齐性核分数次积分算子在加权Hardy空间的有界性

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θ型奇异积分算子在加权Morrey空间中的有界性

调递增。
从而可以定义０Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子为定义４设（ｆ）满足Ｄｉｎｉ条件．＜ ∞，是带有核（，ｙ）ＪｔＬ。）有界的线性算子，满足：
注意到当＝０时，。（ｗ）＝（ｗ）是对经典的加权Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间的推广。
下面给出权的如下定义
，，
、击
定义２设１＜＜。Ｄ，若存在常数Ｃ ≥１使得对于任意的正方体Ｑ有
收稿日期：２０１３．０２．１７
奇异积分算子尤其是Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ奇异积分算子在各种函数空间中的有界性的讨论是当代调和分析研究的主要问题。１９５２年，Ｃａｌｄｅｒ６ｎ和Ｚｙｇｍｕｎｄ将这一算子推广到了上，他们运用实变方法解决了算子在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ空间￡ｐ）的有界性问题从而使调和分析在高维空间中有了新的发展。１９８５年，Ｙａｂｕｔａ
理论，我们得到了在￣ｔ．Ｍｏｒｒｅｙ空间上的有界性，即是
中图分类号：０１７４．２文献标志码：Ａ
（ｗ）到 ’ （有界的。
关键词：连续模；０型Ｃａｌｄｅｒ６ｎ — Ｚｙｇｍｕｎｄ核；加权Ｍｏｒｒｅｙ空间；外推法；Ａｐ权
ห้องสมุดไป่ตู้
在文［１０］中首次提出了型奇异积分算子，并得到了有界性，ｌ＜ｐ＜ｏｏ。最近文［１１］讨论了０型奇异积

强奇异积分算子及其交换子在Hardy型空间上的有界性

Ａｒ，００ｐ．２１
强奇异积分算子及其交换子在Ｈｒｙ型ａｄ空间上的有界性
刁俊东，晓峰，叶陈跃辉
（东交通大学基础科学学院，西南昌３０１）华江３０３
摘要：当核Ｋｘｙ在＝Ｙ附近满足较高的奇性时，（，）得到强奇异Ｃｌｒ－ｇｕｄａｅｎｙｎ积分算子ｄ６ｚｍ
个条件：
（）Ｔ可以连续扩张为一上的有界算子；１
（）２存在一个在｛Ｙ： ≠ Ｙ上的连续函数（）当２Ｊ（），｝，，Ｙ—ｚ。Ｉ一Ｊ满足 ≤ 时，Ｉ，），）十ｆｙ一，ｌｌ（ｙ一（ｚｌ（，）（） ≤ Ｃ丁上
８７
ＩＪＪＩｆ
ｓｐｕ
㈨
＜ ∞，
０＜
＜
ｏ
定义３ｂ∈ Ｌｐ（（＜１， ∈ Ⅳ 和０＜Ｐ≤ １１ｒ≤ ∞，ｉｐＲ）０＜）ｍ，≤ １＜ｓ＜ ∞ ，个函数０）～（被
称作（ｓｂ）子，Ｐ，；原如果它满足以下条件：
型奇异积分算子，奇性核更强，使从而广泛的应用到数学的众多分支和相关领域，取得了大量的成果，并这
篇文章是进一步拓展了它在特殊空间的有界性。
１定义及主要结果
定义１Ｔ：— ｓ是有界的线性算子，ｓ称是ＣｌｅｎＺｇｕｄ型强奇异积分算子，ａｒ —ｙｍｎｄ６是指满足以下３
其定义为：，）（：

