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结构力学-力法中对称性的利用

结构力学-力法中对称性的利用


对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
力法(对称结构的计算)(上课)

力法(对称结构的计算)(上课)


6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
§5-5 对称结构的计算
支座、 刚度 都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对折后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算

结构力学-力法-对称性应用-去一半计算


例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky

1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2


3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
力法的对称性

力法的对称性

法2:1)将刚架上的荷载分组
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得 代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相 互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基 了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念 本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程 的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法 对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立 力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.
结构力学_力法(二)对称性的利用

结构力学_力法(二)对称性的利用

P P
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对 称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。 对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向 反对称的荷载。 下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用 下，只产生对称的内力、 变形和位移，反对称的内 力、变形和位移为零。 对称结构在反对称荷载作 用下，只产生反称的内力 、变形和位移，对称的内 力、变形和位移为零。
结构力学力法ppt课件

结构力学力法ppt课件


EI E2I
2 E2I
2 M E 2 M d I x E 1 2 6 I 6 0 1 2 9 3 2 6 0 1 2 9 3 2 E 28 I80
力法
(4) 求多余未知力
18
将系数和自在项代入力法方程，并消去 EI 2 ，得
28X17X2 600 7X132X2 1600
假设X1知，根本体系就是一个静定构造。
怎样 求X1 呢？
力法
二、力法的根本方程
FP
位移条件:根本构造转 化为原构造的条件是：根 本构造在原有荷载和多余
A 原构造
未知力共同作用下，在去
掉多余约束处的位移应与
原构造中相应的位移相等。
A
即
1 0
根本体系
〓
FP 当ΔB=Δ1=0
B
FB
B
X1 =><>=> FB
Δ1P
δ11——根本构造在X1=1单独作用下，B点沿X1方向 的位移。
1 11 10 力法根本方程
Δ11＝δ11X1
δ1X 111P0
δ11和Δ1P都是静定的根本构造在知力作用下的位移，均可用“单位 荷载法〞求得。
力法
用图乘法计算δ11和Δ1P
பைடு நூலகம்δ11
X1=1
Fl
EI
2
↓
B
Δ1P
l
X1=1
M1
MP图
5Fl3 0 48EI
X1
5 16
F
最后的弯矩图可按叠加原理由下式求得： MM1X1M
力法
Fl
EI
2
l
X1=1
M1
MP图
MA
l
5 16
力法习题课及对称性的利用.ppt

力法习题课及对称性的利用.ppt


4
40 •
21
0.5 40 k
0.25 15 k
51.19
106
2P
1 EI
1 2
6 45 •
21
0.25 40 k
(5 / 12) 15 k
111.43 106
»
50..0053XX11
0.03X 2 51.19 5.7 X 2 111.43
0 0
X1 X2
10.02 19.5
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 2EI EI
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
EI
6m
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算 24
无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
（3）绘制弯矩图
M X1M 1 X2 M 2 M P
85.13
X1 85.13 kN
X
2
95.48
kN
66.75
95.48
10.3
9m
12
例6：图示结构支座 B发生支座沉降，已知 c1 0.002 cm2 m 0，.003
杆AC制造时长了 0.001m，杆BCD制造时作成了半径为
解： 200 m的圆弧曲线，试求截面 D的角D位移 。
西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用

西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用

7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。

截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。

EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。

2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。

可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。

因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。

对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。

在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。

1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。

（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。

1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。

课件：力法-解对称结构

课件：力法-解对称结构


南京工业大学 力学部
结构力学教研室
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图
及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以， 取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B
C
D
连续梁基本体系
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
X7
X3 X5
X8 X9
X1 X2
X6
X4
X1 EA→ ∞
降阶为两组，一组只含
M2
M3
有对称未知力，一组只 对称未知力产生的弯矩图和变形曲 含有反对称未知力。 线是对称的，反对称未知力产生的
弯矩图和变形曲线是反对称的。
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
反对称荷载——绕对称轴对 折后，对称轴两边的荷载等值、 作用点重合、反向。
南京工业大学 力学部
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP1
FP1
对称轴 对称荷载
结构力学教研室
对称结构的计算
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
FP a
FP/2 a a FP/2
FP/2 a a FP/2
FP1
FP2 F
FW
W
➢位于对称轴上的截面的位移 vC 0 ， 内力 FNC=0，MC=0
C
FNC MC
FNC
EI
FP EI
FP EI
FP
FP FQC
EI C FP EI
等代结构
南京工业大学 力学部
【结构力学课件】7 力法 对称结构

