013个红细胞，则2.5×1013的原数是__________________________．13.乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：14.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：（1可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2a ；3a ；a a a ⨯⨯；32；42；2n2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024(3)(3)(3)-⨯-⨯-；-27；111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；18- 3. 乘除；加减➢ 知识点睛1. 幂；a n ；a ；n ；a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 0244. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 5. 乘方；乘除；加减➢ 精讲精练1. 7；4；13-；52. D3. C4. C5. D6. C7. D8. A9. （1）169-； （2）-8； （3）240；（4）-22； （5）122-； （6）314-； （7）718-；（8）136-；（9）132-； （10）0． 10. 3.42×107 11. 4.2×10812. （1）9 600 000；（2）25 000 000 000 000 13. 赚了，赚了2500元．14. （1）213辆；（2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元．。

专题04 有理数的乘方及混合运算知识网络重难突破知识点一有理数的乘方1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0【典例1】（2020秋•二七区校级月考）下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣22和（﹣2）2B．﹣和（﹣）2C．（﹣2）2和22D．﹣（﹣）2和﹣【点拨】根据有理数的乘方的运算方法，求出每组中的两个算式的值各是多少，判断出各组数中，数值相等的是哪个即可．【解析】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，∴选项A不符合题意；∵﹣＝﹣，（﹣）2＝，﹣≠（﹣）2，∴选项B不符合题意；∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22，∴选项C符合题意；∵﹣（﹣）2＝﹣，﹣＝﹣，﹣（﹣）2≠﹣，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．【变式训练】1．（2020•金华模拟）﹣32的结果等于（）A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6【点拨】根据有理数的乘方法则进行计算便可．【解析】解：原式＝﹣3×3＝﹣9，故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，注意﹣32＝﹣3×3＝﹣9，（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9两者的区别．2．（2020春•南岗区校级月考）下列计算正确的是（）A．（﹣）2＝B．23＝2×3＝6C．﹣32＝﹣3×（﹣3）＝9 D．﹣23＝﹣8【点拨】根据乘方的意义对各选项进行判断．【解析】解：A、（﹣）2＝，所以A选项错误；B、23＝2×2×2＝8，所以B选项错误；C、﹣32＝﹣3×3×3＝﹣27，所以C选项错误；D、﹣23＝﹣2×2×2＝﹣8，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．3.（2019秋•邗江区校级期末）平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是2或﹣10．【点拨】分别利用平方根的定义和立方根的定义进行求解即可．【解析】解：∵36＝（±6）2，∴平方等于36的数是±6；∵（﹣4）3＝﹣64，∴立方等于﹣64的数是﹣4，∴平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是6+（﹣4）＝2或﹣6+（﹣4）＝﹣10．故答案为：2或﹣10【点睛】本题考查了平方根和立方根．解题的关键是掌握立方根的定义、算术平方根的定义．4.（2020春•定边县期末）若|y﹣3|+（3x﹣2y）2＝0，则（﹣y）x＝9．【点拨】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解析】解：∵|y﹣3|+（3x﹣2y）2＝0，∴3x﹣2y＝0，y﹣3＝0，∴x＝2，y＝3，∴（﹣y）x＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．知识点二科学记数法1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.．2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【典例2】（2020•深圳模拟）据报道，我国2019年粮食总产量约6.64亿吨，6.64亿用科学记数法表示应为（）A．6.64×107B．6.64×108C．0.664×109D．66.4×107【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解析】解：6.64亿＝66400 0000＝6.64×108，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式训练】（2020•太原二模）2020年5月20日是第三个“世界蜜蜂日”．蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，在保护生物多样性、维持生态平衡方面也发挥着重要作用．据统计，一只蜜蜂飞行一次，可为约100朵花授粉．若一只蜜蜂一天出巢10次，2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数用科学记数法表示约为（）A．2.5×103朵B．2.5×104朵C．2.5×107朵D．0.25×108朵【点拨】首先求出2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数是多少；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，把2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数用科学记数法表示即可．【解析】解：2.5万＝25000，25000×100×10＝25000000＝2.5×107（朵）．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n 的值是解题的关键．知识点三近似数1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例3】（2019秋•上蔡县期末）用四舍五入法按要求对下列各数取近似值，其中描述错误的是（）A．0.67596（精确到0.01）≈0.68B．近似数169.8精确到个位，结果可表示为170C．近似数0.05049精确到0.1，结果可表示为0.1D．近似数9.60×106是精确到百分位【点拨】要求精确到哪一位，要看这位的后一位，然后四舍五入取值即可．【解析】解：A.0.67596（精确到0.01）≈0.68，正确，故本选项不合题意；B．近似数169.8精确到个位，结果可表示为170，正确，故本选项不合题意；C．近似数0.05049精确到0.1，结果可表示为0.1，正确，故本选项不符合题意；D．近似数9.60×106是精确到万位，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．【变式训练】1.（2019秋•广安期末）下列说法正确的是（）A．将310万用科学记数法表示为3.1×10⁷B．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10C．近似数2.3与2.30精确度相同D．