笔算开立方（转贴）：
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的：
在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)
a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使
b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]
如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使
b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523
一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。（3'176'523）
第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：
1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。
然后就照上面一样，
14^2*300=58800，14*30=420，如上图所写。
第三位就填7，所以上图下边3个空位都填7。
然后(427*7+58800)*7=432523,432523-432523=0，到此开立方结束。
在我以后的一些实践中，发现越往后开，300*a^2与b(30a+b)的差距就越大，寻找b的工作就越容易，因为结果中有一项是300*a^2*b。
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................
最后结果为:18.724......
以上是转贴一网站的内容,我自己前半部分有些明白,后半部分还不明白,但我可以确定以上
的解答过程才是正确的,而绝不是一个数的3倍.
述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3＋4)×4＝256，说明试商4就是平方根的第二位数)；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
开根号手算方法
529,24 129 529,24 129 4b b b 長除式演算法求開根號 以下這個演算法是根據： (10 a + b )2 = 100 a 2 + 20ab + b 2= 100 a 2 + (20 × a + b) × b 而生的。 給y= (10 a + b )2，我們想求得a ；b, 在此我們先猜測a 再由式子 y - 100 a 2 ＝(20 × a + b) × b 去求得b 。 長除式演算法： 1. 將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開, 如98765.432內 小數點前的65是一組, 87是一組, 9是一組, 小數點後的43是一組, 之 後是單獨一個2, 要補一個0 而得20是一組 。 也就是9,87,65.43,20。 以 準確至2位小數為例子: 將 1 04.85 73 得四組, 順序為 1' 04. 85' 73'。 2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數） 記下 。 3. 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。 4. 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一 步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積。 5. 重覆第2步，直到找到答案 。 6. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止 。 範例：求 (529)2/1＝？ 解法：將529分為兩組，分別為 5，29。(第1步) 先猜a 為2，因為2的平方為4比5小。(第2步) 529 ＝ (20 + b)2＝400 + 2 × 20 × b ＋b 2 529 – 400 = ( 20 × 2 + b ) × b (第3、4步) 129 ＝( 40 + b ) × b 故b = 3 。 因此 (529)2/1 = 23
用筆做開方運算的方法 很容易，先把被开方数自小数点左右分为每两个数一个区，如1049.76（以下都以这个数为例）可分为10…49.76，然后从高位区开始算，过程有点象除法竖式，下面就是正文：从高位区开始，10开方的整数是3，这整数3便是结果的最高位数字，余数1（10-3*3）和下一区和在一起便是149，用20(专用数字，从第二区开始一直用到完）去乘前面已开方结果3，便市60（20*3），记住，这个数的个位数不是固定的，它可是必须与除得的商相同且须尽量大，继实例部分，第二步用149除以60（60不是真正的除数，因为它的个位数是所得的商），这样可得出商的约数，如以上除的整数部分是2，那么须把60+2为62作为除数，得商2与除数62的个位数相同，因此商2便是结果的第二位数（既为32），余数为25（149-62*2），被开方数的整数区用完了便在结果32后加“.”既以后的算出来的结果为小数部分，剩下的都与第二部分相同下面与你们共同来完成它吧：把余数25和下一区放在一起为2576，试用除数为20*32=640，则商为4，4+640为644，2576除以644刚好为4（4恰为除数644的个位数）没余数，则4为结果的最后一位了，既结果为32.4。这结果可是精确的数哦，如果后面还除不尽的话，就在被开方数的小数部分后加00……还是每两数为一区，用以上的方法一直精确下去，结果可是与计算器算出来一样哦， 开方,一般都是...按计算机,以前是查数学用表... 现在有一个更容易的方法了,而且可以一下子给你开出这个数,而且多少次方都无问题! 