第三周速度关联类问题求解

让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．


D
．

ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2

A．
B．



C．



D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短

绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（

即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入

速度关联问题的处理方法
阜宁县第一高级中学 陈晓军 224400
求相互接触的物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力方向和垂直于弹力方向进行分解．令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

例1 一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0
匀速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆．此杆与半圆柱体的
接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为 时．求竖直杆的
速度大小．
解析：设竖直杆的速度大小为，方向竖直向上，由于弹力
方向沿OP 方向，所以01sin cos v v θθ=，解得：10tan v v θ=
例2一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个高为h 的物块上，如图2所示．若物块与地面间的摩擦力不计，
当物块以速度v 向右运动时，求小球A 的线速度(此时杆与
水平方向的夹角为θ)。

解析：选取物块与棒的接触点B 为连接点．因为B 点
在物块上，该点的运动方向不变且与物块的运动方向一
致．故B 点的合速度(实际速度)也就是物块的速度v ；B 又
在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度1v ，和绕O 点转动的
线速度2v 因此，将v 沿棒及垂直于棒的两个方向进行分解．由速度矢量分解图(如图3所示)得：2sin v v θ=
设此时OB 的长度为a ，则：sin h a θ
= 令棒绕O 点转动的角速度为ω，则：222sin v v a h
θω== 故小球A 的线速度2sin A vl v l h
θω==。

话题18：关联速度问题一、刚体的力学性质:讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移BC A 'B 'C '动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．二、相关的速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。

【练习3解析】 (1)将汽车的 速度分解为沿绳和垂直于绳， 如图所示，则有v2＝v1sin θ，v1 ＝v，所以v2＝vsin θ.
(2)依据v2＝vsin θ可知：当汽 车向左做匀速直线运动时，θ角 变大，则sin θ变大，因此物体 的运动速度变大，即物体加速 上升．
(3)由于物体加速上升，根据 牛顿第二定律知，拉力F大于物 体的重力mg.
小试牛刀
B
vB
一根光滑的轻杆靠在墙壁上，
如图所示。轻杆在沿墙壁下滑 过程中，当杆与水平方向夹角 是 时，vA和vB 的大小关系。若 B端匀速下滑,则A端如何运动？
vA
A
y
B
vA cos vBsin
VBsinθ
vA vB tan
vB
B端匀速下滑，θ变小，VA 也变小。即A端减速运动
A
vA
VAcosθ
新课学习
1、问题：绳、杆等有长度的物体，在运动过 程中，其两端点的速度通常不同，但有一定的 关联，称之为关联速度问题
2、关联：两端沿绳、杆方向速度一定相等 （一般认为绳、杆不可伸长，如果两端速度大 小不相等，绳、杆就会断开） 3、方法：把两端的速度沿着绳(杆)和垂直绳 (杆)方向分解。（如果某一端的速度沿着绳 （杆）就不用分解）
平面上运动，当α=450，β=300时，物体A的速度为2
m/s，这时B的速度为
。
B
A
【练习2解析】将物块A、B的 速度(也绳两端的速度)分解为 沿绳和垂直于绳，如图所示
v绳
v绳 vBcos B
vB
v绳 vAcos
A
vA
v绳
vB
vA
cos cos
2
cos cos