若用科学记数法表示的数为2.01×10⁵，则其原数为20100【点拨】根据近似数的精确度对B、C进行判断；根据科学记数法对A、D进行判断．【解析】解：A、310万＝3 100 000，数3 100 000用科学记数法表示为3.1×106，所以A选项错误；B、用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10，所以B选项正确；C、近似数2.3与2.30精确度不相同，一个是十分位，一个是百分位，所以C选项错误；D、若用科学记数法表示的数为2.01×10⁵，则其原数为201000，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法和近似数，解题的关键是掌握科学记数法，以及近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．2.（2019秋•曲靖期末）已知a＝20.18是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（）A．20.175≤a≤20.185 B．20.175≤a＜20.185C．20.175＜a≤20.185 D．20.175＜a＜20.185【点拨】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解析】解：a的可能取值范围是20.175≤a＜20.185．故选：B．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．知识点四有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【典例4】（2019秋•成华区期末）计算：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．【点拨】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解析】解：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020＝16÷（﹣8）﹣+1＝﹣2﹣+1＝﹣；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式训练】1．（2019秋•鄄城县期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题：甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24÷（4+3）＝6+8＝14丙：（36﹣12）÷＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9×3×3＝81你认为做对的同学是（）A．甲乙B．乙丙C．丙丁D．乙丁【点拨】根据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解析】解：9﹣32÷8＝9﹣9×＝9﹣＝，故甲的作法是错误的；24÷（4+3）＝24÷7＝，故乙的作法是错误的；（36﹣12）÷＝24﹣8＝16，故丙的作法正确；（﹣3）2÷×3＝9×3×3＝81，故丁的作法正确；故选：C．【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．2．（（2019秋•玉田县期末）现定义一种新的运算：a*b＝（a+b）2÷（b﹣a），例如：1*2＝（1+2）2÷（2﹣1）＝32÷1＝9，请你按以上方法计算（﹣2）*1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．D．【点拨】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解析】解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2+1）2÷[1﹣（﹣2）]＝1÷3＝，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2020秋•朝阳区校级月考）计算：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣1）3＝1．【点拨】根据有理数的乘方和有理数的加减法可以解答本题．【解析】解：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣1）3＝﹣4+4﹣（﹣1）＝﹣4+4+1＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4.（2019秋•安居区期末）计算（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）﹣|﹣2|；（2）﹣2+（﹣）×（﹣）+÷（﹣）（3）﹣23×（﹣8）﹣（﹣）3×（﹣16）+×（﹣3）2(4)﹣22×（﹣3）÷（）2﹣20×（﹣+）．【点拨】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题；（3）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．(4)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解析】解：（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）﹣|﹣2|＝6.8+4.2+（﹣9）﹣2＝0；（2）﹣2+（﹣）×（﹣）+÷（﹣）＝﹣2++＝﹣2+＝﹣8；（3）﹣23×（﹣8）﹣（﹣）3×（﹣16）+×（﹣3）2＝﹣8×（﹣8）﹣（﹣）×（﹣16）+×9＝64﹣2+4＝66．(4)﹣22×（﹣3）÷（）2﹣20×（﹣+）＝﹣4×（﹣3）÷﹣15+16﹣14＝12×﹣15+16﹣14＝27﹣15+16﹣14＝14．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．巩固训练1．（2019秋•山西期末）﹣36的底数是3．【点拨】根据有理数乘方的定义可得答案．【解析】解：﹣36的底数是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数乘方的意义是解本题的关键．2．（2019秋•遂宁期末）下列各数中：（﹣11）3，﹣（﹣2）5，﹣（﹣5），（﹣4）2，﹣|﹣3|，负数有2个．【点拨】先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案．【解析】解：（﹣11）3＝﹣113，﹣（﹣2）5＝32，﹣（﹣5）＝5，（﹣4）2＝16，﹣|﹣3|＝﹣3，则负数有（﹣11）3，﹣|﹣3|共2个．故答案为：2．【点睛】本题考查了负数的定义，属于基础题，注意掌握负数的定义．3.（2020春•松江区期末）截至2020年6月5日，全世界感染新冠肺炎的人数约为6650000人，数字6650000用科学记数法表示，并保留2个有效数字，应记为 6.7×106．【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解析】解：将6650000用科学记数法表示为：6.7×106．故答案为：6.7×106．【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．4．（2019秋•金乡县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则a b＝±8．【点拨】利用绝对值的意义，先确定a、b的值，再计算它们的幂【解析】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3∵|a﹣b|＝b﹣a∴b≥a∴a＝±2，b＝3当a＝2时，23＝8，当a＝﹣2时，（﹣2）3＝﹣8故答案为：±8【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘方．根据绝对值的意义确定a、b的值是解决本题的关键．绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．5．（2019秋•鄂城区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为，则6a+6b﹣3m2+2cd的值是．