第五讲 关联速度

关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。

关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。

绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。

②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。

③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。

关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。

、绳相关联问题1.一绳一物模型1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。

即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项.平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会2)匀速拉动物体例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。

做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。

第五讲：简单的逻辑推理课前头脑风暴1、有一种水藻，每天成倍增长，如果在池塘中投入一棵水藻，第二天将有两棵，第三天将有4棵，第四天将有8棵，依次类推，则第25天可长满整个池塘。

如果在池塘中投入4棵水藻，那么多少天可以长满整个池塘？答：2、有一种水藻，每天成倍增长，如果在池塘中投入一棵水藻，第二天将有两棵，第三天将有4棵，第四天将有8棵，依次类推，则第20天长满整个池塘，那么长满整个池塘一半的水藻的时间是第几天？答：3、脑筋急转弯：开车的是坐车的儿子，坐车的却否认是开车的爸爸，这是怎么回事？答：探索乐园逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。

它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。

解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。

逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。

推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。

要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。

填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。

推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。

例1：四年级有四个班，每个班都有正、副班长各一人。

平时召开年级班长会议时，各班都只有一人参加。

参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。

你知道他们哪两个是同班的吗？由上表可知，小马三次参加会议，而小徐三次都没参加，他们是同一班级的。

小张和小朱是同班的，小刘和小陈是同班的，小林和小宋是同班的。

例2小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。

第五章 抛体运动 专题1 关联速度模型课程标准核心素养1. 能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题.2. 建立常见的绳关联模型和杆关联模型的解法．1、物理观念：理解关联速度模型。

2、科学思维：探究关联速度的分解方法。

3、科学探究：实际速度为合速度，按运动的效果分解速度。

4、科学态度与责任：能按运动分解思想解决关联速度问题。

知识点01 关联速度1．两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的．(下面为了方便，统一说“绳”)．2．处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向． 3．常见的速度分解模型情景图示定量结论v ＝v ∥＝v 物cos θv 物′＝v ∥＝v 物cos θv ∥＝v ∥′即v 物cos θ＝v 物′cos α目标导航知识精讲v ∥＝v ∥′即v 物cos α＝v 物′cos β【即学即练1】如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( ) A ．v 0sin αcos θ B.v 0sin αsin θ C ．v 0cos αcos θ D.v 0cos αcos θ【答案】 D 【解析】将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A 沿绳方向的分速度大小相等，可得 v 0cos α＝v 1cos θ，所以v 1＝v 0cos αcos θ，D 正确． 【即学即练2】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的小球A 和B (A 、B 均可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( ) A ．v 2＝12v 1B ．v 2＝2v 1C ．v 2＝v 1D ．v 2＝3v 1【答案】 C 【解析】小球A 与球形容器球心等高，速度v 1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v 11＝v 1sin 30°＝12v 1，由几何知识可知小球B 此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v 21＝v 2cos 60°＝12v 2，两球沿杆方向的速度相等，即v 21＝v 11，解得v 2＝v 1，故选C.考法01 与绳子联系的关联速度【典例1】如图，汽车甲用绳以速度v 1拉着汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为( ) A ．cos α∶1 B ．1∶cos α C ．sin α∶1D ．1∶sin α能力拓展【答案】 A 【解析】将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v 2cos α＝v 1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1. 故选A.考法02 与杆联系的关联速度【典例2】如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A 和B ，竖直放置，两球质量均为m ，两球半径忽略不计，杆的长度为L .由于微小的扰动，A 球沿竖直光滑槽向下运动，B 球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度v A 和v B 的关系，下列说法正确的是( ) A ．若θ＝30°，则A 、B 两球的速度大小相等 B ．若θ＝60°，则A 、B 两球的速度大小相等 C ．v A ＝v B tan θ D ．v A ＝v B sin θ 【答案】 C 【解析】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，v A cos θ＝v B sin θ，即v A ＝v B tan θ.当θ＝45°时，v A ＝v B ，故选C.题组A 基础过关练1．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M ，货物的质量为m ，货车以速度v 向左做匀速直线运动，重力加速度为g ，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）A ．缆绳中的拉力F T 等于（M +m ）gB ．货箱向上运动的速度大于vC ．货箱向上运动的速度等于cos vθD ．货箱向上运动的速度一直增大【答案】D【解析】BC ．将货车的速度进行正交分解，如图所示由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故v 1=v cosθ则货箱向上运动的速度小于v ，故BC 错误；AD ．由于θ不断减小，cos θ增大，故v 1增大，所以货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故拉力T F 大于()M m g +，故A 错误，D 正确。

