“关联”速度问题模型归类例析

第五章 抛体运动 专题1 关联速度模型课程标准核心素养1. 能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题.2. 建立常见的绳关联模型和杆关联模型的解法．1、物理观念：理解关联速度模型。

2、科学思维：探究关联速度的分解方法。

3、科学探究：实际速度为合速度，按运动的效果分解速度。

4、科学态度与责任：能按运动分解思想解决关联速度问题。

知识点01 关联速度1．两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上，两物体的速度是关联的．(下面为了方便，统一说“绳”)．2．处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向． 3．常见的速度分解模型情景图示定量结论v ＝v ∥＝v 物cos θv 物′＝v ∥＝v 物cos θv ∥＝v ∥′即v 物cos θ＝v 物′cos α目标导航知识精讲v ∥＝v ∥′即v 物cos α＝v 物′cos β【即学即练1】如图所示，人用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，定滑轮右侧绳与竖直杆的夹角为θ，左侧绳与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( ) A ．v 0sin αcos θ B.v 0sin αsin θ C ．v 0cos αcos θ D.v 0cos αcos θ【答案】 D 【解析】将人、物块的速度分别分解，如图所示，人和A 沿绳方向的分速度大小相等，可得 v 0cos α＝v 1cos θ，所以v 1＝v 0cos αcos θ，D 正确． 【即学即练2】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的小球A 和B (A 、B 均可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平面成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( ) A ．v 2＝12v 1B ．v 2＝2v 1C ．v 2＝v 1D ．v 2＝3v 1【答案】 C 【解析】小球A 与球形容器球心等高，速度v 1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v 11＝v 1sin 30°＝12v 1，由几何知识可知小球B 此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v 21＝v 2cos 60°＝12v 2，两球沿杆方向的速度相等，即v 21＝v 11，解得v 2＝v 1，故选C.考法01 与绳子联系的关联速度【典例1】如图，汽车甲用绳以速度v 1拉着汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为( ) A ．cos α∶1 B ．1∶cos α C ．sin α∶1D ．1∶sin α能力拓展【答案】 A 【解析】将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v 2cos α＝v 1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1. 故选A.考法02 与杆联系的关联速度【典例2】如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A 和B ，竖直放置，两球质量均为m ，两球半径忽略不计，杆的长度为L .由于微小的扰动，A 球沿竖直光滑槽向下运动，B 球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度v A 和v B 的关系，下列说法正确的是( ) A ．若θ＝30°，则A 、B 两球的速度大小相等 B ．若θ＝60°，则A 、B 两球的速度大小相等 C ．v A ＝v B tan θ D ．v A ＝v B sin θ 【答案】 C 【解析】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度大小相等，v A cos θ＝v B sin θ，即v A ＝v B tan θ.当θ＝45°时，v A ＝v B ，故选C.题组A 基础过关练1．如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M ，货物的质量为m ，货车以速度v 向左做匀速直线运动，重力加速度为g ，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是（ ）A ．缆绳中的拉力F T 等于（M +m ）gB ．货箱向上运动的速度大于vC ．货箱向上运动的速度等于cos vθD ．货箱向上运动的速度一直增大【答案】D【解析】BC ．将货车的速度进行正交分解，如图所示由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故v 1=v cosθ则货箱向上运动的速度小于v ，故BC 错误；AD ．由于θ不断减小，cos θ增大，故v 1增大，所以货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故拉力T F 大于()M m g +，故A 错误，D 正确。