【点拨】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的概念得出a+b＝0，cd＝1，m＝±，将其代入原式＝6（a+b）﹣3m2+2cd计算可得．【解析】解：根据题意得a+b＝0，cd＝1，m＝±，则原式＝6（a+b）﹣3m2+2cd＝6×0﹣3×（±）2+2×1＝0﹣3×+2＝﹣+2＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则、相反数的性质、倒数的定义和绝对值的概念．6．（2020春•南岗区校级月考）下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．（﹣3）2与﹣32B．|﹣3|2与32C．（﹣3）2与32D．﹣|﹣3|2与﹣32【点拨】根据乘方的意义、绝对值和相反数的定义对各选项进行判断．【解析】解：∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2与﹣32互为相反数，故选项A符合题意；∵|﹣3|2＝9，32＝9，∴|﹣3|2与32相等，故选项B不符合题意；∵（﹣3）2＝9，32＝9，∴（﹣3）2与32相等，故选项C不符合题意；∵﹣|﹣3|2＝﹣9，﹣32＝﹣9，∴﹣|﹣3|2与﹣32相等，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了绝对值和相反数．7.（2019秋•樊城区期末）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7+2＝72．那么在计算6×8时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，3 B．3，1 C．1，4 D．4，1【点拨】先分析8×9，左手伸出：8﹣5＝3，3根手指；右手伸出：9﹣5＝4，4根手指；同理6×8，左手伸出：6﹣5＝1，1根手指；右手伸出：8﹣5＝3，3根手指；所以左手还有4根手指，右手还有2根手指，列式为：6×8＝10×4+4×2＝48．【解析】解：左手：6﹣5＝1，右手：8﹣5＝3；列式为6×8＝（1+3）×10+4×2＝4×10+4×2＝40+4×2＝48．故左、右手伸出的手指数应该分别为1，3．故选：A．【点睛】考查了有理数的混合运算，此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．8．（2020秋•雨花区月考）若|m﹣2|与（n+3）2互为相反数，试求（m+n）2017的值．【点拨】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出m、n，计算即可．【解析】解：由题意得，|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则（m+n）2017＝﹣1．【点睛】本题考查的是非负数的性质，当几个非负数或式相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．9．（2019秋•莱西市期中）把下列各数填在表示集合的相应的大括号中：﹣（﹣4），0，，（﹣1）2，﹣0.25，﹣|﹣3|，1.5，﹣12014整数集合{﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014}；分数集合{，﹣0.25，1.5}；负数集合{，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014}．【点拨】根据正数、负数的定义，整数和负分数的定义分类填入即可．【解析】解：﹣（﹣4），0，，（﹣1）2，﹣0.25，﹣|﹣3|，1.5，﹣12014整数集合{﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014}；分数集合{，﹣0.25，1.5}；负数集合{，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014}．故答案为：﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014；，﹣0.25，1.5；，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014．【点睛】本题考查了有理数，要认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．10.（2019秋•侯马市期末）计算（1）﹣2+（1﹣0.2÷）×（﹣3）；（2）﹣14﹣（1+0.5）××[2﹣（﹣3）2]．(3) [﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×23【点拨】（1）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．(3)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【解析】解：（1）﹣2+（1﹣0.2÷）×（﹣3）＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）＝﹣2+×（﹣3）＝﹣2+（﹣2）＝﹣4；（2）﹣14﹣（1+0.5）××[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝．(3) [﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×23＝[﹣1﹣（12﹣15+22）]÷5﹣3×8＝（﹣1﹣19）÷5﹣3×8＝﹣20÷5﹣3×8＝﹣4﹣24＝﹣28．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．11.（2020•隆化县二模）有个写运算符号的游戏：在“3□（2□3）□□2“中的每个□内．填入+，﹣，x，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果（1）请计算琪琪填入符号后得到的算式：3×（2÷3）﹣÷22；（2）嘉嘉填入符号后得到的算式是3÷（2×3）×□22，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是﹣，请推算□内的符号．【点拨】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；（2）根据题意确定出所求即可．【解析】解：（1）原式＝3×（2÷3）﹣×＝3×﹣＝2﹣＝；（2）原式＝3÷（2×3）×﹣22＝3÷6×﹣4＝﹣4＝﹣，所以□里应是“﹣”号．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.（2019秋•岳麓区校级期中）我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝1og28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．根据以上信息，解决以下问题：（1）直接填写答案：log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．【点拨】（1）利用对数的定义求解；（2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log264；（3）设a m＝M，a n＝N，利用对数的定义得到log a M＝m，log a N＝n，再根据积的乘方得到MN＝a m•a n ＝a m+n，利用对数的定义得到log a（MN）＝m+n，从而得到log a M+log a N＝log a（MN）．【解析】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；故答案为2，4，6；（2）结果为：log24+log216＝log264；（3）一般结论为log a M+log a N＝log a（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；证明：设a m＝M，a n＝N，∴log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝m+n，∵MN＝a m•a n＝a m+n，∴log a（MN）＝m+n，∴log a M+log a N＝log a（MN）．【点睛】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．。

