二重积分对称性定理的证明与应用

情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。

解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。

例6 计算其中为由所围。

解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。

9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。

㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。

㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通 ２０１９ ２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。

二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。

被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。

2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。

3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。

如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。