九年级数学上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

九年级数学上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

2．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．

（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；

（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′

和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；

（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2122yxx，点B（2，2）；（2）m=2或209m；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．

【解析】

【分析】

（1）将点A和点O的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B的坐标；

（2）由点A、点B、点C的坐标以及旋转的性质可知△△PDC为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m的方程，从而可解得m的值；

（3）如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处，以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．

【详解】

解：（1）把原点O（0，0），和点A（4，0）代入y=12x2+bx+c．

得040cbbc，

∴02cb．

∴22112(2)222yxxx．

∴点B的坐标为（2，2）．

（2）∵点B坐标为（2，2）．

∴∠BOA=45°．

∴△PDC为等腰直角三角形．

如图，过C′作C′D⊥O′P于D．

∵O′P=OP=m．

∴C′D=12O′P=12m．

∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）．

当点O′在y=12x2+2x上．

则−12m2+2m＝m．

解得：12m，20m（舍去）．

∴m=2．

当点C′在y=12x2+2x上，

则12×(32m)2+2×32m＝12m，

解得：1209m，20m（舍去）．

∴m=209

（3）存在n=27，抛物线向左平移．

当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．

如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．

以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．

当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．

∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．

∴点A′（83，89）．

∴点A″的坐标为（83，289）．

设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：82839k，

解得：k=76．

∴直线OA″的解析式为y=76x．

将y=2代入得：76x=2，

解得：x=127，

∴点B′得坐标为（127，2）．

∴n=212277．

∴存在n=27，抛物线向左平移．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．

3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.

【答案】（1）213222yxx（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3）（3）BE=10

【解析】

【分析】

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；

（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（4，0），

∴2016420abab，解得：1232ab，

∴抛物线解析式为：213222yxx；

（2）由题意可知C（0，2），A（-1，0），B（4，0），

∴AB=5，OC=2，

∴S△ABC=12AB•OC=12×5×2=5，

∵S△ABC=23S△ABD，

∴S△ABD=315522，

设D（x，y），

∴11155222AByy••，

解得：3y；

当3y时，2132322yxx，

解得：1x或2x，

∴点D的坐标为：（1，3）或（2，3）；

当3y时，2132322yxx，

解得：5x或2x（舍去），

∴点D的坐标为：（5，-3）；

综合上述，点D的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；

（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴22125AC,222425BC，

∴222ACBCAB，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴25CFBC，

∴AOACOMCF，即1525OM，

解得：2OM，

∴OCACFMAF，即2535FM，

解得：6FM，

∴点F为（2，6），且B为（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则

2640kmkm，解得312km，