有理数乘方及混合运算（乘方）（人教版）一、单选题(共16道，每道6分)1.213000 000用科学记数法可表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法2.某年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法3.我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为，则所表示的原数是( )A.8990B.899000C.89900D.8990 000答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法4.表示( )A.-3与4的积B.4个-3的积C.4个-3的和D.3个-4的积答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：乘方的意义5.表示( )A.5个-3的积的相反数B.5个3的积C.5个-3的和的相反数D.5与-3的积的相反数答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：乘方的意义6.计算：=______；=______．( )A.-25；49B.10；14C.-10；-14D.25；-49答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方7.计算：=______；=______．( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方8.下列各数中，互为相反数的一对是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方9.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方10.计算的结果为( )A.2B.0C.32D.24答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方11.计算的结果为( )A.27B.-25C.-29D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方12.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方13.计算的结果为( )A.2B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方14.计算的结果为( )A.-72B.18C.24D.72答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方15.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）．则本周星期( )水位最低．A.二B.三C.五D.六答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：水位的变化16.某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）：则七天内游客人数最多的是( )日．A.1B.5C.6D.7答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方。

有理数的乘除【知识点回顾】有理数的分类，有理数的加减法，绝对值与相反数【知识点介绍】 （一）有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

任何数与0相乘仍得0.（2）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

负因数的个数是奇数时，积的符号为_______；负因数的个数是偶数时，积的符号为_______。

积的绝对值等于各个因数的绝对值的_______。

（4）乘法交换律_________________________________________。

乘法结合律_________________________________________。

乘法对加法的分配律_________________________________。

【例题精讲】1．下列算式中，积为正数的是（ ） A ．（－2）×（＋21） B ．（－6）×（－2） C ．0×（－1） D ．（＋5）×（－2） 2．下列说法正确的是（ ）A ．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号B ．同号两数相乘，符号不变C ．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号D ．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 3、若两个有理数的和与它们的积都是正数，则这两个数( )A.都是正数B.是符号相同的非零数C.都是负数D.都是非负数4、下列说法正确的是( )A.负数没有倒数B.正数的倒数比自身小C.任何有理数都有倒数D.-1的倒数是-15、如果x2y250+++=，那么(－x)·y=( )A．100 B．－100 C．50 D．－506、两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数是( )A．都是正有理数 B．都是负有理数C．绝对值大的那个有理数是正数，另一个有理数是负数D．绝对值大的那个有理数是负数，另一个有理数是正数7、a、b互为相反数且都不为0，则(a+b一1)×a1b⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．0 B．－1 C．1 D．28、若a、b为有理数，请根据下列条件解答问题：(1)若ab>0，a+b>0，则a、b的符号怎样?(2)若ab>0，a+b<0，则a、b的符号怎样?(3)ab<0，a+b>0，a b>，则a、b的符号怎样?9、若a1,a b0=+=，求－ab－2的值。

知识8-----有理数的乘（除）运算A 有理数的乘法法则：① 两数相乘，同号为正，异号为负。

先算符号, ② 一般情况下均要把小数和带分数化成假分数, 课堂训练 （计算）(―2.5)x0.44.3x(—1弓)B 有理数的除法法则：① 所有除法运算要先把它化为乘法，乘以这个数的倒数; ② 把小数和带分数化成假分数 ③先算符号，再算数字。

课堂训练 （计算）-80 + ( -5)=C 有理数乘除的运算律：乘法运算满足交换律和结合律，通过运算可以简便运算。

特别地，利用互为 倒数的数进行约分可以简便运算；yx ( -S> X ( -0,25>-2x(+9) =(-3F (- 6 )0x(—3.6) =再算数字。

要养成这种转化的习惯; (-1才皆.2)0 + (-5) =f)= 4 5（一4）十i4）=44知识9-----有理数的乘方运算 定义：求几个相同数的积的运算叫乘方运算。

aa ……a =a n ，乘方的结果叫幕, a 叫底数，n 叫指数。

①正数的乘方运算与小学相同。

负数的奇次方为负，偶次方为正。

数字按乘方法 则算；②指数蹲在谁的上面管“谁”。

如-32、2次方只管、3.不管符号，（-3）2，2次管分子中的数1;1、计算7 -13方管-3,既管符号，又管数字。

1—3丿,2次方程管整个分数。

—，2次方只 3③分数- 31二二符号放上面,F 面，前面结果相同;①-34 =）；②-3—( 23);④--=(32、比较大小:a)2 ⑥弓-3（-2）32⑧-（迖）1 (-2)3运算顺序:乘方f 乘(除)f 加(减)(7) 按运算法则，小括号二中括号=大括号。

即：通过观察先确定运算顺序； (8) 每一步都代表一个知识点，都有“技术含量”。

因此决不能跳步；(9) 必须重视判断符号；因为算式中经常省略三种符号： 正号加号和乘号，。

如口号。

2(3冷〕，括号前面省略了“X”乘号。

再如-6-7, -7前面省略了 “+”加号;(3)(5)(7) /8-(—12 +4) +(—2)x5_23 _I 1 斗丄+43 4 16—12 x(2.5)2— —4(6)(2) -(-)2咒3-4 十(-3)X 3 + 8X (-3)23 5 23⑷(肓-24)叫-1)-]2任 G+4.5]T>Ml 2 川(7+(8)3x (—0.5) (—4)-(—6)〔7.195—7丄 ”0.25—丄亠 13〕I 8八 4 13丿知识10——有理数的混合运算 混合运算法则:2 _2的倒数的相反数是3已知两个有理数 a,b ,如果ab v 0,且a+b < 0,那么（1 1 14、计算：(1) (—8)x(— -1—+-);2 4 8(2)(-丄-丄 + 3-lpc^^8)。

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算有着丰富多样的形式，其中有理数的乘方是一个重要且有趣的概念。

想象一下，将相同的有理数不断相乘，这就引出了乘方的运算。

二、什么是有理数的乘方有理数的乘方是指将一个有理数乘以自身若干次的运算。

一般地，n 个相同的有理数 a 相乘，记作aⁿ，读作“a 的 n 次方”。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如，2×2×2×2 可以记作 2⁴，其中 2 是底数，4 是指数，2⁴的结果 16 就是幂。

乘方有着其独特的表示形式和运算规则，它为我们解决很多数学问题提供了便利。

三、有理数乘方的运算规则1、正数的任何次幂都是正数比如，3²＝ 9，3³＝ 27 。

2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数例如，（－2)³＝－8，（－2)²＝ 4 。

3、 0 的任何正整数次幂都是 00²＝ 0，0³＝ 0 。

在进行有理数乘方运算时，要特别注意底数和指数的关系，以及符号的变化规律。

四、有理数乘方的运算1、简单的乘方运算先确定符号，再计算绝对值。

例如，计算（－3)²，先确定符号为正，然后计算 3²＝ 9 ，所以（－3)²＝ 9 。

再如，（－5)³，符号为负，5³＝ 125 ，所以（－5)³＝－125 。

2、乘方的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的。

例如，计算 2 ＋ 3² ×（－1) ，先算 3²＝ 9 ，式子变为 2 ＋ 9 ×（－1) ，再算乘法 9 ×（－1) ＝－9 ，最后算加法 2 ＋（－9) ＝－7 。

五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积在计算正方形的面积和正方体的体积时，会用到乘方。

比如，正方形的边长为 5 ，则面积为 5²＝ 25 ；正方体的棱长为 3 ，则体积为 3³＝ 27 。

授课类型T 有理数的乘法与混合运算C 知识解析 T 能力培养教学内容问题引入: 把一张纸对折2次可裁成4张，即2×2张； 对折3次可裁成8张，即2×2×2张 问题：若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示（不用算出结果） 对折n 次裁成的张数是多少? 请用一个算式表示提问:1．有理数乘方的意义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