例:32*32=1024 我们把1024分解质因数(小学知识,别说你不会) 1024=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 一共是10个2 把10的因数找出来: 10(1,2,5,10) 一共10个2对不?10/1=10,2的10次方 10/2=5,2*2=4,4的五次方 10/5=2,2*2*2*2*2=32,32的二次方(即平方) 10/10=1,2*2.....*2=1024,1024的一次方 手动开平方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。） 5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简√1024，因为1024=2^10,所以。√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314. 如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚： 比如求√37625.(如图） ①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25 ②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。 ③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图） ④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9 ⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方 ⑥继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。 （附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）
手算开平方和开立方的方法 2011-01-14 17:58 手算开平方和开立方的方法 1)开平方Extracting Square Root 写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。 从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位彺下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。
笔算开平方方法 一． 拿出一个数，以小数点为分界，两位为一节，从最高位开始开平方。 我们就拿256吧 两位一节，先看最高的是2,那最大开平方就是1，写下1,剩余1。 第二步就是重点了！ 再取两个下来，也就是56。前面还有1,组合成156。 将第一次的开平方数1,先扩大20倍，得到２０,加上可以取的最大值，这个最大值是什么最大呢？也就是x*(20+x)<=156的最大x,可以取６,也正好是６,所以开平方的结果是１６。 再拿个比较大的数：15625 这个数，我们还是两位一节，看最高位１，那就写１，没剩余。 第二步：再取两个下来，也就是５６,我们先将１扩大２０倍，再用刚才的方法，取最大的x，可以取２，那就写２,剩余56-2*(20+2)=56-44=12 第三步：再取两个下来，也就是２５,和刚才剩余的12组成1225,那我们再对刚才的开平方数12，再扩大20倍，得到240,再求最大的开平方数，正好是５,没有剩余。 所以结果是125 如果有剩余，那小数点后也是两位两位地加，也就是一次加两个0,方法和前面一样，对前面已开出来的先扩大20倍，再取最大开方数，一直到你所要的准确度。 二． 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）； 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是4，即试商是4）； 5．用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数． 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值． 例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 实例 例如，A=5：5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07272，-0.07272×1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23。 第三步： 2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位数。每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，
中值法——手工快速开平方 【题目】 假设a2=53,509,225，求a。 【分析】 按照教科书上的开平方的方法，对位数不多的数来讲，还比较实用，但对于位数较多的数字或小数位数较多的数来讲，此方法就比较繁琐，并且还有可能出错，并且一出错就得重头计算。经过笔者不断总结、分析，找到一个非常好的方法，暂且叫做“中值法”吧。 一个实数的平方根为绝对值相等的一正一负两个数，所以，a应该是两个值。 【中值法步骤】 1、确定区间[a1,a2]，使a12≤a2≤a22。一般区间可考虑整数，如[100,200]、[500,600]等。 2、取区间中间值a3，即a3=(a1+a2)÷2。 3、计算a的初值a4，即a4=(a3+a2÷a3)×0.5 4、计算a的准确值。a5=(a4+a2÷a4)×0.5，如果a5与a4相差很小，根据a2的个位数，判断a的个位数，确定a的准确值。 如果a2是一个完全平方数（及a为整数），到上面第4步时，结果就已经出来了；如果不是一个完全平方数（即a是一个小数），并且需要精确到小数点后n位，则重复第3、4步，直到小数位数达到需要的n位，就可以了。 【解题】
