直线与平面垂直的性质-PPT课件

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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)

直线与平面垂直的判定与性质(共26张ppt)
目录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要，如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这

直线与平面垂直的性质课件

应
A'
D'
用如图，直四棱柱A'B'C'D'-ABCD
B'
（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件
A C'
D
时，A'C ⊥ B'D' ?
B
C
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线
和三角形的第三边AB的位置关系是（ B ）
A 平行 B 垂直 C 相交 D 不确定
归纳整理、整体认识
(1)请同学们归纳一下，获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。直观感知---操作确认------获得判定定理
(2)直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？
定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
判例1 如图，已知a//b, a⊥ ,求证b⊥ .
a
b
证明：在平面内作两条相交直线m, n.
定因为直线a⊥ ，根据直线与平面垂直的
定定义知 a ⊥ m , a ⊥ n . 又因为 b//a, 所以
n
m
理 b ⊥ m, b ⊥ n.
的
又m ,n ,m , n 是两条相交直线，
所以 b ⊥ .
B
2. a ,b a b (✓ )
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线
如下图，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做
一个试验：
A
B
D
C
过ΔABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的
纸片竖起来放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）。

《直线和平面垂直》PPT课件.ppt

二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
l
l
b

A
a
作用：判定直线与平面垂直．
记忆：线线垂直，则线面垂直
(2)a , b a b a b ， a （3）
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ．
平面的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面

三．定理探索:线面垂直
线线垂直
判断1:如果一条直线和平面内的无数条直线都假命题，一组平行线；垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 判断2:如果一条直线和平面内的所有直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 真命题，操作困难；判断3:如果一条直线和平面内的一条直线垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面. 假命题; 判断4:如果一条直线和平面内的两条直线都垂假命题; 直,那么这条直线就垂直于这个平面.
一．问题引入
直线与平面的位置关系有哪几种？直线与平面的位置关系有哪几种？
直线与平面的位置关系有哪几种？复习 :直线与平面的位置关系有哪几种 ?
线在面内
线面位置关系
线面平行线面相交
垂直斜交
√
线面垂直的实例
线面垂直最重要
不然倒掉
万丈高楼平地起
回顾复习：
两条相交
真命题，用来判定线面垂直；
四．线面垂直的判定
如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么判定定理这条直线就垂直于这个平面．已知：m 、n是α内的两条相交直线，l∩α=B ，且l⊥m，l⊥n。求证：l⊥α 。

直线与平面垂直的判定PPT课件

例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算点到直线上任意一点的向量在直线方向向量上的投影长度，从而得出点到直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上两个点的向量与直线方向向量的叉积的模，再除以直线方向向量的模，从而得出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理，例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；

8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT

(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.
第四节直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
理清教材•巩固基础
知识点一直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．

(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件

l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面垂足
直线和平面垂直的画法注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直

直线与平面垂直的性质(共26张PPT)

(52．)A如E⊥图P，D正,那方么体MANBC⊥DP－∵DA. E1BF1⊥C1AD11D中，，MA是1D∥B1C，
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
都A．垂1直的直线有_______∴条B．E2F⊥B1(C.又)EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，
2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F
D1
〔1〕a，b同垂直于正方体一个面； A 1
〔2〕a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
〔3〕a，b平行于同一条棱.
D A
C1 B1
C B
例1 如图α∩β=l，CA⊥α于点A，CB⊥β于点B，
a,aAB求,证：a∥l.
C β
分析：
B
l 平面 A B C ,a 平面 A B C .
α
l
A
a
错误的画“×〞.
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
()
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
(
(3)一条直线在平面内，另一条直线和这个平面垂直，那么
×
)√
这两条直线互相垂直.
()
√
3.直线和平a ,面b ，且
a那b么,a与, b
的位置关系是_____b______或 __b_∥___ .
()
同理DD1⊥平面B1C1D1，那么l∥DD1.
1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，
[一点通] 1．线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2．证明线线平行的方法 (1)a∥c，b∥c⇒a∥b. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

直线与平面垂直判定完整版课件

绘制图表，将实验数据可视化展示，便于分析和比较。
03
分析实验数据，总结直线与平面垂直的判定方法和规律。
04
根据实验结果，评估实验方法的准确性和可靠性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同一个起点上，然后用余弦定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将异面直线的方向向量表示出来，然后通过向量的夹角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条直线上，通过投影长度和原长度之间的关系，利用三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明确说明平面内的两条相交直线，或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应的图形，标注已知量和未知量。