乘方的结果叫做幂，在na 幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。

3． 有理数的混合运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先进行括号内的运算，按小括号 、中括号、大括号依次进行4.科学记数法一般地，一个大于10的数可以写成na 10⨯的形式，期中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数。

即 2222nn⋅⋅⋅=5.有效数字从左边第一个非0数起,到末位数字止,所有的数字都叫这个数的有效数字.题型1有理数的乘方的意义（★）对于（－3）4与－34，下列说法正确的是（ ）A ．它们的意义相同B ．它们的结果相等C ．它们的意义不同，结果相等D ．它们的意义不同，结果不 【答案】D（★）下列说法正确的是（ ）A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方是正数C ．一个数的平方不可能是负数D ．一个数的平方一定大于这个数的绝对值 【答案】C题型2有理数的乘方运算（★）计算:(1)(－7)2； (2)－72； (3)(－43)4； (4)－(－5)3. 【答案】(1)(－7)2=(－7)×(－7) =49； (2)－72=－7×7=－49；(3)(－43)4=(－43)×(－43)×(－43)×(－43)=25681； (4)－(－5)3=－(－5)×(－5)×(－5)=－(－125)=125.（★）1.下列各式成立的是（ ）A.32=3×2B.53=35C.（21）3=83 D.（41 ）2=161【答案】D题型3有理数的混合运算（★★）计算：（1）－(41)2×(－42)÷(－81)2；（2）(－3)3×(－1257)÷(－42)×(－1)25.【答案】（1）－(41)2×(－42)÷(－81)2=64；（2）(－3)3×(－1257)÷(－42)×(－1)25=2.题型4有理数的乘方的规律探究题（★★）1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第8 次后剩下的小棒有多长？ 【答案】（21）8×1=2561（米）（★★）已知下列等式：① 13＝12；② 13+23＝32；③ 13+23+33＝62；④ 13+23+33+43＝102； …………由此规律知，第⑤个等式是__________． 【答案】13+23+33+43+53=152 题型5科学记数法（★）06年我市深入实施环境污染整治，某经济开发区域经的40家化工企业中已关停、整 改32家，每年排放的污水减少了167000吨。

有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。

（2）任何数字同0相乘，都得0。

（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。

当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。

（4）0在任何条件下都不能做______。

3.乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。

参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。

【答案】原式=（-27）×（-37） 【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。

【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】 （1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。