分数次多线性交换子在齐型Herz-Morrey空间中的有界性

设ｄ是拓扑空间上的拟度量，即定义在Ｘ上的实值函数，对任意，，满足且）ｚ∈ ，
ｄ，）≤ Ｋｄ，（Ｙ［（ｚ）＋ｄｚＹ］（，）．式中，是与，，无关的正常数．ｙｚ明显的当Ｋ≤ １，，）时（ｄ是度量空间．对任意的 ∈Ｘ，＞０我们记ｒ，以为中心，为半径的球体Ｂｘｒｒ（，）＝｛：（，）＜ｒ．Ｙ∈ ｄｘＹ｝若正则Ｂｒ测度满足下述双倍条件，ｏｌｅ即对任意ａ＞０有，０≤肛Ｂ，ｔ）Ａ（（，）（（ａ） ≤ ｇＢｒ）＜∞ ，式中，是与、无关的正常数，Ａｒ则称（ｄ／为齐型空间．，，）．ｔ在本文中我们假设对任意 ∈ ，有（）＝，０ｇｘ）＝∞，（以及Ｐｎａ在文［］中引入的“ ｏｄｉ．１ＣｎｉｏＩｔｎ ” ＣｏｄｔｎＩ对球体Ｂ（ｒ，设ｔ１则存在常数ａ≥ ２Ａｎｉｏｉ，）假 ≥ ，，０＞１满足肛（（，ｔ）≥ ＡＢ，）．Ｂｘａ）０（（ｒ）事实上，Ａ与ｔ有关且（）＝Ａｌ，见文［］ｔ ¨ｏｇ２．设ｂ∈ＢＭＯ（，是具有标准核的Ｃａｅ６ —ｙｍｕｄＸ）ＴｌｄｒｎＺｇｎ奇异积分算子，由它们生成的交换子［，］定ｂＴ
ＧｅＲｅｆ ’ ×ｕＧｕｈａｎｕｏｕ２
．
（．ｅａｔｅｔｆｔｅａｉｌｉｙｎａｇＴａｈｒＣｌｇ，ｉｙｎａｇ２２０，Ｃｉａ１Ｄｐｒｎｈｍｔａ，ＬａｕｇｎｅｃｅｓｏｅｅＬａｕｇｎ２０６ｈｎ）ｍｏＭａｃｎｌｎ（．ｃｏｌｆｔｅａｉｌｃｅｃｓａｊｇＮｒｌｎｖｒｔ，ａｊｇ２０４Ｃｉａ２Ｓｈｏｏｈｍｔａｉｅ，ＮｎｉｏｍａＵｉｅｉＮｎｉ１０６，ｈｎ）ＭａｃＳｎｎｓｙｎ

Marcinkiewicz积分高阶交换子在加权Herz型Hardy空间中的有界性

＜。，是（，）。ｐｐ型的。近来，丁勇，范大山和潘翼彪在［３３中证明了如果ｎ∈Ｈ一）那么，于１（，对＜Ｐ＜。，仍然是（）的有界算子．。上
另一方面，１９在９０年，Ｔｏｃｉｓｙ和ＳＷａｇ考虑了ＭａｃｋｅｃＡ．ｒｈｎｋ．ｎｒｉｉｚ积分交换子的有界性．ｎｗｉ
Ｍａｃｋｅｉｚｒｉｉｗｃ积分交换子定义如下：ｎ
ｚ一
（
ｄ
－收稿日期：２０ — ５１０７０ —１
基金项目：国家自然科学基金（０６０７资助．１２１０）作者简介：丽娜（９２）女，士研究生，究方向为调和分析．马１８一，硕研
ｏｅｇｅｒ — ａｄｐａｅｎＷｉｈｔｄＨｅｚＨｒｙＳｃｓ
ＭＡ — Ｌｉｎａ
（ｏｌｅｆＭａｈｍａｉｎｙｔｍＳｉｎｅ，ｎａｇＵｎｖｒｉＵｒｍｑ，Ｘｉｉｎ３０６ｈｎ）ＣｌｇｔｅｔｓｄＳｓｃｅｃｓＸｉｆｎｉｅｓｙ，ｕｉｅｏｃａｅｉｔｎａｇ８０４．Ｃｉａｊ
维普资讯
第２５卷第１期
２００８年２月
新疆大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｊｎｉｅｓｙＮａｕａＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｎｉｇＵｎｖｒｉ（ｔｒｌｃｅｅＥｉｏ）Ｘａｔｎｉ
维普资讯
５６

