九年级数学上册 二次函数单元测试题(Word版 含解析)

九年级数学上册 二次函数单元测试题（Word版 含解析）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，-3）．

【解析】

【分析】

（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；

（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；

（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴93030abccabc，解得：123abc，

所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，

设与AB平行的直线解析式为y=x+m，

联立223yxmyxx，消掉y得，x2+3x+m-3=0，

当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE的周长最大；

（3）设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC．

∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=3

∴点M（-2，3）或（-2，-3）．

【点睛】

本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析

2．在平面直角坐标系中，点,ptq与,qtp0t称为一对泛对称点．

（1）若点1,2，3,a是一对泛对称点，求a的值；

（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PAx轴于点A，过点Q作QBy轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）抛物线2yaxbxc0a＜交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合），过点M的直线yaxm与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点,MMMxy，,NNNxy探究当My＞Ny时Mx的取值范围；若不是，请说明理由．

【答案】（1）23；（2）AB∥PQ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(xM，yM)，N(xN，yN)，当yM＞

yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0

【解析】

【分析】

（1）利用泛对称点得定义求出t的值，即可求出a.

（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），根据题干条件得到A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）的坐标，利用二元一次方程组证出k1=k2，所以AB∥PQ.

（3）由二次函数与x轴交点的特征，得到D点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.

【详解】

（1）解：因为点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，

设3t＝2

解得t＝23

所以a＝t×1＝23

（2）解：设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.

因为PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，

所以点A，B，C的坐标分别为：A（p,0），B（0,tp），C（p,tp）

设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，其中k1k2≠0.

分别将点A（p,0），B（0,tp）代入y＝k1x＋b1，得

111pkbtpbtp. 解得11ktbtp

分别将点P（p,tq），Q（q,tp）代入y＝k2x＋b2，得

2222pkbtpqkbtp. 解得22ktbtptp

所以k1＝k2.

所以AB∥PQ

（3）解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）交y轴于点D，

所以点D的坐标为（0,c）.

因为DM∥x轴，

所以点M的坐标为（xM,c），又因为点M在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）上.

可得axM 2＋bxM＋c＝c，即xM（axM＋b）＝0.

解得xM＝0或xM＝－ba.

因为点M不与点D重合，即xM≠0，也即b≠0，

所以点M的坐标为（－ba,c）

因为直线y＝ax＋m经过点M，

将点M（－ba,c）代入直线y＝ax＋m可得，a·（－ba）＋m＝c.

化简得m＝b＋c

所以直线解析式为：y＝ax＋b＋c.

因为抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋b＋c交于另一点N，

由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.

因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，

解得x1＝－ba，x2＝1.

即xM＝－ba，xN＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.

所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）

要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，

则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba）.

也即a＋b＋c＝（－ba）·c

也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.

因为a＋b≠0，

所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.

因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.

此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.

所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.

因为a＜0，

所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当yM＞yN时，0＜xM＜1；

当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足yM＞yN，此时xM＜0.

综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（xM,yM），N（xN,yN），当yM＞yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0.

【点睛】

本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.

3．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣215．

【解析】

【分析】

（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；

【详解】

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D点纵坐标是3．

∵D在y=6x上，

∴D(2，3)，

将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，

∴N(57，0)，F(0，53)；

（3）设P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=32t，tan∠PBO=3t，

令y=tan∠BPD=3233123tttt，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0时，

y=1541515(舍)或y=1541515，

∴t=32﹣12×1y，

∴t=9﹣215，

∴P(0，9﹣215)．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（2﹣2，1），F2（2+2，1）．

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；

（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：

①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；

②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；