九年级数学上册 二次函数单元测试与练习(word解析版)

九年级数学上册 二次函数单元测试与练习（word解析版）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，将函数2263,(yxmxmxmm为常数)的图象记为G．

（1）当1m时，设图象G上一点,1Pa，求a的值；

（2）设图象G的最低点为,ooFxy，求oy的最大值；

（3）当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x则2x的取值范围是 ；

（4）设1112,,2,16816AmBm，当图象G与线段AB没有公共点时，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）0a或3a；（2）118；（3）21136x；（4）18m或116m

【解析】

【分析】

（1）将m=-1代入解析式，然后将点P坐标代入解析式，从而求得a的值；

（2）分m＞0和m≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；

（3）结合二次函数与x轴交点及对称轴的性质确定取值范围；

（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．

【详解】

解：（1）当1m时，22613yxxx

把,1Pa代入，得

22611aa

解得0a或3a

（2）当0m时，,(3)Fmm

此时，0oym

当0m时，2223926=2()22yxmxmxmmm

∴239,22Fmmm

此时，229911=()22918mmm

∴0y的最大值118

综上所述，0y的最大值为118

（3）由题意可知：当图象G与x轴有两个交点时，m＞0

当抛物线顶点在x轴上时，22=4(6)42()=0bacmm△

解得：m=0（舍去）或29m

由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m且x≥3m

∴当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x2，则x2的取值范围是21136x

（4）18m或116m

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)yaxbxca的顶点坐标为3, 6C，并与y轴交于点0, 3B，点A是对称轴与x轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求ABP的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作30ACD交抛物线于点D,求出D点的坐标;并探究:在y轴上是否存在点Q,使60CQD?若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233yxx；（2）当92n时，PBAS最大值为818；（3）存在，Q点坐标为0,330,33或，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P21,233nnn求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.

(3) 求点D的坐标，设D21,233ttt,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点Q,使60CQD?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.

【详解】

解：1抛物线顶点为3,6

可设抛物线解析式为236yax

将0,3B代入236yax得

396a

13a

抛物线21363yx，即21233yxx

2连接,3, 3OPBOOA，

PBABPOPAOABOSSSS

设P点坐标为21,233nnn

1133222BPOxSBOPnn

2211119323322322PAOySOAPnnnn

11933222ABOSOABO

22231991919813222222228PBASnnnnnn

当92n时，PBAS最大值为818

3存在，设点D的坐标为21,233ttt

过D作对称轴的垂线，垂足为G,

则213,6233DGtCGtt

30ACD

2DGDC

在RtCGD中有

222243CGCDDGDGDGDG

21336233ttt

化简得1133303tt

13t（舍去），2333t

∴点D(333,-3)

3,33AGGD

连接AD，在RtADG中

229276ADAGGD

6,120ADACCAD

Q在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上

此时1602CQDCAD

设Q点为(0,m), AQ为A的半径

则AQ²=OQ²+OA², 6²=m²+3²

即2936m

∴1233,33mm

综上所述，Q点坐标为0,330,33或

故存在点Q，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；

(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

3．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当0x时，它们对应的函数值相等；当0x时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数yx，它的相关函数为(0)(0)xxyxx.

（1）已知点5,10A在一次函数5yax的相关函数的图像上，求a的值；

（2）已知二次函数2142yxx.

①当点3,2Bm在这个函数的相关函数的图像上时，求m的值；

②当33x≤≤时，求函数2142yxx的相关函数的最大值和最小值.

（3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为1,12、9,12，连结MN.直接写出线段MN与二次函数24yxxn的相关函数的图像有两个公共点时n的取值范围.

【答案】（1）1；（2）①22、25 ；②max432y，min12y；（3）

31n，514n

【解析】

【分析】

（1）先求出5yax的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；

（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；

②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；

（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．

【详解】

解：（1）根据题意，

一次函数5yax的相关函数为5,(0)5,(0)axxyaxx，

∴把点5,10A代入5yax，则

(5)510a，

∴1a；

（2）根据题意，二次函数2142yxx的相关函数为2214,(0)214,(0)2xxxyxxx，

①当m＜0时，将B（m，32）代入y=x2-4x+12得m2-4m+1322，

解得：m=2+5（舍去）或m=25．

当m≥0时，将B（m，32）代入y=-x2+4x-12得：-m2+4m-12=32，

解得：m=2+2或m=22．

综上所述：m=25或m=22或m=22．

②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，

∴当3x时，有最大值，即2143(3)4(3)22y，

∴此时y的最大值为432．

当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x12，抛物线的对称轴为x=2，

当x=0有最小值，最小值为12，

当x=2时，有最大值，最大值y=72．

综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x12的相关函数的最大值为432，最小值为12；

（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，

∴-n=1，解得：n=-1．

∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），