“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。

这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。

“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。

由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。

模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。

与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。

分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。

将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。

根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。

【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。

物理意义很明显。

这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。

解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。

关联速度的分解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除“关联”速度的分解在高中运动的合成与分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度．这里有一个简单的方法：物体的实际运动方向就是合速度的方向，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．一、绳、杆连接的物体绳、杆等连接的物体，在运动过程中，其两端物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，称为“关联”速度．关联速度的关系——物体沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等．因此，求这类问题时，首先要明确绳连物体的速度为合速度，然后将两物体的速度分别分解成沿绳方向和与绳垂直方向，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出．例1．如图1-1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图1-2所示进行分解．其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩，v ⊥=v 物sin θ使绳子绕定滑轮上的A 点转动，所以v 物=cos v ． 例2．一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图2-1所示，物块以速度v 向右运动，试求当杆与水平方向夹角为θ时，小球A 的线速度v A 图1-图1-2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除图4解析：选取物与棒接触点B 为连结点，B 点的实际速度（合速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2，因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解．由速度矢量分解图得v 2=v sin θ，设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h ，故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h ．例3．如图3-1所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置，SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：由几何光学知识可知，当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则∠SOS ′=60°，此时OS ′=L /cos60°，选取光点S ′为连结点，该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动速度v 1和绕O 点转动线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图3—2可得：v 1=v sin60°,v 2=v cos60°，又由圆周运动知识可得，光线OS ′绕O 转动角速度为2ω，则：v 2=2ωL /cos60°，vc os60°=2ωL /cos60°,解得v =8ωL ．二、相互接触的物体求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出．例4．一个半径为R 的半圆柱沿水平方向向右以速度v 0匀速运动．在半圆柱上放置一根竖直杆，此杆只图2—1 图2—2图3-1 图3—2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 能沿竖直方向运动，如图4所示．当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度．解析：设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力沿OP 方向，所以有v v 01、在OP 方向的投影相等，即有v v 01sin cos θθ=，解得v v 10=tan θ．。

速度关联问题常见模型与解题方法1. 速度与时间的关系1.1 速度、时间与距离的基本关系速度问题就像是生活中的“速食餐”，简单快捷但又能让你饱腹。

要搞懂速度问题，我们得知道几个基本概念：速度、时间和距离。

速度就像你开车的速度，时间是你开车的时长，距离则是你走过的路。

公式是这样的：距离等于速度乘以时间。

简单吧？比如说，你开车的速度是60公里每小时，开了2小时，那你就跑了120公里。

这个公式很基础，却是解题的“必杀技”。

1.2 常见的速度问题类型有时候，速度问题就像是刮风的日子，复杂又不确定。

比如说，两个小伙伴一起跑步，一个跑得快，一个跑得慢，他们要怎么才能赶到同一个地点？这时候，你得用到“相对速度”了。

相对速度就是两者之间的速度差。

比如说，甲和乙一前一后跑，甲的速度是5米每秒，乙的速度是3米每秒，那他们之间的相对速度就是2米每秒。

这种问题看似简单，但解决起来却需要耐心和细心。

2. 速度与其他因素的关系2.1 速度与加速度的关系说到加速度，这就像是在开车的时候突然踩油门，车子一下子就飞了起来。

加速度就是速度变化的快慢，越大表示速度变得越快。

公式是这样的：加速度等于速度变化量除以时间。

如果你车子的速度从0到60公里每小时用了5秒，那加速度就是12公里每小时每秒。

这种计算常见于物理题目里，不过有时候它就像是恶作剧一样，搞得你一头雾水。

2.2 速度与阻力的关系我们生活中常常会碰到阻力，比如走在风中感觉特别累，或者水里的游泳感觉有些费劲。

阻力就是影响速度的那个“无形敌人”。

在物理问题中，阻力会影响物体的速度，导致物体的运动变得缓慢。

阻力的计算有点儿复杂，通常需要考虑很多因素，比如物体的形状、表面光滑程度等。

不过，掌握了这些，你就能在遇到实际问题时得心应手。

3. 解题方法与技巧3.1 基本公式的应用速度问题最基础的解题方法就是用公式。

公式就像是你的“万用工具”，简单易懂却功能强大。

只要你把公式运用熟练了，各种速度问题就像是手到擒来的小猫咪。

难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点 ●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系●难点磁场1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =θcos BD①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBCt s ∆=∆∆1 ② 人拉绳子的速度v =t BDt s ∆=∆∆2③由①②③解之：v 物=θcos v 解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.所以v 物=θcos v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以图5-1图5-2图5-3图5-4图5-5v物=cosv图5-7［例2］（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）.命题意图：考查综合分析及推理能力.B级要求.错解分析：①不能恰当选取连结点B来分析，题目无法切入.②无法判断B点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.●歼灭难点训练一、选择题1.（★★★）如图5-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小.图5-9 图5—103.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图5-10所示.试求：（1）m2在下滑过程中的最大速度.（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.（★★★★）如图5-11所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.图5-11图5-86.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

