Hardy空间上极大算子的加权有界性

Hardy空间的原子分解及其上算子的有界性【摘要】设00，关于φ的极大函数M■定义为M■f（x）=sup■φ■*f（x），其中f是任意的缓增分布S′，我们称f∈H■（R■），如果M■f（x）∈L■（R■）。

Fefferman和Stein在文献[1]中还给出了非切向极大函数和大极大函数等刻画，并断言上述定义与φ的选取无关（只要■φ≠0）且H■是拟Banach空间。

显然当P>1时，H■=L■。

我们称Y是p■次拟Banach空间，如果其对应的拟范数‖·‖■满足三角不等式：‖f+g‖■■≤‖f‖■■+‖g‖■■，其中f，g∈Y。

注意到1次拟Banach空间就是Banach空间。

Coifman在文献[2]给出了原子和原子Hardy空间的定义。

定义设0<p≤1≤q≤∞，p<q，s≥s■，其中s■=[n（1/p-1）]是不超过n（1/p-1）的最大整数。

我们称函数a为（p，q，s）原子，如果a∈L■（R■），且满足：（1）supp a？奂Q；（2）{■■a（x）■dx}■≤Q■；（3）■a（x）x■dx=0，对一切多重指标α满足α≤s。

容易证明（p，q，s）原子属于H■。

反之，f是H■中的缓增分布S′当且仅当f=■λ■a■，其中a■是（p，q，s）原子，s≥s■且■λ■■<∞。

分解f=■λ■a■的含义是在缓增分布意义下说的。

定义‖f‖■=inf{（■λ■■）■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

可证上述定义的两种拟范数是等价的，即‖f‖■≈‖f‖■。

定义有限原子Hardy空间H■■是由所有（p，q，s）原子的有限线性组合的全体，并赋予相应的拟范数‖f‖■=inf{（■λ■■）■，f=■λ■a■}，其中下确界取遍上述所有的分解。

该空间在H■里是稠密的。

特别的，我们定义H■■是由所有连续（p，∞，s）原子的有限线性组合的全体组成，并赋予对应的范数‖f‖■。

当1<p<∞，很多线性算子和次线性算子在L■上有界，但是p=1时并不成立。

Hardy空间上向量值极大算子的加权有界性张建林【摘要】利用Hardy空间上的原子分解和Cauchy不等式证明了向量值极大算子在Hardy空间上的有界性,并推广到向量值极大算子的加权情形.【期刊名称】《玉林师范学院学报》【年(卷),期】2010(031)002【总页数】3页(P16-18)【关键词】加权Hardy空间;向量值Hardy-littlewood极大算子;有界性【作者】张建林【作者单位】中原工学院,数学系,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】O175Abstract:The boundedness of vector-valued maximal operators is obtained on Hardy space. This result is generalized the weighted vector-valued maximal operators, by using atom decomposition and Cauchy inequality. Key words: Weighted Hardy space; Vector-valued Hardy-littlewood maximal operators; boundedness设函数f(x)为Rn上局部可积的，即f(x)∈Lloc(Rn)，x∈Rn，令Q是Rn中含x 的任意球体或方体，称为f(x)的定义在Rn上的Hardy-Littlewood极大函数，简记为H-L极大函数，称M为H-L极大算子. 关于该算子在Lebesgue空间以及Hardy空间的性质可以参看文献[1]. 但是关于H-L极大算子在Hardy空间（0〈P≤1）时的性质的研究还不够深入，本文利用Hardy空间中的原子分解证明了向量值H-L极大算子的Hp-Lp 有界性，并把它推广到加权情形. 关于向量值空间Lp(lr)的定义可以参阅文献[2]，[5].在本文中，Hp(Rn)表示Rn上的Hardy空间，‖‖p,ω为该空间的范数，ω(x)为加权函数. C为常数，但各处不尽相同.我们知道，如果1〈p〈∞，f∈Hp，则有Hp=Lp，我们得到为了得到我们的结果，我们需要如下引理[3].引理1 设φt为Rn中中心在原点，半径为t的球面上的正规面测度，φt为φ的一个伸缩函数，即据有关知识[2]得知：引理2 当|x|≥2|y|>0时，不等式和成立.利用上述引理，我们可以得到定理1 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，那么序列Mf={Mf1,Mf2, Mf3, ..., Mfn, ...}∈Lp，并且在加权hardy空间上，向量值极大算子的有界性也可类似得到.定理2 设函数列f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp，0〈P≤1，ω(x)为权函数，则定理1的证明首先假设0〈p≤1，由于 f ={f1, f2, f3, ... , fn, ...}∈Hp(lr)，我们只要证明任意一个fj( j≥1)在Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们使用原子分解，得到那么，对任意一个那么所以只需要对证明不等式：设p-原子a的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性[4]知，可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，我们利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理1得证.定理2的证明假设0〈p≤1，由于f ={f1, f2, ..., fn, ...}∈Hp(lr)，所以，对于非负权函数为ω(x)，我们只要取任意一个fi，证明极大算子在加权Hardy空间上有界性成立即可. 因此，我们同样使用原子分解的方法，只需对任意一个而那么所以此时只需要对证明不等式：成立即可，其中ω∈Ap.设p-原子aj的支集在方体Q上，且满足和利用引理2，根据平移不变性知，我们可以设Q的中心在原点处，即为Q=[-R, R]n，为了估计我们分解对于Ⅰ，利用L2(Rn)上的等距同构和Cauchy-Schwartz不等式，得到：对于Ⅱ我们有：由于|x|>2R和p>0，所以所以得证，即定理2得证.【相关文献】[1] Stein E M. Harmonic analysis[M]. Princeton: Princeton University Press, 1993.[2] 周民强. 调和分析讲义[M]. 北京：北京大学出版社, 1999.[3] 韩永生. 近代调和分析方法及其应用[M]. 北京：科学出版社，1999.[4] Muckenhoupt. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 165:207～226[5] 党健，张建林. 虚数阶Laplace算子的向量值估计[J]. 洛阳大学学报，2006，2:26-28.。