直线与平面垂直的性质定理.ppt

√ （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（）
例1 已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分
别是C、D，求证： AB CD 。
P
DB
H
C
A
理论迁移
如图，已知 l,CA ,
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
A
a
例2 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1）MN CD;
a
b
1、线面垂直的概念
1、定义
2、如何判定线面垂直？ 2、判定定理
3、例１的结论
3、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
唯一性公理一
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直
m A
唯一性公理二
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
m
A
B
4、我们已经知道：
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
那么：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线是否平行？
直线与平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
3、启发引导—证明定理
已知：a ,b ，求证：a // b
证明：假定b不平行于a,则b与a相交或异面。
（1）若a与b相交设， a b A (2)若a与b异面，设b o
如果两条直线与平面所成的角相等，则两直线平行吗？
b
a a b' b
a a bb
1
2
o o 1
பைடு நூலகம்A1
1

直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件

24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质个平面的两
定条直线理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一判定个平面的_垂_线__，
定理则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：②、④是真命题．
练习2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是__相__交__、__平__行__、__在__平__面__内__．
例2 如图，已知α∩β=l,EA⊥α于点
A,EB⊥β于点B, a α, a⊥AB.
作业布置:
习题2.3 A组第5题 B组第3题
A1
B1
E
D
C
A
F
B
情景导入
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
平面与平面垂直的性质定理
两观个察平实面验垂直,则一个平
面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
练习3 如图： , l, AB , AB l, BC , DE , BC DE.求证：AC DE
A
B
l
D
C
E
练习4.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥面BCD,并说明理由
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点 E，连结AE，则AE为BD的中线 ∴又A∵E面⊥BBCDD∩面ABD=BD,
2.3.3-2.3.4
直线与平面、平面与平面垂直的性质
情景导入
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
知识探究：直线与平面垂直的性质定理
如图，长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，棱AA‘、BB’、 CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与线面垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理判定定理
线面垂直
练习2 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
例3 如图，已知平面、β，⊥β，直线a满足
a⊥β，a，试判断直线a与平面的位置关系.
解：在α内作垂直于α与 β交线的直线b，
∵ α⊥β，∴b⊥β. 又∵a⊥β，∴ a∥ b 又∵ a ，
∴ a .// 即直线a与平面α平行.
如果两个平面互相垂直,那么在第一个平面外垂直于第二个平面的直线,平行于第一个平面。
思考设平面⊥平面β，点P在平面内，
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面
具有什么位置关系？
D B aP C
证明：如图，设 I =c，过点P在平面内作
直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有
b ，因为过一点有且只有一条直线与平面垂
直，所以直线a与直线b垂合因此 a
P
ba
ba
c
cP
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
求证：a∥b．
a b b'
(反证法)
cO
证明：假定b与a不平行，且b∩α=O，b′是经
过点O与直线a平行的直线.直线b与b′确定平面β ，设α∩β=c，则O∈c，因为a⊥α，b⊥β，所以a⊥c，b⊥c，又因为b′∥ a ，所以b′⊥c ，这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两条直线b， b′与c垂直，显然不可能，因此 b∥a.
Ⅱ.概括结论
bb
l
bl
bb 该命题正确吗？
面面垂直
线面垂直
例2 如图，已知PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，
垂足为E，
P
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC平面PBC
∴AE⊥BC
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， C是圆周上不同于A，B的任意
P
一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC,
C
BC 平面ABC
平面PAC
∴BC⊥ A
O
B
(2)又∵BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
D' A'
D A
C' B'
C B
例1如图，已知直线a⊥ 、b⊥，那么直线a、
b一定平行吗？我们能否证明这一事实的正确性呢？
ab
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
ab
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
a b b'
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
a b b'
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证:a∥l.
•
证明：EA ,
EB l
l⊥ll 平EE面BAEAB.
• 又∵a α,EA⊥α,∴a⊥EA.
• 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. • ∴a∥l.
练习3 如图，正方体 A1B1C1D1 ABCD D1
C1
中，EF与异面直线 AC, A都1D垂直相
交。求证： EF /./ BD1
面ABD⊥面BCD ∴AE⊥面BCD
1、平面与平面垂直的性质定理：
l
b
b
bl
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
“转化思想”
面面关系
面面平行
面面垂直
线面关系
线面平行线面垂直
线线关系
线线平行线线垂直
定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
练习1 下面四个命题，其中真命题的个数为（ B ）
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这
条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已
知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面
内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行．