带变量核的Marcinkiewicz积分交换子在变指标Herz-Hardy空间上的有界性

上的有界性;陶双平等证 [11] 明了 Marcinkiewicz积分 μΩ 及其交换子在变指标 Morrey 空间上的有界性;邵旭馗等得 [12] 到了带变量核的 Marcinkiewicz积分μΩ 以及由μΩ 与 BMO 函数b 生成的交换子μbΩ 在变指标 Morrey空间上的有界性.受上述研究启发,本文研究带变量核的 Marcinkiewicz积分μΩ 与 BMO 函数b 生成的交换子μbΩ 在变指标 Herz-Hardy空间上的有界性.
邵旭馗
(陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳 745000)
摘要:借助 Marcinkiewicz 积分交换子在变指标 Lebesgue 空间上的有界性,利用变指标 Herz-Hardy空间上的原子分解理论,给出带变量核的 Marcinkiewicz积分交换子μbΩ 在齐次和非齐次变指标 Herz-Hardy空间上的有界性. 关键词:Marcinkiewicz积分交换子;变指标 Herz-Hardy空间;BMO(ℝn)空间;变量核中图分类号:O174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2019)04-0767-06
变量核 Marcinkiewicz积分μΩ 定义为
∫ μΩ
(f)(x)=
æ
ç
è
∞ 0
FΩ,t(x)
2
dtö ÷
t3 ø
1/2
,
∫ 其中 FΩ,t(x)= x-y ≤tΩx(x-,xy-ny-1)f(y)dy.
(2) (3)
收稿日期 :2018-11-19. 作者简介:邵旭馗(1979—),男,汉族,博士,副教授,从事调和分析及其在偏微分方程中应用的研究,E-mail:shwangsp@. 基金项目 :国家自然科学基金 (批准号 :11561062;11661051)和甘肃省高等学校科研项目 (批准号 :2017A-100;2018A-248).

θ型Calderón—Zygmund算子交换子在Hardy型空间的加权有界性

（昵义ｌ，蚴＝．
定义３口令ｂＷ为局部可积函数且Ｗ ∈ （，Ａ即
’ Ｊ
有
；
（））Ｃｏｘａ．，Ｒ上的有界可测函数Ｗｂ原（ ≤ ｃ）．）称 “ （ｅ为（，）
子。果如
（７ｉ．７）当ｌ＜ｌ
《陡；颓｝０７锏院譬２０年第１期
移，叟１，１奠ｓｐｃｌ（，Ｊ１、芏，１万段１ｕｐ、Ｊ＝ｕｒ，
收稿日期：０ — １０２６１— ３０
）ｂ出ｃ一ｆ
２Ｂｆ
定理的证明．我们只须证明存在常数Ｃ使对任意的，，
６原子有ｌ，］）＜，）ｌ（－为此取定一个，／￣ａ由【口６Ｃｂｇ，平）
ｌ＜
了浓厚的兴趣，０型Ｃｌｅ６－Ｚｇｎ由ａｒｎｙｍｕｄ奇异积分算子Ｔｄ
和函数ｂＢＯＲ）成的交换子定义为ＥＭ（构
则［，从 Ⅳ ∞）Ｕ尺有界的．ｂ为（至１（）
［１）Ｊ（ｊ６）（） ’，６】＝ｔ，（一．），．．）６）０西７（， ’
厂）』厂），＝ｉ。（＝。（Ｉ』厂）ＢＢ（
Ｊ）＜３称定义在Ｒ × ｛，）Ｒ｝。Ｏ，Ｒ＼：上的可测函（ ∈
数０为型核，果ｇ（，）足如ｘ）满，
（ｉ）
（ｓＢ）属（，ｕ一）ＰＪ厶＝舢于若