【结构力学课件】7 力法 对称结构

§7-5 对称结构的计算
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1
结构力学——力法

结构力学——力法


故
Y1 Y2
1P 11
2P 22
对称性的利用
例2－2
120
120 120
X1
X3
X2
120
X6
X6
对称结构在反对称荷载作用下，只X存5 在反对称未X知4 力，所以该X体5 系
只有反对称未知力 X3 和 X5 ，列力法方程如下：
33X3 35X5 3P 0 53X3 55X5 5P 0
结构力学
第二章 力法
➢力法与位移法的异同 ➢弹性支承问题 ➢两铰拱问题 ➢温度改变及支座移动问题 ➢对称性的利用 ➢超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
力法与位移法的异同
求解思路方面 力法目标:求多余未知力 位移法目标:先求结点未知位移再求内力
建立典型方程的依据不同 力法:按多余约束处的位移协调条件建立 位移法:按附加约束内的反力(矩)的平衡条件建立
4 7 Pa 4 7 Pa
P 2P
Pa
P Pa 2P
P
MP
P
M
37 Pa 37 Pa
超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
位移计算 q
该体系的内力图如下
qL2
qL2
12
12
最终内力可视为由某静定的基本
体系在外荷载、未知力共同作用
下迭加而成，故可用静定的基本
结构代替原超静定结构，建立虚
拟状态
qL2
qL2
用不同的静定结构来求解 CH DV DD
1
1
1
CH
DV
DD
超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
内力校核 1．平衡条件 2. 位移条件
对无铰封闭框格结构的位移条件：
封闭框格内外侧 ML 图的面积 除以各自的EI后的值应相等

朱明zhubob结构力学6-5_1对称性的利用


反对称弯矩
朱明工作室 zhubob

反对称荷载
对称荷载作用 对称荷载
反对称荷载 反对称内力
反对称内力
授人以鱼不如授人以渔
反对称荷载作用 对称内力
对称内力
对称内力 反对称内力
朱明工作室 zhubob

反对称荷载
对称荷载 反对称荷载 反对称内力
反对称内力
授人以鱼不如授人以渔
1P 2P

0 0
864 X1 216 X 2 216 X1 720 X
10080kN 2 1440kN

0 0

对称内力 对称内力
对称内力 反对称内力
6-5-1 取对称的基本结构 力法方程的系数可以分为两种：
朱明工作室 zhubob

①主系数 δii (i＝1、2、‥‥、n) ②副系数 δij (i≠j )
简化计算的主要目标是：使方程中尽可能多的副系数等于零。
11 X1 1P 0
⑵ 在对称荷载作用下，只需求解对称未知力（反 对称未知力等于零）。
⑶ 在反对称荷载作用下，只需求解反对称未知力 （对称未知力等于零）。
⑷ 非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载， 分别进行计算，然后将两种结果叠加；也可不 分解，直接用原荷载进行计算。
授人以鱼不如授人以渔
推广：选取成对未知力。
X1
基本结构1 X2
朱明工作室
基本结z构hub2ob
Y1
Y1
Y2
Y2
原结构
力法方程：
11 21
X1 X1

12 X 2 22 X 2

1P 2P

0 0

(15)对称性的利用


2P
3FP 14
M AB
FP L 11FP L 3FP ( ) 2 14 2 28
（左侧受拉）
M BA
3FP L L 3FP ( ) 2 14 28
（右侧受拉）
弯矩图见图(d)。
B C B ` 3 P /2 FL 8
A 1 FL 8 1 P /2
A `
(d)
力法利用对称性需要且仅需要(1)取对称的基 本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反 对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑 荷载是否具有对称或反对称性。
解：将梁中间改为铰接，
加多余未知力X1得基本体 系如图（B）所示。 建立力法典型方程： 11 X1 1P 0 求系数和自由项：
11
1 1 2 1 1 2 2L ( 1 L ) ( 1 L ) EI 2 3 EI 2 3 3EI
FP L 1 FP L2 1 1 1 p ( L ) EI 2 4 2 16 EI
q=6kN/m
C x1` x2`
B
C` x1` x2`
A
(b)
计算系数和自由项：
2 1 2 18 11 ( 3 3 3) EI 2 3 EI
2 1 2 1 78 22 ( 3 3 ) (6 4 6) EI 2 3 2 EI EI 1P 1 1 3 243 ( 27 3 3) EI 3 4 4 EI
A`
A L/2 L/2
A`
(a)
(荷载下的内 解： 力计算：
C C` x1 x1
B
B`
B
C C` x1 x1=1
B`
A
A`
A L