1、判断a区间。明显 7,000＜a2＜8,000 2、取区间中间值。 （7,000+8,000）÷2=7,500 3、计算初值。 （7,500+53,509,225÷7,500）×0.5=7,317.281,667 4、确定准确值。 （7,317.281,667+53,509,225÷7,317.281,667）×0.5=7,315.000,356 这个结果与初值相差不大。且a2的个位为5，所以，a值就是7,315和 -7,315。 【例题1】 已知a2=2,345,678,911，求a（如果a为小数，保留4位小数，且 a>0） 1、判断a区间。明显 40,000＜a2＜50,000 2、取区间中值。 （40,000+50,000）÷2=45,000 3、计算初值。 （45,000+2,345,678,911÷45,000）×0.5=48,563.099,01 4、确定准确值。 （48,563.099+2,345,678,911÷48,563.099,01）×0.5=48,432.385,83 此数与上数还有一定差距，且a2个位为1，与48,432接近的数中，
直接开方法与配方法 一 直接开方法 形如()()02 ≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。 例3．解方程： （1）()512=-x （2）()162812 =-x （3）()()22322+=-x x （4）01532 =+x 4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22??? ??p ，把方程化为44222q p p x -=??? ? ?+； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解。 1．把下列各式配成完全平方式 （1）()22__________-=+-x x a b x （2） ()22____25____-=+-x x x （2）()22___________3 2+=++x x x 10．关于x 的方程()2222b ab a a x ++=-的根是 。 11．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2 的形式，则m =_______，k =_________。 例4.用配方法解下列方程： （1）0542=--x x （2）01322 =-+x x （3）01842=+--x x （4）0222=-+n mx x
练习 3．方程052=x 的解是（ ） A ．有一个解x =0 B ．有两个解x 1=x 2=0 C ．有一个解51= x D ． 以上都不对 4．方程()()02>=-q q p x 的根是（ ） A ．q p x ±= B ．q p x ±-= C ．q p x ±±= D ．)(q p x ±±= 5．用配方法解方程01322=++ x x ，正确的解法是（ ） A ．3223198312±-==??? ??+x x ， B ．98312-=??? ? ?+x ，原方程无实数根。 C ．35295322±-==??? ??+x x ， D ．95322 -=??? ? ?+x ，原方程无实数根。 9．方程()()22132+=-x x 的解是 。 2．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A ．08022=--x x ，化为()8112=-x B ．0352 =--x x ，化为437252=??? ??-x C ．0982 =++t t ，化为()2542=+t D ．02432=-+t t ，化为910322=??? ??+t 3．将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ） A ．()4122--x B ．()4122+-x C ．()2222--x D ．()2222 +-x 16.用配方法解下列方程： （1） 01722=++x x （2）()00222>=--m m mx x （3）012=--x x （4）02932=+-x x
笔算开平方法的计算步骤如下： 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值． 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍． 手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方. 因为网上写不出样式复杂的计算式,所以只能尽量书写,然后通过口述来解释: 假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下: 解法中需要说明的几个问题: 1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的 2,为了区别小数点，所以小数点用。表示，而所有的.都是为了排版需要 3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响 ...........1..2..0..6。8 .........----------------------- .....1../..1'45'64'56.00.. (1) (1) ............-------- .......22..|.45.. (2) (44) ..............-------- ........240.|.1'64.. (3)