专题03 关联速度模型1.“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。

一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。

2.“关联”速度分解的步骤(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。

(ⅰ)确定合运动的两个效果。

用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧ 效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动 相互接触的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动 (ⅰ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。

3.常见的速度分解模型(1)绳牵联模型单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v ⅰ一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v ⅰ的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。

甲 乙 两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即v A ⅰ＝v B ⅰ。

如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B 的速度与A 沿绳方向的分速度相等，即v A ⅰ＝v B ⅰ。

丙丁(2)杆牵联模型如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即v Aⅰ＝v Bⅰ。

【模型演练1】（2024上·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）如图在水平力F作用下，物体B沿水平面向左运动，物体A恰好匀速下降。

以下说法正确的是（）【模型演练2】（2023上·云南·高一校联考期末）有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。

考点三关联速度问题星I知识梳戛1. 模型特点沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等.2. 思路与方法合速度T绳拉物体的实际运动速度v其一：沿绳（或杆的速度V i分速度T'R其二：与绳（或杆垂直的分速度V2方法：V i与V2的合成遵循平行四边形定则.3. 解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.常见的模型如下图所示.命题点1绳牵连物体运动问题6•如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为a、伏下列说法正确的是（）TCOS a A .此时B球的速度为COS] vB •此时B球的速度为sn a vC.在B增大到90。

的过程中，B球做匀速运动D .在B增大到90。

的过程中，B球做加速运动【解析】由速度的合成与分解知，A、B两球沿绳方向的分速度相等，则VCOS a V B COS cca zB可得V B = cos常，A正确，B错误；在A球向左匀速运动的过程中，a减小、B增大，余弦函数为减函数，故在B增大到90°的过程中，B球做加速运动，C错误，D正确.【答案】AD命题点2杆牵连物体运动问题7•在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以v o匀速运动，已知P点为杆的中点，杆AB与x 轴的夹角为0,下列关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式正确的是（）A . P点的运动轨迹是一条直线B. P点的运动轨迹是圆的一部分C. P点的运动速度大小v = v o tan 0v oD . P点的运动速度大小v=2Sin~0【解析】设P点坐标为（x, y）,则A、B点的坐标分别为（2x,0）、（0,2y）, AB长度一定, 设为L,根据勾股定理，有（2x）2+ （2y）2= L2，解得x2+ y2= £2,故P点的运动轨迹是圆的一部分，故A错误，B正确.画出运动轨迹，如图所示，速度v与杆的夹角a= 90 °—2 0由于杆不可伸长，故P点的速度沿杆方向的分速度与A点速度沿杆方向的分速度相等,VCOS a= V 0COS 0, vcos (90 — 2 0 = v o cos 0 解得v= 2sn 0，故C错误，D 正确.【答案】 BD绳（杆）端速度分解思路物理建模系列（五）小船渡河模型分析1.模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动， 其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究•这样的 运动系统可看作"小船渡河模型”.2•模型展示合运気分近动一：黑密 水泠流的込动 , 木施的 Sfi 度船和时丁-弭运曲二:iUfi 时 于挣成的创杆运总”专仟泄水屮的3.三种速度：V 1（水的流速卜V 2（船在静水中的速度）、v （船的实际速度）.4. 三种情景过河要求过河方法 图象沿着绳（杆） 方I 旬分解垂直绳（杆）方向分解f 沿绳或杆 方向的分速度大小 相等例一小船渡河，河宽d= 180 m,船在静水中的速度为v t = 5 m/s,水流速度v2= 2.5 m/s. 求：(1) 欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2) 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v i= 5 m/s.d 180t=書=” 36 sv= .v2+ v2= 2 . 5 m/sx= vt= 90 . 5 m.乙(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角a如图乙所示, 有v i sin a= V2,得a= 30°所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短.x' = d= 180 m.d = 180 v i cos 30 °5 - 2^3=24 3 s.【答案】(1)垂直河岸方向36 s 90 5 m(2)向上游垂直河岸方向偏30° 24.3 s 180 m1. 解这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动.2. 运动分解的基本方法：按实际运动效果分解.(1) 确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向);(2) 根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；(3) 运用平行四边形定则进行分解.3. 小船渡河问题的处理(1)小船渡河问题，无论v船〉V水，还是V船V V水，渡河的最短时间均为t min = _L(L为河V船宽).⑵当v船〉v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船V v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理.A考能提升莎点演练k［高考真题］1. (2016课标卷I, 18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()A •质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B .质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D .质点单位时间内速率的变化量总是不变【解析】因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0,现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.间的比值为k,船在静水中的速度大小相冋，则小船在静水中的速度大小为去程与回程所用时（）是变化的，故C正确，D错误.若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确.【答案】BC2. （2015广东卷，14）如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物（）A •帆船朝正东方向航行，速度大小为vB .帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45。