关联速度的分解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除“关联”速度的分解在高中运动的合成与分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度．这里有一个简单的方法：物体的实际运动方向就是合速度的方向，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．一、绳、杆连接的物体绳、杆等连接的物体，在运动过程中，其两端物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，称为“关联”速度．关联速度的关系——物体沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等．因此，求这类问题时，首先要明确绳连物体的速度为合速度，然后将两物体的速度分别分解成沿绳方向和与绳垂直方向，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出．例1．如图1-1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图1-2所示进行分解．其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩，v ⊥=v 物sin θ使绳子绕定滑轮上的A 点转动，所以v 物=cos v ． 例2．一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图2-1所示，物块以速度v 向右运动，试求当杆与水平方向夹角为θ时，小球A 的线速度v A 图1-图1-2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除图4解析：选取物与棒接触点B 为连结点，B 点的实际速度（合速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2，因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解．由速度矢量分解图得v 2=v sin θ，设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h ，故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h ．例3．如图3-1所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置，SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：由几何光学知识可知，当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则∠SOS ′=60°，此时OS ′=L /cos60°，选取光点S ′为连结点，该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动速度v 1和绕O 点转动线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图3—2可得：v 1=v sin60°,v 2=v cos60°，又由圆周运动知识可得，光线OS ′绕O 转动角速度为2ω，则：v 2=2ωL /cos60°，vc os60°=2ωL /cos60°,解得v =8ωL ．二、相互接触的物体求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出．例4．一个半径为R 的半圆柱沿水平方向向右以速度v 0匀速运动．在半圆柱上放置一根竖直杆，此杆只图2—1 图2—2图3-1 图3—2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 能沿竖直方向运动，如图4所示．当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度．解析：设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力沿OP 方向，所以有v v 01、在OP 方向的投影相等，即有v v 01sin cos θθ=，解得v v 10=tan θ．。

“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。

这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。

“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。

由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。

模型典案：【典案1】如图1，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。

与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。

分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。

将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2。

根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。

【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。

物理意义很明显。

这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。

解法二：位移微元法如图3，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。

速度关联关系式的两种创新推导随着时代的发展，信息技术的进步使我们的工作变得更加复杂、更加有效。

当周围的信息技术发展显著时，基于每秒计算机处理速度的关联关系式也开始发挥作用。

因为信息技术的发展而改变一般式的研究，这种关联关系式的计算机处理速度的关联关系式有着重要的意义。

本文将详细介绍这种关联关系式的两种创新推导，以及其可以带来的收益。

首先，我们来看看首次提出的关联关系式的一般式，即Nijsmanvan Dijk公式，它可以有效描述计算机处理速度与功能复杂度之间的关系，该公式可以计算出在某一功能复杂度下计算机处理时间所允许的最大处理速度。

它的具体表达式为：V = SxF(E) - C其中，V表示特定功能下的处理速度，S表示每秒的计算机处理速度，F(E)表示该功能的功能复杂度(E为可变参数)，C表示处理器耗能损耗等因素所造成的速度限制因素。

拟合后，该公式可以用来计算不同复杂度任务的最大处理速度。

随着信息技术的进步，许多人认为Nijsmanvan Dijk公式已经不再适用于现代计算机系统。

因此，一个新的关联关系式基于一般式的优化关联关系式被提出，它可以更好地拟合现代计算机系统的性能。

它的具体表达式为：V = PxF(E) - C其中，V表示按时间间隔计算机处理的速度，P表示跨每秒的计算机处理速度，F(E)仍然表示该功能的复杂度，C表示处理器耗能损耗等因素所造成的速度限制因素。

不同于Nijsmanvan Dijk公式，基于一般式的优化关联关系式可以在不同复杂度任务中更加精准地计算出最大处理速度，从而使系统更容易达到理想的性能。

此外，还有另一种新的关联关系式时间和空间关联关系式也被提出。

它可以有效描述计算机处理速度与空间复杂度之间的关系，它的具体表达式为：V” = SxF(P)+C其中，V”表示处理速度，S表示每秒的处理速度，F(P)表示特定空间复杂度的函数(P为可变参数)，C表示损耗，等变量。

