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位似图形的坐标变化规律

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第15讲 位似图形

第15讲 位似图形

第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。

2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。

3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。

知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。

知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。

（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。

知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。

2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。

（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。

（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。

（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。

（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。

3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。

2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。

旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。

位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。

1.4图形的位似

1.4图形的位似

B’
课本P30习题:第1,2题 学案跟踪训练：1
A
A`
O
B` C
A
C` C
∴△ A’B’C’就是所求作图形。
B C
A`
D
B
O
E
O
C`
B`
F
C
A
∴△ A’B’C’就是所求作图形。
∴△ DEF就是所求作图形。
A
A
A`
o
D
E B B C
∴△ ADE就是所求作图形。
B`
C`
C
∴△ A’B’C’就是所求作图形。
如何画位似图形？ 1、关键是确定位似中心 2、先连结顶点与位似中心 3、然后按比例确定对应点的位置 4、再连结对应点
A2
●
B2
●
C C1 A2
(0,4) B1
B (6,4)
O B2 C2
A1
A (6,0)
以坐标原点为位似中心的位似变换的坐标规律：
原来图形上点的坐标为（x，y）， 所求图形上点的坐标为（a, b）, 所求图形与原来图形的位似比为 k， 那么： a k或 k x b k或 k y
C 1 ●
B1
●
A1
A ′ ●
B′
●
●
C′
(x,y) (1,2)
(3,0) 4,0)
x 4 1 3 y 4 2 3
C ●2 B2●●源自A2B2●
C2
●
A2●
●
A1 (4,0)
● ●
C1 (2,-2)
B1 (6,-2)
●
A1
●
B1
如果两个多边形是位似图 形，那么图形上任意一对 对应点到位似中心的距离 之比等于对应边的比。 注意： 1、位似图形是相似图形 的特殊情形，其相似比又 叫做它们的位似比. 2、位似图形的对应点和 位似中心在同一条直线上.

专项练习图形的位似变换与坐标

专项练习图形的位似变换与坐标
专项练习图形的位似变换与坐标
目 录
• 位似变换基本概念与性质 • 平面直角坐标系中位似变换 • 三角形和四边形位似变换探讨 • 函数图像在位似变换下性质研究 • 实际应用问题中位似变换思想运用 • 总结回顾与拓展延伸
01 位似变换基本概念与性质
位似变换定义及特点
位似变换定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于 一点，对应边互相平行（或在一条直线上），那么这两个图 形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称 为位似比。
02 平面直角坐标系中位似变 换
平面直角坐标系简介
平面直角坐标系定义
点的坐标
在平面内画两条互相垂直、原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系。
平面内一点P的坐标由一对有序实数 (x,y)确定，其中x是点P到y轴的距离， y是点P到x轴的距离。
坐标轴及象限
水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称 为y轴或纵轴。坐标轴将平面分为四个 象限。
然保持。
渐近线变换规律
反比例函数的渐近线在位似变换 下也会进行相应的平移和缩放，
但渐近线的斜率不会改变。
05 实际应用问题中位似变换 思想运用
几何证明题中位似变换思想运用
利用位似变换证明线段比例关系
01
通过构造位似图形，证明两条线段之间的比例关系，进而解决
几何证明问题。
利用位似变换证明角度相等关系
位似图形特点
两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个 交点叫做位似中心，图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比。
相似比与位似中心关系
相似比
在位似变换中，如果两个相似图形的对应边长之比相等，那么这个比值就叫做 相似比。
位似中心与相似比关系

第2课时坐标系中的位似图形

第2课时坐标系中的位似图形
旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示 的图案中，你能找到这些变换吗？
探究
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y A′(2,1), B′(2,0)
A
A'
o
B'
B
x
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
y
A
C
B
x
o
B”
A”
知识要点
在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则 像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－ kx，－ky）.
例题
在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分
y A′(2,1),B′(2,0) A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A&#
x
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
探究
放大后对应点的坐标分别是多少?
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分 别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相 似比为2画它的位似图形.
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 ) y
A' 6
还有其他办法吗?
4 A
3
2
B'
C
1
B
o
2
4
6

位似图形的坐标变化规律(课件)-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂(人教版)

位似图形的坐标变化规律(课件)-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂(人教版)