【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。

有理数的乘方、混合运算及科学记数法是初中数学六年级下学期第1章第2节的内容．主要学习乘方的概念及运算，混合运算的相关法则及科学记数法表示方法．重点在于有理数的混合运算，同学们需要多加练习．1、乘方（1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作n a，即nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．（2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数．n a读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：n a读作a的n次方，n a看作运算结果时，读作a的n次幂．（4）特别地：11n=，00n=，（n为正整数）有理数的乘方及混合运算内容分析知识结构模块一：有理数的乘方知识精讲（5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．2/ 21【例1】 填空：（1）23的底数是______，指数是______； （2）()23-的底数是______，指数是______； （3）23-的底数是______，指数是______． 【难度】★【答案】（1）3、2； （2）-3、2； （3）3、2． 【解析】在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 【总结】考查幂的相关概念．【例2】 下列说法正确的是（ ）A ．32表示23⨯的积B ．任何一个有理数的偶次幂都是正数C ．23-与()23-互为相反数D ．一个数的平方是4，这个数就是2【难度】★ 【答案】C【解析】A ．32表示2×2×2，错误； B ．0除外，错误； C ．()223939-=--=，，正确； D ．也可能是-2，错误．【总结】本题主要考查幂的有关概念及运算，注意正确理解．【例3】 计算：（1）()25-=______； （2）()30.5-=______； （3）()33--=______；（4）()40.2--=______； （5）323⎛⎫-= ⎪⎝⎭______； （6）323-=______．【难度】★【答案】（1）25；（2）0.125-；（3）27；（4）0.0016-；（5）827-； （6）83-． 例题解析4 / 21【解析】（1）原式=5(5)25-⨯-=； （2）原式=0.5(0.5)(0.5)0.125-⨯-⨯-=-； （3）原式(3)(3)(3)27=--⨯-⨯-=； （4）原式(0.2)(0.2)(0.2)(0.2)0.0016--⨯-⨯-⨯-=-； （5）原式2228()()()33327=-⨯-⨯-=-； （6）原式222833⨯⨯=-=-． 【例4】 下列代数式中，值一定是正数的是（ ） A ．2x B ．1x -+C ．()22x -+D ．21x -+【答案】C【解析】A ．x 可能为0，错误；B ．x =1时值为0，错误；D ．x =2时值为-3，错误． 【总结】本题主要考查平方及绝对值的相关概念．【例5】 用“<”号连接()32.1-，()42.1-，()52.1-得_______________________． 【答案】()()()5342.1 2.1 2.1-<-<-．【解析】因为()42.10->，()()35352.1 2.1 2.1 2.1-=--=-，，所以()()()5342.1 2.1 2.1-<-<-． 【总结】本题主要考查幂的运算及有理数的大小比较．【例6】 计算：（1）()33131--⨯-；（2）()2323-+-；（3）()()3223--⨯-．【答案】（1）2； （2）1； （3）72． 【解析】（1）原式=()131132--⨯-=-+=； （2）原式=891-+=；（3）原式=8972⨯=．【总结】考查有理数的乘方运算，注意符号的确定．【例7】 计算：（1）()()2332222--+-+； （2）()462222317⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2； （2）73-．【解析】（1）原式=42882--+=； （2）原式=764169807739⎛⎫---⨯-=-+=- ⎪⎝⎭．【总结】考查有理数的乘方运算，注意符号的确定．【例8】 如果44a a =-，那么a 是______．【答案】0．【解析】由题已知400a a =∴=，． 【总结】考查有理数的乘方运算及绝对值的化简，注意任何有理数的偶次幂都是非负数．【例9】 计算：1011020.1258⨯． 【答案】8．【解析】原式=10110210110111888888⨯=⨯⨯=（）（）． 【总结】本题一方面考查有理数的乘法运算，另一方面考查幂的简便运算，注意进行观察．【例10】 计算：()()10110022-+-．【难度】★★★ 【答案】1002-．【解析】原式=100100100100100100(2)(2)22(2)22(21)2-⋅-+=⋅-+=⋅-+=-．【总结】本题综合性较强，一方面考查对幂的理解，另一方面考查乘法分配律的逆运算．【例11】 （1）若a 与b 互为倒数，那么2a 与2b 是否互为倒数？那么3a 与3b 是否互为倒数？ （2）若a 与b 互为相反数，那么2a 与2b 是否互为相反数？那么3a 与3b 是否互为相反数？ 【难度】★★★【答案】（1）均互为倒数； （2）2a 与2b 不是相反数；3a 与3b 是相反数．【解析】（1）由题意知1b a =，所以2323231111b b a a a a⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，所以均互为倒数；6 / 21（2）2233a b a b 与不互为相反数，与互为相反数．【总结】本题一方面考查倒数和相反数的概念，另一方面考查偶次幂与奇次幂的运算．【例12】 已知()2413605a b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，求b a 的值．【难度】★★★ 【答案】125． 【解析】由题意知：105360a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：152a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以211525ba ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题综合性较强，主要考查非负数的和为零的基本模型，另外还考查了幂的运算． 1、有理数的混合运算（1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号．（2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即()a b a b -+=-- ，模块二：有理数的混合运算知识精讲()a b a b --=-+．（3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算．【例13】 计算：（1）()2110.25362⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()22231-⨯-⨯-； （3）()()()115551010---⨯÷⨯-． 【难度】★ 【答案】（1）112-； （2）7-； （3）30-． 【解析】（1）原式=21118326134621212121212-+-+=-+-+=-；（2）原式=431437--⨯=--=-；（3）原式=()()111555105525302102⎛⎫⎛⎫---÷⨯-=---⨯⨯-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【例14】 计算：（1）()()28133-÷-⨯； （2）()41110.53---⨯；例题解析8 / 21（3）34210215⎛⎫+÷⨯-- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）27-； （2）76-； （3）0．【解析】（1）原式=819327-÷⨯=-； （2）原式=1117112366--⨯=--=-；（3）原式=410421*********⎛⎫+÷⨯--=-⨯-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【例15】 计算：（1）()30.250.1250.754--+--+-； （2）32212355⎛⎫------- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）318； （2）4330-．【解析】（1）原式=13131131448488-+++==；（2）原式=3235325184323565303030--+-=--=--=-． 【总结】考查有理数的混合运算，注意绝对值的化简以及分数与小数的运算技巧．【例16】 计算：（1）()12332.50.75 1.415345⎛⎫⎛⎫-÷⨯-⨯÷-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2452.41 4.12513.42183137⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-⨯----- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【答案】（1）13； （2）3237．【解析】（1）原式=5412573123537453⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（-）； （2）原式=123133215131855585037⎛⎫⎛⎫⎡⎤⨯-⨯---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2792151318505037+- =5191837- =3237． 【总结】考查有理数的混合运算，注意先确定符号再计算，能简便运算时要简便运算．