带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在加权Morrey-Herz空间的有界性

ｂｏｄｅｎｅｓｏｎｔｉｅｏｒｅ－ｅｚｓａｃ．ｕｎｄｓｈｅｗｅｇｈｔｄＭｒｙＨｒｐｅ
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：ｗｅｇｔｄＭｏｒｙＨｅｚｓａｅｉｈｅｒｅ－ｒｐｃ；Ｍａｃｎｉｗｉｚｉｔｇａｐｒｔｒｏｇｅｎｌｒｉｋｅｃｎｅｒｌｏｅａｏ；ｒｕｈｋｒｅ
１概念和引理
在叙述主要结果之前，给出一些必要的概念和引理．先
设ｋ ∈Ｚ，令
Ｂ＝Ｂ（，０２）一｛ ∈ Ｒ：Ｉ ≤ ２）ＣＩ，一Ｂ＼，ｚ女Ｂ一
收稿日期：０９１ — ０２０ — ２１
（１）
ｚ一）（
（。，
（２）
，ｕ和ＹｎＬａｇ研究了
其பைடு நூலகம் 中
Ｆｚ一ｌ＜ｚ．（．ａ）ｆｙ１Ｙ ‘ ｚ， — －ＩＹｌｆ
对于Ｍａｃｋｅｃ积分算子的加权有界性，ｉｇＬｒｉｉｚｎｗｉＤｎ，ｕ等给出了加权Ｌ一有界
设Ｓ为（ ≥２中的单位球面，ｄ＝ｄ（表示Ｓ上的Ｌｂｓｕ测度．ｎ∈Ｌ（一是零阶一）用ａａｘ）一ｅｅｇｅ设Ｓ）
齐次函数且满足
Ｉｎ）ｘ一０（ｄ，
其中ｚ一，＃Ｏ带粗糙核的Ｍａｃｎｉｃ积分算子定义为ｘ．ｒｉｋｅｚｗｉ
第２８卷第３期２１００年９月
徐州师范大学学报（自然科学版）

多线性奇异积分算子构成的交换子在Hardy空间的有界性

ＭＳ２００：Ａ２Ｃ１３１５
１定义
令ｂ∈ ＢＭＯ（，，Ｒ）Ｔ为Ｃｌｅｏ？Ｚｇｎａｄｒ — ｙｍｕｄ算子．ｂ和Ｔ生成的交换－Ｅ，３定义为ｚ由Ｔｂｒ－－Ｅ，］（）一６ｚＴｚ一Ｔ（ｆ（）ｂ丁＿ｚ厂（）ｆ（）ｂ）ｚ．
关键词：异积分；奇多线性交换子；ＭＯ空间；ｒｙ空间；ＢＨａｄ齐型空间
中图分类号：１４３Ｏ７．文献标志码：Ａ文章编号：００１６（０１０－０２－０１０ — ５５２１）２１６４
ＢｏｎｅｎｓｏｕｔｌｎａｍｍｕａｏｆＳｎｇｌｒｕｄｄｅｓｆｒＭｌｉｉｅｒＣｏｔｔｒｏｉｕａＩｅｒｌｉｒｙｏｐａｅｆＨｏｏｅｏｓＴｙｎｔｇａｎＨａｄｎＳｃｓｏｍｇｎｅｕｐｅ
ＳＨＩａ — ｏ，ｎｇｕＺＨＯＵＭｅｇＹＡＮＧｎ —ａＳＨＩＹａｎｆｎＪｉｎ。。Ｊｉｇｆ，－ａｇ
（．ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＣｍｐｔｒＳｉｎｅＨｅｅｎｖｒｉＢｏｉｇ０１０Ｃｈｎ；１Ｃｏｌｅｏｔｅｔｃｎｏｅｕｅｃｅｃ，ｂｉＵｉｅｓｔ Leabharlann ，ａｄｎ７０２，ｉａ
Ａｂｔａｔ（Ｈ，ｓｒｃ：Ｌ）ｙｐｕｎｄｎｅｓｆｒｔｅｍｕｈｉｉａｏｍｍｕｔｔｒａｓｃａｅｔｈｅｓｎｇｕａｎｅｔｅｂｏｄｅｓｏｈｌｎｅｒｃａｏｓｏｉｔｄｗｉｈｔｉｌｒｉｔ—