通过上述关联关系式，我们可以有效描述计算机处理速度与功能复杂度和空间复杂度之间的关系，从而使计算机更加灵活，让系统更容易达到理想的性能。

解读物系的关联速度策略作者：刘习聪来源：《中学物理·高中》2016年第11期在高中物理教学改革的今天，教学大纲重视开发学生大脑右半球的优势，发挥其直觉、预感与技能，增强学生解答物理问题的时间速度性与准确性，及时进行反馈，正确运用强化方法.教学在理解物理概念前提下，建学习目标，开发动力，注重养学生超越逻辑分析的思维能力，促进学生积极排解问题干扰，克服学习困难，努力强化分析问题技巧.在机械能知识点学习过程中，经常涉及到物系的速度关系.在这方面，速度约束关系上往往许多同学会产生疑惑，本文加以阐述.1 接触型约束例1 如图1所示机械传动机构，当连杆系统A在轴套中竖直移动时，下部接触的半圆柱体随之水平移动.设连杆与半圆柱体的接触点和圆心O的连线倾角为θ时，连杆A的速度为vA，半圆柱体的速度为vB，则下列关系式正确的是A.vA=vBsinθB.vA=vBcosθC.vA=vBtanθD.vA=vBcotθ解析方法一相对运动法连杆下端点相对水平面的运动速度vA，等于该点相对半圆柱体的速度u与半圆柱体相对水平面的速度vB的矢量和.而连杆下端点相对半圆柱面的速度u沿圆的切向，作出速度矢量关系如图2所示，故得：vA=vBcotθ方法二速度分解法连杆下端点与半圆柱面始终紧密接触，故垂直接触面方向的分速度（即圆柱面半径方向的速度）始终相等，如图3所示，故有vAsinθ=vBcosθ即vA=vBcotθ答案：D点评对接触物的接触点，速度关联的特征是：沿接触面法向的分速度始终相等，而沿接触面切向分速度不一定相等（当有相对滑动时）.接触点的关联速度也可用相对运动规律求解.2 涉及关联速度的物系动能问题例析例1 如图4所示，质量为m、摆长为L的单摆竖直悬挂时，摆球刚好与放在光滑水平面上的斜劈M接触，斜劈的倾角为θ=53°，斜面光滑，质量也为m.现由静止开始，用F=mg的水平恒力向左推斜劈，到摆线与斜面平行时，摆球的速度多大？解析如图5所示，设斜劈推至摆线与斜面平行时，斜劈M的速度为v1，位移为s1，摆球的速度为v2，对系统，根据动能定理，有Fs1-mgL（1-sinθ）=12mv21+12mv22题设 F=mg，斜劈的位移为s1=Lcotθ=Lcot53°=34 L难点在求二者的关联速度，有两种方法：方法一相对运动法摆球相对水平面的速度v2，等于摆球相对斜面的速度u与斜劈相对水平面的速度v1的矢量和.如图6所示，图中v2垂直摆线，摆线平行于斜面，故v1s inθ=v2θ=53°，v1=54v2方法二速度分解法利用摆球和斜劈二者在垂直斜面方向的分速度相等，由于v2垂直摆线，摆线平行于斜面，故v1垂直斜面的分速度和v2相等，如图7所示，即v1sinθ=v2联立以上各式解得：摆球速度v2=88205gL小结示例可见，掌握了物系关联速度特征，问题也就迎刃而解.例2 已知一根不能伸长的轻绳，当绕过不产生摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量mB=m小球相互连接，如图8所示，另一端和套在光滑直杆上质量m=mA小物块相连接，如果直杆两端固定，和两定滑轮在同一竖直平面内，那么水平面的夹角θ=60°，两定滑轮和直杆上C点都在相同高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，若直杆是足够长，小球运动过程中不存在与其他物体相碰.现将小物块从C点由静止释放，求：（1）物块下滑时的最大距离.（2）物块在下滑距离是L时的速度值.（3）若小球在下降最低点时候，小物块的机械能（取C点所在的水平面为参考平面）.解析（1）设小物块下滑的最大距离为sm，该过程小球升高Δh=L′-L，如图9所示，系统内仅重力和弹力做功，无其它力做功，机械能守恒ΔEA=ΔEB，得：mAgsmsin60°=mBgΔh式中mA=mB=m，又依余弦定理可得：L′=L2+s2m-2Lsmcos60°=L2+s2m-Lsm或根据勾股定理得：L′=（Lsin60°）2+（sm-Lcos60°）2=L2+s2m-Lsm联立解得：sm=4（1+3）L（2）设小物块下滑距离L时速度为v，此时小球回到初始位置且有向上的速度vB，如图10所示，由系统机械能守恒ΔEp=ΔEk，得：mAgLsin60°=12mAv2+12mBv2B.式中mA=mB=m，又沿绳方向的分速度大小相等，故vB=vcos60°，联立解得：v=203gL5.（3）小物块释放后下滑，滑轮O1左侧细绳先缩短，小球下降；小物块通过滑轮O1左侧细绳垂直杆的位置后，O1左侧细绳开始伸长，小球上升.故小物块到达滑轮O1左侧细绳垂直杆的位置时，小球下降到最低点且速度为零.此时，小物块势能虽可求，但因小球初始位置未知，导致小物块的动能无法求出，故需通过转换，利用过程系统机械能总量不变求解.设小球初始位置在滑轮O2下方h处，取C点所在的水平面为参考平面，此时系统的机械能为E1=-mBgh；小球下降到最低点时，设小物块的机械能为EA，小球的机械能为EB=-mBg[h+L（1-sin60°）]，则系统的机械能为E2=EA+EB=EA-mBg[h+L（1-sin60°）]，由E1=E2得：-mBgh=EA-mBg[h+L（1-sin60°）]解得：EA=mgL（1-32）。