C″
B″
例2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位
似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上.
(1)若点F的坐标为(4.5, 3),直接写出点A和点C的坐标;
(2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标.
解:
1
3
(1)A( ，0)，C( ,
2
2
1)
1.理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系．
2.会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比
例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.
(重点、难点)
3.了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的异同，并能在复杂
图形中找出这些变换.
位似
1.如图，若AB∥CD，则△OAB___△OCD，△OAB与△OCD是_____图形，点O是
分别得A'(8，-10) ,B'(12, 0),O' (0,0) ,
或A'(-8,10),B'(-12,0)，O'(0,0).
3.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换
的是( C )
A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变
B.将各点的坐标除以2，纵坐标不变
C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2
(3，6)，C(－3，3). 以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，
使它与四边形OABC的相似是2:3.
画法二：将四边形OABC各顶点的坐标都
2
乘 ；在平面直角坐标系中描点O(0，
3
0)，A″(－4，0)，B″(－2，－4)，C″(2，
－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.

【教育资料】第2课时 位似图形的坐标变化规律学习专用

【教育资料】第2课时 位似图形的坐标变化规律学习专用
图27－3－61
5.已知△ABC三顶点的坐标分别为A(0，2)，B(3，3)，C(2，1).
(1)画出△ABC；
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在网格图中画出放大后的图形△A1BC1；
(3)写出点A的对应点A1的坐标.
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
问题：如图27－3－57，△AOC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，O(0，0)，C(5，0)，以点O图27－3－57
为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
2.总结位似图形的坐标变化规律：
师生活动：教师组织学生以小组的形式进行探究，得到位似变换中对应点的坐标变化规律，教师多媒体演示，对表现优秀的学生进行表扬.
师生活动：师生共同总结位似、平移、轴对称、旋转等图形变换的基本变换规律：
位似的变换规律前面已给出；平移是横、纵坐标加上或减去平移的单位；轴对称若以x轴为对称轴则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，若以y轴为对称轴则反之；旋转是一个图形绕原点旋转180°形成中心对称时，横纵坐标都互为相反数.
未来两年大学生活的计划2.联系新旧知识，进行归纳总结，形成知识体系.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.已知线段AB两端点A(4，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，点A的对应点为点C，则端点C的坐标为(A)
A.(2，3)B．(2，1)C．(4，3)D．(4，1)
2.如图27－3－60，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，点A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(D)

《图形的位似》课件1

《图形的位似》课件1
y C' B'
B(A')
A
C
D
O
D' x
课堂小结
定理
平面直角坐标系 中的位似变化

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横 坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形 与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似 比位|k|.
画图
0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形 OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
y B B'
画法一：如右图所示， 解：将四边形OABC各顶点的
2 坐标都乘 ；在平面直角坐标 3
4
C
2 C'
系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
例1：在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0), A(3，0),B(2，3)
6 y 4 A 2 -4 -2 O -2 2 B 4 x B'
A'
（1）将点O,A,B的横坐标、 纵坐标都乘2，得到三个点，
以这三个点位为顶点的三角
形与△OAB位似吗？如果位 似，指出位似中心和相似比. 位似,位似中心为原点O， 位似比为1:2
-4
-6
y 4
（2）如果将点O,A,B的横 坐标、纵坐标都乘以-2.
B' -4 -2
A
2 O
-2 -4 2 B 4 x
A' 定理 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标 都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原
点，它们的相似比位|k|.
例2：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，

人教版初三数学下册位似图形的坐标变化规律

人教版初三数学下册位似图形的坐标变化规律

例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) A′( 3,-3 ), B′( 4,-1 ), C′( 2,0 ), D′( 1,-2)
解析:根据以原点为位似图形的坐标特征，可得C，D点横、 纵坐标为A，B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.
3.如图所示，原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，0)与A1(-2，0)
是对应点，△ABC的面积是
3 2
，则△Aபைடு நூலகம்B1C1的面积是
6
.
解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，
B 2D 4 6 8
-4
-6
-8
2.已知线段AB和CD，依据下列点的坐标，能判断AB和CD是以原点为
位似中心的位似图形的是 ( D )
A.A(2，3)，B(-1，1)，C(4，3)，D(-2，1) B.A(1，-5)，B(-1，-2)，C(1，-10)，D(-1，-4) C.A(-4，5)，B(2，-2)，C(4，5)，D(-2，-2) D.A(2，0)，B(-1，0)，C(-4，0)，D(2，0)
3）位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
复习回顾
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O