【例17】 计算： （1）22113115517⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭； （2）221110.7523122⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭．【答案】（1）122-； （2）13．【解析】（1）原式=1725185125361722-⨯⨯=-=-； （2）原式=25311234122⎛⎫++⨯+ ⎪⎝⎭=251222⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ =13．【总结】考查有理数的混合运算，注意先确定符号再计算，能简便运算时要简便运算． 【例18】 计算：（1）7377184812⎛⎫⎛⎫-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）114723132456⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3-； （2）115． 【解析】（1）原式=777772438481287⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式=774967676496141233245737274571515⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=⨯--⨯-+⨯-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意题（2）利用乘法分配律可以将计算简单．【例19】 计算：（1）()()3211331232⎧⎫⎡⎤⎛⎫----+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（2）()341313120.544104⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭． 【答案】（1）25； （2）23527-． 【解析】（1）原式={}2311273322⎡⎤⎛⎫⎛⎫----+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1 12722⎡⎤⎛⎫----⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=126-+=25；（2）原式=1272011646427⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⨯⨯-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=23527-．【总结】本题主要考查有理数的混合运算，计算时注意按照运算顺序进行计算．【例20】计算：63.8552 1.2573171 1.1739⎛⎫⨯⨯÷⎪⎝⎭⎛⎫+÷⨯⎪⎝⎭．【难度】★★★【答案】563．【解析】原式=77204520753491173710⨯⨯⨯⎛⎫+⨯⨯⎪⎝⎭=441456443333314=⨯=．【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算．【例21】计算：123127 123126.31 23411311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⨯-⨯÷--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．【难度】★★★【答案】771160 -．【解析】原式=68934218 12126.312121211311⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⨯-⨯÷-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=51233 1126.3121132⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=633126.31132⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭=771160 -．【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算．10/ 21【例22】 计算：()()()()()2222323287348593258⨯-⨯---⨯-⎡⎤-⨯+⨯--+⨯⎣⎦．【难度】★★★ 【答案】158-． 【解析】原式=69484927250200-⨯-⨯--+⨯+=13515728-=-． 【总结】本题综合性较强，包含的运算较多，注意准确运用相关的运算法则．【例23】 5211111111125339369126912691239⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯++--+⨯+++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】23． 【解析】原式=16436436436533936363636363636363699⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯++--+⨯+++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =26135131393636369⨯-⨯+⨯=135333636⨯-⨯=823363⨯=． 【总结】本题考查有理数的混合运算，计算量比较大，注意按照运算顺序进行计算． 1、科学记数法把一个数写成10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是正整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法．模块三：科学记数法知识精讲12 / 21【例24】 用科学记数法表示下列各数：（1）3507 =____________；（2）1208000-=____________； （3）3524.810⨯=____________； （4）50.001410⨯=____________．【难度】★【答案】（1）33.50710⨯；（2）61.20810-⨯； （3）55.24810⨯； （4）21.410⨯． 【解析】略【总结】本题主要考查科学记数法的概念及表示． 【例25】 下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：（1）3310⨯=_____________； （2）64.30610⨯=____________； （3）35.410-⨯=____________；（4）41.20810-⨯=_____________．【难度】★【答案】（1）3000； （2）4306000； （3）-5400； （4）-12080． 【解析】略．【总结】本题主要考查对科学记数法的理解及运用．【例26】 若47000 4.710n =⨯，则()1n-=______． 【难度】★ 【答案】1．【解析】447000 4.710=⨯，所以()4411n =-=，． 【总结】在科学记数法中，n 等于整数位数减1．【例27】 用科学记数法表示下列各数：（1）光的速度大约是300000000米/秒； （2）地球半径约为6400000米；例题解析（3）赤道长约为40000000米；（4）地球表面积为510000000000000平方米．【难度】★【答案】（1）8⨯；（4）145.110410⨯．⨯；（2）63106.410⨯；（3）7【解析】略【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用．【例28】2008年北京奥运会火炬接力境内传递距离约为137000千米，则用科学记数法表示为（）米A．5⨯D．81.37101.3710⨯137101.3710⨯B．3⨯C．7【答案】D【解析】8137000137000000 1.3710==⨯．km m【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用．【例29】1997年5月，IBM公司生产的超级国际象棋电脑“深蓝”，战胜了国际象棋冠军卡斯帕罗夫，它的计算速度可达到约每秒钟2亿步；2016年3月，在韩国首尔，旷世瞩目的人机大战中，谷歌开发的围棋程序AlphaGo战胜了韩国围棋九段棋手李世乭，它的计算速度约是“深蓝”的3万倍，请计算AlphaGo的计算速度约为多少？（结果用科学记数法表示）【答案】12⨯．610【解析】812⨯⨯=⨯．21030000610【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用．【例30】地球与太阳的距离约8⨯米/秒，那么，太阳光射到310⨯千米，光的速度是81.510地球上约需要多少秒？（结果用科学记数法表示）【难度】★★★【答案】2⨯秒．51014 / 21【解析】8111.510 1.510km m ⨯=⨯，()()11821.51031015003500510()s s ⨯÷⨯=÷==⨯．【总结】本题主要考查科学记数法在实际问题中的运用．【习题1】 对于式子()25-，以下说法正确的是（ ）A ．5-是底数，2是幂B ．5是底数，2是幂C ．5是底数，2是指数D ．5-是底数，2是指数【难度】★ 【答案】D【解析】在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 【总结】考查幂的相关概念．【习题2】 把下列各数写成科学记数法：9000 =___________，7031000 =__________． 【难度】★【答案】3910⨯； 67.03110⨯． 【解析】略．【总结】考查科学记数法的运用．【习题3】 填空：335⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，335⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，335-=______．【难度】★ 【答案】27125-； 27125-； 275-． 【解析】略【总结】考查有理数的乘方运算，分清楚底数和指数．随堂检测【习题4】 判断：（1）若一个数的平方为正数，则这个数一定不为0；（ ） （2）()1nn -=-；（ ）（3）一个数的平方一定大于这个数；（ ） （4）平方是8的数有2个，它们是2±．