“关联速度”模型模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。

这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。

“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。

由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。

模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。

与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。

分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。

将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。

根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。

【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。

物理意义很明显。

这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。

解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。

关联速度问题关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题：(1)物体的实际速度一定是合速度.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等. (3)常见的速度分解模型 情景图示(注：A 沿斜面下滑) 分解图示定量结论 v B ＝v A cos θ v A cos θ＝v 0 v A cos α＝v B cos β v B sin α＝v A cos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解阻力恒为F f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )A.人拉绳行走的速度大小为v cos θB.人拉绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F f mD.船的加速度大小为F －F f m【题型2】如图所示， 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2，则v 1、v 2的关系是( )A.v 1＝v 2B.v 1＝v 2cos θC.v 1＝v 2tan θD.v 1＝v 2sin θ【题型3】人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度大小是( )A.v 0sin θB.v 0 sin θC.v 0cos θD.v 0 cos θ【题型4】如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，O 端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h 的物块上，某时杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v ，则此时A 点速度为( )A.Lv sin θhB.Lv cos θhC.Lv sin 2θhD.Lv cos 2θh【题型5】如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )A.v sin αLB.v L sin αC.v cos αLD.v L cos α针对训练1.如图所示，有人在河面上方20 m 的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v ＝3 m/s 拉绳，使小船靠岸，那么( )A.5 s 时绳与水面的夹角为60°B.5 s 时小船前进了15 mC.5 s 时小船的速率为5 m/sD.5 s 时小船到岸边距离为10 m2.一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )A ．v 2＝12v 1 B ．v 2＝2v 1 C ．v 2＝v 1 D ．v 2＝3v 13.如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( )A.v 1＝v 0sin αcos θB.v 1＝v 0sin αsin θC.v 1＝v 0cos αcos θD.v 1＝v 0cos αcos θ4.一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h ，探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是( )A ．hω B.θωcos h C. θω2cos h D ．Hωtan θ5.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ．另一竖直杆B 以速度v 水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )A ．水平向左，大小为vB ．竖直向上，大小为vtanθC ．沿A 杆向上，大小为v/cosθD ．沿A 杆向上，大小为vcosθ6.如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )A ．v sin θB ．v cos θC ．v cos θD ．v sin θ关联速度问题参考答案【题型1】【答案】 AC【解析】 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F f m，选项C 正确，D 错误.【题型2】【答案】C【解析】将A 端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v 1∥＝v 1cos θ，将B 端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v 2∥＝v 2sin θ.由于v 1∥＝v 2∥.所以v 1＝v 2tan θ，故C 正确，A 、B 、D 错误.【题型3】【答案】D【解析】由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v ＝v 0 cos θ，所以D 正确.【题型4】【答案】 C【解析】 根据运动的效果可知物块向右运动的速度，如图所示．沿杆和垂直于杆的方向分解成1v 和2v ，根据平行四边形定则可得θθcos cos 1v v v B ==，θθsin sin 2v v v B ==，根据几何关系可得θsin h OB =，由于B 点的线速度为ωθ⋅==OB v v sin 2，所以h v OB v θθω2sin sin ==，所以A 点的线速度hLv L v A θω2sin ==，故C 正确。

速度关联问题模型
速度关联问题模型是指用数学模型描述速度之间的相关性。

速度关联问题常见于物理学、运输学、工程学等领域，在这些领域中，我们常常需要研究速度之间的关系，以便进行预测、优化等相关工作。

常见的速度关联问题模型包括线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等。

这些模型可以用来描述速度和其他变量之间的关系，通过拟合数据，可以得到关于速度的预测模型。

例如，在运输学中，我们可以使用速度关联模型来预测车辆的行驶速度。

通过收集一系列车辆的行驶数据，包括车速、车辆负载、道路条件等变量，我们可以建立一个速度关联模型来描述这些变量对车速的影响。

然后，我们可以使用该模型来预测在不同条件下的车速，从而帮助我们做出进一步的决策。

速度关联问题模型的建立需要基于实际数据的统计分析和建模技术，通过收集足够的数据，选取合适的数学模型，并运用合适的统计方法进行参数估计和模型拟合，最终得到合适的速度关联模型。