)27.3第2课时位似图形的坐标变化规律课堂反馈10分钟

)27.3第2课时位似图形的坐标变化规律课堂反馈10分钟

A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
图15—1
课堂反馈(十五)
2．在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点
O 为位似中心，相似比为21，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的
坐标是( D )
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
标系中的三点．
(1)把△ ABC 向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得
到△ A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点 A 的对应点 A1 的坐标； (2)以原点 O 为位似中心，将△ ABC 缩小为
原来的一半，得到△ A2B2C2，请在所给的坐 标系中作出所有满足条件的图形．
图15－3
第二十七章 相似
课堂反馈(十五)
27．3 第2课时 位似图形的坐标变化规律 (建议用时：10分钟)
课堂反馈(十五)
1．如图 15－1，在直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)．以原
点 O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段 AB 缩小后得
到线段 CD，则点 C 的坐标为( A )
课堂反馈(十五)
解： (1)△A1B1C1如图所示，其中点A1的坐标为(0，1)． (2)符合条件的△A2B2C2有两个，如图所示．
谢 谢 观 看！
D．(－2，1)或( 15－2，坐标原点 O 是△ ABC 和△ A′B′C′的位似中心，点 A(1，0)与点 A′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△ A′B′C′ 的面积是____6____．
图15－2
课堂反馈(十五)
4．如图 15－3，已知 A(－4，2)，B(－2，6)，C(0，4)是平面直角坐

22.4(2)图形的位似变换与坐标

22.4(2)图形的位似变换与坐标

x
o B” C” A”
知识要点
在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位பைடு நூலகம்中心，相似比为k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则 图像上的对应点的坐标为（kx，ky）或 （－kx，－ky）。
例1. 如图1，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上 方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心， 在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的 边长放大到原来的2倍，记所得的像△A′B′C．设 点B的对应点B′的坐标是（m,n），则点B的坐标是 （ ）。 y
想一想？
1、如果把位似图形放到直角坐标系 中，又如何去探究位似变换与坐标之间 的关系呢？
探索1:
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O 为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小. y A′(2,1), B′(2,0)
A
A'
x o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
注意：
（1）位似图形对应点的连线或延长线相交于 一点； （2）位似图形对应线段平行（或在一条直线 上）且成比例； （3）位似图形的对应角相等.
复习回顾
3.画位似图形的步骤
步骤： （1）确定位似中心点； （2）将图形各顶点与位似中心连接（或延长）； （3）按位似比进行取点； （4）顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形. 注意： （1）位似中心可以是任意一点，这个点可以在多 边形的内部或外部或在多边形某一边上，但具体问题一般 要考虑画图方便且符合要求； （2）一般情况下，画已知图形的位似图形的结果 有两个（同向位似或反向位似）； （3）将一个图形放大或缩小而保持形状不变.
探索2:

人教版九年级下册2位似—两个位似图形坐标之间的关系课件

人教版九年级下册2位似—两个位似图形坐标之间的关系课件

平面直角坐标 A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
如果四边形ABCD的坐标分别为 位似中心 相似比
平面直角坐标系中
系中的位似 的位似图形的画法 在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,位似比为1:2的位似图形.
在图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
在平面直角坐标系中，可以利用变换前后两个图 形对应顶点的坐标之间的关系表示某些变换。
巩固训练
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下 将各点的纵坐标减去 3，横坐标加上 5
位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
变化，其中属于位似变换的是 在平面直角坐标系中，可以利用变换前后两个图形对应顶点的坐标之间的关系表示某些变换。
位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
问题探究2
如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个
位似的直角三角形，可不小心把 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 E 点弄脏了，则
A′′(3,-3)，B′′(4,-1)，C′′(2,0)，D′′ (1,-2).
E 点坐标为 E 点坐标为
平面直角坐标系中的四种图形变换
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
中考链接
1.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点 C的坐标是(-1，0)，以点C为位似中心，在x轴的 下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B'的 横坐标是2，求点B的横坐标。

位似图形的点的坐标变化规律难点

位似图形的点的坐标变化规律难点

教 材 习 题 27.3
复习巩固
1.如图，如果虚线图形与实线图形是位似图形， 求它们的相似比并找出位似中心.
2.如图，以点P为位似中心，将五角星的边长
缩小为原来的 1 .
2
3.△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)， C(6，4). 以原点O为位似中心，将△ABC缩小得到 △DEF，使△DEF与△ABC对应边的比为1:2，这时 △DEF各个顶点的坐标分别是多少？
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD， 求△AOB与△COD的相似比。
解：相似比为OB:OD=5：2. A
5
C B
D5
2.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,-5), B(6,0), O(0,0). 以原点O为位似中心，把这个三角形 放大为原来的2倍，得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三 个顶点的坐标.
以y轴为对称轴则对应点的纵坐标相等横坐标互为相反数一个图形绕原点旋转180则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数当以原点为位似中心时变换前后两个图形对应点的横坐标纵坐标之比的绝对值等于相似比随堂演练基础巩固1
位似图形的点的坐标变化规律难点
位似图形y在直角
坐标系中又有什 么规律呢？
新课导入
随堂演练
基础巩固
1.某学习小组在讨论“变化的鱼”时, 知道大
鱼与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的
点(a, b)对应大鱼上的点( )
A.(-2a, -2b)
B.(A-a, -2b)
C.(-2b, -2a)
D.(-2a, -b)
2.△ABC三个顶点坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-2)，
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。