（一） 关联速度1.如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与重物B 相连，由于B 的质量较大，在释放B 后，A 将沿杆上升，当运动至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v A ≠0，B 未落地，这时B 的速度为v B ＝________。

答案：02．如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m 1和m 2，且m 1<m 2。

若将m 2从位置A 由静止释放，当落到位置B 时，m 2的速度为v 2，且绳子与竖直方向的夹角为θ，则这时m 1的速度大小v 1等于( )A ．v 2sin θB ．v 2sin θC ．v 2cos θD ．v 2cos θ3．如图所示，用船A 拖着车B 前进，若船匀速前进，速度为v A ，当OA 绳与水平方向夹角为θ时，求：(1)车B 运动的速度v B 多大？(2)车B 是否做匀速运动？(1)把v A 分解为一个沿绳方向的分速度v 1和一个垂直于绳方向的分速度v 2，如图所示，所以车前进的速度v B 的大小应等于v A 的分速度v 1的大小，即v B ＝v 1＝v A cos θ。

(2)当船匀速前进时，θ角逐渐减小，车速v B 将逐渐增大，因此车B 不做匀速运动。

4.如图所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B 沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A 的拉力的大小( )A ．大于mgB ．总等于mgC ．一定小于mgD ．以上三项都不正确5．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m ，水的阻力恒为F f ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时( )A ．人拉绳行走的速度为v sin θB ．人拉绳行走的速度为v/cos θC ．船的加速度为F cos θ－F f mD ．船的加速度为F －F f m6．A 、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示。

