对称性在结构力学中的应用

第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。

该法最适用于计算简单桁架。

根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。

（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。

（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。

推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。

F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。

例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。

1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。

如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。

（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。

如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。

其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。

用对称性简化力矩分配法计算刚架实例用对称性简化力矩分配法计算刚架实例解超静定结构的方法很多,以位移法为基础的力矩分配法,是其中一种比较实用的渐近法,它可以避免建立和解算联立方程.本文则又运用对称性进一步简化力矩分配法,尽量减少节点角位移的未知数,使计算很快收敛.现举--I程实俪说明如下.已知-由2根截面惯性矩为I,的主粱和2根截面惯性矩为I的端粱剐性连接组成的双粱式起重机桥架,当大车纵向运行机构起动和翩动时,P和c1分别代表在水平面内由带载小车质量和桥梁质量引起的惯性力.试用力矩分配法怍出此桥架由水平面内荷载引起的夸矩图.结构的计算简图见图1.解t为保证桥架正常运行发生偏斜时不被楔住,桥架滔常取B》L/6.现假设B=L/6,lL/9,C=L/36,I.=4I,PqLo为运用对称性,现将图1(a)变动一下,调整成图1(b).即在粱两端的A,S点,各增加1根沿Y轴方向的支座连杆'这样荷载对Y轴是对称的,对z轴是反对称的.根据对称性原理,Y向支杆反力都相等,图1(a)中Ry=p十q=2p,圈l<b)中,R;=(p+qL)/2=p|图l(a),(b)只表现为浦端粱轴力不周,其他内力分置都相同.由于轴向力对位移的影响,对以弯曲变形为主的剐架来说.通常极其赦小,可以忽略.因此.我们完全可以用图l(b)代图1(a)来分析剐架的内力,这样我们可以设想沿Y轴Z轴将剐架切取出嗪结构的1/4加以研究(见图2).根据结构,荷载均对称于Y轴所知,图2中K截面的内力分量中剪力QK=0,而位移分量中转角:0.对Z轴因结构对称,荷载反对称,故端粱中间截面0的内力分量轴力和弯矩均等予零(No=0,M.=O),而位移分量vo=0.与fa,-RPR(b1.图1桥辈水平面受力图(a)一正常运行的受力图l(b)一调整为对#性求解对的受力图Y图2四分之一挢架受力分析简图此内力,位移等效的约束条侔,应是在0点娃加一水平支杆,而在K截面处则设置一个定向支座.由图2简化的1/4剐架,是一个无侧移的简单目架,用力矩分配法求解时,只辩对节点J进行力矩分配和传递.与节点J刚接的杆件有JK杆,J0 杆,JD秆三杆,线刖度备为-TiIK=II/詈:BI/L,:18I/Li】D=I/L136:36I/L根据文献[1]中表10-1,可查得节点J各l_端劲度系数的总和为:璐JJ=j』I十3i,o十31】D=IV0L/L'p寰1杆端弯矩计算(圈2)点:…0JKD杆端0JJojDJKxJDJ分配雨魏0.817050.6290.0{706固端_鸯炬O—PL/3—7PL/24分配弯矩与抟递弯矩o.10j88PL8.2116PL0.0150BPL一0.015087PL 最终弯矩00.10588PL0.81I6PL一001764PL一0.80735PL则各杆端分配系数为:JK=SK,磷【j=i/n=0.