手动开平方方法（最新方案） 虽然现在开方可以直接用符号表示，但考试中如果出一道开方让你写数值的题目怎么办呢？在最新的数学研究中，有一种最新的开平方法。 如有下题： 1522756=（） 开方步骤如下： （一）分位 把一个平方数分为几段。 1.从最低位（个位）开始。 2.每两个数为一位。 3.最高位可以是一位数。 1522756分为：1|52|27|56 分位后，1522756被分为了4段，开方结果为四位数（这里是完全平方数，没有小数）（二）开方 开方运算和除法类似，每运算1次都有一个递减过程。运算时也是从高位至低位。 如1|52|27|56先算1，再算52…… 格式如下： 平方根 52 | |1 56 | 27 运算过程 和除法类似，平方根写在横线上面，运算过程写在下面。 平方定义，12=1 所以如下： 1 52 | |1 56 | 27 1 ——————— 5 2 这第一步与除法佷像，但是是一次落2位，也就是1段。 下面的运算就与除法有些差别了，这是计算中非常麻烦的部分。 这一步骤叫：造数 首先，将已开出的平方根部分×2，得到1×2=2 然后，我们须要假设下一个我们要开出的平方根是A，A的范围是0~9中任何一个自然数。下面就需要我们去试一试了，我们要在0~9中找出一个数作为A的值，前提是：要使前面一步算出的2与A合为一个新数，就是以A为个位，2为十位，合成2A（注意：这里不指2和A相乘，如果A=6，那么这个数为26），并且2A×A最接近而不超过前面落下的52。下一步就是试数，经试验A=2合适，也就得到22×2=44。 这一步的44就是结果了，下一位平方根为A，也就是2，得到：
解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道 解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2；②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2；④、x2－9x+ =（x－）2 2．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b 的形式为_______，?所以方 程的根为_________． 3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对4．把方程x2+3=4x配方，得 （） A．（x-2）2=7 B．（x+2） 2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x2+4x=10 的根为（） A．210B．-2 ±14C．-2+10 D．10 6．用配方法解下列方程： （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 7.用直接开平方法解下列一 元二次方程。 1、0 1 42= - x 2、2 )3 (2= - x 3、()5 12= - x 4、()16 2 812= - x 8.用配方法解下列一元二次 方程。 1、.0 6 6 2= - -y y 2、x x4 2 32= - 3、96 4 2= -x x 4、0 1 3 22= - +x x 5、0 7 2 32= - +x x 6、0 1 8 42= + - -x x 7.用直接开平方法解下列一 元二次方程。 1、0 1 42= - x2、 2 )3 (2= - x3、 ()5 12= - x4、 ()16 2 812= - x 8.用配方法解下列一元二次 方程。 1、.0 6 6 2= - -y y 2、x x4 2 32= - 3、96 4 2= -x x 4、0 1 3 22= - +x x 5、0 7 2 32= - +x x
解：由图可知a<0，b>0，a-b<0 ∴ () 2a b a b a b a b a =----=---+=- 其实平方根与立方根是可以笔算算出来的，当你身边没有计算机的时候，掌握此类的算法十分有用。 至于怎样算，可以归纳为如下两条公式：平方根，20m+n ；立方根， 300m^2+30mn+n^2。 怎样去理解呢，很简单。模板是按除法的模式。以开平方为例，譬如要求72162的平方根，先要从个位开始将它分块，每两位一块，即7，21，62这样分。然后开始试商，从最高为试起，先来7，什么数的平方小于7的呢？明显是2。然后用7减去2的平方，得出的数字3为余数，将要在下一步与后两位数字合起来用来进行下一步运算。第二步，此时被除的变成了321，此时公式开始派上用场，上一步试出来的商2即为m ，至于n 呢，当然是第二步要试的商啦，而除数就是公式20m+n ，切记商与除数的积不要大过被除数。具体到刚才的数字，除数是321，而被除数则是20×2+n，即40几，要n×（20×2＋n ）小于等于321，最合适的就是n=6，即46×6=276，再用321减去276得出结果45用于第三步的试商。第三步，也像第二步一样试商，只不过此时的被除数变成4562，除数m=20×26+n，n 是第三步要试的商。由n×（20×26+n）小于等于4562得出第三步的试商n=8，第四步开始棘手了，因为个位之前的已经试完了，此时，应从小数点之后的十分位开始，如一开始一样，每两位分成一块，这之后，就可以按前面的方法一直试下去了。 至于立方根，也是与平方根一样的思路，只不过比平方根复杂一点。与平方根的区别主要有三点，一、分块变为每三位一块，如刚才的72162，要分为72，162；二、除数变成300m^2+30mn+n^2；三、余数的区别，平方根的余数肯定要比除数小的，不然说明试的商不合适，例如上面的题目，第二步余数45小于除数46，第三步余数338小于除数528；而立方根就有点不同，它在第二步开始试商的时候，得出来的余数是有可能比除数大的，而且经实践得出，这可能性不低，至于到了第三步，余数又开始回归正常了，即必定小于除数，否则试商有误。