结构力学第20次课 结构的对称性 2012- 5-17

结构力学第20次课 力法6-5 位移法7-6结构的对称性 foxscarlet12012-5-17 《结构力学》第20次课 第6章力法6-5P225与第7章位移法7-6P302内容6-5 7-6 对称性利用1 对称性（1）结构的对称性：对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都关于某轴对称。

（2）荷载的对称性： 对称荷载 反对称荷载 任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载两部分。

2 取对称的基本体系计算： 不论在何种外因作用下，对称结构应考虑采用对称的基本体系计算。

沿对称轴将梁切开，三对多余未知力中，弯矩X 1和轴力X 2是 未知力，剪力X 3是 未知力。

对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的。

如果荷载对称，M P 对称，Δ3P =0，X 3=0， 未知力为零；如果荷载反对称，M P 反对称，Δ1P =0， Δ2P =0， X 1= X 2 =0， 未知力为零。

3 取等代结构计算对称结构的变形特点，针对切开对称轴处是刚结点。

注意，如果对称轴上是铰结点有所不同。

（1）对称结构在对称荷载作用下位于对称轴上的截面，水平位移和转角为零，只有竖向位移。

（2）对称结构在反对称荷载作用下位于对称轴上的截面，竖向位移为零，水平位移和转角不为零。

① 奇数跨（无中柱）对称结构在对称荷载作用下的等代结构 §7-6 对称结构的计算奇数跨刚架受对称荷载A. 奇数跨结构（无中柱对称结构）F PF P(1) 对称荷载F P半边结构对称轴截面内力结构与荷载3 取等代结构计算1扩展练习 奇数跨结构受对称荷载作用llqllAB例2. 图示结构EI = 常数。

对称性只有竖向荷载作用1X 3=3X 2X 1X 2=【例题】利用对称性计算图示结构,绘制弯矩图。

（EI=常l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/2l/2l/2l/2（a ）ldbFPFP4 无弯矩状态判定对称结构正对称荷载。

力法对称性

结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。

（2）荷载的对称性，如图1
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和作用点对称的荷载。

反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点对称，方向反对称的荷载。

（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形，如图2
基本受力特点：
正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的；
反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。

（4）特殊截面——对称轴通过的截面，如图3
对称结构，正对称荷载下，对称轴处切开，反对称的剪力为0，内力与位移分布均正对称；
对称结构，反对称荷载下，对称轴处切开，正对称的弯矩与轴力为0，内力与位移分布均反对称。

要使半结构能等效代替原结构的受力和变形状态。

关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置相应合适的支撑
例:用力法计算图示结构。

EI＝常数。

图1
图2
图3。

结构力学第六章力法-PPT课件


D 1P =
2 δ11 0 0 M M M M M 二、力法的典型方程 i i k i P d = ds 0 , d = ds = 0 , D = ds = ↓↓↓↓↓↓↓↓ ii ik iP δ21 0 B EI EI EI q 0 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓
B 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付 ΔBH=Δ1 =0 ×X1 系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。 ＝ ΔBV=Δ2=0 ＝ ＋
6.2 力法的基本概念
一.力法的基本原理
力法的基本概念 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基 本体系，然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完 全一样。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。
超静定次数 = 多余约束的个数
（ 1）
即: 把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数。
从静力特征来看，超静定次数等于根据平衡方程计算未 知力时所缺少的方程的个数，因此
超静定次数 = 多余未知力的个数 = 未知力个数 - 平衡方程的个数
（ 2）
由 (1) 式确定结构的超静定次数 ，为“解除多余约束 法”。
d
d =l /3 EI 11
l
X1=1 Pl P
Pl
3 D = Pl /2 EI 1 P X 3 P /2 ( ) 1=
M = M X M 1 1 P
MP
1 P l 2
l
M1
M
6.3 超静定结构在荷载作用下的计算