(~470BI=S~o/XSn=3iI./】{0.31765D=Sm/ES~l=3ilD/=S;=0.63529各杆传递系数为{ClK=一l,C】.=Cm=0各耔厣端弯矩为(颧时针为正):M}K:一等一导=一孚Ml】=二鲁一半=一Jo杆,JD杆:因两杆无荷载,故固端弯矩均为零,即M=M=0.这样节点J的不平衡力矩是三Mf:M+Mfo+M=-PL/3将此不平橱力矩反号乘以各耔端分配系数,即得出各杆端的分配弯矩,再将分配弯矩乘吼传递系数,即相应得出各杆远端弯矩.最届把固端弯与分配弯矩.传递弯矩相加,即可得出结构稆应的各杆端最终弯矩(见表1).超静定结构计算结果,通常应满足静力平撕条件和变形协调关系关于静力平衡可根据每一节点处EM=0进行校核,由于在上避力矩分配法中,每次分配已使节点平衡,因此,无需再作碴棱.到}变形协调问题,可根据各节点处汇交各枵的秆端角位移币是否相同来进行验证.即可在力矩分配浩计算完成岳,将任一端i的最终弯矩与定弯矩相减得出Ⅵik,然后减去它端的△M之半后,捡盎每一节点所得AM,一昙M是否与相立各杆的线刚度l成比倒,见公式(1)|(M一{砒.):({△M)-..…iI;i¨: (1)现以节点J校核之.这里应注意的是,此时对正对称轩JK应取顾杆弹JT的线尉度表示,见表2. 寰2节点J变形协啊的技赣t根据公式(1),将表2中!文值代一得(△M.一dM.,):(厶M—M(M一)珊=7m!——氟凰3最终弯矩乓挠受图示(左半为弯矩圈,右半为瓷度到)=0.10588PL:0.21176PL:0.02353PL=4.5:0:1(下转第l8页)+28mc.一60m.hc一72m.hc:+36m.ch一24mhc.+12mhca+24mhc一9mc一12hc+c1 (22)在m≤x≤h区域内V=Vq+V+v一茜(X26h乙4hx)+酱(3x叫十(3x刊(23)当x:h时的挠虚最大,将x=h和式(18)中的H-H2代入式(23)中,整理后得.一～24EJ(m-c)(4m-c)xf--12h'Ⅱ1+15h'mc-3h'c.+1812].ch.+5m'hc--36hmc+l4mh+36m.h.--36mh+18121ch一3me3h一16m.c=h十mc+3n,.c.--2m一2mc,(24)c,m值求解为使整根烟囱的弯曲应力和弯曲挠度最小,应使V一AxVI"Vm一为此可建立方程组求解…～～(25)LVc…IV—n…x将式(20),(22),(24)代入式(25) 中,可列出如下方程组16m一27mc一48m'h一3mc ÷24m.h+120mhc+28mc.一60mhc～96m!ch+48mch+24hc.一l6mc'一12h.c.+2c=048m+5mc一272mh一25mc. +600mh40m'hc一20m.c--348m.h.C+184m.hc一576mh.一252mchJ'24mhc.J'192hIll+576hm.c+12mhc.+24mhc一9mc一240h'mc一12hc'+48hc!+c.=0解得c:0.420h,m=0.835h将c,m值代人式(18),可得H=0.42qh,H2=0..949qh点,结论根据上述理论分析计算,为使钢板烟囱内力较小,缆风绳处支点挠度较小,在～道缆风绳时,缆风绳的支点高度应设在烟晦l高度0:715h处;在二遗缆风绳时,下道缆风绳的支点高度,应设在烟囱高度的0.42h处,上道缆风绳的支点高度,应设在烟囱高度的0.835h处,较为合适.当然,实际工程设计中,尚应根据气候和周围环境进行调整和媾正,以及按此原理另行计算本文不妥处尚冀专家指正.(上接第60页)而,.:T18L:丁36I.:T41o=18:38:4:4.5:g:1这表明变形调条件也是满足的.最后,根据备杆端最终弯矩,利用对称性就不难画出原超静定刚架的弯矩图了(见图3).丽由弯矩图即可进而大致绘出挠曲线,弯矩为零处亦即是18挠曲线拐点.参考文献t11湖南大学结构力学教研室编,结构力学(下册),高等教育出版社,1983年【21程重机设计手册,机械二业出版{±.188D年I3】徐光晋主犏,金属结构,机械工业出版社. 1982年(生桐簋厂职工丈学藏洪锥)。