分数次Hardy算子的交换子在齐次Morrey--Herz空间上的有界性

摘要：先介绍了经典的分数次Ｈａｄｒｙ算子及交换子的概念，然后再结合齐次ＭｏｒｙＨｅｚ间ｒｅ — ｒ空的定义．到类分数次Ｈａｄ得ｒｙ算子和单侧二进ＣＭＯ函数所生成的交换子在齐次Ｍｏｒｙｒｅ —Ｈｅｚｒ空间上一些有界性结果．关键词：分数次Ｈａｄｒｙ算子；交换子；齐次Ｍｏｒｙｈｒ间；ｒｅ－ｅｚ空单侧二进ＣＭＯ函数
义１）时，Ｈ在齐次Ｈｅｚｒ空间上的有界性结果．本文在此基础上，出了６）给（是一个单侧ＣＭＯ函函数时。在齐次ＭｏｒｙＨｅｚｐｒｅ — ｒ空间上的有界性结果．
＊收稿日期：０８Ｏ — １２０一７０作者简介：军（９０）男，刘１７一，甘肃白银人，师．讲
Ａ
（）一｛Ｒ，∈ ＬＲ＼ｏ）ｌｌＲ（｛）：ｌｌａＭ
，．
ａ
＜。，。｝
其中
Ｉ２墨２Ｉｔ・脉一（ｂＪｆｘ
・
２・２
兰州工业高等专科学校学报
第１卷５
当Ｐ一。。时，按通常的形式来定义．
ｚ
１ｒ
（Ｈ，）ｘＩ（ｔ（）ｄ）ｉ ≤ｃ１（（）ｄ）（ｚ）ｘ，
其中
其中６ｏ（
。
ｂｔｄ・（）ｔ
若１Ｐ＜ｑ＜ｏ，ＣＣ：且 ≤ 。则ＭｑｃＭＯ，
ｃｃ＿南
，ｐ

2008年度焦作大学科研成果奖励登记表(论文)

2008.06
300
36
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2008.19
300
68
非晶晶化法制备纳米晶FeCoBSiNb