《结构力学力法》PPT课件


2、刚架：
3、桁架：
第八章 力 法〔Force method〕 §8-1 超静定构造的概念
4、拱：
5、组合构造:
第八章 力 法〔Force method〕
§8-1 超静定构造的概念 三、计算方法
平衡 （ 条 受 件 力 equ ） im l－ ibriu 真实 物 解理 答条 件 力 （ ） 变位
2、超静定构造 ——在任意荷载作用下，其全部内
力、反力不能单用静力平衡条件求出的构造。 (Statically indeterminate (redundant) structure)
几何特点：几何不变，有多余约束。
第八章 力 法〔Force method〕
§8-1 超静定构造的概念 二、种类
1、梁〔连续梁〕：
未知力的位移
“荷载”的位移
消除两者差异 总位移等于已知位移
变形协调条件 力法典型方程
(The Compatibility Equation of Force Method )
多余约束的位置不唯一
第八章 力 法〔Force method〕 §8-2 超静定次数确实定
去掉一个铰相当于去掉两个约束
X1 X2
第八章 力 法〔Force method〕
§8-2 超静定次数确实定
去掉一个固定端相当于去掉两个约束
X3
X1
X2
切断一个梁式杆相当于去掉三个约束
第八章 力 法〔Force method〕
2、解除多余约束，代之以相应的多余未知力。
超静定次数===将原构造转化为静定构造必须
解除的约束〔代之以相应反力〕数。
x2
x1
x1
x2
x2 x1
x1
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FＱ称为反对称内力
A
反对称
反对称
2. 对称性利用之选择对称基本结构
X3 X3
X2
X2
2FP
2FP
X1 X1
选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称 基本未知量
11X112X213X31P 0 21X122X223X32P 0 31X132X233X33P 0
q
q
ql
q l
1/4结构
X1 基本体系
1
M
图
1
ql2/8
ql2/8
M
图
P
【解】 1 基本体系 2 力法方程
11 X11P0
3 求系数，解方程
11 l EI
1Pql3 12EI
X1 ql2 12
4 MM1X1MP
q
q
ql
q l
ql2/12
ql2/12
ql2/12 M图
ql2/12
第五章 力 法
5.8 对称性的利用
1. 结构对称性的概念
（1）对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。
几何对称 支承对称 刚度对称
（2）荷载的对称性
正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和 作用点对称的荷载。
反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。
FP
FP
2FP
＝
+
只要结构是对称的，
FP
FP
对称性的利用就成为
可能！
正对称荷载作用下:
X3 X3
X2
X2
FP
FP FP
X1 X1
FP
Δ1P 0
X1 0
X1 1 X3 1
X2 1
FP
对称结构在正 对称荷载作用 下，反对称未 知量为零。其 FP 结构的内力和 变形是对称的。
反对称荷载作用下:
q
2a
a
a
qa2 8
M图
半边结构
X1＝1
M
图
1
qa2/2
M
图
P
【解】
1 基本体系
2 力法方程
11X11P0
3 求系数和自由项，解方程
11

a3 3 EI
1P


qa4 8EI
X1

3qa 8
4 MM1X1MP
例:用力法计算图示结构。
EI
a EI
EI EI
2EI 2EI
FP
EI
2EI EI
a a aa
FP 2
FP 4
EI 2EI EI
EI EI
FP 8
3
3
3
3
6 56
56 4
+ = 5 6
56
Hale Waihona Puke 56444
8
56
56
56
56
56
EI
a EI
EI EI
2EI 2EI
FP
EI
2EI EI
a a aa
3
6
6
3
3
56
56
56
56
56
4
8
8
8
4
56
56
56
56
56
M图(FPa)
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
合理利用对称性的关键在于：
保证计算模型的受力特性、变形情况与 原结构完全一致。
1.奇数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
q
q
C
C
q
q
C C
②反对称荷载作用下的半刚架
P
C
P
P
C
P
C
P
P
C
2.偶数跨对称刚架
① 正对称荷载作用下的半刚架
P
P
C
P
C
P
P
C
P
P
C
C
② 反对称荷载作用下的半刚架
FP
FP
FP
FP
FP
A
EI
EI EI
EI
22
2
例:用力法计算图示结构。EI＝常数。
X1 1
M1
X3 1
X2 1
M2
M3
12210
13310
11X1 Δ1P 0 22X2 23X3 Δ2P 0 32X2 33X3 Δ3P 0
基本方程分为两组：
一组只含反对称未知量 一组只含正对称未知量
3. 对称性利用之荷载分组
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
（3）对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形
q
P
P
基本受力特点： 正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的； 反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。
（4）特殊截面 —— 对称轴通过的截面
A
内力
位移
A
正对称
FQ FN M
A
Ｍ、FＮ称为正对称内力
X3 X3
X2
X2
Δ2P 0 Δ3P 0
FP
FP FP
X1 X1
FP X2 0 X3 0
X1 1 X3 1
X2 1
FP
对称结构在反
对称荷载作用
下，对称未知
量为零。其结
FP
构的内力和变 形是反对称的。
三. 取半个结构计算
要使半结构能等效代替原结构的受力 和变形状态。关键在于被截开处应按原结 构上的位移条件及相应的静力条件设置相 应合适的支撑。