难点解析丨实际运动中的关联速度问题关联速度问题一般是指物拉绳（或杆）和绳（或杆）拉物问题．高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．01速度规律绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．02解决关联速度问题的一般步骤第一步：先确定合运动，即物体的实际运动．第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，这个效果改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，这个效果改变速度的方向．即将实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量．第三步：按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图．第四步：根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解．03常见的模型（1）车拉船模型问题：车拉船运动，车匀速前进，速度为v，当绳与水平方向成α角时，船速v′是多少？分析：绳与船接触的点M是个特殊的点，此点既在绳上又在船上．在船上，是实际运动（合运动）．在绳上，同时参与两个分运动．点M从A到B的运动情况比较复杂，为了便于理解和观察，把运动过程等效分解为两个独立的运动过程．一个是绕滑轮做的圆周运动，这个运动不改变绳长，每一时刻的速度方向都垂直于绳的方向．另一个是沿着绳的方向做的直线运动，这个运动是由于车拉动绳向O点收缩引起的．所以点M的速度每时每刻都可以分解为两个速度．一个是垂直于绳的方向的v1．另一个是沿着绳的方向的v2．则有：v1=v′sin αv2=v′cos α车和船都在同一根绳上，由于绳的长度不会改变，所以车和船的实际速度沿绳方向的分速度大小相同．解决：车在绳上的分速度等于船在绳上的分速度．即v=v2v=v′sin α所以v′=v/sin α绳子的“关联”速度问题（2）其他模型（1）两个物体的绳子末端速度的分解如下图所示，两个物体的速度都需要分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥=vB∥．（2）两个物体的硬杆末端速度的分解如下图所示，a、b沿杆的方向上各点的速度大小相等．vacos θ=vbcos αva：vb=cos α：cos θ杆以及相互接触物体的“关联”速度问题;【示范例题】例题1.（单选题）固定在竖直平面内的半圆形刚性铁环，半径为R，铁环上穿着小球，铁环圆心O的正上方固定一个小定滑轮．用一条不可伸长的细绳，通过定滑轮以一定速度拉着小球从A点开始沿铁环运动，某时刻小球运动至如下图所示位置，若绳末端的速度为v，则小球此时的速度为（）【答案】A【解析】小球的速度方向沿铁环的切线方向，将小球的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分量，沿绳方向的速度为v，则v′cos 30°＝v，选项A正确．点拨:找准合运动，分解合运动，不能分解分运动．例题2.（单选题）如下图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（均可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，B球沿槽上滑的速度为vB，则此时A球的速度vA的大小为（）【答案】D【解析】根据题意，将A球的速度分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量，同时B球的速度也分解成沿杆方向与垂直于杆方向的分量．则对A球，有v＝vcos α，对B球，有v＝vBsin α，则vAcos α＝vBsin α，所以vA＝vBtan α，选项D正确．点拨:对于杆模型（杆连接着物体相互作用的问题），杆端速度通常分解的一般原则为将实际速度（合运动的速度）分解为两个分速度，一个沿杆方向，一个垂直于杆方向．。

关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。

“关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。

绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。

②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。

③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。

“关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。

一、绳相关联问题1.一绳一物模型（1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e时，船的速度为U,此时人的拉力大小为T,则此时（）小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。

即按图 3 所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e，会错选 B 选项.（2）匀速拉动物体例2如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ，如图 5 所示，设角度变化e方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。

做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。

关联速度的三种模型高中
杨勇
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题—訇艺帮助学生从物哩学的视角认识自然．虽然高串生列高等数学的掌握较少胆昱高中数学教材中已经渗透了导致积分等福
关知因此剐美髑蠹度的渗透和理目黾列学|生茧名滴岂j]的培养有很大的帮助．下面在学生掌握的相关氮恬珀蜓翻垃匕制陡刘联速
度问题，帮助学生受阿谰槿霹悚度分髌的理解．
知帜的I基础速度分解高中阶段高中数学教材面接触综台能力的培养关联速度
分解模型
2020
词：
储褥耀鳓。