手工开根号法,只适用于任何一个整数或者有限小数开二次方. 假设一个整数1456456,开根号首先要从个位开始,每两位数做个标记,这里用'表示,那么标记后变成1'45'64'56.然后根据你要开的小数位数在小数点后补0,这里的举例开到整,则补2个0,(原因等明白该做法后自会理解),解法如下: 解法中需要说明的几个问题: 1,算式中的....没有意义,是因为网上无法排版,为了能把版式排得整齐点而加上的 2,为了区别小数点，所以小数点用。表示，而所有的.都是为了排版需要 3、除了1'45'64'56中的'有特殊意义，在解题中有用处外，其他的'都是为了排版和对起位置，说明数字来源而加的，取消没有任何影响 ...........1..2..0..6。8 .........----------------------- .....1../..1'45'64'56.00.. (1) (1) ............-------- .......22..|.45.. (2) (44) ..............-------- ........240.|.1'64.. (3) 0 ...............--------- .......2406.|.1'64'56.. (4) ..................1'44'36 .................----------- ........24128.|.20'20'00.. (5) ....................19'29'74 ..................---------- .......................10'26 其中第(1)步的意思是对左起第一个'号前的数字进行开方,即本题中的1进行开方.并将数字写在上面. 第(2)步的意思是将第二个'号和第一个'号之间的数字,即45,写下来作为被除数,把上一步已经得到并写在上面的数字1乘以20作为除数的一部分,另一部分就得通过判断,得到一个数字a,使得除数为(1*20+a),同时商也为a,本步骤中,判断得到a应为2,所以除数是22,而2作为商写到了上面,1的右边. 第(3)步,把上一步除法计算的余数1移下来,同时把第三个'号和第二个'号之间的数字64也移下来,组成数字164作为被除数,然后重复上面的方法,把之前写到上面的数字12乘以20再加上一个可以作为本步骤的商的数字,组成除数.因为经过判断,本步骤只有0符合条件,所以除数是240,而商是0写到上面,164作为余数向下移. 第(4)步,如果前面能看懂的话,这一步其实只是前面的重复,把164和56都移下来组成被除数16456,然后120乘以20再加上6组成除数,同时6本身就是商,得到余数2020. 第(5)步依然是重复,需要特殊说明的是,对于小数点后面的数字,用0补位数就可以了,依然是两位加个'号,做法不变. 上面就是基本步骤了,总结起来就是先分位数,然后对第一个分位数字进行开方,如果有余数就想下移,和第二个分位组成被除数.而除数是之前已经得到的商乘以20加上某数字组成,而这个数字要在这个步骤中作为商出现的,所以这个数字是0-9中的哪个数字,得进行心算或口
手工的开方方法 一．可以使用2分法. 举个简单的例子,比如17手工开方.首先与17最接近的平方数是16,16=4*4.我们把17/4=4.25.取4和4.25的均值为4.125.再17/4.125=4.121.由此我们可以推断,17开方的结果在4.125和4.121之间,四舍五入得4.12.所以17开方为4.12.通过以上这种多次二分可以得到一个准确的开方值. 二．分为整数开平方和小数开平方。 1、整数开平方步骤： （1）将被开方数从右向左每隔2位用撇号分开； （2）从左边第一段求得算数平方根的第一位数字； （3）从第一段减去这个第一位数字的平方，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数； （4）把所得的第一位数字乘以20，去除第一个余数，所得的商的整数部分作为试商（如果这个整数部分大于或等于10，就改用9左试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）； （5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商，如果所得的积大于余数时，就要把试商减1再试，直到积小于或等于余数为止，这个试商就是算数平方根的第二位数字； （6）用同样方法继续求算数平方根的其他各位数字。 2、小数部分开平方法： 求小数平方根，也可以用整数开平方的一般方法来计算，但是在用撇号分段的时候有所不同，分段时要从小数点向右每隔2段用撇号分开，如果小数点后的最后一段只有一位，就填上一个0补成2位，然后用整数部分开平方的步骤计算。 三． 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
高一数学开方公式具体计算步骤 开方公式 X(n + 1) = Xn + ( Xn Xn)1 / 2。 (n，n+1与是下角标) 例如： A=5： 5介于2的平方至3的平方之间。 我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。 第一步：2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2; 输入值大于输出值，负反馈; 即5/2.5=2， 2-2.5=-0.5， -0.51/2=-0.25， 2.5+(-0.25)=2.25， 取2位数2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23; 输入值小于输出值，正反馈; 即5/2.2=2.27272， 2.27272-2.2=0.07272， 0.072721/2=0.03636， 2.2+0.03636=2.23636。
取3位数2.23。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.2421525， 2.2421525-2.23=0.0121525， 0.01215251/2=0.00607， 2.23+0.006=2.236， 取4位数。 每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 例如： A=200： 200介如10的平方至20的平方之间。 初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。 我们取15. 15+(200/15-15)1/2=14。 取19也一样得出14.。 19+(200/19-19)1/2=14.。 14+(200/14-14)1/2=14.1。 14.1+(200/14.1-14.1)1/2=14.14.