2019秋湘教版九年级数学上册 3.6.2 位似图形的坐标变化规律

2019秋湘教版九年级数学上册 3.6.2 位似图形的坐标变化规律

-4 -2 O
2 A' 4 A x
B'' (-2,-4),C(2,-2);在平面直角
-2 C''
坐标系中描点A'',B'', C'',用
-4 B''
线段顺次连接O,A'',B'',C''.
知识归纳
一般情况下，若没有限定象限，画已知图形关于某点的 相似图形有2个.
新知探究
例3 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们
新知探究
例2：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，
0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形
OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.
画法一：如右图所示，
解：将四边形OABC各顶点的 坐标都乘 2 ；在平面直角坐标
3
系中描点O(0,0), A'(4,0),B'(2,4)
C(-2,2);在平面直角坐标系中描
yB
4
B'
C
2 C'
-4 -2 O
2 A' 4 A x
-2
点A',B',C',用线段顺次连接
-4
O,A',B',C'.
新知探究
yB
画法二：如右图所示
4
B'
解：将四边形OABC各顶点
C 2
的坐标都乘 2 ；在平面直角
C''
3
A''
坐标系中描点O(0,0), A''(-4,0),

位似—在平面直角坐标系中画位似图形 课件

位似—在平面直角坐标系中画位似图形 课件

规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似
中心，新图形与原图形的相似比为k，那么当两图形 位于原点异侧时，与原图形上的点(x , y)对应的位似 图形上的点的坐标是 （-kx , -k.y）
位似图形的坐标规律
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点 为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么 与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的
反数
旋转变换 位似变换
一个图形绕原点旋转180° ,则旋转前后两个图形对应点 的横坐标与纵坐标都互为相反数
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心， 新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x， y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx， -ky）.
随堂演练
基础巩固
1.某学习小组在讨论“变化的鱼”时, 知道大鱼
与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的点(a,
b)对应大鱼上的点(A )
A.(-2a, -2b)
B.(-a, -2b)
C.(-2b, -2a)
D.(-2a, -b)
2.△ABC三个顶点坐标分别为A(-2，-2)，B(-4，-2)， C(-6，-4)，以原点为位似中心，将△ABC放大后得 到的△DEF与△ABC的相似比为2∶1，这时△DEF
y
在直角坐标系中画出位似图形
1、在直角坐标系中，画出线 段AB,其中A(6，3)，B(6，0). 再以原点O为位似中心，相似 比为 ，把线段AB缩小.
1 3
还有满足条 件的线段吗？
①画出线段AB
A′
②连接位似中心O
B″
A(6,3)
③找 1的对应点
O
B′
5 B(6,0)
x

4.8图形的位似

4.8图形的位似

讲
授
在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使
新
OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；
课
顺次连接D，E，F，则△ DEF与△ABC位似，相似
比为２．
满足条件的 △DEF可以在点
Ｏ的另一侧吗？
知识点 3 位似图形的画法
画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以
在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
注意：①这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边 的比.②一般情况下，若没有限定条件，此种类型的题目 要注意多种可能．
1. 【中考·辽阳】如图，在边长为1的小正方形组成的网
随
堂
格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是
检
以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格
测
点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2)
D．(3，－2)
【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中 ，正方形
随 堂
ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
检 测
且相似比为
1 3
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的
边长为6，则C点坐标为( A )
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点； 第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
知识点 3 位似图形的画法
注意： (1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多 边形的一个顶点为位似中心画图最简便． (2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与 新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比． (3)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一．