2021,41A (2):303-312数学物理学报http: // a ct a 拟微分算子在H (3)上的有界性1温泳铭2侯宪明**收稿日期：2020-09-17;修订日期：2020-10-09E-mail: **********************; *********************基金项目：闽南师范大学校长基金(KJ2020020)和福建省中青年教师教育科研项目(JAT200331)Supported by the President's Fund of Minnan Normal University (KJ2020020) and the Scientific Research Project of the Education Department of Fujian Province (JAT200331)*通讯作者(1闽南师范大学数学与统计学院 福建漳州363000; 2临沂大学数学与统计学院 山东临沂276005)摘要：该文给出了拟微分算子為在加权Hardy 空间H p )上的有界性，改进和推广了已有 的相关结果.关键词：拟微分算子；权；Hardy 空间.MR(2010)主题分类：42B30; 42B35; 47G30 中图分类号：0174.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)02-303-101引言与主要结果本文研究拟微分算子爲在加权Hardy 空间H p 3)上的有界性.首先回顾一下相关的 定义和研究背景.定义1.1设m e R , p" e ［0,1］,符号函数/(x,£)定义在X 上 称/(x,£)属于 Hormander 类S 爲(R n )，若对每个多重指标a,0 e N n ，存在常数C> 0使得\dX d f a(x,<) < C (1 + |£|)m -恥*31.定义1.2给定符号函数/和f e C 尸(R n )，拟微分算子爲定义为JR n其中f 为f 的傅里叶变换.众所周知，拟微分算子在偏微分方程，量子场，指标理论和调和分析理论研究中起着重 要作用，可参看文献［2, 12, 15-16, 18］等.拟微分算子在函数空间的有界性研究是调和分 析理论的一个热点问题之一.早在1973年，Feffermn ［12〕就研究了其在L 空间的有界性. 随后，相应的加权估计也被考虑，如：当丄e A p/2 (2 < p< x ), a e S -n (1-P)/2 (R n )且 0 < 8 < p < 1 时，Chanillo 和 Torchinsky ［7］首先证明 了 爲是 L p (u )有界的；Michalowski, Rule 和Staubach ［19］则考虑了 p = 8的情形，并在文献［20］中进一步证明了当0 < 8 < 1,304数学物理学报Vol.41A 0<p<1,a G S為(R n)且m<-n(1-p)时，巧是叫)有界的，其中3G A p.更多关于爲加权"有界性的工作，可参看文献［3-4,6］及其参考文献.另一方面，当P G(0,1］时，Hardy空间作为L p(R n)的替代空间，吸引了大批数学家的关注.Stein,Weiss,Coifman和Fefferman［8-10'13〕首次对实Hardy空间进行了系统的研究.紧接着，Garcia-Cuerra［14〕引进了加权Hardy空间，Stromberg和Torchinsky^〕则进一步系统地研究了加权Hardy空间.拟微分算子在Hardy空间上的有界性则是Alvarez和Hounie［1〕首次建立，准确的说，当a G S^且0<p<1,0<d<1和m<-n(1-p)/2+min{0,n(p—5)/2}时，巧是从H)到L k(R n)有界的.YabutaH还有Deng等人将前面的结果推广到了H&).Hournie和Kapp［17〕证明了当a G S為时，爲是局部Hardy空间h x(R n)到L1(R n)的，其中0<5<p<1,该结果同样推广了文献［1］中的结果.在2012年，Xiao, Jiang和Gao』2〕将文献［17］中结果推广到了双线性情形.本文将建立如下主要结果.定理 1.1令n/(n+1)<p<1和a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1).若-(n+1)<m<-(n+1)(1-p)以及3G A p(”+“/”；则存在常数C〉0使得必/<C||f||h”s注1.1在文献［23］中，Yabuta建立了爲在H讼)上的有界性，其中a G S^以及3G A l.另外在文献［11］中，Deng等人在假设a G S為(R n)时也得到了同样的结表，其中p G(0,1］,5G［0,1),-(n+1)<m<-(n+1)(1—p)以及3G A p且p G［1,1+e/n), e=min{1,(1+m+n)/p}.从定理1.1的条件可以看到，我们得到了比文献［23］更好的p,m 范围，以及比文献［11,23］更弱的权条件.所以，定理1.1可看作已有的结果改进；同时，当P<1时，相应的结论是新的.