（ ） 【答案】（1）√； （2）×； （3）×； （4）×． 【解析】（1）正确； （2）()11n-=±，错误；（3）211=，错误； （4）2±的平方是4不是8，错误． 【总结】考查有理数的乘方运算，注意对概念的辨析．【习题5】n 为正整数，则()21n -=______，()211n +-=______．【答案】1； 1-．【解析】()()[]n221111n n ⎡⎤-=-==⎣⎦； ()()()()2121111111n n +-=-⨯-=⨯-=-． 【总结】考查1-的偶次幂是1，奇次幂是1-的运用．【习题6】 下列各式中，计算出来的值最大的是（ ）A ．988.5310 2.1710⨯-⨯B ．1098.5310 2.1710⨯-⨯C ．989.5310 2.1710⨯-⨯D ．1089.5310 2.1710⨯-⨯【答案】D【解析】A 的结果是883.1310⨯；B 的结果是983.1310⨯；C 的结果是893.1310⨯； D 的结果是995.08310⨯，故选D ． 【总结】考查科学记数法的表示及计算．【习题7】 计算：（1）()5414772⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；16 / 21（2）()()23127123⎛⎫⎡⎤+--+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）()()23223251833⎛⎫---⨯--÷-- ⎪⎝⎭； （4）113241777113610710718811⎛⎫⎛⎫-+÷-÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （5）525228314183 4.37519129-⨯⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭； （6）497494914141.65242 1.35902090901525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-÷--÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【答案】（1）142-；（2）144； （3）5899-；（4）20677；（5）17221； （6）724．【解析】（1）原式=()5711145474222⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）原式=[]12121716443434+-⨯=+⨯=；（3）原式=450053212518932289999--⨯-÷=---=- （4）原式=371310717818361072418711⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =371317818362418711⎛⎫⎛⎫-+-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =10381872711⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭ =20677； （5）原式=21233211183148737359179912817924179-⨯-=+⨯⨯（）=21118873⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=17221；（6）原式=4971344362011902020152527⎛⎫⎛⎫⨯+-÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=49157902824⨯=． 【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【习题8】 已知()2120a b -++=，则()13a b +的值为多少？ 【难度】★★★ 【答案】-1．【解析】由题意知：a -1=0，b +2=0，所以a =1，b =-2，所以()131a b +=-．【总结】本题主要考查几个非负数的和为零的基本模型．【习题9】 根据乘方的意义，得2444=⨯，34444=⨯⨯，则()()2354444444444444⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，试计算m n a a （m ，n 是正整数）． 【难度】★★★ 【答案】m n a +．【解析】m nm n mna a a a a a a a a +⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．【总结】本题主要考查对新运算的理解及运用．【习题10】 观察下列各等式：211=；2132+=；21353++=；213574+++=…… 通过上述观察，你能猜想出反映这种规律的一般结论吗？ 你能运用上述规律求13572017+++++的值？【难度】★★★ 【答案】()()2135211n n +++++=+； 21009． 【解析】()()2135211n n +++++=+， 2135720171009++++=．【总结】考查有理数的乘方运算及对规律的归纳总结．【作业1】 两个有理数互为相反数，那么它们的n 次幂的值（ ） A ．相等 B ．不相等C ．绝对值相等D ．没有任何关系【难度】★ 【答案】C【解析】互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，所以绝对值相等． 【总结】考查对幂的理解及运用．课后作业【作业2】地球上陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为______平方千米；地球上海洋面积约为361000000平方千米，用科学记数法表示为______平方千米．【难度】★【答案】8⨯．3.6110⨯；81.4910【解析】略【总结】考查科学记数法的运用．【作业3】下列各对数中，数值相等的是（）A．23-与32-B．32-与()32-C．23-与()23-D．()232-⨯与2-⨯32【难度】★【答案】B【解析】A．-9≠-8，故错误；B．-8=-8，正确；C．-9≠9，故错误；D．36≠-12，故错误．【总结】考查有理数的乘方运算．【作业4】平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．【答案】0、1 ；0、±1．【解析】略．【总结】考查对平方及立方的理解及计算．【作业5】若230->，则b______0．a b【答案】<．【解析】因为20->，所以30b<，所以b<0．a ba≥、所以230【总结】本题主要考查正负数的乘法的正负．18/ 21【作业6】 ()()()()12233420152016-⨯-⨯-⨯⨯-=______．【答案】1-． 【解析】原式=()()()20151111-⨯-⨯⨯-=-．【总结】本题主要考查有规律的运算，注意运算中共有2015个1-．【作业7】 一个人每天吸入和呼出大约20000升空气，一年吸入和呼出的空气大约有多少升？（结果用科学记数法表示）【答案】67.310⨯升．【解析】6200003657300007.310⨯==⨯． 【总结】考查科学计数法在实际问题中的运用．【作业8】 计算：（1）()()()222423105---÷-+⨯-； （2）()()()27121251530⎛⎫---⨯-⨯- ⎪⎝⎭；（3）()3172853133⎛⎫-+⨯-++ ⎪⎝⎭；（4）2111222333⎛⎫÷⨯-÷+ ⎪⎝⎭；（5）1112117651361965735357⎛⎫⎛⎫÷-⨯+-⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）12326.87520.25314 2.52243⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯++÷÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【答案】（1）9； （2）22-； （3）0； （4）114； （5）-28； （6）1． 【解析】（1）原式=4-4909++=； （2）原式=1341254262230-⨯⨯=-=-； （3）原式=()107885133⎛⎫-+⨯-++ ⎪⎝⎭=7700⨯=；20 / 21（4）原式=711913234914⨯⨯⨯=； （5）原式=()1111217619613614028577335⎛⎫⨯---=⨯-=- ⎪⎝⎭； （6）原式=71123212623182424345⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=712321262318224345⎡⎤-++⨯⨯⎢⎥⎣⎦=121045⨯⨯=1．【总结】本题主要考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【作业9】 已知()43a -与23b +互为相反数，求a b 的值？ 【难度】★★★ 【答案】827-． 【解析】由题意知322833327a a b b ⎛⎫==-∴=-=- ⎪⎝⎭，，．【总结】本题综合性较强，一方面考查对相反数的概念的理解，另一方面考查非负数的和为 零的基本模型的运用．【作业10】 观察下面各等式，找出其中规律：()()22221122121+⨯+=⨯+； ()()22222233231+⨯+=⨯+；()()22223344341+⨯+=⨯+； ……应用你所发现的规律，请你：（1）写出第2016行式子；（2）写出第n 行式子．【难度】★★★【答案】（1）()()22222016201620172017201620171+⨯+=⨯+； （2）()()()22221111n n n n n n +⨯+++=⨯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．【解析】由已知易观察出（1）()()22222016201620172017201620171+⨯+=⨯+； （2）()()()22221111n n n n n n +⨯+++=⨯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题主要考查对规律的归纳及总结，注意认真观察．。