高考理化 2021年1月关联速廈诃题绳端、杆端或接触面速度分解模型2!■河南省实验中学 王若冰两个或两个以上物体由轻绳或轻杆连接在一起，或直接挤压在一起，称为关联体，它们的运动称为关联运动。

相互关联的两个物体在运动过程中，一般不是都沿绳、杆或接触面运动的，即二者的速度通常不同，但存在某种联系，称为关联速度。

要想求解关联速度， 就需要找到关联速度间的联系，并正确分解已知速度，下面以由两个物体组成的关联体问o 为例，具体说明。

题型一：由绳连接物体的关联速度问题! !如图1所示，光滑定滑轮固定在天花板上的o 点，一根轻绳 跨过定滑轮系在A 、B 两物体上$若物体A 以速图1度（沿水平地面向左匀速运动，某时刻，系在物体A 、B 上的两段轻 绳分别与水平方向成a 』角，则此时物体B的速度为（）。

A. G l （，方向水平向左cos a B.方向水平向左cos aC.方向水平向右d . ^a ^，方向水平向右*解析：如图2所示，将物体A 的速度沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则v沿绳方向的分速 大小（1 = （cos a （将物体B 的速度 图2沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则沿绳 方向的分速度大小（3=（b C os *。

因为同一根轻绳上沿绳方向的速度大 等，所以（1 =、、、©、、、、a 、（3，解得（B =（，万向水平向右$*答案:C6评：求解由轻绳连接的两个物体的关联速度，需要先将两个物体的速度分别沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，再根据两个 物体沿绳方向的分速度相等建立等量关系, 从而使问题得以解决。

题型二：由杆连接物体的关联速度问题!2如图3所示，一（根长直轻杆AB 在墙角沿竖 \直墙面和水平地面滑动，当轻 竖直墙面间的 为5"时，轻杆的A 端沿墙面下图3滑的速度大小为（1 B 端沿z地面滑动的速度大小为（2，则（1、（2的关系 是（）$A. （ 1（ 2 B . （1 （ 2 cos "C.（1 =（2>n "D.（1 =（2 sin "解析：如图4所示，将轻杆A 端的下滑 速度（1分解为沿杆方向的速度（1’和垂直于杆方向的速度5〃，将轻杆B 端的水平速度5 分解为沿杆方向的速度（乙和垂直于杆方向的速度（2〃。

关联速度的三种理解 同学们好，这一次我们研究关联速度问题，请看题：如图1所示．以速度v 沿竖直杆匀速下滑的物体A （可视为质点）用细绳通过定滑轮拉物体B 在水平面上运动。

当绳与水平面的夹角为θ时，物体B 运动的速率是多少？ 这一类问题，通常有三种理解：1. 速度分解由题知A 物体以速度v 竖直向下匀速运动，B 物体水平向右运动，设图示时刻B 的速率为v B ，我们将A 的速度v 分解，一个分量v 1沿垂直于绳的方向向下，另一个分量v 2沿绳的方向向下，如图2所示。

为什么呢？我们认为这样分解合情合理，因为A 物体向下运动，导致了滑轮右侧的绳越来越长，可见，绳的末端（物体A ）一定有一个沿绳向下的速度，正是由于这个速度的存在导致了滑轮右侧的绳越来越长；同样由于A 物体的运动使得绳与水平方向的夹角θ越来越大，所以，绳的末端还有一个垂直于绳向下的速度，正是由于这个速度的存在，导致了绳绕滑轮沿顺时针方向转动，θ角越来越大。

考虑到绳长不变，所以，A 物体沿绳方向的速度大小v 2就等于B 的速率v B ，即：2v v B =，又由平行四边形定则，可得：θsin 2v v v B ==。

2. 功能关系我们在图1所示时刻附近，取一个极短的时间段Δt ，在Δt 的时间内，绳对图1 关联速度问题图2 速度v 分解B 物体做正功，对A 物体做负功，做功的总和为0。

因为，功是能量转化的量度，绳对物体做多少功，就消耗绳的多少能量，轻质软绳质量为0，是没有能量可供消耗的，所以它对两物体做功的代数和一定为0，或者说，绳对两物体做功的瞬时功率之和为一定为0。