在给出下一个结论前，先给出T；1=0的定义.定义1.3令a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1)以及爲是拟微分算子.称T：1= 0若对所有具有紧支集甬/G L q(R n)(1<q <Q且满足人”/(x)dx=0的函数均有人”T a f(x)dx=0成立.定理 1.2设a G S為(R n),其中p G(0,1］,5G［0,1).假设pn-(n+1)<m<-(n+1)(1-p)和TJnO.若3G A p“/”且“=(1+n+m)/p，则对<P<1,存在常数C>0使得忆舁||h”3)<C||f||h”s下文组织如下：在第2节我们给出一些相关的定义和辅助引理.定理1.1和定理1.2的证明分别在第3节和第4节给出.最后我们给出一些记号说明.若f<Cg和f<g</，则分别记为/<g,/~g.设3G A g,记q w:=inf{p G［1,g):3G A p}.对任意的球B:=B(x o,r)C R n,x o和r分别表示球B的中心和半径，0B3(y)dy简记为3(B).S(R n)和S/(R n)分别表示Schwartz函数全体和缓增分布全体.对a G R,表示不超过a的最大整数.2预备知识本小节将给出必要的定义及引理.No.2温泳铭等：拟微分算子在叫)上的有界性305权•是定义在时上的非负局部可积函数.设1<p<2称•属于A p权若存在常数C使得3(y)1-p'dy)"<C,supQ其中1/p+1少=1且上确界取遍所有包含在时中的方体Q.若p=1,称3G A i若存在常数C使得<CL x其中M是Hardy-Littlewood极大算子.若p=g定义A*:=U A”.本文经常使用到1<p<^权的倍测度性质，即，对于入〉1以及任意的球B,若3G A p,则3(入B)<入必呵每3(B).接下来，我们给出加权Hardy空间的一些事实•设0G S(R n)且人”讽x)dx=1,/G S'(R"),定义极大函数M为(x)=sup|f*0t(x)|,t>0其中机(x)=i~n^(x/i).则对⑴&A*和0<p<2加权Hard y空间H p(e)定义为H p(3)={f G S'(R"):Mf G L p(3)},其中拟范f||h”3)=||l”s定义 2.1设3G A*,0<p<1,q G仏,g]以及s G N且s>|_(血/p-1)n J.称定义在R"上的函数a是(p,q,sL-原子若下面三个条件成立(1) a支在B(x o,r);(2)岡匕3)<3(B(x o,r))1/q-1/p;(3)对所有满足|a|<s的多重指标a有J'B(X0,r)a(x)x a dx=0.Bownik,Li,Yang和Zhou[5〕给出了下面的引理.引理 2.1[5]设3G A*,0<p<1,s G N且s>[(q w/p-1)n J.若q w<q<g且T:H需s(3)t L p(3)(H p(3))是线性算子满足sup{||Ta||L”3)}<g,其中a是任意的(p,q,sL-原子，H需s(3)是所有(p,q,s)w-原子的有限线性组合全体.则存在从H p(3)到L p(3)(H p(3))的有界线性算子T,且该延拓是唯一的.最后给出一些与拟微分算子有关的引理.引理2.2站]设a(x,e)G S^R"),其中0<p<1,0<d<1.则T a的核在远离对角线{(x,x):x G R"}时是光滑的且可以表示为K(x,y)=l叫/e2ni("-y)0(x,g)0(eg)d&―0丿R n其中0G C*(R")且当|g|=1时满足讽。

Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性是一个十分重要的研究课题，它主要
关注研究Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性问题，以及它们的应用。

在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中，Hardy算子的有界性可以通过判断它们的L^p-L^q范数
的有界性来判断。

一般来说，如果给定的L^p-L^q范数有界，则Hardy算子在
f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中就具有有界性。

Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性是一个十分重要的问题，它有助于我们更好地理解这些空间中的算子的有界性。

此外，它也可以帮助我们更好的理解空间中的函数的性质。

此外，Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性也有助于我们更好地研究空间
中的函数的复杂性。

例如，可以通过研究Hardy算子有界性，来更好地研究函数的复杂性。

综上所述，Hardy算子在f_(p,q)~(s,r)(r~n)空间中的有界性具有重要的意义，不仅可
以帮助我们更好地理解空间中的函数的性质、复杂性，而且可以为研究这些空间中的算子
的有界性提供一个重要的依据。