第2课时 位似图形的坐标变化规律

第2课时 位似图形的坐标变化规律
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在教授本课时，以复习学过的图形和坐标变换为例，引出本节课的位似坐标变换，效果较好；在探究新知过程中，利用点的坐标变换规律的特征进行作图，培养学生的数形结合思想，学生能够更好地理解内容.
②[讲授效果反思]
本节课中，让学生自己通过观察、动手操作画出变换后的图形，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验.
1.通过对问题的探究，提高学生的观察能力、分析解决问题的能力，加强小组活动的效果，培养学生的作图能力和语言表达能力，拓宽学生的思维，让学生总结解决问题的方法，使学生获得成功的体验，增强学习的信心.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
3.探究四种变换之间的区别和联系：
师生活动：师生共同总结位似、平移、轴对称、旋转等图形变换的基本变换规律：
情感态度
通过经历对位似图形的认识、操作、归纳等过程，激发学生探究问题的兴趣，得到解决问题的成功体验，培养学生之间的交流合作意识.
教学
重点
用图形中的点的坐标变化来表示图形的位似变换．
教学
难点
对平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化规律的归纳．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
你有什么发现？
利用解答问题的形式，探寻点的坐标规律，能提高学生的学习兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究位似图形的坐标变化规律：

1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册

1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册
三等分.
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，

=


= ，


=


点G，H 将线段AB 三等分.

= ，即

知4－练
感悟新知
知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
感悟新知
知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
感悟新知
知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
感悟新知
知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
感悟新知
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
感悟新知
知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
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例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个 以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
x
C
C′
o
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) A′( 3,-3 ), B′( 4,-1 ), C′( 2,0 ), D′( 1,-2)
想一想？
1、如果把位似图形放到直角坐标系中， 又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),
以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB
缩小.
y
A′(2,1),
B′(2,0)
6
A〞(-2,-1),
4
2
B〞(-2,0)
B′ ′
-6 -4 -2 o
A′ ′ -2
B、位似图形上任意两点与位似中心的距离 之比等于位似比。
C、两个正方形是位似图形。
D、位似图形是具有某种特殊位置的相似图 形。
在前面我们学习了在平面直角坐
标系中，如何用坐标表示某些平移、 轴对称、旋转（中心对称）等变换， 相似也是一种图形的变换，一些特殊 的相似（如位似）也可以用图形坐标 的变化来表示．
B 2D 4 6 8
Байду номын сангаас
-4
-6
-8
2.已知线段AB和CD，依据下列点的坐标，能判断AB和CD是以原点为
位似中心的位似图形的是 ( D )
A.A(2，3)，B(-1，1)，C(4，3)，D(-2，1) B.A(1，-5)，B(-1，-2)，C(1，-10)，D(-1，-4) C.A(-4，5)，B(2，-2)，C(4，5)，D(-2，-2) D.A(2，0)，B(-1，0)，C(-4，0)，D(2，0)
27.3.2位似图形的坐标变化规律
复习回顾
1.什么叫位似图形?
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线 相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这 个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.
2.位似图形的性质
1)位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在 位似中心的异侧
3）位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
复习回顾
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
C
F
A
D
D
O F
B C
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__在___一__条__直___线__上_________
判断下列命题正确的是（D ） A、对应边都平行能得到两个图形是位似图形。
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和 位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中， 你能找到这些变换吗？
练习
检测检反测馈反馈
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的
相似比．
8A
点D的横坐标为2 点B的横坐标为5
相似比为
2 5
6
4C
2
-8 -6 -4 -2 O -2
解析:根据以原点为位似图形的坐标特征，可得C，D点横、 纵坐标为A，B点横、纵坐标的同一个倍数的只有D.故选D.
3.如图所示，原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点A(1，0)与A1(-2，0)
是对应点，△ABC的面积是
3 2
，则△A1B1C1的面积是
6
.
解析:∵原点O是△ABC和△A1B1C1的位似中心，点
A(1，0)与A1(-2，0)是对应点，∴△ABC和△A1B1C1
的相似比为 1 ，由相似三角形的面积比等于相似比
2
的平方，得△A1B1C1的面积是
3 2
×4=6.故填6.
课堂小结
一般的，在平面直角坐标系中，如果以 原点为位似中心，画出一个与原图形位似且 位似比为k的图形，那么与原图形上的点 （ x ， y ）对应的位似图形上的点的坐标 为（kx , ky) 或 (-kx , -ky)
观察对应点之间的 坐标的变化,你有
-4
什么发现?
-6
A A′
2B′ 4 B6 x
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐 标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O 为位似中心,相似比为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
y
A′(4 ,6 ),
6
A′
4A
C′
B′(4 ,2 ),
2
C′(12,观4坐还察)标有对-的12其应-变10他点化-8办之,-你6法间-有4吗的-?2
B′ ′
o
-2
什C′′么发现?
-4
B′ B
24
C
6 8 10 12 x
A′ ′ -6
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
结论：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为 k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点 A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）