关联物体速度的关系《数理天地》高中版物理中的思想和方法2010年第7期慕椰禧瘵的系董建芳(山东省聊城市外国语学校252059)利,海生(聊城大学252059) 1.用导数分析设质点的位置坐标是(-z,),则质点的运动速度是位置坐标对时间t的一阶导数.对于相互关联的物体,如果能找到二者位置坐标之间的关系,利用导数就可以分析二者速度大小的关系.例1在水平固定的光滑细直杆上穿着A,B两个小球,并用两根长度均为L,不可伸长的轻绳分别将A,B两小球与另一小球C连接.已知三个小球质量相同且都可看作质点,现将两根轻绳拉直呈水平状,并同时释放三个小球,试求:在A,B两小球相碰前的某一时刻,A,B两球的运动速度与C球下落速度大小之间的关系.分析A,B沿水平方向运动,根据对称性,二者速度大小相等,C沿着竖直方向运动,建立如图1所示的坐标系,B,C两球的位置坐标满足z.+一L,两边对时间t求一阶导数,2zdx+2dy—O,其中dx,dy分别是B,c的运动速度B,c,所以rz图1——tand..——VBY因为B沿z轴负方向运动,所以&lt;0,～7J即为B沿水平方向运动速度的大小.例2如图2所示,路灯距离地面的高度为H,一个身高为h的行人以速度V0匀速行走,求人头顶在地面上的影子移动速度的大小.分析人和头顶的影子沿着地面做直线运动,以地面为z轴,以路灯正下方的地面为坐标原点,设人和影子的位置坐标分别为z,,根据三角形相似,有H'z—'z'对时问f求导,dx一?,即n￡ndr36图2H一—-o九2.用相对运动分析相互关联的物体A,B的速度满足'l,B相对地面一l,甘相对肖+A相对地面,.在矢量合成的平行四边形中得出二者速度的关系. 例3如图3所示,半径为R的半圆凸轮以速度.沿水平方向向右匀速运动,带动从动杆AB沿竖直方向上升,o为凸轮圆心,P为其顶点,求当A0P—时,AB杆的速度.图3分析A点相对于半圆凸轮运动的速度对沿半圆凸轮的切线向上,AB杆相对地面沿竖直方向运动的速度等于凸轮相对地面运动的速度与对的矢量和,根据平行四边形法则得一"Uotang.例4如图4所示,墙面和地面光滑,物体A,B分别沿水平方向和竖直方向运动,当A向右运动的速度大小为.时,B向下运动的速度是多少?图4分析A物体相对于B物体的速度相舢沿接触面向上,A物体相对于地面的速度.是B物体相对于地面的速度与A相对B的矢量和,v.一+'l,A相对B,根据平行四边形法则得B—ocota.3.速度分解(1)由杆或绳子约束的物体之间的速度关系将杆或绳子视为理想化模型,对于刚性杆或拉直的,不可伸长的绳子,任意两点之间的相对距离不变,因此杆或绳上的每一点在同一时刻具有相同的沿杆或绳方向的分速度.对于例1,B,C两球通过绳子连在一起,根据绳子不可伸长,两球运动时沿绳子方向的分速度大小相等,因此把B,C的速度分别沿绳子方向和垂直绳子的方向进行分解,如图5所示,有图52010年第7期物理中的思想和方法《数理天地》高中版张学慧(甘肃省J临夏市临夏中学731100)题一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上,经两次折射后从玻璃板另一个表面射出, 出射光线相对于入射光线侧移了一段距离.在下列情况下,出射光线侧移距离最大的是()(A)红光以3O.的入射角入射.(B)红光以45.的入射角入射.(C)紫光以30.的入射角入射.(D)紫光以45.的入射角入射.分析当入射角相同时,由于紫光的折射率比红光的折射率大,光路如图1所示,紫光相对于入射光线的侧移距离较大,由此可排除(A),(B)项.对(C),(D)项的选择,有如下三种方法.方法1数学分析法设平板玻璃的厚度为d,折射率为,一束光线以入射角a射到玻璃的上表面,出射光线相对于入射光线的侧移距离为Ax,如图2所示.由几何关系,得(08年全国卷Ⅱ)红紫图1图2△z—BCcosa===d(tana—tanil)COS0~,①又一,c.s卢一,所以ta一一把②式代入①式,得——====———————一,.一sin.a②△z—dsina(1—).③V一S1n口③式是侧移距离Ax关于入射角a的关系式,但不易分析出Ax随a的变化如何变化.考虑到COSa一,二面,③式可变形为f1]Ax—dsinai1一—_====:1.④√+j^f1'一-一由④式可知:当入射角a增大时,侧移距离Ax也增大,选(D)项.方法2数值验证法设入射角a一30.,a一45.时,出射光线相对于入射光线的侧移距离分别为△z,Ax2.则在方法2中推出③式后,可将a--_30.,a一45.,"≈√2分别代人计算,比较得Ax&lt;Ax.,选(D)项.方法3极限分析法当入射角等于0.时,光在平板玻璃两表面处的传播方向不变,即垂直于上表面入射,垂直于下表面出射,出射光线相对于入射光线的侧移距离等于零;当入射角接近9O.时,玻璃中的折射角接近临界角,从下表面出射的光线与法线的夹角(二次折射的折射角)接近90.,即出射光线相对于入射光线的侧移距离约等于平板玻璃的厚度(两表面之间的距离).所以,随着入射角的增大,出射光线相对于入射光线的侧移距离增大,选(D)项.u2——U3,即Bsina—cCOSl:I,所以72(一Btana.(2)相互接触物体的速度关系将相互接触的物体视为刚体,沿接触面法线方向,接触的物体具有相同的法向分速度,否则物体将相互分离或者发生形变.对于例3,杆与凸轮相互接触,在接触点将杆和凸轮的速度分别沿切线和法线方向进行分解,沿法线方向的分速度相等,即VCOSot:==nS1na'所以73一tana.D图637。