从这个角度讲，绳在这里，仅仅起了一个传递能量的作用。

当绳与水平方向的夹角为θ时，设绳的张力为F ，绳拉B 的瞬时功率为B B B Fv Fv p =︒=0cos ，绳拉A 的瞬时功率为θsin )θ90(cos Fv Fv p B -=+︒=，因为，两功率的代数和为0，所以有：0A =+B p p ，即：0θsin B =-Fv Fv ，解得：θsin B v v = 3. 导数的意义数学课上我们讲过，导数就是瞬时变化率，函数在某点的导数的几何意义就是函数图象在该点的切线的斜率。

AOθ BMB1增分微课 4 速度关联问题的研究湖北省恩施高中 陈恩谱● 题型综述高中物理中涉及到很多绳、杆、面连接的两个物体的运动学、动力学和能量问题，这些问题的关键之一是两个物体的速度之间的关系——即速度关联的问题，另一个关键则是两物体之间的受力的关系问题。

其中速度关联问题对很多同学而言，存在准确理解和记忆的问题。

本文就对速度关联问题进行一个深入的分析。

● 应考策略在深入理解本文的内容的前提下，准确记住各种情况下速度的具体关联形式，以及必须正交分解的基本原则，那么，速度关联的问题就不过是这类问题的一个常识节点，你的注意力就会转移到更加复杂的动力学、能量问题上去。

● 应用举例一、绳连接体的速度关联1、基本结论：将绳连接的两个物体的速度沿．绳．和．垂．直． 绳．正．交．分．解．，则有两物体沿绳方向分．速．度．大．小．相等。

2、结论推导：跨定滑轮绳连接体（拉船模型） 【例 1】如图所示，人在岸上捉住绳上的 A 点以速度 v 0 水平向左匀速拉动轻绳，绳跨过定滑轮 O 拉着在水面上向左移动的小船 B ，若已知某一瞬间 OB 绳与水平方向的夹角为θ，试求此时小船 B 的速度 v 为多大？【解析】当 A 运动 3、注意事项：（1）当物体速度不沿绳时，不要认为绳连接的两物体速度大小相等；（2）无论何种情况下，要用沿绳分速度相等的结论， 都必须沿绳和垂直绳正．交．分解，如下图所示情形也只能将 M 的速度沿绳DA 和垂直绳DA 分 解时，才能认为 M 、m 沿绳方向分速度相等，而不能将 M 的速度沿 DA 、DB 方向斜交分解4、应用示例【练 1】如图所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为 d . 现将小环从与定滑轮等高的 A 处由静止释放，B 处在 A 处正下方距离为 d 处， 则下列说法正确的是A ．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mgB ．小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2C ．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于 2mgD ．小环从 A 处开始能够下降的最大高度为 4 d3【解析】B 选项：将小环的速度 v1 沿绳、垂直绳正交分解， 有：v 1 cos θ= v 2 ，故 B 正确；D 选项：由机械能守恒，到 A 1 时，B 运动到 B 1， 有： mgh = 2mg ( - d )，解得 h = 4d3 ；小船 B 的实际运动是水平向左的，但是我们可以将其想象成小船先沿圆弧 BB 2（以 （1）A 选项：设小环经过一段极短的时间 t 下落一小段距离 y ，小环 O 为圆心、OB 为半径 OB 长度不变）运动至 B 2 （ 此过程中 A 点不 v 0 A 1 AO的速度增加为 v 1，此时重物上升的速度为 v 2， v n则有：动），然后沿绳 B 2O 向上运动至 B 1（此过程中 B θ y = v τ1 gt 22= d tan θ A 运动到 A 1），则由于B 2v 2 = v 1 sin θ= gt sin绳不可伸长，故有 AA 1=B 2B 1，即若将 B 的运动分解到沿圆弧（垂直绳）和沿半径（沿绳）方向，则必有沿绳方向两物 体速度相等的结论：v n =v 0而 sin θ= tan θ ， 则有：1即： v cos θ=v 0，解得若不是正交分解， 而是如图（2）所示斜 v = v 0 / cos θgt 2v = gt 2 = 2d g 2t 3 2d交分解，则 B 3B 1=A 3A 1 而 B 3B 1≠AA 1，故此时就有 v ≠v 。