一元二次方程的解法 直接开平方法和配方法解一元二次方程 一、选择题 1. 解方程2 3270x +=，得该方程的根是（ ） A ．3x =± B ．3x = C ．3x =- D ．无实数根 2. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．2 2990x x --=化为2 (1)100x -= B ．2 2740t t --=化为2 781 416t ??-= ??? C ．2890x x ++=化为2 (4)25x += D ．23420x x --=化为2 21039x ??-= ?? ? 3. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A ．2 2350x x +-=化为2 (1)36x += B ．2 740y y --=化为2765 ()24y -= C ．2890x x ++=化为2 (4)25x += D ．23420x x --=化为2210()39 x -= 4. 用配方法解方程2 2103 x x ++=，正确解法是（ ） A ．21839x ??+= ???，133x =-±． B ．2 1839x ? ?+=- ???，原方程无实数根． C ．2 2539x ??+= ???，x =． D ．2 2539x ? ?+=- ?? ?，原方程无实数根． 5. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A ．2 2800x x --=，化为2 (1)81x -=． B ．2 530x x --=，化为2 53724x ? ?-= ??? ． C ．2890t t ++=，化为2 (4)25t +=． D ．23420t t +-=，化为2 21039t ??+= ??? ． 6. 用配方法将二次三项式2 45a a ++变形，结果是（ ） A ．2 (2)1a -+ B ．2 (2)1a ++ C ．2 (2)1a -- D ．2 (2)1a +-
平方根的计算方法 上面的太复杂拉,其实很简单: 智能ABC输入法的词库文件存储为计算机上的两个文件“Tmmr.rem”和“User.rem”。不知道你说的是不是这类型的文件，因为WINDOWS 关闭计算机时是要关闭输入法的，如果发现词库错误的话，可能有上述提示，建议把正在使用的输入法删除再安装一次 就是 智能ABC输入法的问题. 你说的记忆文件是指输入法的记忆文件。一般出现这个错误不要紧~不影响日常使用。 你还是使用微软拼音2003吧，智能、紫光、拼音加加都出现很多问题，这些输入法本身就有问题。相反微软拼音2003却没有那么多的问题，就是因为它整合兼容windows所有版本，微软的操作系统使用微软的输入法就不会出现问题，即使有问题也是偶尔发生的。备份一下字库如果不是专业打字人员就用微软拼音常见硬件术语手册 作者：佚名文章来源：本站原创点击数：30 更新时间：2006-2-27 常见硬件术语手册 一、CPU术语解释
3DNow!：(3D no waiting)AMD公司开发的SIMD指令集，可以增强浮点和多媒体运算的速度，它的指令数为21条。 ALU：(Arithmetic Logic Unit，算术逻辑单元)在处理器之中用于计算的那一部分，与其同级的有数据传输单元和分支单元。 BGA：(Ball Grid Array，球状矩阵排列)一种芯片封装形式，例：82443BX。 BHT：(branch prediction table，分支预测表)处理器用于决定分支行动方向的数值表。 BPU：(Branch Processing Unit，分支处理单元)CPU中用来做分支处理的那一个区域。 Brach Pediction：（分支预测）从P5时代开始的一种先进的数据处理方法，由CPU来判断程序分支的进行方向，能够更快运算速度。 CMOS：（Complementary Metal Oxide Semiconductor，互补金属氧化物半导体）它是一类特殊的芯片，最常见的用途是主板的
怎样用笔算开平方 上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求，这里1156 是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析． 根据两数和的平方公式，可以得到 1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2， 所以1156－302＝2×30a＋a2， 即256=（3×20+a）a， 这就是说，a是这样一个正整数，它与3×20的和，再乘以它本身，等于256． 为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算： 根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 1156＝342， 或 上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下： 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11＇56），分成几段，表示所求平方根是几位数； 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）； 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4）； 5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）； 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数． 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到 笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值． 我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．
数字计算方法——手动开方 手动开平方 1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。 2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。） 3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。 4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]＝[3.8]＝3。） 5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。） 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129＝23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235 为所求的平方根。） 如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。 《九章算术》少广章： 第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？ 答曰：二百三十五步。 开方术曰： 置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。 若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明。 | 5’ 52’ 25 (1) 2 | 5’ 52’ 25 (2) | 4 |1’ 52 (3) 152/(2×20)＝3＋... | 1’ 52’ (4) (2×20＋3)×3＝129 | 1’ 52’ (5)
关于开平方及开立方的手动算法 关于开平方及开立方的手动算法 序言 计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。 一、开平方的手动算法 此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。 开平方的整个过程分为以下几步： （一）分位 分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。具体法则是： 1、分位的方向是从低位到高位； 2、每两个数字为一段； 3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。 如：43046721分位后是43｜04｜67｜21 12321分位后是1｜23｜21 其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。 分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。 （二）开方 开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。 这里以43046721为例。 分位后是43｜04｜67｜21 运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）： 6 ——————————————— 4 3｜0 4｜6 7｜2 1 3 6 ———————— 7 0 4 这里一次落两位，与除法不同。 下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。 首先，将已商数6乘以2：6×2=12 这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。 我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：12A×A最接近但不超过上面余下的数704。注意，A在这里代表一个数位，若A=6，那么12A 的含义不是12×6，而是126。 以上过程与除法中的试商的过程很类似。