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２２
哈尔滨师范大学自然科学学报
２１年第２０１７卷
０使得对任意的方体Ｑｃ，
∈Ａ，ｓ≥ ［ｔｑ．令ｒａｐ一１］若实值函数口满（／），
足
（。）≤（ｑ），击（ｃｔ ∞ ｏ）（
则称０满足ｒ９阶反向Ｈｔｄｒ件，作 ∞ ∈Ｒ．ｉｅ条ｌ记Ｈｒ易知若Ｒ，（ ∈Ｒ（Ｈｒ则ＩＪｓ＜ｒ和 ∞ ∈ ）
这里Ｑ为中边与坐标轴平行的方体．ｔ（）若ｏｘ
满足
述结果推广到了０＜＜ｎ的情形．
另一方面，０３年，ｉｇＬｅ和Ｌｎ运用２０Ｄｎ，ｅ，ｉ
加权Ｈａｄｒｙ空间
（）原子分解得到了
亩Ｊ， ≤ｅ（，（ｃｓＱ）ｓｃｃｉ）
数，）∈Ｌ（）ｒ＞１Ｓ为上的单力（Ｓ，， ’ 位球面，么称算子那
，
为证定理需要以下预备事实．
）Ｊ＝．
ｙ）
１预备事实
定义１１设（．）为上的非负局部可积函数，ｔ（）∈Ａ（称ｏｘ。１＜Ｐ＜∞ ）是指：任意对的方体Ｑｃ存在Ｃ＞０使得，
收稿日期：００ —１２１１—１１
的权指数并且加权测度∞ Ｅ（）＝ｆ∞ ｘｄ．（）ｘ
定义１２若存在ｒ＞１固定的常数Ｃ＞．和
黑龙江省教育厅科学技术研究项目基金资助（２１１８；哈尔滨师范大学青年学术骨干资助计划项目（Ｂ００１１５ｌ５）ＫＧ２１１）
郭彩霞，宋福陶
（哈尔滨师范大学）
【摘要】给出了具有齐性核分数次积分算子．的加权（（）（），）
有界性，中０＜Ｏ其ｌ＜ｒｎ（ｔ／ｎ＋１，）＜Ｐ＜１．关键词：分数次积分；权；Ａ加权Ｈａｄ间；～Ｄｎ条件ｒｙ空ｉｉ
界性．００年，２０丁和陆利用实Ｈｒｙ空间的原ａｄ
（．（。． ≤ 击Ｊ。击）１）
Ｃ＜ ∞ ．
子分解，明了．证的（ｉ，有界性，中０＜１Ｌ）ｐ其
＜１ｎ（）≤ Ｐ＜１最近，和江把上，／ｎ＋．孔
的反向Ｈ￣ｄｒ数．。和反向Ｈ￣ｄｒ件的ｌｅ指Ａ权ｌｅ条关系如下
（ｉＩ（）ｘ＝０是多重指标，ｉ）ａｘｘｄｉ，
ＩＩ≤ ｓ：
引理１１．
∈ ＲＨｒ．
设ｒ＞１则 ∞ ∈Ａ，当且仅当
设 ∞ ∈Ａ，。Ｐ≥ １则对任意方，
则称（）∈Ａ．．记Ａ：ｕＡ，然若 ∞（Ｐ显）∈Ａ（ｐ１＜Ｐ＜ ∞ ）则 ∞（，）∈Ａ（，ｒ＞Ｐ）且 ∞（Ｅ）
．
的加权（，）有界性，中０＜＜１ｎ（其，／ｎ＋
）≤Ｐ＜１在文中，者考虑０＜＜ｎ的情况，．笔
则称ａ为一（，，）原子．Ｐｑｓ
引理１２．
命题１６．
设０＜Ｐ≤ １≤ ｑ≤ ∞ 。且
体Ｑ，＞１有（Ｑ）≤ Ｃ印Ｑ）其中Ｃ与Ａ，ＡＡ（，Ｑ，Ａ无关，Ｑ是与Ｑ同心，Ａ边长为Ｑ的Ａ倍的方
Ｐ≠ ｑ∞ ∈Ａ．任意的ｆ∈ （，在一列，对唿）存
第２７卷第２期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＵＲＡＣＥＮＣＳＪＬＳＩＥＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＮＩＮＯＲＭＡＬＵＮＶＥＩＹＩＲＳＴ
Ｖ１２，Ｎ．０１ｏ．７ｏ２２１
齐性核分数次积分算子在加权Ｈａｄｒｙ空间的有界性水
得到的主要结果是
定理０１设０＜＜ｎ ∈Ｌ（）ｒ＞．，Ｓ（
Ａ（ｑ１＜ｑ＜Ｐ．％：ｉｆｑ＞１ｔＥＡ｝ ∞ ）记ｎ｛：ｇ为ｏ
ｎ（）／ｎ— ）是 “ 的零阶齐次函数并且的ｒ上
阶积分连续模满足
Ｊｆ
ｏ
～
＜∞ ．
一 ‘
０引言
设０＜ａ＜ｎ力（，）是上的零阶齐次函
女果ｎ（＋１＜Ｐ＜１１ｑ＝１ｐ —ａｎ口／ｎ），／／／，
ｏｔ
∈Ａ，则存在与厂无关的常数ｃ使得，
Ｉ，ｌＣＩ１．１Ｉｑ ≤ ｆｌＬＩ％
（）ｉ０∈Ｌ，ｓｐａｃＱ（０ｄ，中Ｑ（０且ｕｐ，）其ｑｘ，ｄ是以为心，为边长且边与坐标轴平行的方）。ｄ
体；
（ｉｉ）ｌ ≤ ∞（ｌ地Ｑ）
Ｈｒ（＞０．＋）记＝ｓｐ｛ｕｒ＞１ ∈Ｒｒ为：Ｈ｝
为带齐性核的分数次积分算子．
１７年，ｃｅｈｕｔＷｈｅｅ证明了９１Ｍｕｋｎｏｐ和ｅｄｎ
．
的加幂权（，）界性，里０＜Ｐ＜ｎｃ有这／ｔ．
．
１９９８年，和陆 … 得到了丁
的加权（，）有