一、对称约束的概念对称约束是结构力学分析中常用的一种约束方式。

它可以模拟结构在对称载荷作用下的行为，使得分析结果更加接近真实情况。

在ANSYS Workbench中，对称约束被广泛应用于模态分析中，以减少计算量并提高分析的准确性。

二、对称约束的原理对称约束的原理是基于结构的对称性。

当结构具有对称性时，可以通过施加对称约束来减少需要分析的自由度。

这样一来，可以减少计算量，提高分析效率。

对称约束还可以通过预先对结构进行简化，使得分析结果更加真实可靠。

三、ANSYS Workbench中对称约束的应用在进行模态分析时，ANSYS Workbench中的对称约束可以帮助工程师快速准确地获取结构的振动特性。

通过施加对称约束，可以只分析结构的一部分，从而节省计算资源，提高分析效率。

这对于大型结构或复杂结构的模态分析尤为重要。

四、对称约束的建模方法在ANSYS Workbench中，对称约束的建模方法通常包括以下几个步骤：1. 确定结构的对称性：首先需要分析结构的对称性，确定可以施加对称约束的位置和方式。

2. 添加对称约束：在ANSYS Workbench的模态分析模块中，可以直接添加对称约束，或者通过设置边界条件来模拟对称约束。

3. 验证模型：在添加对称约束后，需要对模型进行验证，确保对称约束的施加是正确的，符合结构的实际情况。

五、对称约束的优缺点对称约束作为一种常用的约束方式，在模态分析中具有一定的优缺点。

其优点包括：1. 减少计算量：对称约束可以减少需要分析的自由度，从而减少计算量，提高分析效率。

2. 模拟真实情况：对称约束可以模拟结构在对称载荷作用下的行为，使得分析结果更加真实可靠。

其缺点包括：1. 无法应用于非对称结构：对称约束只适用于具有对称性的结构，对于非对称结构无法有效应用。

2. 需要事先确定对称性：对称约束需要事先确定结构的对称性，这对于复杂结构而言可能并不容易实现。

六、对称约束在实际工程中的应用在实际工程中，对称约束被广泛应用于各种结构的模态分析中。

考研结构⼒学知识点梳理1.瞬变体系：本来是⼏何可变，经微⼩位移后，⼜成为⼏何不变的体系，成为瞬变体系。

瞬变体系⾄少有⼀个多余约束。

2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚⽚，才能看成是瞬铰。

3.关于⽆穷远处的瞬铰：（1）每个⽅向都有且只有⼀个⽆穷远点，（即该⽅向各平⾏线的交点），不同⽅向有不同的⽆穷远点。

（2）各个⽅向的⽆穷远点都在同⼀条直线上（⼴义）。

（3）有限点都不在⽆穷线上。

4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去⽀座去⼆元体。

体系与⼤地通过三个约束相连时，应去⽀座去⼆元体；体系与⼤地相连的约束多于4个时，考虑将⼤地视为⼀个刚⽚。

（2）需要时，链杆可以看成刚⽚，刚⽚也可以看成链杆，且⼀种形状的刚⽚可以转化成另⼀种形状的刚⽚。

5.关于计算⾃由度：（基本不会考）（1）,则体系中缺乏必要约束，是⼏何常变的。

（2）若，则体系具有保证⼏何不变所需的最少约束，若体系⽆多余约束，则为⼏何不变，若有多余约束，则为⼏何可变。

（3），则体系具有多与约束。

是保证体系为⼏何不变的必要条件，⽽⾮充分条件。

若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.1.静定结构的⼀般性质：（1）静定结构是⽆多余约束的⼏何不变体系，⽤静⼒平衡条件可以唯⼀的求得全部内⼒和反⼒。

（2）静定结构只在荷载作⽤下产⽣内⼒，其他因素作⽤时，只引起位移和变形。

（3）静定结构的内⼒与杆件的刚度⽆关。

（4）在荷载作⽤下，如果仅靠静定结构的某⼀局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受⼒，其余部分不受⼒。

（5）当静定结构的⼀个内部⼏何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内⼒不变。

（6）静定结构有弹性⽀座或弹性结点时，内⼒与刚性⽀座或刚性节点时⼀样。

解放思想：计算内⼒和位移时，任何因素都可以分别作⽤，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。

2.叠加院⾥的应⽤条件是：⽤于静定结构内⼒计算时应满⾜⼩变形，⽤于位移计算和超静定结构的内⼒计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。